2.1 二次函数 同步训练 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

2.1 二次函数 一、选择题： 1.下列函数中，是的二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是  (    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.已知是二次函数，则的值为(    ) A. 或 B. C. D. 4.若 是关于的二次函数，则(    ) A. 或 B. 且 C. D. 5.下列函数中是二次函数的有(    ) ；；；． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 6.在下列个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系是二次函数关系的有(    ) 设正方形的边长为，面积为，则与的函数关系； 在弹性范围内，弹簧测力计上弹簧的长度与所挂物体质量之间的函数关系； 设正方体的棱长为，表面积为，则与的函数关系； 若一辆汽车以的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程与行驶时间的函数关系． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题： 7.已知二次函数，其二次项系数是          ． 8.已知函数是二次函数，则           ． 9.学校准备建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用周长为米的篱笆围成，已知墙长为米，设花圃垂直于墙的一边长为米，花圃的面积为平方米，写出与的函数关系式，并写出自变量的取值范围          ． 10.定义：由，构造的二次函数叫作一次函数的“滋生函数”，一次函数叫作二次函数的“本源函数”为常数，且若一次函数的“滋生函数”是，则二次函数的“本源函数”是          ． 三、解答题： 11. 指出下列函数中哪些是二次函数．如果是二次函数，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： ；    ； ；    ； ；    ． 12.已知函数． 若这个函数是一次函数，求的值； 若这个函数是二次函数，求的值． 13.若函数是二次函数，试讨论、的取值范围． 14.已知函数． 若是一次函数，求的值； 若是二次函数，求的值满足什么条件． 15.规定：若函数的图像与函数的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”． 有下列三个函数：；；其中，与二次函数互为“兄弟函数”的是          填序号． 若函数与互为“兄弟函数”，是其中一个“兄弟点”的横坐标． 求实数的值； 直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标：________，________． 若函数为常数与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为，，，且，求的取值范围． 16.在矩形中，的长度为，的长度为，将矩形进行如图所示顺序的折叠第三步折叠后，点与点的对应点分别为，． 若点落在点下方，则 ______；用含，的代数式表示 若点，重合，求的值； 如果的值保持不变，改变的值，且点始终落在点下方若四边形的面积的最大值为，求的值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：、，是的正比例函数，故此选项不符合题意； B、，是的二次函数，故此选项符合题意； C、，不是的二次函数，故此选项不符合题意； D、，是的一次函数，故此选项不符合题意； 故选：． 形如、、是常数，叫做二次函数，由此判断即可． 本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 2.【答案】  3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键． 根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 【解答】 解：是二次函数， ， 解得． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的概念．根据二次函数定义最高次数是次，二次项系数不等于零，建立关于的方程和不等式，求解即可． 【解答】 解：由二次函数定义，得 解得：． 故选D． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为这个关键条件．一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数． 根据定义的一般形式进行判断即可． 【解答】解：、的右边不是整式，故错误； ，符合二次函数的定义，故正确； ，符合二次函数的定义，故正确； 故选：． 6.【答案】  【解析】解：属于二次函数关系，故符合题意； 属于一次函数关系，故不符合题意； 属于二次函数关系，故符合题意； 属于一次函数关系，故不符合题意； 综上所述，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有个． 故选：． 一般地，形如、、是常数，的函数，叫做二次函数．根据题意列出函数关系式，然后由二次函数的定义进行判断． 本题考查二次函数的定义，熟练掌握定义是关键． 7.【答案】  【解析】本题考查二次函数的基本概念，解题的关键是掌握中，为二次项系数，为一次项系数，为常数项． 根据二次函数一般式的定义求解． 【详解】解：二次函数的二次项系数是， 故答案为：． 8.【答案】  【解析】【分析】根据定义得：形如是常数，且的函数是二次函数，列方程可求得答案． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 9.【答案】  【解析】解：由题意可得，， 即与的函数关系式是； 墙的长度为， ， 解得，， 即的取值范围是； 故答案为：． 利用矩形的面积公式，列出面积关于的函数解析式，即可求解 此题考查了二次函数的应用，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是新定义，一次函数的概念，二次函数的概念有关知识，根据题意，由“滋生函数”的定义可得解可得、的值，即可得答案． 【解答】 解：根据题意，一次函数的“滋生函数”是， 则有 解可得． 故二次函数的“本源函数”是． 11.【答案】解：是二次函数． 二次函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是； 二次函数整理得，它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是； 二次函数整理得，它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是．   12.【答案】解：由题意，得，且， 解得， 当时，这个函数是一次函数； 由题意，得， 解得且， 当且时，这个函数是二次函数．  【解析】本题考查了一次函数的定义，二次函数的定义，解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义，根据一次函数与二次函数的定义求解． 由一次函数的定义可得，且，由此求出的值即可； 由二次函数的定义可得，由此求出的值即可． 13.【答案】且，解得，  且为任意实数，解得，为任意实数．  为任意实数且或，解得为任意实数，或  综上所述，当，或，为任意实数或为任意实数，或时，是二次函数．  14.【答案】解：若这个函数是一次函数， 则且， 解得； 若这个函数是二次函数， 则， 解得且．  【解析】由一次函数的定义求解可得； 由二次函数的定义求解可得． 本题主要考查了一次函数的定义、二次函数的定义，准确分析判断是解题的关键． 15.【答案】【小题】 【小题】 把代入，得把，代入函数，得，解得    【小题】 如图，满足方程，即，，满足方程，即，是方程的两个根，，即，．   【解析】  如图，由图可知，与二次函数的图像有个交点的是函数的图像，与二次函数互为“兄弟函数”的是．   ，．．．．．．或  16.【答案】  【解析】解：由题得，， ， ， 故答案为：． 若点，重合，， ，， ． ， 若四边形的面积的最大值为，即， 负值舍去． 由折叠得，，再求出即可． 令，解方程即可． 求出四边形的面积，化简得当为时，有最大值，令最大值为，解方程即可． 本题考查了矩形及列代数式，函数建模思想的引入与利用是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$