专题2.1 函数的概念和基本性质（专题突破练）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“函数及其性质”专题，覆盖单调性与最值、奇偶性、周期性和对称性三大高考核心考点，严格对接新课标评价体系。通过近五年15道高考真题统计，明确单调性与最值占40%、奇偶性占35%的高频分布，归纳出复合函数单调性、分段函数参数求解等6类常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+素养导向”的备考设计，以2023新课标Ⅰ卷第4题为例，通过导数法分析复合函数单调性，培养学生逻辑推理的数学思维。特设“易错警示”（如分段函数分界点比较）和“思路模板”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

专题二　函数及其性质 2.1　函数的概念和基本性质 数 学 新高考专用 目 录 高考真题 高考模拟 练速度 练思维 练风向 考点1 函数的单调性与最值 考点2 函数的奇偶性 考点3 函数的周期性和对称性 考点1　函数的单调性与最值 高考真题 1.(2021全国甲文,4,5分,易)下列函数中是增函数的为     ( ) A. f(x)=-x　    B. f(x)=  C. f(x)=x2　    D. f(x)=      D     目 录 解析　对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知, f(x)是减函数,故A不符合题意; 对于f(x)= ,由指数函数的性质可知, f(x)是减函数,故B不符合题意; 对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C 不符合题意; 对于f(x)= = ,由幂函数的性质可知, f(x)在(-∞,+∞)上单调递增, 故选D. 目 录 2.(2023新课标Ⅰ,4,5分,易)设函数f(x)=2 x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是  ( ) A.(-∞,-2]　    B.[-2,0) C.(0,2]　    D.[2,+∞)     D     解析    f(x)=2x(x-a)= ,由复合函数的单调性知函数y= - 在(0,1)上单调递减, (同增异减)所以 ≥1,解得a≥2,即a的取值范围是[2,+∞),故选D. 目 录 3.(2020新高考Ⅱ,7,5分,中)已知函数f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)单调递增,则a的取值范围 是 ( ) A.(-∞,-1]　    B.(-∞,2]　     C.[2,+∞)　     D.[5,+∞)     D     解析　∵f(x)=lg(x2-4x-5)在(a,+∞)上单调递增,∴a2-4a-5≥0(保证真数大于0,注意区间 端点a取不到),且a≥2,解得a≥5.故a的取值范围为[5,+∞). 目 录 4.(2024新课标Ⅰ,6,5分,中)已知函数f(x)= 在R上单调递增,则a的取值 范围是 ( ) A.(-∞,0]　    B.[-1,0]　    C.[-1,1]　    D.[0,+∞)     B     解析　当x≥0时,函数f(x)显然是增函数;当x<0时,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R 上单调递增,所以 则-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0].故选B. 目 录 易错警示 　　该题容易只考虑当x≥0时,函数f(x)是增函数,及当x<0时,函数f(x)是增函数,从而得 到a≤0,而忽视了函数分界点处的函数值大小. 目 录 5.(2023全国甲文,11,5分,中)已知函数f(x)= .记a=f ,b=f ,c=f ,则  ( ) A.b>c>a　    B.b>a>c C.c>b>a　    D.c>a>b     A 目 录 解析　∵f(x)= 是由y=eu和u=-(x-1)2两个函数复合而成的, ∴f(x)在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 又知f(2-x)= = = =f(x), ∴f(x)的图象关于直线x=1对称, ∴f = f , 又∵ <2- < <1, ∴f <f <f ,即a<c<b,故选A. 目 录 6.(2020新高考Ⅰ,8,5分,中)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足 xf(x-1)≥0的x的取值范围是 ( ) A.[-1,1]∪[3,+∞)　    B.[-3,-1]∪[0,1] C.[-1,0]∪[1,+∞)　    D.[-1,0]∪[1,3]     D     目 录 解析　解法一:∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又 ∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减, 且过(-1,0)和(3,0), f(x-1)的大致图象如图:   当-1≤x≤0时, f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0(难点:确定分 目 录 类讨论的边界值). 综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D. 解法二(特值法):当x=3时,3f(3-1)=3f(2)=0,符合题意,排除选项B;当x=4时,4f(4-1)=4f(3)< 0,不符合题意,排除选项A,C.故选D. 目 录 7.(2024新课标Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,则a2+b2的最小值为  ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.1 C     解析    f(x)≥0⇔x+a≥0与ln(x+b)≥0的解集相同,① 或x+a≤0与ln(x+b)≤0的解集相同.② 由①得,x≥-a与x≥1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a, 由②得,-b<x≤-a与-b<x≤1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a, 综上所述,b=1+a. ∴a2+b2=a2+(1+a)2=2 + ≥ ,故选C. 目 录 思路点拨 　　两个各自仅有一个变号零点的函数,若乘积恒大于或等于0,则两个函数的零点一 定相等. 目 录 8.(2024新课标Ⅰ,8,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时, f(x) =x,则下列结论中一定正确的是 ( ) A. f(10)>100　    B. f(20)>1 000　     C. f(10)<1 000　    D. f(20)<10 000     B     目 录 解析　当x<3时, f(x)=x,因此, f(1)=1, f(2)=2, 又f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3, f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5,……,以此类推知f(10)>89,……, f(16)>1 597,……, f(20)>10 946,因 此B正确,D错误; 取f(3)=1 000,可知选项C错误; 不妨设f(x)=f(x-1)+f(x-2)+λ(λ>0),则f(3)=f(2)+f(1)+λ=3+λ, f(4)=f(3)+f(2)+λ=5+2λ,……, f(10)=89+54λ,令f(10)<100,得89+54λ<100,∴λ< ,因此当λ< 时, f(10)<100,选项A错误. 故选B. 目 录 考点2　函数的奇偶性 1.(2023全国乙,文5,理4,5分,中)已知f(x)= 是偶函数,则a= ( ) A.-2　    B.-1　    C.1　    D.2     D     解析    f(x)= 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 由f(x)为偶函数知f(x)=f(-x), 即 = ,即 =- , 化简得e2x=eax,所以a=2. 目 录 小题速解 　　∵f(x)= 是偶函数,y=x是奇函数,∴y= = 是奇函数,所以a=2. 目 录 2.(2023新课标Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则a= ( ) A.-1　    B.0　    C. 　    D.1     B     解析　解法一:∵f(x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln  =-(a+1)ln 3, f(-1)=(a-1)ln 3, ∴-(a+1)=a-1,∴a=0. 解法二:f(-x)=(-x+a)ln  =(-x+a)ln  =(x-a)ln  , ∵f(x)为偶函数, ∴f(x)=f(-x),∴x+a=x-a,即a=0. 目 录 小题速解 　　∵f(x)是偶函数,y=ln 是奇函数,∴y=x+a是奇函数,则a=0. 目 录 3.(2021全国乙理,4,5分,中)设函数f(x)= ,则下列函数中为奇函数的是 ( ) A.f(x-1)-1　     B.f(x-1)+1　     C.f(x+1)-1　    D.f(x+1)+1     B     解析    f(x)=-1+ ,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单 位,再沿y轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1 是奇函数,故选B. 目 录 4.(2020课标Ⅱ理,9,5分,中)设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|,则f(x) ( ) A.是偶函数,且在 单调递增 B.是奇函数,且在 单调递减 C.是偶函数,且在 单调递增 D.是奇函数,且在 单调递减     D     目 录 解析　函数f(x)的定义域为 ,关于原点对称,又∵f(-x)=ln|-2x+1|-ln|-2x-1|=ln|2x- 1|-ln|2x+1|=-f(x),∴f(x)是奇函数,排除A、C;当x∈ 时, f(x)=ln(2x+1)-ln(1-2x),则 f'(x)= - = >0,∴f(x)在 上单调递增,排除B;当x∈ 时, f(x)= ln(-2x-1)-ln(1-2x),则f'(x)= - = <0,∴f(x)在 上单调递减,∴D正确. 目 录 5.(多选)(2025全国二卷,10,6分,中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时, f(x)=(x2-3)· ex+2,则 ( ) A. f(0)=0　     B.当x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2 C. f(x)≥2当且仅当x≥ 　     D.x=-1是f(x)的极大值点     ABD     目 录 解析　由f(x)是定义在R上的奇函数得f(0)=0,故A正确; 令x<0,则-x>0, f(-x)=(x2-3)e-x+2, 又f(-x)=-f(x), 所以f(x)=-(x2-3)e-x-2, 则x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2,故B正确. f(-1)=2(e-1)>2,故C错误. 当x<0时, f(x)=-(x2-3)e-x-2, 求导得f '(x)= = , 目 录 当x∈(-∞,-1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增, 当x∈(-1,0)时, f '(x)<0, f(x)单调递减, ∴x=-1是f(x)的极大值点,故D正确. 故选ABD. 目 录 6.(2023全国甲,文14,理13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sin 为偶函数,则a=_________.     2     解析　解法一:由题意知f(x)的定义域为R, ∵f(x)=(x-1)2+ax+sin =x2+(a-2)x+cos x+1, ∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cos x+1. ∵f(x)为偶函数,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cos x+1=x2-(a-2)x+cos x+1,即(a-2)x=-(a-2)x, ∴a-2=0,∴a=2. 解法二:由题意知f(x)的定义域为R.∵函数f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos 1 =a+cos 1,∴a=2. 目 录 7.(2021新高考Ⅰ,13,5分,易)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=_________.     1     解析　∵f(x)=x3(a·2x-2-x)(x∈R)为偶函数, ∴f(1)=f(-1), ∴2a- =- ,∴a=1. 当a=1时, f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数. 目 录 小题速解 　　∵f(x)为偶函数,y=x3是奇函数,∴y=a·2x-2-x是奇函数,则a=1. 目 录 8.(2022全国乙文,16,5分,中)若f(x)=ln +b是奇函数,则a=_______,b=____________. 　-          ln 2     解析　解法一:∵f(x)是奇函数, ∴f(x)的定义域关于原点对称. 由已知得x≠1,∴x≠-1,即当x=-1时, =0, ∴a+ =0,∴a=- , 此时f(x)=ln +b, ∵f(x)为奇函数且在x=0处有意义, ∴f(0)=0,即ln +b=ln +b=0, 目 录 ∴b=-ln =ln 2. 综上可知,a=- ,b=ln 2. 解法二:若a=0,则f(x)的定义域为{x|x≠1},不关于原点对称,∴a≠0. 若函数f(x)=ln +b有意义, 则x≠1且a+ ≠0,∴x≠1且x≠1+ . ∵函数f(x)为奇函数,定义域关于原点对称, ∴1+ =-1,解得a=- ,由f(0)=0得,ln +b=0,∴b=ln 2. 目 录 解后反思 　　函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件.对于在x=0处有定义的奇 函数f(x),可考虑利用f(0)=0求解. 目 录 9.(2021新高考Ⅱ,14,5分,中)写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x): ___________________________. ①f(x1x2)=f(x1)f(x2);②当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0;③f'(x)是奇函数.     f(x)=x4(x∈R)(答案不唯一)     解析　因为f(x1x2)=f(x1)f(x2),所以f(x)是幂函数;当x∈(0,+∞)时, f'(x)>0,所以函数f(x)在(0, +∞)上是增函数;因为f'(x)是奇函数,所以f(x)是偶函数.因此函数f(x)可以是f(x)=x4(x∈R). 故答案为f(x)=x4(答案不唯一). 目 录 知识拓展 　　常见的抽象函数模型 1.一次函数y=kx+b(k≠0)型,特征式为f(x+y)=f(x)+f(y)-b. 2.指数函数y=ax(a>0且a≠1)型,特征式为f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)= . 3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)型,特征式为f(xy)=f(x)+f(y). 4.幂函数y=xa型,特征式为f(xy)=f(x)f(y). 目 录 考点3　函数的周期性和对称性 1.(2025全国一卷,5,5分,易)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数,当2≤x≤3时, f(x) =5-2x,则f = ( ) A.- 　    B.- 　    C. 　    D.      A     解析　由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数得, f =f =f =f , 又当2≤x≤3时, f(x)=5-2x, 则f =f =5-2× =- .故选A. 目 录 2.(2021全国甲文,12,5分,中)设f(x)是定义域为R的奇函数,且f(1+x)=f(-x).若f = ,则 f =     ( ) A.- 　    B.- 　    C. 　    D.      C     解析　由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)= -f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期为2,则f =f =f = ,故选C. 目 录 3.(2021新高考Ⅱ,8,5分,中)设函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)为偶函数, f(2x+1)为奇函数, 则 ( ) A.f =0　    B.f(-1)=0 C.f(2)=0　     D.f(4)=0     B     目 录 解析　因为函数f(x+2)为偶函数, 所以f(x+2)=f(-x+2), 即函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, 又因为函数f(2x+1)为奇函数, 所以f(-2x+1)=-f(2x+1), 令t=2x,则f(-t+1)=-f(t+1), 故函数y=f(x)的图象关于点(1,0)对称, 又因为函数f(2x+1)为奇函数,且f(x)的定义域为R,所以f(2×0+1)=0,即f(1)=0, 所以f(-1)=-f(3)=-f(1)=0,其他三个选项无法得出结果. 目 录 4.(2021全国甲理,12,5分,难)设函数f(x)的定义域为R, f(x+1)为奇函数, f(x+2)为偶函数, 当x∈[1,2]时, f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则f = ( ) A.- 　    B.- 　    C. 　    D.      D     目 录 解析　由题意知  即  从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), 所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+(-f(1))=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.① 又f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.② 由①②得  从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2]. 所以f =f =-f =- = .故选D. 目 录 5.(2022新高考Ⅱ,8,5分,难)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1,则  f(k)= ( ) A.-3　    B.-2　    C.0　    D.1     A     目 录 解析　解法一:令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,用x+1代替x得f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①+② 得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以用x+1代替x得f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)= f(x),所以函数f(x)的周期为6. 令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2, 令x=1,y=1,得f(2)=-1; 令x=2,y=1,得f(3)=-2; 令x=3,y=1,得f(4)=-1; 令x=4,y=1,得f(5)=1; 目 录 令x=5,y=1,得f(6)=2. 故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0, 所以 f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故选A. 解法二:因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y), f(1)=1, 所以令x=1,y=0,可得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2. 令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数. 同解法一可得f(x)的周期为6, f(x+2)+f(x)=f(x+1), 所以f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1, f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2, f(4)=f(-2)=f(2)=-1, f(5)=f(-1)=f(1)=1, f(6)=f(0)=2,所以f(1)+f(2)+…+f(6)=0. 所以 f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故选A. 目 录 6.(2022全国乙理,12,5分,难)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4) =7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则 f(k)= ( ) A.-21　    B.-22　    C.-23　    D.-24     D     解析　由y=g(x)的图象关于直线x=2对称,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7, 得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,则f(x+2)+f(x)=-2 ④,所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函数f(x)是以4为周期的周期函数. 对于④,分别令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2, f(2)+f(4)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4. 对于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7, 则g(1)-f(1)=7⑤,对于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑥,由⑤⑥,得f(1)=-1. 目 录 对于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5, 又g(2)=4,所以f(0)=1. 对于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2,所以f(2)=-3. 则 =5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D. 目 录 7.(多选)(2023新课标Ⅰ,11,5分,中)已知函数f(x)的定义域为R, f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则  ( ) A.f(0)=0　     B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数　     D.x=0为f(x)的极小值点 ABC     目 录 解析　令x=y=0,则f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正确. 令x=y=1,则f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正确. 令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0, 令y=-1,则f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)是偶函数,故C正确. 取特殊函数f(x)=0,满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此时x=0不是f(x)的极小值点,故D错误,故选 ABC. 目 录 8.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分,难)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)= f'(x).若f ,g(2+x)均为偶函数,则 ( ) A. f(0)=0　     B.g =0 C. f(-1)=f(4)　    D.g(-1)=g(2)     BC     目 录 解析　解法一:由f ,g(2+x)均为偶函数,得f =f ,g(2+x)=g(2-x), 故f =f ,两边同时求导得-f' =f' ,即-g =g , 所以g(x)的图象关于直线x=2对称,且关于点 中心对称,从而可得g(x)的周期为T=4×  =2, 由-g =g 可得-g =g ,即g =0, 所以g =g =g =0,故B正确. 目 录 g(-1)=g(-1+2)=g(1)=g =-g =-g(2),故D不正确. 由导函数与原函数的关系知函数f(x)的周期为2, f(x)的图象关于直线x= 对称,关于点 (2,m)对称,若m=0,则f(0)=f(2)=0,若m≠0,则f(0)=f(2)≠0,故A不正确. 由f(x)的图象关于直线x= 对称,得f(-1)=f =f =f(4),故C正确. 解法二:构造函数法. 令f(x)=1-sin(πx),则f =1+cos(2πx),g(x)=f'(x)=-πcos(πx), g(x+2)=-πcos(2π+πx)=-πcos(πx), 满足题设条件,代值验证选项可得只有BC正确. 目 录 1.(2025浙江慈溪期末)已知函数f(x+1)-1是奇函数,则f(0)+f(2)= ( ) A.2　    B.1　    C.-1　    D.-2     A     高考模拟 练速度 解析　由函数f(x+1)-1是奇函数,(若y=f(x+a)为奇函数,则f(-x+a)=-f(x+a))得f(-x+1)-1= -[f(x+1)-1],整理得f(-x+1)+f(x+1)=2, 令x=1,得f(0)+f(2)=2.故选A. 目 录 2.(2025湖南长沙长郡中学月考八)若函数f(x)=ln|ex-1|+mx为偶函数,则实数m= ( ) A.1　    B. 　    C.-1　    D.-      D     解析　解法一:由f(x)是偶函数得f(-x)=f(x), 即ln|e-x-1|-mx=ln|ex-1|+mx, ln|e-x-1|-ln|ex-1|-2mx=0,-x-2mx=0,即-(2m+1)x=0,则m=- . 解法二:由函数f(x)=ln|ex-1|+mx为偶函数,可得f(-1)=f(1),即ln|e-1-1|-m=ln|e-1|+m,解得m= - ,经检验,符合题意. 目 录 3.(2025浙江杭州二模)设函数y=f(x)-x2是奇函数.若函数g(x)=f(x)+5, f(4)=9,则g(-4)=  ( ) A.27　    B.28　    C.29　    D.30     B     解析　由函数y=f(x)-x2是奇函数,得[f(4)-42]+[f(-4)-(-4)2]=0, 又f(4)=9,所以f(-4)=23,则g(-4)=f(-4)+5=28.故选B. 目 录 4.(2025湖北十一校联考)函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=log3(2x+1),则 f(-4)的值为 ( ) A.-2　    B.- 　    C. 　    D.2     A     解析　当x>0时, f(x)=log3(2x+1), 则f(4)=log39=2,因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(-4)=-f(4)=-2.故选A. 目 录 5.(2025辽宁名校联盟调研)已知函数f(x)= 则不等式f(x)≤1的解集为  ( ) A.[0,2]　    B.[0,1]　    C.(-∞,2]　    D.(-∞,1]     C     解析　由题意可知当x≤0时,0<2x≤1,故f(x)=1-2x<1; 当x>0时,令f(x)=log3(x+1)≤1,即0<x+1≤3,解得-1<x≤2,所以0<x≤2. 综上,不等式f(x)≤1的解集为(-∞,2]. 故选C. 目 录 6.(2025山东聊城期末)设函数f(x)=log3(x2-ax+3)在区间(0,1)上单调递减,则a的最大值为  ( ) A.3　    B.4　    C.5　    D.6     B     解析　令t=x2-ax+3,易知t在 上单调递减,在 上单调递增. 因为y=log3t为增函数,所以根据复合函数的单调性得 ≥1,且1-a+3≥0(注意区间端点取 不到),解得2≤a≤4,故a的最大值为4.故选B. 目 录 7.(2025江苏南通调研)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x),且f(x)在[-2,2]上单调递 增.设a=f ,b=f ,c=f(-13),则 ( ) A.a<b<c　    B.c<b<a　    C.b<a<c　    D.b<c<a     D     目 录 解析　由定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4-x), 可得f(4+x)=f(-x)=-f(x), 所以f(8+x)=f(x),即函数f(x)是周期为8的周期函数,(也可根据双对称求周期) 则c=f(-13)=f(-5)=f(3)=f(1), 又因为b=f =f , f(x)在[-2,2]上单调递增, 所以f <f(1)<f ,即b<c<a. 故选D. 目 录 8.(2025重庆康德二诊)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=f(x-2).若f(1)=2,则 f(k) = ( ) A.-2　    B.0　    C.2　    D.4     C     解析　由f(x+2)=f(x-2)得f(x)=f(x+4),所以f(x)是周期为4的函数,由f(x)是定义在R上的奇 函数,得f(x)=-f(-x), f(0)=0.由f(2)=f(-2)=-f(2)得f(2)=0, f(-1)=-f(1)=-2,则f(3)=f(-1)=-2, f(4) =f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,则 f(k)=2[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=2. 目 录 9.(2025湖北武汉二调)函数f(x)满足: f(x+1)=f(x)+f(x+2),若f(1)=2, f(11)=3,则f(2 025)=  ( ) A.1　    B.-1　    C.5　    D.-5     D     解析　由题意得f(x+2)=f(x+1)-f(x), 用x+1代替x得f(x+3)=f(x+2)-f(x+1), 两式相加得f(x+3)=-f(x). 所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函数f(x)是以6为周期的周期函数. 所以f(11)=f(5)=3.又f(5)=-f(2),所以f(2)=-3. 所以f(3)=f(2)-f(1)=-3-2=-5.所以f(2 025)=f(337×6+3)=f(3)=-5.故选D. 目 录 10.(2025湖北新八校协作体联考)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意x∈R,满足f(x+1)- f(x-1)=x, f(1)=f(2)=1,则下列结论一定正确的是 ( ) A. f(100)<2 500　    B. f(100)>2 500 C. f(101)<2 500　    D. f(101)>2 500     D     目 录 解析　因为f(x+1)-f(x-1)=x, 所以f(2x)-f(2x-2)=2x-1, f(2x-2)-f(2x-4)=2x-3,……, f(4)-f(2)=3, 由累加法可得f(2x)-f(2)=(2x-1)+(2x-3)+…+5+3, 所以f(2x)=1+3+5+…+(2x-1)=x2, 故f(100)=502=2 500,故A、B中结论错误, 由f(x+1)-f(x-1)=x得, f(2x+1)-f(2x-1)=2x, f(2x-1)-f(2x-3)=2x-2,……, f(3)-f(1)=2, 由累加法得f(2x+1)-f(1)=2+4+…+2x-2+2x, 所以f(2x+1)=x2+x+1,故f(101)=2 551>2 500,所以C中结论错误,D中结论正确,故选D. 目 录 11.(2025湖南长沙雅礼中学月考八)写出一个同时具有下列性质①②的函数f(x)= __________________________________________________________. ①f(x1x2)=f(x1)+f(x2);②f(x)在区间(0,+∞)上是增函数.     log2x(答案不唯一,形如f(x)=klogax(k>0时,a>1;k<0时,0<a<1)都可以)     解析　由f(x)满足f(x1x2)=f(x1)+f(x2)得, f(x)可以为对数函数,即f(x)=logax,又由f(x)在区间 (0,+∞)上是增函数,得a>1,如f(x)=log2x. 故答案为log2x(答案不唯一). 目 录 12.(2025浙江绍兴二模)已知偶函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy,则f(x)的值 域为______________.     [0,+∞)     解析　令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0), 所以f(0)=0, 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)-2x2, 又函数f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x), 所以0=2f(x)-2x2,即f(x)=x2, 则f(x)的值域为[0,+∞). 目 录 13.(2025山东青岛调研)函数f(x)= (a>0且a≠1)的图象关于点(m,n)对称,则m+n= _________. 解析　函数f(x)= 的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),函数f(x)在(-∞,1),(1,+∞)上有相同的 单调性, f(2-x)= = = = =1- =1-f(x), 即f(2-x)+f(x)=1,函数f(x)的图象关于点 对称, 又函数f(x)的图象关于点(m,n)对称,则m=1,n= ,所以m+n= . 目 录 1.(2025东北三省四市联考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-2)f(x)的图 象关于点(2,0)中心对称,若g(-1)=3,则f(3)= ( ) A.-3　    B.-1　    C.0　    D.1     B     练思维 解析　由函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称可知, g(2-x)=-g(2+x),即(2-x-2)f(2-x)=-(2+x-2)f(2+x),得f(2-x)=f(2+x), 因此函数f(x)图象的对称轴为直线x=2, 由g(-1)=(-1-2)f(-1)=3,可得f(-1)=-1, 由f(x)为R上的偶函数且其图象的对称轴为直线x=2,得f(3)=f(1)=f(-1)=-1.故选B. 目 录 2.(2025高考综合改革适应性演练)已知函数f(x)=x|x-a|-2a2,若当x>2时, f(x)>0,则a的取值 范围是     ( ) A.(-∞,1]　    B.[-2,1]　    C.[-1,2]　    D.[-1,+∞)     B     目 录 解析　当a>2,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=  当2<x<a时,令f(x)=-x2+ax-2a2=0,此时Δ=a2-4×2a2=-7a2<0, 所以f(x)<0,不满足当x>2时, f(x)>0,故a>2不符合题意; 当0<a≤2,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>2a, 由于x>2时, f(x)>0,故2a≤2,解得0<a≤1; 当a=0,x>2时, f(x)=x2>0恒成立,符合题意; 当a<0,x>2时, f(x)=x|x-a|-2a2=x2-ax-2a2=(x-2a)(x+a)>0,解得x>-a, 由于x>2时, f(x)>0,故-a≤2,解得-2≤a<0.综上,a的取值范围是[-2,1].故选B. 目 录 3.(2025浙江嘉兴模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(1)=1, f(x)=f(3-x), f(x)+f(x+3)= f(2 025),则 f(k)= ( ) A.-1　    B.0　    C.1　    D.2     D     解析　因为f(x)+f(x+3)=f(2 025), 所以f(x+3)+f(x+6)=f(2 025), 所以f(x+6)=f(x),所以f(x)的周期为6, 又f(1)=1, f(x)=f(3-x),所以f(2)=f(1)=1, 因为f(2 025)=f(6×337+3)=f(3), 所以f(0)+f(3)=f(2 025)=f(3), 目 录 所以f(0)=0,所以f(3)=f(0)=0, 所以f(1)+f(4)=f(2 025)=f(3)=0, 所以f(4)=-f(1)=-1, 又f(2)+f(5)=f(2 025)=f(3)=0, 所以f(5)=-f(2)=-1, 又f(6)=f(0)=0, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1+1+0-1-1+0=0, 所以 f(k)=337[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)]+f(1)+f(2)+f(3) =337×0+1+1+0=2.故选D. 目 录 4.(2025湘豫名校联考二模)已知函数f(x)= 则满足f(5-a)<f(a+1) 的实数a的取值范围为 ( ) A.(1,+∞)　    B.(2,+∞) C.(3,+∞)　    D.(4,+∞)     B     解析　令g(x)=xln(x2+3),则g(2-x)=(2-x)ln[(2-x)2+3]=(2-x)ln(7-4x+x2),从而g(x)=g(2-x),所以 f(x)的图象关于直线x=1对称.又g(x)=xln(x2+3)在[1,+∞)上单调递增,所以由f(5-a)<f(a+1), 得|5-a-1|<|a+1-1|,等价于(4-a)2<a2,解得a>2,即实数a的取值范围是(2,+∞).故选B. 目 录 5.(2025山东烟台、东营一模)已知定义在R上的函数f(x)满足: f(x+4)+f(x)=0, f(x+2)为奇 函数,且f(1)=1,若 kf(2k-1)≤-20,则正整数n的最小值为 ( ) A.17　    B.19　    C.21　    D.23     B     目 录 解析　由f(x+4)+f(x)=0⇒f(x)=-f(x+4),则f(x+4)=-f(x+8), 所以f(x)=f(x+8), 即f(x)是周期为8的函数, 由f(x+2)为奇函数,得f(-x+2)=-f(x+2), 则f(-x)=-f(x+4), 所以f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数, 则f(-1)=f(1)=1. f(3)=f(5)=-1, f(7)=1,结合周期性, 对于k∈N*, f(2k-1)依次为1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,…, 目 录 所以f(2k-1)4个一循环,则f(1)+2f(3)+3f(5)+4f(7)=1-2-3+4=0, 5f(9)+6f(11)+7f(13)+8f(15)=5-6-7+8=0, …… 13f(25)+14f(27)+15f(29)+16f(31)=13-14-15+16=0, 17f(33)+18f(35)+19f(37)+20f(39)=17-18-19+20=0,……. 综上,易知n<19时, kf(2k-1)>-20,n=19时, kf(2k-1)=-20. 所以正整数n的最小值为19.故选B. 目 录 6.(多选)(2025安徽江南十校联考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(0)=2, f(3-x)+f(x)=1, 设f(x)在R上的导函数为g(x),则 ( ) A.g(2 025)=0　     B.g =  C.g(x+6)=g(x)　    D. f(n)=1 011     ACD     目 录 解析　由题意得f(-x)=f(x), 所以-f'(-x)=f'(x),即-g(-x)=g(x), 所以g(x)是奇函数,故g(0)=0. 由f(3-x)+f(x)=1得函数f(x)的图象关于点 对称, f(-x)+f(x+3)=1, 所以f(x)+f(x+3)=1, 故f(x+3)=f(3-x)=f(x-3), 所以f(x+6)=f(x), 即函数f(x)是周期为6的函数, 目 录 所以g(x)也是周期为6的函数, 即g(x+6)=g(x), 对f(3-x)+f(x)=1求导得-f'(3-x)+f'(x)=0, 即g(x)=g(3-x), 所以g(3)=g(0)=0. 对于A,g(2 025)=g(6×337+3)=g(3)=0,故A正确; 对于B,由函数f(x)的图象关于点 对称得g =0,故B错误; 对于C,由上面分析知g(x)是周期为6的函数, 即g(x+6)=g(x),C正确; 目 录 对于D,由f(-x)+f(x+3)=1得f(1)+f(2)=1,且f(0)+f(3)=1,则f(3)=-1,又f(-1)+f(4)=1, 所以f(4)=1-f(1), 又f(-2)+f(5)=1,所以f(5)=1-f(2), 所以f(5)+f(4)=1-f(2)+1-f(1)=2-1=1,又f(6)=f(0)=2, 所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=1-1+1+2=3, 所以 f(n)=337×3+f(1)+f(2)+f(3)=1 011,故D正确.故选ACD. 目 录 7.(多选)(2025东北三省三校联考)已知函数f(x)的定义域为R, f(x+y)-f(x-y)=f f , f(0)≠0,则下列说法正确的是 ( ) A. f(1)=2　     B. f(0)=-2　     C. f =2　    D. f(x)是偶函数     ABD     目 录 解析　令x=y=0,可得f(0)-f(0)=f ·f ,解得f =0,故C错误; 令x=0,y∈R,得f(y)-f(-y)=f f =0,则f(y)=f(-y),即f(x)=f(-x),由偶函数的定义知, f(x) 是偶函数,故D正确; 令x=- ,y=- ,得f(-1)-f(0)=f(0)·f(0), 由f(x)是偶函数,得f(1)-f(0)=f(0)·f(0)①, 令x= ,y=- ,得f(0)-f(1)=f(1)·f(0)②, ①+②得0=f(0)[f(0)+f(1)], 又f(0)≠0,则f(1)=-f(0),代入①可得f(0)=-2, f(1)=2,故A、B正确.故选ABD. 目 录 8.(多选)(2025湖南长沙长郡中学、浙江杭州二中、江苏南京师大附中三校联考)已知 定义在[1,+∞)上的函数f(x)=  则下列结论正确的是 ( ) A. f(4)=0　     B. f(5)=2 C. f(100)>100　     D.函数f(x)的值域为[0,+∞)     ABD     目 录 解析　对于A,根据题意,得f(4)=2f(2)=2× =0,故A正确; 对于B,根据题意,得f(5)=2f =4f =4× =2,故B正确; 对于C,根据题意,得f(100)=2f(50)=4f(25)=8f =16f =32f =64f =64×  =56<100,故C错误; 对于D,由于当x∈[1,2]时,函数f(x)=1-2 , 满足f(3-x)=1-2 =1-2 =1-2 =f(x), 目 录 所以f(x)=1-2 的图象关于直线x= 对称, 当1≤x≤2时,- ≤x- ≤ , 所以0≤ ≤ ,0≤1-2 ≤1,即f(x)∈[0,1]; 当2<x≤4时,1< ≤2,故f ∈[0,1],f(x)=2f ∈[0,2]; 当4<x≤8时,由于1< ≤2,所以此时f(x)=4f ∈[0,4]; 当8<x≤16时,由于1< ≤2,所以此时f(x)=8f ∈[0,8], 以此类推,作出函数f(x)的部分图象,如图所示,根据定义域为[1,+∞),可得函数f(x)的值域 目 录 为[0,+∞),故D正确.故选ABD.   目 录 9.(2025山东齐鲁名校联考)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,其中f(x)是奇函数,g(x)是 偶函数,且f(x)+g(x)=ax2-x-2,若对任意1<x1<x2<6,都有 >-2,则实数a的取值范围 是_________. 目 录 解析　∵f(x)+g(x)=ax2-x-2,∴f(-x)+g(-x)=ax2+x-2, ∵f(x),g(x)分别是定义域为R的奇函数,偶函数,∴-f(x)+g(x)=ax2+x-2, 则g(x)=ax2-2,由题意可得g(x2)+2x2>g(x1)+2x1, 令h(x)=g(x)+2x=ax2+2x-2,则h(x)在(1,6)上单调递增. 若a>0,则h(x)图象的对称轴为直线x=- <0,开口向上,符合题意; 若a<0,则h(x)图象的对称轴为直线x=- >0,开口向下,需满足- ≥6,即- ≤a<0; 若a=0,则h(x)=2x-2在(1,6)上单调递增,符合题意. 综上,a≥- . 目 录 10.(2025高考综合改革适应性演练)已知曲线C:y=x3- ,两条直线l1、l2均过坐标原点O,l1 和C交于M、N两点,l2和C交于P、Q两点,若△OPM的面积为 ,则△MNQ的面积为 ________.     2 解析    y=x3- 的定义域为{x|x≠0}. 令f(x)=y=x3- ,因为f(-x)=(-x)3- =-x3+ =-f(x),且f(x)的定义域关于原点对称, 所以f(x)为奇函数,曲线C关于原点对称, 当x>0时,函数y=x3- 单调递增, 曲线C如图所示, 目 录   两条直线l1、l2均过坐标原点O,所以M、N两点关于原点对称,P、Q两点关于原点对称, 根据对称性,不妨设M,N,P,Q位置如图,可知|OP|=|OQ|,|OM|=|ON|,∠POM=∠QON, 所以△OPM≌△OQN, 所以S△OQN=S△OPM= , 又△OQM和△OQN等底等高,所以S△OQM= ,所以S△MNQ=2 . 目 录 方法点睛 　　利用曲线对称性:充分利用曲线关于原点对称的性质,确定点的对称关系,这是解决 本题的基础.通过对称关系,能够推导出相关线段和三角形之间的关系,为后续的面积计 算提供依据. 目 录 1.(多选)(2025山东青岛第一次适应性考试)已知狄利克雷函数D(x)= 设函数f(x) =D(x)·sin πx,则 ( ) A. f(x)是奇函数 B. f(x)是周期函数 C. f(x)的值域是[-1,1] D. f(x)在区间[-1,1]上的有理数零点恰有3个     ABD     练风向 目 录 解析    D(x)的定义域为R,当x为有理数时,-x是有理数,则D(-x)=D(x)=1, 当x为无理数时,-x是无理数,则D(-x)=D(x)=0,故D(x)为偶函数, 故f(-x)=sin(-πx)·D(-x)=-sin πx·D(x)=-f(x), f(x)是奇函数,故A正确; 对于任意的整数2k,k∈Z,当x为有理数时,x+2k也是有理数,则D(x+2k)=D(x)=1, 当x为无理数时,x+2k也是无理数,则D(x+2k)=D(x)=0, f(x+2k)=D(x+2k)·sin[π(x+2k)]=D(x)·sin πx=f(x),即函数f(x)是周期函数,故B正确; 函数D(x)的值域为{0,1},当x为无理数时, f(x)=0, 当x为有理数时, f(x)=sin πx,πx不能取到一个周期内的所有实数,所以f(x)=sin πx的值域 目 录 不是[-1,1],故C错误; 令f(x)=D(x)·sin πx=0,当x为有理数时, f(x)=sin πx,得出在区间[-1,1]上的零点有3个,为-1, 0,1,故D正确. 故选ABD. 目 录 2.(多选)(2025高考综合改革适应性演练)在人工神经网络中,单个神经元输入与输出的 函数关系可以称为激励函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数sinh x=  ,双曲余弦函数cosh x= ,双曲正切函数tanh x= .则 ( ) A.双曲正弦函数是增函数 B.双曲余弦函数是增函数 C.双曲正切函数是增函数 D.tanh(x+y)=      ACD     目 录 解析　对于A,令f(x)=sinh x= ,则f '(x)= >0恒成立,故双曲正弦函数是增函 数,故A正确; 对于B,令g(x)=cosh x= , 则g'(x)= , 由对A的分析知,g'(x)为增函数, 又g'(0)= =0, 故当x∈(-∞,0)时,g'(x)<0, 目 录 当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0, 故g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故B错误; 对于C,tanh x= = = = =1- ,由y=e2x+1在R上单调递增,且y=e2x +1>1,得tanh x=1- 是增函数,故C正确; 对于D,由C知tanh x= , 则tanh(x+y)= , 目 录  = =  =  =  = , 故tanh(x+y)= ,故D正确. 故选ACD. 目 录 $