专题15 平行线中的拐点模型的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15平行线中的拐点模型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 类型二、铅笔头模型 类型三、牛角模型 类型四、羊角模型 类型五、蛇形模型（“5”字模型) 压轴专练 典例详解 类型一、猪蹄模型(M型)与锯齿模型 【模型解读】 M M P P >P2n+1 B 图1 图2 图3 如图1，①已知：AMBN,结论：∠APB=∠A+∠B;②己知：∠APB=∠A+∠B,结论：AMBN 如图2，已知：AMBN,结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2 如图3，已知：AMBN,结论：∠P1十∠P3+.+∠P2n+1F∠A+∠B+∠P2+.+∠P2m 【模型证明】 (1)∠APB=∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM, M ,PQ∥AM,AM∥BN,.PQ∥AM∥BN,∴∠A=∠APQ,∠B=∠BPQ, 1/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠A+∠B=∠APQ+∠BPQ=∠APB,即：∠APB=∠A+∠B. (2)根据(1)中结论可得，∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, 故答案为：∠A+∠B+∠P2=∠P1+∠P3, (3)由(2)的规律得，∠A+∠B+∠P2++P2n=∠P1+∠P3+∠P++∠P2m1 故答案为：∠A+∠B+∠P2++P2m=∠P1+∠P3+∠P5++∠P2+1 例1.(2025七年级下，全国专题练习)【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形， 很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系 A ⊙ A B M ① ② ③ (1)如图①，AB∥CD,M是AB,CD之间的一点，连接BM,DM,若∠M=100°，求∠B+∠D的度数； 【灵活运用】 (2)如图②，AB∥CD,M,N是ABCD之间的两点，当∠B-∠C=写∠BN时，请找出∠8wN和∠MNC之 间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)如图③，AB∥CD,E,F,G均是AB,CD之间的点，如果∠E+∠F=2∠G=70°，直接写出∠B+∠D的 度数 【变式1-1】(1)如图①，如果AB∥CD,求证：∠APC=∠A+∠C. (2)如图②，AB∥CD,根据上面的推理方法，直接写出∠A+∠P+∠Q+∠C= (3)如图③，AB∥CD,若∠ABP=x,∠BPQ=y,∠PQC=z,∠QCD=m,则m=_ (用x、y 2表示). 图① 图② 图③ 【变式1-2】已知直线4∥12，直线4与直线4、Z分别相交于C、D两点. 2/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6 A 2 D 图a 图b (I)如图a,有一动点P在线段CD之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中， ∠1、∠2、∠3又怎样的数量关系？试说明理由 (2)如图b,当动点P线段CD之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出 新的结论并说明理由 【变式1-3】(24-25七年级上·全国课后作业)如图，直线AB∥CD,点P为平面内一点（不在两条直线上）. 图① 图② 图③ (1)如图①，若点P在直线AB与CD之间，且∠AEP=40°，∠PFD=130°，求∠EPF的度数； (2)如图②，若点P在直线AB上方，且∠AEP=50°，∠PFC=120°. ①求∠EPF的度数； ②如图③，∠AEP的平分线和LPFC的平分线交于点G,求LG的度数. 类型二、铅笔头模型 Pn-2 B 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，己知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，己知：AM∥BN,结论：∠1+∠2+.+∠n=(n-1)180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ, 3/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AM∥BN,.PQ∥BN,∴.∠1+∠APQ=180°，∠3+∠BPQ=180°，.∠1+∠2+∠3=360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C,过点P2作AM的平行线PD, .AM∥BN,∴AM∥P1C∥PD∥BN, ∴.∠1+∠AP1C=180°，∠P2P1C+∠P1PD=180°，∠BP2D+∠4=180°，.∠1+∠2+∠3+∠4=540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3++∠n=(n-1)180°· 例2.(2025七年级下·全国.专题练习)如图，AB‖CD,∠B+∠C+∠D=() A B E D A.180° B.360 C.540° D.270° 【变式2-1】如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度.图②是这盏 台灯的示意图.已知台灯水平放置，当灯头AB与支架CD平行时可达到最佳照明角度，此时支架BC与水 平线BE的夹角∠CBE=130°，两支架BC和CD的夹角LBCD=110°. B ---E M- D W 图① 图② (1)求此时支架CD与底座MN的夹角LCDM的度数： (2)求此时灯头AB与水平线BE的夹角∠ABE的度数 【变式2-2】(1)如图1，AB∥CD,求∠A+LAEC+∠C的度数， 解：过点E作EF∥AB. :EF∥AB(己作)， .∠A+∠AEF=180°(). 4/13 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：ABII CD(已知)， :一∥一（平行关系的传递性）， ·.∠CEF+∠ =180°（两直线平行，同旁内角互补）， :∠A+∠AEF+∠CEF+∠C=360°（等式性质）， 即∠A+∠AEC+∠C=; (2)根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，AB∥EF,则LB+LC+LD+LE=一 (3)根据(1)和(2)的规律，图3中AB川GF,猜想：∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=: (4)如图4，AB∥CD,在B,D两点的同一侧有M,M2,M.Mn共n个折点，则 ∠B+∠M,+∠M,+..+∠Mn+∠D的度数为 (用含n的代数式表示). B B D M D E M F M 图1 图2 图3 图4 D 类型三、牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD,结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF,.∠1+∠FEB=180° B 03 ◆D D 图1 C 图2 5/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AB∥CD,∴.EF∥CD,.∠3+∠FED=180°，即：∠3+∠2+∠FEB=180°，∴.∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF,∴.∠1+∠FEB=180 AB∥CD,.EF∥CD,.∠3=∠FEC,即：∠3-∠2=∠FEB,.∠1+∠3-∠2=180 注意，牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F,或延长EB交CD于点F等。 例3.如图，己知AB∥DE,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则LBCD的度数为°. A B D E 【变式3-1】(24-25七年级上河南新乡·期末)如图，∠AEC=80°，在∠AEC的两边上分别过点A和点C向 同方向作射线AB和CD,且AB∥CD. (1)若∠A=60°，则∠DCE的度数为 (2)若∠EAB和∠ECD的平分线所在的直线交于点P(P与C不重合)，则∠APC的度数为」 D B 【变式3-2】直线AB∥CD,P为直线AB上方一点，连接PA、PD. D 图1 图2 (1)如图1，若∠A=100,∠D=130°，求∠APD的度数： (2)如图1，设∠PAB=,∠CDP=B,求∠APD的度数（用含a、的式子表示）： B如图2，N为∠PAB内部一点，∠BAN-3∠PAN,连接CN,若∠DCN=3∠PCN,求C的值： 6/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、羊角模型 E 图1 图2 如图1，已知：ABDE,结论：=Y-B 如图2，己知：ABDE,结论：0a+B+y=180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,.∠B=∠FCB 图1 图2 :ABIDE,.CFDE,.∠Y=∠FCD,∠a=∠FCD-∠FCB,.∠a=∠Y-∠阝 在图2中，过C作AB的平行线CF,.∠B=∠FCB :ABIDE,CFDE,∠Y+∠FCD=180°，：∠FCD=∠o+∠FCB,.∠o+∠B+∠Y-∠=180° 例4.(24-25七年级上黑龙江绥化期中)已知，如图，AB∥EF,∠4BC=75°，∠CDF=135°，则 ∠BCD等于() 750B A D E -F 135° C A.45° B.40° C.35° D.30° 【变式4-1】(24-25七年级下.全国.单元测试)如图，己知AB∥CD,E,F是直线AB上方两点，连接AE ，CE,4,CP,已知A平分∠B4E,且∠BF-ECD,若∠E=15,∠EC0=75,求∠F的废数 为() 7/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A,10° B.159 C.20° D.30° 类型五、蛇形模型(“5”字模型) 基本模型：如图，AB∥CD,结论：∠1+∠3-∠2=180° D E 图1 图2 如图1，已知：ABIDE,结论：0+y=B+180° 如图2，己知：ABDE,结论：+B=Y+180° 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF,.∠B=∠FCB. :ABDE,.CFDE,.∠Y+∠FCD=180°，：∠=∠FCD+∠FCB,.∠a+∠y=∠B+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF,.∠B+∠FCB=180°， :ABIDE,.CFI‖DE,∠y=∠FCD,'∠o=∠FCD+∠FCB,.∠a+∠B=∠Y+180° 例5.(2025七年级下.全国专题练习)如图，AB∥CD,AC∥DE,∠D=30°，则∠A的度数为() B 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.120° B.130° C.140° D.150° 【变式5-1】(24-25七年级下.全国期末)劳动情境·公路修建一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过， 第一次拐弯∠M的度数为.第二次拐弯∠N的度数为B,到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐 弯之前的道路平行，则∠P= B 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下·甘肃武威期中)探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处 发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线OB、OC经反射后沿着与PO平行的方向射 出，已知∠AB0=42°，∠DC0=68°，则∠B0C等于() B A.138° B.120° C.112 D.110 2.(23-24七年级下·广西南宁期中)近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护 眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中BC⊥AB,ED∥AB,经使用发现，当 ∠EDC=126°时，台灯光线最佳.则此时∠DCB的度数为() D E B 9/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.126° B.136° C.144° D.156° 3.(25-26七年级上·全国.单元测试)空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹 的玩法和制作方法.抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5 月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间.如图① 是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知 AB∥CD,∠EAB=80°，∠ECD=110°，则∠E的度数是() D R 图① 图② A.30° B.40° C.60° D.70° 二、填空题 4.(24-25七年级下广东江门阶段练习)如图，己知AB∥CD,∠B=32°，∠D=28°，则 ∠E= A B D 5.(25-26七年级上黑龙江绥化期中)如图，AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=45°， 那么∠BED的度数为一· A 6.(25-26八年级上·全国·课后作业)(1)如图①，已知AB∥DE,∠ABC=75°，∠CDE=145°，则 LBCD的度数为 (2)如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角∠A=120°，第二次拐角∠B=150°.第 10/13 专题15 平行线中的拐点模型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 类型二、铅笔头模型 类型三、牛角模型 类型四、羊角模型 类型五、蛇形模型（“5”字模型） 压轴专练 类型一、猪蹄模型（M型）与锯齿模型 【模型解读】 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2. 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n. 【模型证明】 （1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM， ∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ， ∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B． （2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， 故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3， （3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1 例1．（2025七年级下·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、平行公理推论的应用 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【变式1-1】（1）如图①，如果，求证：． （2）如图②，，根据上面的推理方法，直接写出___________． （3）如图③，，若，则___________（用x、y、z表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）过P作，利用平行线的判定与性质证明即可； （2）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质即可求解； （3）过点P作，过点Q作，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：过P作，如图，      ∴， ∵（已知）， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图，过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 故答案为：；    （3）过点P作，过点Q作， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴， 即， ∴， 故答案为：．    【变式1-2】已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，直线，点P为平面内一点（不在两条直线上）． (1)如图①，若点P在直线与之间，且，，求的度数； (2)如图②，若点P在直线上方，且，． ①求的度数； ②如图③，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即得答案； （2）①过点P作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案； ②过点G作，根据平行线的性质，分别求出和的度数，即可求得答案． 【详解】（1）解：过点P作， ， ， ， ， ， ， ； （2）解:①过点P作， ， ， ， ， ； ②过点G作， 是的平分线，是的平分线， ，， ， ， ， ， ， ． 类型二、铅笔头模型 图1 图2 图3 如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN. 如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540° 如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°. 【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ， ∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°； 在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D， ∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN， ∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°； 在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线， 根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°． 例2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是作辅助线构造两组互补的同旁内角．过点作直线，根据平行线的性质可得，，然后再计算即可． 【详解】解，如下图所示，过C点作直线， ， ， ，， ， 即. 故选：B． 【变式2-1】如图①是一盏可以伸缩的台灯，它的优点是可以变化伸缩，找到合适的照明角度．图②是这盏台灯的示意图．已知台灯水平放置，当灯头与支架平行时可达到最佳照明角度，此时支架与水平线的夹角，两支架和的夹角． (1)求此时支架与底座的夹角的度数； (2)求此时灯头与水平线的夹角的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】平行线的性质在生活中的应用 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质求解即可； （2）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 【变式2-2】（1）如图1，，求的度数． 解：过点E作． （已作）， （   ）． 又（已知）， ______________（平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即_______； （2）根据上述解题及作辅助线的方法，在图2中，，则_______； （3）根据（1）和（2）的规律，图3中，猜想：_______； （4）如图4，，在B，D两点的同一侧有共n个折点，则的度数为_______（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理的推论，图形类规律探索，熟练掌握“两直线平行，同旁内角互补”和“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是解题关键． （1）根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得、，即可求得； （2）过点C作，过点D作，根据平行公理的推论可得，再根据根据平行线的性质可得，，，即可求得； （3）由（1）和（2）总结规律即可求解； （4）根据所得规律可直接求解． 【详解】（1）解：过点E作． （已作）， （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （平行关系的传递性）， （两直线平行，同旁内角互补）， （等式性质）， 即； （2）如图，过点C作，过点D作， ∴， ∴，，， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知在A，C两点的同一侧有1个折点，其； 由（2）可知在B，E两点的同一侧有2个折点，其； 因为B，F两点的同一侧有3个折点， 所以； （4）由（3）可知． 类型三、牛角模型 图1 图2 如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3 如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180° 【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° 图1 图2 ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3. 在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180° ∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°. 注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等。 例3．如图，已知，，，则的度数为 °． 【答案】40 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定及性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点C作，则，由，，得到，从而，进而根据角的和差即可解答． 【详解】解：过点C作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【变式3-1】（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【答案】 或 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 【详解】解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 【变式3-2】直线，P 为直线上方一点，连接． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，设，求的度数（用含α、β的式子表示）； (3)如图2，N为内部一点，，连接，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，数形结合思想的应用． （1）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （2）过点P向右，则，得出，进而求出结论； （3）过点P向左作，过N向左作，则，设，则，得出，进而求出结论． 【详解】（1）解：过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）过点P向右， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）过点P向左作，过N向左作， ∵， ∴， 与（2）同理，得， 依题意，设， 则 ． ∴， ∴． 类型四、羊角模型 图1图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB 图1 图2 ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠. 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°. 例4．（24-25七年级上·黑龙江绥化·期中）已知，如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过点作，进而得到，根据平行线的性质求出的度数，再利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：过点作，则：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【变式4-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图，已知，E，F是直线上方两点，连接，，，，已知平分，且．若，，求的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，过作，过作，由，可得，由，可得，，由可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：如图，过作，过作， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 类型五、蛇形模型（“5”字模型） 基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°. 图1 图2 如图1，已知：AB∥DE，结论：. 如图2，已知：AB∥DE，结论：. 【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB. ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°， ∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180° 例5．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质推出，得到，即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：D． 【变式5-1】（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 2．（23-24七年级下·广西南宁·期中）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 3．（25-26七年级上·全国·单元测试）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”，2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．学校将“抖空竹”引入阳光体育大课间．如图①是某同学抖空竹时的一个瞬间，小聪把这一瞬间抽象成图②所示的数学问题：已知，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质的应用，平行公理的推论，过点E作，则，由两直线平行、同旁内角互补，可得，，由此可解． 【详解】解：如图，过点E作， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选A． 二、填空题 4．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）如图，已知，，，则 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用． 过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·黑龙江绥化·期中）如图，，平分，平分，，那么的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点E，F分别作，．然后运用平行线的性质进行推导． 【详解】解：如图所示，过点E，F分别作，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图①，已知，，，则的度数为 °． （2）如图②，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若第一次拐角，第二次拐角．第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则 °． 【答案】 40 150 【分析】本题主要考查平行线的性质，利用平行线的性质求解即可． （1）过点作的平行线，则，利用平行线的性质求得，结合，求得，进一步利用求得即可； （2）过点作，则，有．可求得和，即可求得． 【详解】解：（1）过点作的平行线，如图， 由题意易知，， 因为， 所以， 所以， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：40． （2）如图，过点作． 因为， 所以， 所以． 因为， 所以． 因为， 所以， 所以， 故答案为：150． 三、解答题 7．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成课本第23页第7题选择题（2）如图 1，如果，那么（    ） A．        B．        C．        D． (1)请写出这道题的正确选项； (2)在同学们都正确解答这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，，请写出之间的数量关系．并说明理由． 【答案】(1)C (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）利用平行线的性质，即可得到，，进而得出； （2）过D作，利用平行线的性质，即可得到，，进而得出． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即， 故选：C； （2）解：，理由如下， 如图，过D作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 8．（24-25七年级下·全国·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 9．（24-25七年级下·河南洛阳·期中）如图1，为射线上一点，，．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．求证：． (2)如图2，点在上，过点作．求的度数．（用含和的代数式表示） (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题主要考查平行线的判定以及性质，几何图中角度的计算问题． （1）根据角的和差关系得出，再根据同位角相等两直线平行即可证明． （2）如图，根据角的和差关系得出，根据平行线的性质得出，代入计算即可． （3）过点作，则，，由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，然后分两种情况根据角度的和差关系计算即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：如图： 过点B作， ， ， ． ∵， ； （3）解：过点作， 则， ， 由（2）知， 则， ． ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，． 综上，的度数为或． 10．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知直线，为平面内一点，连接、． (1)如图1，已知，，求的度数； (2)如图2，猜想、、之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，点在射线的反向延长线上，过点作，，点在直线上，作的平分线，交于点．若，，的度数为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （2）过点P作，根据平行线的性质可得，即可求解； （3）过点P作，根据平行线的性质可得，由（2）得：， 从而得到，，设，则，，再由，，可得，然后结合平分，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，过点P作， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点P作， ∴， ∴， 由（2）得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 故答案为： 11．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图1，已知，． (1)设，，直接写出、之间的数量关系； (2)如图2，已知、的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，E为射线BN上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接，已知，求的度数． 【答案】(1) (2)不发生变化，的度数为； (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； （2）解：不发生变化，，理由为： 由（1）可得，， 、的角平分线交于点， ，， 如图，过点作， ，， ， ，， ； （3）解：由（2）得，，由（1）得， ， ， 如图，过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上，的度数为或． 12．（17-18七年级下·湖北·期中）已知：，分别为，上任意一点．，为和之间任意两点．连接，，，，． (1)如图1，若，求证：，； (2)当时 ①如图2，求证：； ②如图3，分别过点，点引射线，．交于，交于，，．和两角的角平分线交于点．当时，和的数量关系为：________（用含有的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据可证，再根据可证，，然后根据平行公理推论可证； （2）①延长，交直线于点，先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，则可得，再根据平行线的判定即可得证； ②先求出，，，，，再过点作，过点作，根据平行线的性质可得，根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，则可得，同理可得，然后根据建立等式，化简即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． （2）证明：①如图，延长，交直线于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②∵，，，， ∴，，， ∴， ∵和两角的角平分线交于点，且， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $