培优13 空间几何体中的动态问题（专题讲解课）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦空间几何体中的动态问题，覆盖动点轨迹、翻折、动点综合三大核心考点，对接高考评价体系，通过考情分析明确轨迹判断（40%）、翻折证明（35%）等高频题型，构建“题型解析+方法归纳”的备考体系。 课件亮点在于“真题情境+素养导向”训练，如2025河北沧州联考翻折题，运用几何法结合空间直角坐标系，培养数学眼光与逻辑推理素养，归纳轨迹问题“建系求方程”、翻折问题“抓不变量”等突破方法，助力学生掌握动态问题通法，教师可据此精准开展专题复习。

培优13　空间几何体中的动态问题 数 学 新高考专用 目 录 类型1 动点轨迹问题 类型2 翻折问题 类型3 与动点相关的综合问题 类型1　动点轨迹问题 例1　在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面 ABCD,M为底面ABCD内的一个动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为  ( )    　     　     　          A     目 录 解析　以D为原点,DA,DC所在直线分别为x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,   设M(x,y,0),正方形边长为a, 则P ,C(0,a,0),则MC= , MP= . 由MP=MC得x=2y,所以M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y= x(0≤x≤a). 目 录 例2    (2024江苏盐城中学检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD 为正方形,PA=AB=2,点E,F分别为CD,CP的中点,点T为△PAB内的一个动点(包括边界), 若CT∥平面AEF,则点T的轨迹的长度为_________.   目 录 解析　取AB的中点G,连接CG, 因为四边形ABCD为正方形,E为CD的中点, 所以AG∥CE,且AG=CE, 所以四边形AGCE为平行四边形,所以CG∥AE, 又CG⊄平面AEF,AE⊂平面AEF,所以CG∥平面AEF, 连接GT并延长交PB于点H,连接CH, 因为CT∥平面AEF,CT,CG是平面CHG内的相交直线, 所以平面CHG∥平面AEF, 所以线段GH即为点T的轨迹. 目 录 由题意知AB,AD,AP两两垂直,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直 角坐标系,如图, 则A(0,0,0),E(1,2,0),F(1,1,1),C(2,2,0),P(0,0,2),B(2,0,0), 所以 =(2,0,-2), =(-2,-2,2), =(1,2,0), =(1,1,1), 设 =λ ,λ∈[0,1],则 = + = +λ =(-2,-2,2)+λ(2,0,-2)=(2λ-2,-2,2-2λ),设平面 AEF的法向量为n=(x,y,z), 则 则  令y=1,得n=(-2,1,1), 因为 ⊥n,所以-2(2λ-2)-2+2-2λ=0, 目 录 解得λ= ,则 = , 又 = =(1,2,0), 所以 = + =(1,2,0)+ = , 所以| |= = , 即点T的轨迹的长度为 . 目 录 归纳总结     　　动点轨迹问题通常有轨迹形状判断和求轨迹的长度(最值)两种题型,解决此类问 题的关键是求动点的轨迹,求动点轨迹一般有两种思路,一是根据线面位置关系和空间 几何体的结构特征能直观判断动点的轨迹(如:动点P满足PA⊥PB,点A和点B为定点,则 点P的轨迹是以AB为直径的圆;或者判断动点P的轨迹是否满足圆锥曲线的定义);二是 建立空间直角坐标系,根据题干条件设出动点的坐标,利用线面位置关系或题干条件得 出动点坐标的方程,对比圆锥曲线方程特点判断动点的轨迹;对于轨迹最值问题,通常是 要求最值的量用动点的某个坐标表示(注意坐标的取值范围),通过函数或基本不等式 求最值,有时也可以根据空间几何体的结构特征和题干条件直观判断何时取最值,判断 后直接求解即可. 目 录 类型2　翻折问题 例1    (多选)(2025河北沧州名校联考)如图,把长方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二 面角D-AC-B,若AB=3,BC=4,则折纸后 ( )   A.四面体ABCD外接球的表面积为25π B.四面体ABCD的体积为  C.异面直线AB与CD所成角为90°     AB     D.直线DA与平面ABC所成角的余弦值为  目 录 解析　长方形中,AB=3,BC=4,则AC=5,设AC的中点为O,折起后的图形如图所示,   连接BO,DO,则OA=OB=OC=OD= .故O为四面体ABCD外接球的球心,半径BO= ,则外 接球的表面积为4π =25π.故A正确. △DAC中,过点D作DH⊥AC于H,连接BH,则DH⊥平面ABC,且DH= ,又△ABC的面积 目 录 为6,则四面体ABCD的体积为 ×6× = ,故B正确. 若异面直线AB与CD所成角为90°,则CD⊥AB,又CD⊥AD,AB∩AD=A,则CD⊥平面ABD, 又BD⊂平面ABD,则CD⊥DB,又由DC=3,BC=4,DB= = ,得CD2+DB2≠ BC2,与CD⊥DB矛盾,故C错误. 因为二面角D-AC-B为直二面角,所以直线AC为直线AD在平面ABC内的射影. 则直线DA与平面ABC所成角为∠DAC,其余弦值为 = = ,故D错误.故选 AB. 目 录 例2    (2025山西运城期末)如图,在△ABC中,O是BC的中点,AB=AC,AO=2OC=2.将△ BAO沿AO折起,使B点移至图中B'点位置. (1)求证:AO⊥平面B'OC; (2)当三棱锥B'-AOC的体积取最大值时,求二面角A-B'C-O的余弦值.   目 录 解析    (1)证明:∵AB=AC且O是BC的中点, ∴AO⊥BC,即AO⊥OB',AO⊥OC, 又∵OB'∩OC=O,OB'⊂平面B'OC,OC⊂平面B'OC,∴AO⊥平面B'OC. (2)解法一在平面B'OC内,作B'D⊥OC于点D,则由(1)可知B'D⊥OA,又OC∩OA=O,OA, OC⊂平面AOC,∴B'D⊥平面AOC, 即B'D是三棱锥B'-AOC的高, 又B'D≤B'O,∴当D与O重合时,三棱锥B'-AOC的体积最大,此时B'O⊥平面AOC, 过O作OH⊥B'C于点H,连接AH,如图, 目 录   由(1)知AO⊥平面B'OC,又B'C⊂平面B'OC, ∴B'C⊥AO, ∵AO∩OH=O,AO,OH⊂平面AOH, ∴B'C⊥平面AOH,∵AH⊂平面AOH,∴B'C⊥AH, ∴∠AHO即为二面角A-B'C-O的平面角. 在Rt△AOH中,AO=2,B'O=OC=1, 目 录 ∴B'C= ,OH= , ∴AH= = , ∴cos∠AHO= = , 故二面角A-B'C-O的余弦值为 . 解法二(向量法)在平面B'OC内,作B'D⊥OC于点D,则由(1)可知B'D⊥OA, 又OC∩OA=O,OA,OC⊂平面AOC,∴B'D⊥平面AOC,即B'D是三棱锥B'-AOC的高, 又B'D≤B'O, ∴当D与O重合时,三棱锥B'-AOC的体积最大,此时B'O⊥平面AOC. 目 录 以O为原点,OA,OC,OB'所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,   则A(2,0,0),C(0,1,0),O(0,0,0),B'(0,0,1), 则 =(-2,1,0), =(0,1,-1), =(2,0,0), 设平面AB'C的法向量为n=(x,y,z), 则  目 录 令z=1,则x= ,y=1,则n= . 易知 =(2,0,0)是平面OB'C的一个法向量, 则cos<n, >= = , 故二面角A-B'C-O的余弦值为 . 目 录 归纳总结　立体几何中的翻折问题的处理策略 1.明确翻折前后变与不变的量,翻折前后在同一面内的量不发生变化,翻折前后不在同 一面内的量发生变化. 2.翻折后变化的量的大小要进行推理计算证明,不能从图形中凭感觉主观判断. 3.翻折后不易计算的量,可以回归到翻折前的图形中计算. 目 录 类型3　与动点相关的综合问题 例1    (2025湖北部分市州期末)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3,平面ABCD内一动点 Q满足QA=2QB,当三棱锥Q-DD1A的体积取最大值时,该三棱锥外接球的表面积为  ( ) A.24π　    B.27π　    C.54π　    D.56π C     目 录 解析　在平面ABCD内,以D为原点,建立如图1所示的平面直角坐标系, 根据题意可得A(3,0),B(3,3),设Q(x,y),  　      由QA=2QB可知,  =2 , 目 录 整理得(x-3)2+(y-4)2=4, 所以点Q的轨迹是平面ABCD内,以(3,4)为圆心,2为半径的圆,如图2所示. 点Q到平面DD1A的最大值为6,此时点Q在AB的延长线上,且BQ=3, 所以QA⊥平面DD1A,QA=6,等腰直角三角形D1DA的外接圆的半径为r= , 所以三棱锥Q-DD1A的外接球的半径R= = = , 所以三棱锥外接球的表面积S=4πR2=54π. 故选C. 目 录 例2    (2025湖南永州期末)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M,N分别在线段 AB1,BC1上,且AM=λAB1,C1N=μC1B. (1)若λ=μ= ,证明:DD1⊥MN; (2)若λμ= ,点P,Q分别在直线DD1,MN上,且PQ⊥DD1,PQ⊥MN,求PQ的取值范围.   目 录 解析    (1)证明:连接B1C,AC,则N是B1C的中点,又M是AB1的中点,所以MN∥AC. 因为D1D⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD, 所以D1D⊥AC, 所以D1D⊥MN. (2)以点D为原点, , , 的方向为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(1,0,0), B1(1,1,1),C1(0,1,1),B(1,1,0),D1(0,0,1), 目 录   则 =(0,0,1), =(0,1,1), =(1,0,-1), 所以 =(0,λ,λ), =(μ,0,-μ), 所以M(1,λ,λ),N(μ,1,1-μ), 所以 =(μ-1,1-λ,1-μ-λ). 设直线PQ的方向向量为n=(x,y,z), 目 录 则由 得n=(1-λ,1-μ,0), 又 =(1,λ,λ), 所以PQ= =  = = = . 由 得 ≤λ≤1, 目 录 易知y=λ+ -1在 上单调递减,在 上单调递增, 所以y∈ ,所以PQ∈ . 目 录 归纳总结     　　与动点相关的综合问题命题角度较广,通常涉及线面位置关系的判断,或求线段长 度、平面图形面积、几何体体积的最值、范围等问题,此类问题一般采用建系法处理, 根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系,将比较复杂的立体几何问题转化为 相对简单的代数运算问题,设动点坐标时,要注意坐标的取值范围. 目 录 $