专题2.3 函数图象与零点（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

专题二　函数及其性质 2.3　函数图象与零点 数 学 新高考专用 目 录 高考真题 高考模拟 练速度 练思维 练风向 考点1 函数图象 考点2 函数零点 考点1　函数图象 高考真题 1.(2024全国甲理,7,5分,易)函数y=-x2+(ex-e-x)sin x在区间[-2.8,2.8]的图象大致为  ( )     B 目 录 解析　设f(x)=y=-x2+(ex-e-x)sin x,则f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sin x=f(x),定义域 关于原点对称,∴f(x)为偶函数,故排除A、C. 又∵sin 1>sin = ,e- >2, ∴f(1)=-1+ sin 1>-1+2× =0.故选B. 目 录 2.(2023天津,4,5分,易)函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 ( )   A.f(x)= 　    B.f(x)=  C.f(x)= 　    D.f(x)=      D     目 录 解析　由题图可知f(x)为偶函数,而选项A,B中的函数均为奇函数,所以排除A,B.又因为 选项C中, f(x)= >0恒成立,故排除C,故选D. 目 录 3.(2020天津,3,5分,易)函数y= 的图象大致为 ( )       A     解析　设f(x)=y= ,易知f(x)的定义域为R, f(-x)= =-f(x),∴函数f(x)= 是奇函 数,∴y=f(x)的图象关于原点对称,排除C、D,易知f(1)=2,排除B,故选A. 目 录 4.(2020浙江,4,4分,易)函数y=xcos x+sin x在区间[-π,π]上的图象可能是 ( )       A     解析　设f(x)=y=xcos x+sin x,定义域关于原点对称,且满足f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数, 图象关于原点对称,排除C、D;又f(π)=πcos π+sin π=-π,排除B,故选A. 目 录 5.(2022全国甲,文7,理5,5分,中)函数y=(3x-3-x)·cos x在区间 的图象大致为  ( )       A 目 录 解析　设f(x)=(3x-3-x)cos x. ∵f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),且区间 关于原点对称,∴f(x)为奇函数,故排除B,D. 又f(1)= cos 1>0,故排除C.故选A. 目 录 6.(2022全国乙文,8,5分,中)下列四个函数中的某个函数在区间[-3,3]的大致图象如图,则 该函数是 ( )   A.y= 　    B.y=  C.y= 　    D.y=      A     目 录 解析　由题图可知,当x=3时,y<0. 对于B,当x=3时,y= = >0,故排除B. 对于D,∵ <3<π,∴sin 3>0,∴当x=3时,y= >0,故排除D. 对于C,当0<x≤1时,cos x<1,x2+1≥2x, ∴0< ≤1, ∴ ≤cos x<1,由题图可知当0<x<1时,函数的最大值大于1,故排除C.故选A. 目 录 7.(2021浙江,7,4分,难)已知函数f(x)=x2+ ,g(x)=sin x,则图象为下图的函数可能是  ( )   A.y=f(x)+g(x)- 　    B.y=f(x)-g(x)-  C.y=f(x)g(x)　     D.y=      D 目 录 解析　由题图可知函数为奇函数且在 上先增后减.A选项,y=x2+sin x,B选项,y=x2- sin x均不是奇函数,故排除;C选项,y= sin x,显然f(x),g(x)均在 上单调递增,且 f(x)>0,g(x)>0,故y= sin x在 上单调递增,故排除.故选D. 目 录 8.(2020北京,15,5分,中)为满足人民对美好生活的向往,环保部门要求相关企业加强污 水治理,排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W=f(t), 用-  的大小评价在[a,b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内, 甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.   目 录 给出下列四个结论: ①在[t1,t2]这段时间内,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ②在t2时刻,甲企业的污水治理能力比乙企业强; ③在t3时刻,甲、乙两企业的污水排放都已达标; ④甲企业在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]这三段时间中,在[0,t1]的污水治理能力最强. 其中所有正确结论的序号是________. 　①②③     目 录 解析　设y=- ,由已知条件可得甲、乙两个企业在[t1,t2]这段时间内污水治理 能力强弱的数值计算式为- ,由题图易知y甲>y乙,即甲企业的污水治理能力比 乙企业强,所以①对; 由题意知在某一时刻企业污水治理能力的强弱由这一时刻的切线的斜率的绝对值表 示,所以②对; 在t3时刻,由题图可知甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下,所以③对; 由计算式- 可知,甲企业在[0,t1]这段时间内污水治理能力最弱,所以④错. 目 录 解题关键 　　正确理解题目所给的信息,并把信息翻译成数学问题是解决本题的第一个关键;理 解一段时间内企业污水治理能力的强弱的计算式,并把这个计算式与函数图象在某点 处切线的斜率联系起来是正确解决本题的第二个关键. 目 录 考点2　函数零点 1.(2024新课标Ⅱ,6,5分,中)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax.当x∈(-1,1)时,曲线y= f(x)与y=g(x)恰有一个交点.则a= ( ) A.-1　    B. 　    C.1　    D.2     D     目 录 解析　解法一:令f(x)=g(x), 则a(x+1)2-1=cos x+2ax,即a= . 显然y= 为偶函数,由偶函数图象的对称性知, 若曲线f(x)与g(x)恰有一个交点,则曲线y= 与直线y=a恰有一个交点,故此交点必 在y轴上,即x=0,此时a= =2,故选D. 解法二:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2-cos x+a-1.将曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点转化为当x∈ (-1,1)时,函数h(x)只有一个零点,由h(x)为偶函数知,h(0)=0,则a=2.故选D. 目 录 2.(2020天津,9,5分,难)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零 点,则k的取值范围是 ( ) A. ∪(2 ,+∞) B. ∪(0,2 ) C.(-∞,0)∪(0,2 ) D.(-∞,0)∪(2 ,+∞)     D     目 录 解析　令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图象 恰有4个不同交点. 当k=- 时,h(x)= = ,在同一直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象如图.   目 录 由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个不同交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点, 排除A,B; 当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象如图所示.   此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C,故选D. 目 录 3.(2021天津,9,5分,难)设a∈R,函数f(x)= 若f(x)在区间(0,+∞)内 恰有6个零点,则a的取值范围是 ( ) A. ∪ 　    B. ∪  C. ∪ 　     D. ∪      A     目 录 解析    第一步,通过换元法简化解析式. f(x)= 设t=x-a, 则f(x)=g(t)=  由题意g(t)在区间(-a,+∞)内恰有6个零点. 第二步,根据g(t)=(t-1)2+4-2a在[0,+∞)内的零点个数进行分类讨论. t≥0时,g(0)=5-2a,g(t)图象的顶点坐标为(1,4-2a), ①4-2a>0,即a<2时,g(t)=(t-1)2+4-2a无零点, 目 录 故g(t)=cos(2πt),-a<t<0有6个零点, 分别为t=- ,- ,- ,- ,- ,- , ∴- ≤-a<- ,即 <a≤ ,无解. ②4-2a=0,即a=2时,g(t)=(t-1)2+4-2a,t≥0有1个零点,故g(t)=cos(2πt),-a<t<0有5个零点,分 别为t=- ,- ,- ,- ,- , ∴- ≤-a<- ,即 <a≤ ,无解. ③ 即2<a≤ 时,g(t)=(t-1)2+4-2a,t≥0有2个零点,故g(t)=cos(2πt),-a<t<0有4个零 点,分别为t=- ,- ,- ,- , 目 录 ∴- ≤-a<- ,即 <a≤ , ∴a∈ . ④5-2a<0,即a> 时,g(t)=(t-1)2+4-2a,t≥0有1个零点,故g(t)=cos(2πt),-a<t<0有5个零点,分 别为t=- ,- ,- ,- ,- , ∴- ≤-a<- ,即 <a≤ , ∴a∈ . 综上可得,a∈ ∪ ,故选A. 目 录 4.(2022天津,15,5分,难)设a∈R,对任意实数x,用f(x)表示|x|-2,x2-ax+3a-5中的较小者.若函 数f(x)至少有3个零点,则a的取值范围为_______________.     [10,+∞)     解析　设g(x)=|x|-2,h(x)=x2-ax+3a-5, 第一步,分析h(x)的零点情况. ∵g(x)有2个零点, f(x)至少有3个零点,∴h(x)必有零点. 第二步,讨论h(x)的零点个数. 对于h(x)=x2-ax+3a-5. (1)当Δ=0时,a=2或10. ①当a=2时,h(x)=x2-2x+1,如图1. 此时, f(x)=|x|-2,有2个零点,不符合题意. 目 录 ②当a=10时,h(x)=x2-10x+25,如图2. 此时, f(x)有3个零点,符合题意.     (2)当Δ>0时,a<2或a>10. 设h(x)的两个零点为x1,x2,且x1<x2. ①当a<2时,要使f(x)至少有3个零点,h(x)的两个零点x1,x2需满足x1<x2≤-2,如图3, 目 录 ∴ 不等式组无解. ②当a>10时,要使f(x)至少有3个零点,需h(x)的两个零点x1,x2满足2≤x1<x2,如图4, ∴ 解得a>4,∴a>10.   综上,a的取值范围为[10,+∞). 图3 图4 目 录 5.(2021北京,15,5分,难)已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论: ①当k=0时, f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是________. 　①②④     目 录 解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,所以f(x)的零点个数即 函数g(x)与h(x)图象的交点个数.当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个 零点,故①正确; 当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时 h(x)与g(x)的图象有2个交点,当0<k<k0时,g(x)与h(x)的图象有3个交点,则f(x)有3个零点,故 ④正确; 当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有2个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点,如 图d,故②正确,③不正确. 目 录 综上,正确结论的序号为①②④.   图a 图b 图c 图d 目 录 1.(2025辽宁沈阳一模)函数f(x)= 的图象大致是 ( )  　       　          A     高考模拟 练速度 目 录 解析　∵f(x)的定义域为R, 又f(-x)= = =-f(x), ∴f(x)为R上的奇函数,∴其图象关于原点对称,∴排除B,C选项; 当0<x<π时,sin x>0,lg(x2+e)>0,则f(x)>0,∴排除D选项.故选A. 目 录 2.(2025福建福州质检)若函数f(x)=xa,x∈(0,+∞)的图象如图所示,则函数g(x)=logax+ loga(2-x)的图象大致为 ( )    　          A     目 录 解析　函数g(x)=logax+loga(2-x)=loga(2x-x2)=loga[-(x-1)2+1], 由2x-x2>0得0<x<2, 所以函数g(x)的定义域为(0,2). 由函数f(x)=xa,x∈(0,+∞)的图象可得0<a<1, 而0<-(x-1)2+1≤1,则g(x)≥0恒成立,所以BCD错误,A正确.故选A. 目 录 3.(2025山东潍坊一模)已知a>0且a≠1,ay与x成正比例关系,其图象如图所示,且y=logax+ 1,则a= ( )   A.1　    B.2　    C.3　    D.4     B     目 录 解析　因为ay与x成正比例关系, 所以可设ay=kx,k≠0, 由题图,知x=1时,ay=2, 故2=k·1,则k=2. 由ay=2x,变形可得y=loga(2x)=logax+loga2, 又y=logax+1,所以loga2=1,则a=2.故选B. 目 录 4.(2025吉林长春质量监测)已知{an}为正项等比数列,若lg a2,lg a2 024是函数f(x)=3x2-12x+ 9的两个零点,则a1a2 025= ( ) A.10　    B.104　    C.108　    D.1012     B     解析　由题意可得lg a2,lg a2 024为方程3x2-12x+9=0的两个根,则lg a2+lg a2 024=4,解得a2a2 024 =104, 由{an}是正项等比数列得a1a2 025=a2a2 024=104.故选B. 目 录 5.(2025辽宁省重点中学协作校期末)已知函数f(x)= 则函数y=f(f(x))的零 点个数为 ( ) A.3　    B.4　    C.5　    D.6     C     目 录 解析　令f(x)=0,得 或 解得x=-2或x=e. 函数y=f(f(x))的零点即为方程f(f(x))=0的根, 所以f(x)=-2或f(x)=e, 当x≤0时,由f(x)=x2+x-2=-2可得x=0或x=-1; 由f(x)=x2+x-2=e可得x= 或x= (舍去). 当x>0时,由f(x)=-1+ln x=-2可得x= ; 由f(x)=-1+ln x=e可得x=ee+1. 综上,函数y=f(f(x))的零点个数为5.故选C. 目 录 6.(2025湖南岳阳质量监测)若函数f(x)有唯一零点,且f(x+1)=x2-1+a(ex+e-x),则a=  ( ) A.- 　    B. 　    C. 　    D.1     C 解析　令g(x)=f(x+1),则g(x)为偶函数.因为f(x)有唯一零点,所以g(x)的零点只能是x=0.则 g(0)=-1+2a=0,解得a= .故选C. 目 录 7.(2025湖北七市(州)联合统一调研)已知f(x)是定义域为R的单调递减函数,且存在函数 g(x)使得f(g(x))=x.若x1,x2分别是方程f(x)-x=3和g(x)-x=-3的根,则x2-x1= ( ) A.3　    B.-3　    C.6　    D.-6     A     解析　因为f(g(x))=x,且g(x2)-x2=-3, 所以g(x2)-x2=g(x2)-f(g(x2))=-3,即f(g(x2))-g(x2)=3. 因为f(x)是定义域为R的单调递减函数,所以函数y=f(x)-x单调递减, 又因f(x1)-x1=3,故x1=g(x2),g(x2)-x2=x1-x2=-3, 即x2-x1=3.故选A. 目 录 8.(2025浙江杭州一模)设f(x)=ex+ln x,满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c).若函数f(x)存在零点x0, 则 ( ) A.x0<a　    B.x0>a　    C.x0<c　    D.x0>c     B     解析　函数f(x)=ex+ln x的定义域为{x|x>0},且y=ex,y=ln x均为增函数,故函数f(x)=ex+ln x 是增函数, 由于0<a<b<c,故f(a)<f(b)<f(c), 因为f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),所以f(a), f(b), f(c)中有1个是负数(一定是f(a))、两个正数 或3个负数,因为f(x)存在零点,所以x0>a.故选B. 目 录 9.(2025安徽华师联盟质检)设函数f(x)=a|x|+2|a|,g(x)=ex+e-x,若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有3 个公共点,则a=_________.     1     解析　易知f(x)与g(x)均为偶函数,若曲线y=f(x)与y=g(x)恰有3个公共点,则f(0)=g(0),所 以2|a|=2.解得a=±1.当a=-1时, f(x)=2-|x|,不符合题意;当a=1时, f(x)=|x|+2.作出f(x)=2+|x|, g(x)=ex+e-x的图象如图,符合题意.故a=1. 目 录 1.(2025广东广州二模)已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-a恰有2个零点,则实数 a的取值范围是 ( ) A.(-∞,0)　    B.(0,1]　    C.(0,4]　    D.(4,+∞)     B     练思维 目 录 解析　令g(x)=0,则f(x)-a=0,则问题转化为函数y=f(x)的图象与直线y=a恰有2个交点的 问题.当a≤0时,y=f(x)的图象与直线y=a没有交点; 当a>0时,y=x- 在(0,+∞)上单调递增,y=f(x)的图象如图,由图可知0<a≤1.故选B.   目 录 2.(2025山东师范大学附属中学一模)已知函数f(x)=(a-2)x2+bx-a+1(a,b∈R且a≠2)在区 间[1,2]上有零点,则a2+b2的最小值为 ( ) A. 　    B. 　    C.2　    D.1     D     目 录 解析    f(x)=(a-2)x2+bx-a+1在区间[1,2]上有零点, 等价于(x2-1)a+xb+1-2x2=0在[1,2]上有解, (a,b)表示坐标系aOb中,直线(x2-1)a+xb+1-2x2=0(x看成参数)上的点, 所以a2+b2表示原点到直线(x2-1)a+xb+1-2x2=0上的点的距离的平方, 设d= ,d2= =4- =4- , 由1≤x≤2,得1≤x2≤4,所以当x2=1时,d2取得最小值,为4-3=1, 所以a2+b2的最小值为1.故选D. 目 录 3.(2025安徽池州一模)已知函数f(x)= 若f2(x)-(a+2)f(x)+2a=0有4个互不相同 的根,则a的取值范围为 ( ) A.(2,3)　    B.(2,3]　    C.(3,+∞)　    D.[3,+∞)     B     目 录 解析　令t=f(x),则方程f2(x)-(a+2)f(x)+2a=0可转化为t2-(a+2)t+2a=0, 整理得(t-2)(t-a)=0,则t1=2,t2=a,所以f(x)=2或f(x)=a. 当x≤0时, f(x)=ex+2, 因为函数y=ex在(-∞,0]上单调递增, 所以f(x)=ex+2在(-∞,0]上单调递增, 且f(x)∈(2,3]. 当x>0时, f(x)=x+ , 由对勾函数的性质知: f(x)在(0,1]上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,且f(x)min=2.作出f(x) 的图象. 目 录 直线y=2与y=f(x)的图象只有一个交点, 又因为f2(x)-(a+2)f(x)+2a=0有4个互不相同的根, 所以f(x)=a有3个不同的根,即直线y=a与y=f(x)的图象有3个交点, 结合f(x)的图象可知, 当2<a≤3时,y=f(x)的图象与y=a直线有3个不同的交点,即f(x)=a有3个不同的根.   所以a的取值范围为(2,3].故选B. 目 录 4.(多选)(2025湖北鄂州一模)下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转 后得到的曲 线仍为一个函数的图象的有 ( ) A. f(x)= x　     B. f(x)=x2 C. f(x)=ln(x+1)(x≥0)　     D. f(x)=      ACD     目 录 解析　函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转,可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方 向旋转. 根据函数的定义,对于定义域内的每一个自变量x,都有唯一确定的y与之对应, 即函数图象与任意一条垂直于x轴的直线最多只有一个交点. 逆时针旋转 后得到的曲线,如果仍为一个函数的图象, 则需函数f(x)的图象与任一斜率为1的直线y=x+b(b∈R)最多只有一个交点. 对于A, f(x)= x的图象与直线y=x+b(b∈R)只有一个交点,故A正确; 对于B, f(x)=x2的图象与直线y=x有两个交点(0,0),(1,1),故B错误; 目 录 对于C, f'(x)= ,令f'(x)= =1,则x=0,又f(0)=0, 所以f(x)=ln(x+1)的图象在点(0,0)处的切线方程为y=x, f(x)=ln(x+1)(x≥0)的图象与直线y=x+b(b∈R)最多只有一个交点,故C正确; 对于D, f(x)= 的图象与直线y=x+b(b∈R)只有一个交点,故D正确. 故选ACD. 目 录 5.(多选)(2025福建厦门二模)分别用m(x),M(x)表示f(x),g(x)中的最小者和最大者,记为 m(x)=min{f(x),g(x)},M(x)=max{f(x),g(x)}.若f(x)=x+ ,g(x)=x- ,则 ( ) A.m(1)+M(-1)=0 B.函数y=m(x)-2x有2个零点 C.函数y=m(x)M(x)的图象关于y轴对称 D.关于x的方程(m(x)- )(M(x)- )=0的所有解的乘积为-1     ACD     目 录 解析　依题意, f(x)-g(x)= ,当x<0时, f(x)<g(x);当x>0时, f(x)>g(x), 则m(x)=  M(x)=  对于A,m(1)+M(-1)=0+0=0,A正确; 目 录 对于B,y=m(x)-2x= 由m(x)-2x=0,解得x=-1,只有1个零点,B错误; 对于C,y=m(x)M(x)=x2- ,x≠0,令h(x)=y=x2- ,{x|x≠0},h(-x)=(-x)2- =h(x), 则函数h(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,C正确; 对于D,由(m(x)- )(M(x)- )=0,得m(x)= 或M(x)= , 而 ≥0,则m(x)= ⇔x- = (x>0),即x2- x-1=0,该方程有且仅有一个正根x1, M(x)= ⇔x- = (x<0)或x+ = (x>0), x- = (x<0)⇔x2- x-1=0(x<0),该方程有且仅有一个负根x2,且x1x2=-1, 目 录 x+ = (x>0)⇔x2- x+1=0(x>0),该方程要么无解,要么有一解x0=1,要么有两个正根x3, x4,且x3x4=1, 所以关于x的方程(m(x)- )(M(x)- )=0的所有解的乘积为-1,D正确. 目 录 6.(多选)(2025辽宁名校联盟信息卷)已知函数f(x)= g(x)=[f(x)]2+af(x)-1, 则 ( ) A.g(x)有4个不同零点的充要条件是a<0 B.a>0是g(x)没有零点的充分不必要条件 C.g(x)有2个不同零点的充要条件是a=0 D.存在a∈R,使得g(x)有3个不同零点     AC     目 录 解析　作出函数f(x)= 的大致图象如图所示,   当f(x)=0时,g(x)=-1≠0. 当f(x)≠0时,由g(x)=[f(x)]2+af(x)-1=0,得a= -f(x), 目 录 设f(x)=t,则a= -t,易知y= -x为奇函数,且在区间(0,+∞)上单调递减,其大致图象如图所 示,   当a<0时,方程 -t-a=0有两根t1,t2,且-1<t1<0,t2>1. 当-1<t1<0时, f(x)=t1有两解x1,x2,且x1<-1,-1<x2<0;当t2>1时, f(x)=t2有两解x3,x4,且0<x3<1,x4> 1. 目 录 当a=0时,方程 -t-a=0有两根t3,t4,且t3=-1,t4=1, 当t3=-1时, f(x)=-1,这时只有x5=-1一个解;当t4=1时, f(x)=1,这时只有x6=1一个解. 当a>0时,方程 -t-a=0有两根t5,t6,且t5<-1,0<t6<1, 当t5<-1时, f(x)=t5,无解;当0<t6<1时, f(x)=t6无解. 综上,当a<0时,g(x)=[f(x)]2+af(x)-1有4个零点; 当a=0时,g(x)=[f(x)]2+af(x)-1有2个零点; 当a>0时,g(x)=[f(x)]2+af(x)-1没有零点.故选AC. 目 录 7.(2025浙江嘉兴模拟)设函数f(x)=ln x+ax(a>0),若方程f(f(x))=x在区间[2,4]上有解,则实 数a的取值范围为_____________. 解析　设f(x)=t,则f(t)=x,那么(x,t),(t,x)都在函数y=f(x)的图象上. 假设x>t,因为函数y=f(x)单调递增, 所以f(x)>f(t),即t>x,与假设矛盾; 假设t>x,因为函数y=f(x)单调递增, 所以f(t)>f(x),即x>t,与假设矛盾; 目 录 所以t=x,则f(x)=x在[2,4]上有解,即1-a= 在[2,4]上有解. 令g(x)= ,x∈[2,4], 则g'(x)= ,令g'(x)=0,解得x=e, 当x∈[2,e]时,g'(x)≥0;当x∈(e,4]时,g'(x)<0, 因此g(x)在[2,e]上单调递增,在(e,4]上单调递减, 且g(e)= ,g(2)= ,g(4)= = , 所以 ≤1-a≤ , 即1- ≤a≤1- , 所以实数a的取值范围为 1- ,1-  . 目 录 8.(2025重庆巴蜀中学二诊)已知函数f(x)= 若函数y=f(af(x))所有零点的乘积 为1,则实数a的取值范围是________________.      ∪[1,+∞)     目 录 解析　当a=0时, f(0)=2,不满足题意; 当a≠0时, 令af(x)=t,则有f(t)=0,解得t=1, 所以af(x)=1, f(x)= , 将问题转化为方程f(x)= 的根的积为1, 即函数y=f(x)的图象与直线y= 交点的横坐标的积为1, 作出f(x)的图象,如图所示, 目 录   当0< ≤1时,函数y=f(x)的图象与直线y= 有2个交点, 设交点的横坐标为x1,x2, 则有-ln x1=ln x2, 所以ln x1+ln x2=0, 目 录 即有x1x2=1,满足题意; 当1< ≤2时,函数y=f(x)的图象与直线y= 有3个交点, 易知这3个点的横坐标之积为负,不满足题意; 当 >2时,函数y=f(x)的图象与直线y= 有2个交点, 设交点的横坐标为x3,x4, 则有-ln x3=ln x4, 所以ln x3+ln x4=0, 即有x3x4=1,满足题意; 当 <0时,函数y=f(x)的图象与直线y= 没有交点,不满足题意. 目 录 综上,0< ≤1或 >2, 解得a≥1或0<a< , 所以a的取值范围为 ∪[1,+∞). 目 录 1.(2025湖南九校联盟联考)对于满足一定条件的连续函数f(x),若存在一个点x0,使得f(x0) =x0,那么我们称f(x)为“不动点”函数.若存在n个点xi(i=1,2,…,n),满足f(xi)=xi,则称f(x)为 “n型不动点”函数,则下列函数中为“3型不动点”函数的是 ( ) A. f(x)=1-ln x　    B. f(x)=5-ln x-ex C. f(x)= 　    D. f(x)=2sin x+2cos x     D     练风向 目 录 解析　对于A,令f(x)=1-ln x=x(x>0),即x+ln x-1=0. 因为y=x,y=ln x均为(0,+∞)上的增函数,所以y=x+ln x-1在区间(0,+∞)上单调递增,所以 f(x)不可能为“3型不动点”函数,故A错误; 对于B,令f(x)=5-ln x-ex=x,即x+ln x+ex-5=0. 由于y=x,y=ln x,y=ex均为(0,+∞)上的增函数,所以y=x+ln x+ex-5在区间(0,+∞)上单调递 增,所以f(x)不可能为“3型不动点”函数,故B错误; 对于C,由f(x)= ,得f'(x)= , 易知当x<0时, f'(x)<0, f(x)单调递减,x→-∞, f(x)→0且f(x)<0,所以当x<0时, f(x)= 的图 目 录 象与直线y=x有且只有一个交点; 当0<x<1时, f'(x)<0, f(x)单调递减,且f(1)= >1; 当x>1时, f'(x)>0, f(x)单调递增. 令f'(x)=1,得 =1,解得x=2,此时f(2)=2, 所以直线y=x与曲线f(x)= 相切于点(2,2). 所以直线y=x与曲线f(x)= 共有两个交点,所以f(x)为“2型不动点”函数,故C错误; 目 录   对于D, f(x)=2sin x+2cos x=2 sin ,作出f(x)的图象,如图所示.易知f(x)的图象与直 线y=x有且只有三个不同的交点, 即2sin x+2cos x=x有三个不同的解,所以f(x)=2sin x+2cos x为“3型不动点”函数,故D正 确.故选D. 目 录 2.(2025福建福州第二次质量检测)已知a∈R,动直线l与函数f(x)=x3-3x2+ax的图象交于A, B,C三点,且点A在y轴的左侧,M为线段BC的中点,则点M的横坐标的取值范围为 _____________. 目 录 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),且x1<x2<x3, 则y1= -3 +ax1,y2= -3 +ax2,y3= -3 +ax3,xM= , 因为A,B,C在直线l上, 所以 = , 即  = , 化简得 +x1x2+ -3(x2+x1)+a= +x1x3+ -3(x3+x1)+a, 目 录 即(x2-x3)(x2+x3+x1-3)=0, 因为x2≠x3,所以x1+x2+x3=3. 所以 = ,因为A在y轴的左侧,所以x1<0.所以 > , 即点M的横坐标的取值范围是 . 目 录 $