培优1 三次函数的性质研究（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦三次函数性质这一导数核心考点，依据高考评价体系梳理了极值判断、单调性分析、零点存在性、切线方程等考查要求。通过模拟题统计明确极值与零点问题占比达60%，归纳出分类讨论、导数应用等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于以2025年浙江、江西等名校联考真题为载体，突出“真题解析+素养培养”策略。如通过含参三次函数极值的分类讨论培养逻辑思维，结合对称中心证明（f(-2-x)+f(x)=0）发展数学抽象素养。特设“易错陷阱警示”和“答题模板”，帮助学生掌握导数应用技巧，教师可据此精准突破高频考点，提升复习效率。

培优1 三次函数的性质研究 数 学 新高考专用 1.(多选)(2025浙江天域全国名校协作体联考)已知函数f(x)=ax3-3x2-1,则下列命题中正 确的是 ( ) A.-1是f(x)的极大值 B.当-1<a<0时, f(a-1)>f(a) C.当a>2时, f(x)有且仅有一个零点x0,且x0<2 D.若f(x)存在极小值点x1,且f(x1)=f(x2),其中x1≠x2,则x1+2x2=0     ACD     解析　对于A,因为f(x)=ax3-3x2-1,所以f'(x)=3ax2-6x=3x(ax-2), 当a>0时,令f'(x)=0,得x=0或x= ,当x<0或x> 时, f'(x)>0,当0<x< 时, f '(x)<0, 所以x=0是f(x)的极大值点,极大值为f(0)=-1,x= 是f(x)的极小值点,极小值为f =- -1, 当a=0时, f(x)=-3x2-1,由极值的定义知, f(x)的极大值为-1,无极小值, 当a<0时,令f'(x)=0,得x=0或x= ,当x< 或x>0时, f'(x)<0,当 <x<0时, f'(x)>0, 所以x=0是f(x)的极大值点,极大值为f(0)=-1,x= 是f(x)的极小值点,极小值为f =- -1. 综上,-1是f(x)的极大值,所以选项A正确; 对于B,因为-1<a<0,所以由选项A知, f(x)在区间 上单调递增, 又-1<a<0,则 ∈(-∞,-2),-2<a-1<-1, 所以f(a-1)<f(a),故选项B错误; 对于C,当a>2时, <1,由选项A知, f(x)的单调递增区间为(-∞,0), ,单调递减区间为  , 当x→-∞时, f(x)→-∞, f(0)=-1<0, f(2)=8a-12-1=8a-13>0, 所以由零点存在定理知,当a>2时, f(x)有且仅有一个零点x0,且x0<2,所以C正确; 对于D,因为f(x)存在极小值点x1,所以由选项A知,x1= ,得a= , 因为f(x1)=f(x2),所以 × -3 -1= × -3 -1,整理得2 -3x1 + =0, 即(x1-x2)2(x1+2x2)=0,又x1≠x2,所以x1+2x2=0,故选项D正确,故选ACD. 2.(多选)(2025江西南昌二模)已知f(x)=x3+ax2+bx-2.不等式f(x)<2的解集为{x|x<1且x≠ -2},则下列说法中正确的是 ( ) A.函数f(x)的极大值点为1 B.函数f(x)图象的对称中心为(-1,0) C.过点(-1,0)可作一条直线与曲线y=f(x)相切 D.当-2<x<- 时, f(2x+1)>-2     BCD     解析    A.因为不等式f(x)<2的解集为{x|x<1且x≠-2}, 即不等式x3+ax2+bx-4<0的解集为{x|x<1且x≠-2}, 所以方程x3+ax2+bx-4=0的根为x=1和x=-2(二重根),得(x+2)2(x-1)=0,即x3+3x2-4=0, 所以 则f(x)=x3+3x2-2, 则f'(x)=3x2+6x=3x(x+2), 令f'(x)<0⇒-2<x<0,令f'(x)>0⇒x<-2或x>0, 所以函数f(x)在(-2,0)上单调递减,在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增, 所以x=-2是f(x)的极大值点,故A错误; B.由选项A知f(x)=x3+3x2-2, 则f(-2-x)=(-2-x)3+3(-2-x)2-2=-x3-3x2+2, 所以f(-2-x)+f(x)=2×0, 即函数f(x)图象的对称中心为(-1,0),故B正确; C.由选项A知f(x)=x3+3x2-2, 设过点(-1,0)的切线方程为y=k(x+1),切点为(x0, +3 -2), 则3 +6x0= , 整理得 +3 +3x0+1=0,即 =0,解得x0=-1, 此时切点为(-1,0), 所以过点(-1,0)只能作一条直线与曲线y=f(x)相切,故C正确; D.令u=2x+1,当-2<x<- 时,-3<u<0. f(2x+1)>-2⇔f(u)>-2. 而f(u)+2=u3+3u2=u2(u+3), 由-3<u<0,得u2(u+3)>0, 即f(u)>-2,所以f(2x+1)>-2,故D正确.故选BCD. 3.(多选)(2025河北石家庄质量检测(二))函数f(x)=(x+1)(x2-x+a)(a∈R),则下列说法正确 的是 ( ) A.当a=-2时, f(x)的极小值为0 B.若f(x)有3个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3=0 C.若g(x)=f(x)+a,则g(x)为奇函数 D.当-2<a<0时, f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增     BD     解析　对于A,当a=-2时, f(x)=(x+1)2(x-2),则f'(x)=3(x-1)(x+1), 当x<-1时, f'(x)>0, f(x)单调递增; 当-1<x<1时, f'(x)<0, f(x)单调递减; 当x>1时, f'(x)>0, f(x)单调递增, 所以f(x)的极小值为f(1)=-4,故A错误; 对于B,易知x=-1是f(x)=(x+1)(x2-x+a)的一个零点,令x1=-1,x2-x+a=0,则x2,x3是x2-x+a=0的两 个根,由根与系数的关系得x2+x3=1, 所以若函数f(x)有3个零点x1,x2,x3,则x1+x2+x3=-1+1=0,故B正确; 对于C,g(x)=f(x)+a=x3+(a-1)x+2a,当a≠0时, g(-x)=(-x)3+(a-1)(-x)+2a=-x3-(a-1)x+2a≠-g(x), 所以函数g(x)不是奇函数,故C错误; 对于D, f'(x)=3x2+a-1, 因为当-2<a<0时,-3<a-1<-1,当x∈(-∞,-1)时,3x2>3, 所以f'(x)=3x2+a-1>0, 所以当-2<a<0时, f(x)在区间(-∞,-1)上单调递增,故D正确.故选BD. 4.(多选)(2025江苏苏锡常镇调研)已知函数f(x)= x3-x2+1,其导函数为f'(x),则 ( ) A.直线y=-2x是曲线y=f(x)的切线 B. f(x)有三个零点 C. f'(2-x)=f'(x) D.若f(x)在区间(a,a+4)上有最大值,则a的取值范围为(-4,0)     BC     解析　因为f(x)= x3-x2+1, 所以f'(x)=x2-2x, f'(2-x)=(2-x)2-2(2-x)=(2-x)(-x)=x2-2x, 所以f'(2-x)=f'(x),C正确; 令f'(x)=0,得x2-2x=0,解得x=0或x=2, 当x<0或x>2时, f'(x)>0,当0<x<2时, f'(x)<0, 所以f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)上单调递增,在(0,2)上单调递减, 所以f(x)在x=0处取得极大值,在x=2处取得极小值,且f(0)=1, f(2)= -4+1=- ,x→-∞时, f(x)→-∞,x→+∞时, f(x)→+∞, f(x)的图象如图所示, 故f(x)有两个极值点,三个零点,故B正确; 设切点的坐标为 x0,  - +1 , 令 -2x0=-2, 则 -2x0+2= +1≠0,所以不存在斜率为-2的切线, 即直线y=-2x不是曲线y=f(x)的切线,故A错误; 因为f(0)=1=f(3),所以若f(x)在区间(a,a+4)上有最大值, 则 所以-4<a≤-1,故D错误.故选BC. 5.(2025广东汕头一模)已知曲线y=x3-3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行,若 点P的纵坐标为1,则点Q的纵坐标为__________.     11     解析　由y=x3-3x2+6x+2,得y'=3x2-6x+6, 令h(x)=y'=3x2-6x+6,则h'(x)=6x-6, 令6x-6=0,可得x=1,此时y=13-3×12+6×1+2=6, 所以曲线y=x3-3x2+6x+2的对称中心为(1,6). 因为曲线y=x3-3x2+6x+2在点P处的切线与在点Q处的切线平行,所以点P与点Q关于点(1, 6)对称,又点P的纵坐标为1,则点Q的纵坐标为11. 6.(2025山东潍坊、东营一模)已知函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值. (1)求实数c的值; (2)若函数g(x)=f(x)+a有三个不同的零点,求实数a的取值范围. 解析    (1)由f(x)=x(x+c)2, 得f'(x)=(x+c)(3x+c), 由函数f(x)=x(x+c)2在x=1处有极大值,得f'(1)=0,解得c=-1或c=-3, 当c=-1时, f'(x)=(x-1)(3x-1), 易知当 <x<1时, f'(x)<0;当x>1时, f'(x)>0, 则此时函数f(x)在x=1处取得极小值,不符合题意,舍去; 当c=-3时, f'(x)=(x-3)(3x-3), 易知当x<1时, f'(x)>0;当1<x<3时, f'(x)<0, 则此时函数f(x)在x=1处取得极大值,符合题意. 综上所述,c=-3. (2)由(1)可得f(x)=x(x-3)2, 求导得f'(x)=3(x-1)(x-3), 令f'(x)=0,解得x=1或x=3,当x变化时, f'(x), f(x)的变化情况如表, x (-∞,1) 1 (1,3) 3 (3,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)的极大值为f(1)=4,极小值为f(3)=0, 函数g(x)=f(x)+a存在三个零点,等价于函数f(x)图象与直线y=-a有三个交点. f(x)的图象 如图,   由图可得0<-a<4,即-4<a<0. 故实数a的取值范围是(-4,0). 7.(2025福建福州模拟)已知函数f(x)=x3-3x2-x+3. (1)求 f ; (2)若曲线y=f(x)+aln x在区间(3,4)上存在两条相互垂直的切线,求a的取值范围; (3)设y轴右侧有一点M,若过点M恰好能作曲线y=f(x)的3条切线,求点M的集合. 解析    (1)因为f(x)=x3-3x2-x+3, 所以f(2-x)=(2-x)3-3(2-x)2-(2-x)+3=-x3+3x2+x-3, 所以f(x)+f(2-x)=x3-3x2-x+3-x3+3x2+3-3=0, 所以f(x)的图象关于点(1,0)对称, 则f(1+x)+f(1-x)=0, 则 f =7f(1)=0. (2)y=x3-3x2-x+3+aln x, 令g(x)=x3-3x2-x+3+aln x, 则g'(x)=3x2-6x-1+ , 设这两条相互垂直的切线与曲线y=f(x)+aln x相切的切点分别为(x1,g(x1)),(x2,g(x2)), 则g'(x1)·g'(x2)=-1, 当a≥0时,g'(x)>0在区间(3,4)上恒成立,不符合题意,所以a<0, 此时g'(x)在区间(3,4)上单调递增, 则  解得a∈(-58-2 ,-58+2 ). (3)由f(x)=x3-3x2-x+3, 得f'(x)=3x2-6x-1, 则在点(t, f(t))处的切线方程为y=(3t2-6t-1)(x-t)+t3-3t2-t+3, 设过点M(u,v)(u>0)恰好能作曲线y=f(x)的3条切线, 则关于t的方程v=(3t2-6t-1)(u-t)+t3-3t2-t+3有三个不同的解, 即关于t的方程v=-2t3+(3+3u)t2-6ut+3-u有三个不同的解, 令F(t)=-2t3+(3+3u)t2-6ut+3-u, 所以等价于直线y=v与曲线y=F(t)恰有三个不同的交点, 对F(t)求导得F'(t)=-6t2+6(1+u)t-6u=-6(t-1)·(t-u), 当u>1时,F(t),F'(t)随t的变化情况如表: t (-∞,1) 1 (1,u) u (u,+∞) F'(t) - 0 + 0 - F(t) ↘ 极小值4-4u ↗ 极大值u3-3u2-u+3 ↘ 故4-4u<v<u3-3u2-u+3. 当u=1时,F'(t)=-6(t-1)2≤0,F(t)单调递减,不符合题意; 当0<u<1时,F(t),F'(t)随t的变化情况如表: t (-∞,u) u (u,1) 1 (1,+∞) F'(t) - 0 + 0 - F(t) ↘ 极小值u3-3u2-u+3 ↗ 极大值4-4u ↘ 故u3-3u2-u+3<v<4-4u. 综上所述,点M的集合为  (x,y)  或  . $