培优3 不等式中的切线放缩（专题讲解课）-【第一梯队】2026年高考数学二轮专题突破教用课件

培优3　不等式中的切线放缩 数 学 新高考专用 目 录 类型1 指对直接放缩 类型2 指对同构放缩 　　当要证明的不等式中既含有ex,又含有ln x时,一般称之为指对共生式,这类问题直 接构造差函数进行研究可能会较为困难,突破这一困难一般采用指对放缩技巧.   　　放缩的原理实际就是利用曲线在某一点处的切线总是在曲线的下方或上方,这样 就可以化曲为直,从而简化问题. 目 录 在不等式“改造”或证明的过程中,有时借助与ex,ln x有关的常用不等式进行适当的放 缩,再进行证明,会取得意想不到的效果.常见的几种不等式放缩形式及证明如下.        (1)ex≥x+1. 证明:设f(x)=ex-x-1,∴f'(x)=ex-1, f'(x)单调递增, 目 录 当x=0时, f'(0)=0,∴f(x)在(-∞,0)上单调递减,在[0,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(0)=1-0-1= 0,∴f(x)≥0,∴ex≥x+1. (2)ln x≤x-1. 证明:由(1)得ex≥x+1,∴ex-1≥x,两边同时取对数得x-1≥ln x. (3)ex≥ex. 证明:由(2)得ex-1≥x,∴e·ex-1≥ex,∴ex≥ex. (4)ln x≤ . 证明:设f(x)= -ln x,∴f'(x)= - ,易知f'(x)在(0,+∞)上单调递增, 当x=e时, f'(e)=0,∴f(x)在(0,e)上单调递减,在[e,+∞)上单调递增,∴f(x)min=f(e)=1-1=0, 目 录 ∴f(x)≥0,∴ln x≤ . 注意:主观题中应用这些结论时需要证明. 指对函数切线不等式的推广   目 录 类型1　指对直接放缩 例1　已知函数f(x)=aex-1-ln x-1. (1)若a=1,求曲线f(x)在(1, f(1))处的切线方程; (2)证明:当a≥1时, f(x)≥0. 解析    (1)当a=1时, f(x)=ex-1-ln x-1(x>0),则f '(x)=ex-1- ,则f '(1)=0, 又f(1)=0,∴切线方程为y-0=0(x-1),即y=0. (2)证明:要证f(x)≥0, 即证aex-1-ln x-1≥0. ∵aex-1≥ex-1, ∴只需证ex-1-ln x-1≥0,(不等式中既有ex,又有ln x,可分别放缩) 目 录  ex≥x+1和ln x≤x-1不能直接用,需要有证明过程 由ex≥x+1⇒ex-1≥x(当且仅当x=1时取“=”), 由x-1≥ln x⇒x≥ln x+1(当且仅当x=1时取“=”), ∴ex-1≥x≥ln x+1,即ex-1≥ln x+1, 即ex-1-ln x-1≥0(当且仅当x=1时取“=”),即f(x)≥0. 目 录 例2　已知函数f(x)=xln x-ax. (1)当a=-1时,求函数f(x)在(0,+∞)上的最值; (2)证明:对一切x∈(0,+∞),都有ln x+1≥ - 成立. 思路导引    (2)  目 录 解析    (1)函数f(x)=xln x-ax的定义域为(0,+∞),当a=-1时, f(x)=xln x+x, f'(x)=ln x+2, 由f'(x)=0,得x= , 当0<x< 时, f'(x)<0;当x> 时, f'(x)>0, 所以f(x)在 上单调递减,在 上单调递增, 因此f(x)在x= 处取得最小值,即f(x)min=f =- ,无最大值. (2)证明:当x>0时,ln x+1≥ - , 等价于x(ln x+1)≥ - , 目 录 由(1)知,当a=-1时, f(x)=xln x+x≥- ,当且仅当x= 时取等号, 所以要证x(ln x+1)≥ - ,即证- ≥ - , 即证 ≥ ,即证 ≤1,即证ex≤ex. 设G(x)=ex-ex,x∈(0,+∞), 则G'(x)=e-ex,令G'(x)=0,得x=1, 易知G(x)max=G(1)=0,故G(x)≤0, 从而可知对一切x∈(0,+∞), 都有ln x+1≥ - . 目 录 类型2　指对同构放缩 例　不等式x-3ex-aln x≥x+1(e是自然对数的底数),对任意x∈(1,+∞)恒成立,则a的取值 范围是( ) A.(-∞,1-e]　    B.(-∞,2-e2] C.(-∞,-4]　    D.(-∞,-3]     D     思路导引       目 录 解析　因为不等式x-3ex-aln x≥x+1对任意x∈(1,+∞)恒成立,所以不等式a≤  对任意x∈(1,+∞)恒成立,而ex≥x+1(当且仅当x=0时取等号),于是x-3ex= =e-3ln x+x≥ -3ln x+x+1,当且仅当-3ln x+x=0时取等号,因此 ≥-3,当且仅当-3ln x+x=0时取等 号. 构造函数f(x)=x-3ln x,则f'(x)= ,当x∈(0,3)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当x∈(3,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,又f(1)=1>0, f(3)=3-3ln 3<0,所以存在x0∈(1,3),使得f(x0)=0,从而  的最小值为-3,因此a∈(-∞,-3].故选D. 目 录 解题关键     　　本题的关键步骤为根据指对恒等变换得到f(x)·eg(x)=eln f(x)+g(x)≥ln f(x)+g(x)+1,当且仅 当ln f(x)+g(x)=0时取等号,一定要验证取等条件ln f(x)+g(x)=0是否成立. 目 录 $