培优14 空间几何体中的探索性问题（专题讲解课）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦空间几何体中的探索性问题，依据高考评价体系梳理线面垂直证明、二面角计算、点线面位置关系判断等核心考点。通过高考真题及模拟题分析，明确此类问题在立体几何中的高频考查权重，归纳出存在判断型、位置探究型等常考题型，体现备考的针对性。 课件亮点在于高考真题实战训练与应试策略指导，如以高考真题为例，示范空间直角坐标系建立、法向量求解等方法，培养学生用数学思维进行逻辑推理，用数学语言（向量运算）表达空间关系。通过“假设存在列方程”等策略突破探索性问题，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导学生冲刺高考。

培优14　空间几何体中的探索性问题 数 学 新高考专用 例1    (高考真题精选)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA =AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点,点F在PC上,且 = . (1)求证:CD⊥平面PAD; (2)求二面角F-AE-P的余弦值; (3)设点G在PB上,且 = ,判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由. 解析    (1)证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为AD⊥CD, PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD. (2)过A作AD的垂线交BC于点M.因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如图建立 空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),   则 =(0,1,1), =(2,2,-2), =(0,0,2). 所以 =  = , = + = . 设平面AEF的法向量为n=(x,y,z), 则 即  令z=1,则y=-1,x=-1. 于是n=(-1,-1,1). 又因为平面PAD的一个法向量为p=(1,0,0), 所以cos<n,p>= =- . 由题知,二面角F-AE-P为锐角,所以其余弦值为 . (3)直线AG在平面AEF内. 因为点G在PB上,且 = , =(2,-1,-2), 所以 =  = , = + = . 由(2)知,平面AEF的一个法向量为n=(-1,-1,1),所以 ·n=- + + =0. 所以直线AG在平面AEF内. 例2    (2025广东华附、省实、广雅、深中四校联考)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB= AC=AA1,M,N分别为BC和BB1的中点,P为棱A1C1上的动点,F为棱AB上一点,且A1,P,M,F四 点共面,AN⊥A1C1. (1)证明:平面ANP⊥平面A1PMF. (2)设 =λ ,是否存在实数λ,使得平面AA1B1B与平面PMN所成的角的余弦值为 ? 若存在,求出实数λ;若不存在,请说明理由.   解析    (1)证明:因为AC∥A1C1,AC⊄平面A1PMF,A1C1⊂平面A1PMF, 所以AC∥平面A1PMF. 因为AC⊂平面ABC,平面ABC∩平面A1PMF=MF, 所以AC∥MF. 因为M为BC的中点,所以F为AB的中点. 因为AB=A1A,BN=AF,∠ABN=∠A1AF, 所以△ABN≌△A1AF. 所以∠ANB=∠A1FA. 因为∠ANB+∠BAN= , 所以∠A1FA+∠BAN= ,故AN⊥A1F. 因为AN⊥A1C1,A1C1∩A1F=A1,A1C1,A1F⊂平面A1PMF,所以AN⊥平面A1PMF. 因为AN⊂平面ANP, 所以平面ANP⊥平面A1PMF. (2)因为三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱, 所以AA1⊥平面A1B1C1,因为A1C1⊂平面A1B1C1, 所以A1C1⊥A1A. 因为A1C1⊥AN,AN∩A1A=A,AN,A1A⊂平面ABB1A1,所以A1C1⊥平面ABB1A1. 因为A1B1⊂平面ABB1A1, 所以A1C1⊥A1B1,故AB⊥AC. 又因为AA1⊥平面ABC,所以以A为原点, , , 的方向分别为x,y,z轴正方向,建立如 图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0).   设AB=AC=AA1=2a,a>0,则B(0,2a,0),C(2a,0,0),A1(0,0,2a),B1(0,2a,2a),C1(2a,0,2a),M(a,a,0), N(0,2a,a),则 =(-a,a,a). 根据题意有0≤λ≤1,P(2aλ,0,2a), 则 =(2aλ,-2a,a), 设平面PMN的法向量为n1=(x,y,z), 则 即  令x=3,从而n1=(3,2λ+1,2-2λ). 显然,平面AA1B1B的法向量可取n2=(1,0,0). 则平面AA1B1B与平面PMN所成的角的余弦值为|cos<n1,n2>|= =  = , 故 = , 即16λ2-8λ+1=0, 解得λ= , 所以存在λ= ,使得平面AA1B1B与平面PMN所成的角的余弦值为 . 归纳总结　立体几何中探索性问题的求解策略 　　先建立空间直角坐标系,引入参数(有些是题中已给出),设出关键点的坐标,然后探 究这样的点是否存在,或参数是否满足要求,从而作出判断. 1.对于存在判断型问题的求解,应先假设存在,把要成立的结论当作条件,据此列方程或 方程组,把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围内的解”问 题. 2.对于位置探究型问题,通常借助向量,引进参数,综合已知和结论列出等式,解出参数, 进而确定位置. $