培优8 爪型三角形问题（专题讲解课）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

该高中数学高考复习课件聚焦“爪型三角形问题”，覆盖三角形中线及相关问题、角平分线问题两大高考核心考点，依据高考评价体系梳理正弦定理、余弦定理、向量法等关键考查要求，通过分析近5年考点权重明确中线长计算、角平分线定理应用为高频题型，结合2024浙江、江苏等地质检真题，构建针对性复习框架。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养落地”，如以2024江苏徐州质监题为例，用角平分线定理结合余弦定理推导线段长度，培养学生数学思维（逻辑推理）与数学语言表达（符号运算）能力。归纳中线向量表达式、角平分线面积法等解题模板，帮助学生掌握“向量平方简化计算”“互补角余弦关系突破”等技巧，教师可据此精准定位学情，助力学生高效冲刺高考。

培优8　爪型三角形问题 数 学 新高考专用 目 录 类型1 三角形中线及相关问题 类型2 角平分线问题 类型1　三角形中线及相关问题 角度1　中线问题 例1　在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,m=(sin A,sin B-sin C),n=(c+b,b-a)且 m∥n. (1)求角C的大小; (2)若△ABC为锐角三角形,AB的中点为D且c=1,求CD的取值范围. 目 录 思路导引     (1)m∥n→(b-a)sin A-(c+b)(sin B-sin C)=0 a2+b2-c2=ab C的大小 (2)  目 录 解析    (1)因为m∥n, 所以(b-a)sin A-(c+b)(sin B-sin C)=0, 由正弦定理可得a(b-a)-(c+b)(b-c)=0, 即a2+b2-c2=ab. 由余弦定理的推论得cos C= = , 又C∈(0,π),所以C= . (2)由(1)及正弦定理得 = = = = ,所以a= sin A,b= sin B, 目 录 其中A+B= ,B∈ .(△ABC是锐角三角形) 解法一(向量法)因为 = ( + )⇒ = ( + +2 · )= (a2+b2+ab), 所以CD2=   sin2A+ sin2B+ sin Asin B  =   + +sin Asin B  = [1-cos(A+B)cos(A-B)+sin Asin B] (注意cos(A+B)=-cos∠ACB) =  1+ (cos Acos B+sin Asin B)+sin Asin B  目 录 =  1+ cos Acos B+ sin Asin B  =  1+ cos cos B+ sin sin B  =   +sin2B+ sin Bcos B  =   + sin 2B- cos 2B  =  , 又因为B∈ , 所以2B- ∈ , 目 录 所以 <sin ≤1. 所以 <CD2≤ ⇒ <CD≤ . 所以CD的取值范围为 . 解法二(余弦定理)因为cos∠ADC=-cos∠BDC, 所以 =- , 化简得CD2= - , 又由(1)知a2+b2-c2=ab, 目 录 所以CD2= + = sin Asin B+ = sin(B+C)·sin B+ = (sin Bcos C+cos Bsin C)sin B+ =  (sin2B+ sin Bcos B)+ =   + sin 2B + =  , 又因为B∈ , 所以2B- ∈ , 所以 <sin ≤1. 所以 <CD2≤ ⇒ <CD≤ . 所以CD的取值范围为 . 目 录 角度2    中线问题拓展(一边所分线段成比例) 例2    (2024浙江杭州教学质量检测)已知在△ABC中,sin2A-sin2B=sin2C- sin Bsin C, 2cos B=sin C. (1)判断△ABC的形状,并说明理由; (2)若点D在AB边上,且BD=2AD,CD=2,求△ACD的面积. 目 录 思路导引     (2)  目 录 解析    (1)△ABC是直角三角形,理由:设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由sin2A-sin2B= sin2C- sin Bsin C及正弦定理得a2-b2=c2- bc, 即 bc=c2+b2-a2, 则cos A= = = , 又A∈(0,π),故A= , 由2cos B=sin C,得2cos B=sin(B+A)=sin = sin B+ cos B, 化简得sin B= cos B,故tan B= , 目 录 又B∈(0,π),故B= , 则C=π-B-A= , 故△ABC为直角三角形. (2)由(1)知,B= ,A= ,△ABC为直角三角形. 解法一(向量法)因为点D在AB边上,且BD=2AD,所以 =  +  , 所以 = =  +  +  · = b2+ a2=4, 由 = ,得b= a,所以a2= , 目 录 所以S△ACD= S△ABC= × ab= × a2= . 解法二(余弦定理)设AB=2x(x>0),则AC= x,BC=x,AD= AB= . 在△ACD中,由余弦定理可得CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos A, 即4= +( x)2-2× · x· ,解得x2= ,故S△ACD= AD·AC·sin A= × · x· = x2=  × = .   目 录 归纳总结     一、中线问题 1.中线长定理:在△ABC中,AD是边BC上的中线,则AB2+AC2=2(BD2+AD2).   推导过程:在△ABD中,cos B= , 在△ABC中,cos B= , 目 录 联立两个方程可得:AB2+AC2=2(BD2+AD2). 2.向量表示: = ( + +2| || |·cos∠BAC). 推导过程:易知 = ( + ), 则 = ( + )2=  +  + | |·| |cos∠BAC, 所以 = ( + +2| || |cos∠BAC). 二、一边所分线段成比例问题的解题策略 1.利用平面向量:在△ABC中,D为AC边上一点,若 = ,则| |= . 2.利用余弦定理:在△ABC中,D为AC边上一点,则有 目 录 ①cos∠BDA=-cos∠BDC, ②cos C= ,cos C= . 目 录 例    (2024江苏徐州质监)已知△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c=2bcos A-a. (1)求角B; (2)若BD是∠ABC的平分线,AD=4 ,CD=2 ,求线段BD的长. 类型2　角平分线问题 目 录 思路导引    (1)2c=2bcos A-a 2sin C=2sin Bcos A-sin A 得 cos B→得B的大小 (2)   目 录 解析    (1)由2c=2bcos A-a及正弦定理可得2sin C=2sin Bcos A-sin A. 因为A+B+C=π,所以C=π-(A+B), 所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B, 则2(sin Acos B+cos Asin B)=2sin Bcos A-sin A.整理得2sin Acos B=-sin A. 因为A∈(0,π),所以sin A≠0,故cos B=- . 又因为B∈(0,π),所以B= . (2)因为BD是∠ABC的平分线, 所以根据角平分线定理可得 = , 目 录 又AD=4 ,CD=2 ,所以 = =2. 设BC=x(x>0),则AB=2x. 在△ABC中,根据余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,又AC=AD+DC=6 , ∠ABC= , 则(6 )2=(2x)2+x2-2×2x·x· , 即252=4x2+x2+2x2=7x2,解得x=6, 所以BC=6,AB=12. 解法一(面积公式)如图,S△ABC=S△ABD+S△BCD,所以 acsin  = c·BD·sin  + a·BD·sin  , 目 录 解得BD= = =4. 解法二(余弦定理)如图,cos∠ADB=-cos∠BDC, 所以 =- , 即 =- , 解得BD=4.故BD的长为4.   目 录 归纳总结     　　如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠BAC,B,C所对的边分别为a,b,c.   1.角平分线定理:AD为△ABC的内角∠BAC的平分线,则 = . 2.因为S△ABD+S△ACD=S△ABC, 所以 c·ADsin + b·ADsin = bcsin∠BAC, 目 录 所以(b+c)AD=2bccos , 整理得AD= (角平分线长公式). 目 录 $