培优11 三余弦定理（专题讲解课）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦立体几何中空间角计算的核心考点，依据高考评价体系明确线面角、异面直线所成角等高频考点的考查要求，通过三余弦定理的系统梳理与证明，结合三棱柱等典型几何体模型，归纳高考常考题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“定理应用+多解法对比”的实战训练，以三棱柱异面直线所成角例题为载体，通过三余弦定理法、几何法、向量法的解析，培养学生的空间观念和数学思维，帮助掌握简化计算的答题技巧，提升得分率。同时为教师提供系统的考点突破方法，助力学生高考冲刺和高效复习教学。

培优11　三余弦定理 数 学 新高考专用 　　三余弦定理:如图,设AO是平面α的一条斜线段,O是斜足,B为A在平面α内的射影,OC为平面α内的任一直线,则cos∠AOC=cos∠AOB·cos∠BOC.   三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值,又称最小角定理.(平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角) 证明:如图所示,作BD⊥OC于点D,连接AD.因为OB为OA在平面α内的投影,所以AB⊥平面α,因为OD⊂平面α,所以AB⊥OD.又BD⊥OD,BD∩AB=B,BD,AB⊂平面ABD,所以OD⊥平面 ABD,因为AD⊂平面ABD,所以OD⊥AD,所以cos∠AOC= = · =cos∠AOB·cos∠BOC.  例　已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面边长都相等,A1在底面ABC上的射影为BC的 中点,则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.      D     解析    解法一(三余弦定理)如图1,取BC的中点O,连接AO,A1O,由三棱柱的性质可知, CC1∥AA1,则∠A1AB或其补角即为异面直线AB与CC1所成的角.由三余弦定理可得 cos∠A1AB=cos∠A1AO·cos∠OAB. 设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a, 易知cos∠OAB= ,AO= a, 由题意知A1O⊥平面ABC,则cos∠A1AO= = ,所以cos∠A1AB= × = .故选D.  　      解法二(几何法)如图2,取BC的中点O,连接AO,A1O,A1B.由三棱柱的性质可知,CC1∥AA1, 则∠A1AB或其补角即为异面直线AB与CC1所成的角. 设三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2a,易知OB=a,OA= a,由题意知A1O⊥平面ABC, 则OA1= =a,A1B= = a. 在△A1AB中,由余弦定理的推论可得cos∠A1AB= = .故选D. 解法三(向量法)取BC的中点O,连接AO,A1O,则由题意知A1O⊥平面ABC,AO⊥BC,以点O 为原点,分别以AO,OC,OA1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图3,设三棱 柱的棱长为2a,则A(- a,0,0),B(0,-a,0),A1(0,0,a),又AA1∥CC1, 所以|cos< , >|=|cos< , >|= = = = .   $