第5章 函数的概念与性质（知识清单）数学苏教版2019必修第一册

第5章 函数的概念与性质 清单01 函数的概念及其表示 设A，B是两个 非空 的 实数 集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的 任意 一个数x，在集合B中都有 唯一 确定的数y和它 对应 ，那么称这样的对应f：A→B为从集合A到集合B的一个 函数 ，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的 定义域 ；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 值域 。值域是集合B的子集 函数的三要素：定义域、对应关系、值域 清单02 相等函数与分段函数 1、相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 2、分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数．分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以相交． 清单03 函数的表示方法 （1）列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。 （2）解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式。 （3）图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 清单04 函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2）配凑法，整体替换法：适用于、、等类型． （3）换元法：如，等类型． （4）待定系数法：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5）解方程组法给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组 清单05 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 增函数 ， 也称f(x)是区间I上 单调递增 ，如图1。 （2）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 减函数 ， 也称f(x)是区间I上 单调递减 ，如图2。 图1 图2 注意：①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值；②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定。 2、函数的单调区间 如果函数在区间上是 增函数 或 减函数 ，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 注意：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、定义法证明函数单调性的步骤 ①取值：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2.。 ②作差变形：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。 ③定号：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论。 ④判断：根据定义域做出结论。 4、与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 5、复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相同，则y＝f[g(x)]为增函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性相反，则y＝f[g(x)]为减函数．简称“同增异减”． 清单06函数的奇偶性 1、一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数． 2、一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数． 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 （1）偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． （2）利用定义判断函数奇偶性的步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 4、奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 5、偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． 易错点1 抽象函数的定义域理解不到位导致出错 错误：求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 注意：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 例题1-1已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，解得， 所以的定义域为. 故选：C. 例题1-2已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为， 所以，可得， 令，解得． 所以函数的定义域为． 故选：C. 易错点2 定义域和对应关系（法则）判断不到位 错误：判断两个函数是否表示同一个函数时对函数定义域和对应关系（法则）化简不完整 例题2-1下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】B 【详解】对于①，函数的定义域为，函数的定义域为， 其定义域不同，所以不是同一函数，故错误； 对于②，函数，两个函数定义域都是，对应法则也一样，是同一函数，故正确； 对于③，函数， 两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数，故正确； 对于④，函数的定义域为，函数定义域为， 两个函数定义域不一样，不是同一函数，故错误.故选：B. 例题2-2（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】根据同一函数的定义分别判断即可. 【详解】两个函数在定义域及对应关系相同时是同一个函数， 对于A，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即A选项两函数不同； 对于B，显然与的定义域相同，对应关系也相同，即B选项两函数相同； 对于C，显然的定义域为，与的定义域为，定义域不同，即C选项两函数不同； 对于D，显然，即的定义域为， 而，即或，即的定义域为，两函数的定义域不同，即D选项两函数不同； 故选：ACD. 易错点3 用换元法求函数值域或解析式时忽略定义域导致出错 错误：忽略函数换元后新元的范围导致最后计算出错 注意：函数问题一定要注意定义域优先原则 例题3-1函数的值域是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域为：， 设，所以有， 因为，所以函数的最小值为：，即， 所以函数的值域是，故选：A 例题3-2若函数，则 ． 【答案】 【详解】令，则，， ∴函数的解析式为．故答案为：． 易错点4 忽略单调区间不能用∪来连接导致出错 错误：求解单调区间时结果用∪来连接导致出错 注意：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接 例题4-1已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【分析】根据绝对值的符号分类讨论，利用二次函数的单调性判断即可. 【详解】当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为； 当时，， 函数图像对称轴方程为，开口向下，此时的单调递增区间为. 综上，的单调递增区间为，. 故答案为：， 例题4-2函数，单调递减区间为 ． 【答案】和 【分析】化简函数的解析式为，利用反比例函数的单调性可得结果. 【详解】因为，所以，函数的单调递减区间为和. 故答案为：和. 易错点5 利用函数单调性来解不等式时忽略函数定义域导致出错 错误：在利用函数单调性求取值范围时忽略原函数本身的定义域导致出错 注意：在用函数单调性解不等式时要注意分类讨论的方法和定义域优先原则的应用 例题5-1已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 例题5-2已知函数，，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分析可知，函数是定义在上的增函数，根据可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对对任意的、且，总有， 不妨设，则，即， 所以，函数是定义在上的增函数， 因为，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 易错点6 忽略对函数中参数的讨论导致漏解 错误：忽略对一次函数和二次函数中参数的讨论导致计算时漏解 注意：在求函数最值时一定要注意对函数中的参数进行讨论，进而利用函数单调性求最值 例题6-1已知函数.若函数在区间上单调，求实数a的取值范围. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用二次函数单调性列式求解作答. 【详解】函数的单调区间是， 因为函数在区间上单调，则有或， 即有或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 例题6-2已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意问题化为值域是值域的子集，结合一次函数、二次函数性质求区间值域，由值域的包含关系列不等式求参数范围. 【详解】由题意，函数，， 根据二次函数的性质，当时，，记， 对任意，总存在，使成立， 当，在上是增函数，，记． 所以，则，解得； 当，在上是减函数，，记， 所以，则，解得， 综上，实数的取值范围是． 例题6-3函数在区间上的最小值记为. (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)求的最小值. 【详解】（1）当时，，其图象对称轴为， 故在区间上单调递减，在上单调递增, 则， 故函数在区间上的值域为； （2）函数图象的对称轴为， 当，即时，在区间上单调递增， 故； 当，即时，在区间上单调递减，在上单调递增， 故； 当，即时，在区间上单调递减， 故； 故. 易错点7 函数奇偶性理解混淆导致出错 错误：把奇函数和偶函数的概念混淆导致在解题过程中出错 注意：（1）定义法：先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数； （2）图象法：若的图象关于轴对称，则为偶函数； （2）图象法：若的图象关于原点对称，则为奇函数. 例题7-1判断下列函数的奇偶性． (1)；(2)；(3)； (4)；(5) 【答案】(1)奇函数(2)既是奇函数又是偶函数(3)既不是奇函数也不是偶函数(4)奇函数(5)奇函数 【详解】（1）函数的定义域为，关于原点对称，且，则为奇函数． （2）对于函数，由可得， 其定义域为，关于原点对称．因为当时，都有， 满足，故既是奇函数又是偶函数． （3）由可得，即函数的定义域为，不关于原点对称， 故既不是奇函数也不是偶函数． （4）由可得，且， 即函数的定义域为且，关于原点对称，此时． 因为，所以函数是奇函数． （5）因函数的定义域为，关于原点对称． 且当时，，则； 当时，，则． 综上所述，，所以函数是奇函数． 例题7-2设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数的奇偶性得到，，再结合题意即可求出的表达式． 【详解】由函数是一个偶函数，是一个奇函数， 所以，， 因为①， 则②， 所以①+②得， 所以． 故选：A． 1．下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意，利用同一函数的判定方法，结合选项，逐项分析、判断，即可求解. 【详解】对于A，函数与的值域不同，不是同一函数，所以A错误； 对于B，函数与， 两函数的定义域都为，且对应关系相同，所以是同一函数，所以B正确； 对于C，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不同，所以两函数不是同一函数，所以D错误. 故选：B. 2．函数的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【分析】根据奇偶性的定义分析判定即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以是偶函数，不是奇函数. 故选：B. 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义域，可得出函数的自变量所满足的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 对于函数，有或，解得或， 故函数的定义域为. 故选：B. 4．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出函数的对称轴，依题意可得或，解得即可. 【详解】函数的对称轴为， 依题意或， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可. 【详解】由， 所以函数的定义域为， 因为二次函数对称轴为， 所以函数单调递减区间为， 故选：B 6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇偶性求解解析式，判断选项. 【详解】当时，，则, 由奇函数定义知, 所以 故选：D. 7．已知是定义在上的单调函数，若，且，，则（   ） A． B． C． D．与大小不确定 【答案】C 【分析】不妨，则，分单调递增和单调递减两种情况，结合不等式的性质，即可求解. 【详解】根据题意，不妨，则， 当函数单调递增时，可得， 所以，所以； 当函数单调递减时，， 所以，所以； 综上可得，. 故选：C. 8．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象与性质及函数图象的翻折可求解. 【详解】， 当时，在内单调递增，满足题意． 当时，令，其对称轴为，零点为和， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，不合题意， 当，时，因为，所以， 所以， 所以函数在内单调递增，满足题意． 综上知，实数的取值范围是． 故选：A 9．（多选）下列各组函数为同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据同一函数概念依次判断即可. 【详解】对于A：，且与的定义域都为，是同一函数，故A正确； 对于B：的定义域为的定义域为，不是同一函数，故B错误； 对于C：两个函数的对应关系和定义域都相同，是同一函数，故C正确； 对于D：的定义域为的定义域为，不是同一函数，故D错误. 故选：AC. 10．（多选）设函数，定义域均为，则下列结论正确的有（   ） A．若，均为奇函数，则函数为奇函数 B．若，均为增函数，则函数为增函数 C．若，均为偶函数，则函数为增函数 D．若，均为偶函数，则函数为偶函数 【答案】AD 【分析】通过定义分析奇偶性、举反例判断单调性得出结果. 【详解】选项A：由、均为奇函数，得， 故为奇函数，A正确. 选项B：取，（均为增函数），但在上不是增函数，B错误. 选项C：取，（均为偶函数），但在上不是增函数，C错误. 选项D：由、均为偶函数，得， 故为偶函数，D正确. 故选：AD 11．若函数的定义域是，则的定义域是 . 【答案】 【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解. 【详解】由，得，所以的定义域是. 由，得，所以的定义域是. 故答案为： 12．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则的解析式为 . 【答案】. 【分析】通过奇函数的定义，分别求解和时的函数表达式，从而得到分段解析式. 【详解】当时，因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，，， 所以. 故答案为：. 13．已知函数是定义在上的减函数，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数单调性列式求解，注意端点值的大小. 【详解】因为函数是定义在上的单调递减函数， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数． (1)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用对称轴和区间的关系，列不等式求解即可； （2）利用判别式即可解决. 【详解】（1）因为函数在区间上是单调递增函数， 且的对称轴为， 所以，解得. （2）若对一切实数都成立， 则，解得. 15．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】(1)利用二次函数的顶点式，结合待定系数法即可求解； (2)利用分三段区间讨论，来求二次函数在闭区间上的最大值即可； (3)利用二次函数值域能取遍，则满足，即可求解. 【详解】（1）由二次函数，满足当时，取得最大值5， 可设二次函数，又因为，所以， 即二次函数； （2）当，有，此时的最大值， 当时，则，此时在上单调递增， 即的最大值， 当时，则，此时在上单调递减， 即的最大值， 综上可得：； （3）函数， 由的值域为， 则满足或， 即实数的取值范围或 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 函数的概念与性质 清单01 函数的概念及其表示 设A，B是两个 的 集，如果按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的 一个数x，在集合B中都有 确定的数y和它 ，那么称这样的对应f：A→B为从集合A到集合B的一个 ，记作：y＝f(x)，x∈A． 其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫做函数的 ；与x∈A的值相对应的数y叫作函数值，所有函数值组成的的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的 。值域是集合B的子集 函数的三要素： 清单02 相等函数与分段函数 1、相等函数：如果两个函数的 和 完全一致，则这两个函数 ． 2、分段函数：在函数定义域内，对于自变量取值的不同区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为 ．分段函数的定义域是各段定义域的 ，值域是各段值域的并集。分段函数虽然是由几个部分构成，但它表示的是一个函数，各部分函数定义域不可以 ． 清单03 函数的表示方法 （1） ：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。 （2） ：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法.这个等式通常叫作函数的解析表达式,简称解析式。 （3） ：用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法 注意：列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示． 清单04 函数解析式的求法 （1）代入法，直接法：适用于①由求复合函数，②由、、、等求. 注意：由分段函数求复合函数时，首先需要根据中对的分段，替换为对的分段． （2） ：适用于、、等类型． （3） ：如，等类型． （4） ：已知函数类型，就要设出该函数表达式，如是一次函数，则可设；然后，①利用条件由对应项的系数相等完成； ②或利用条件得方程（组），然后解方程（组）即可． （5） 给出的方程同时含： ①与，或与； ②一奇一偶函数与； ③与，或与； 方法：将原方程中的变量进行变量替换得新方程，联立原方程解方程组 清单05 函数的单调性 1、增函数与减函数 （1）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 ， 也称f(x)是区间I上 ，如图1。 （2）如果对于I上任意两个值，当时，都有，就称f(x)是区间I上的 ， 也称f(x)是区间I上 ，如图2。 图1 图2 注意：①区间上的自变量的两个值，必须是任意的，即区间内的全部，任意即所有，不可以随便取两个特殊值；②有序性：一般要对和的大小进行规定，通常规定。 2、函数的单调区间 如果函数在区间上是 或 ，那么就说函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间． 注意：单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示； 3、定义法证明函数单调性的步骤 ① ：设x1，x2为该区间内任意的两个值，且x1＜x2.。 ② ：做差f（x1）-f（x2），并通过通分、因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差值符号的方向变形。 ③ ：确定差值的符号，当符号不确定时，可以分类讨论。 ④ ：根据定义域做出结论。 4、与的和与差的单调性（相同区间上）： 简记为：↗↗↗;（2）↘↘↘;（3）↗﹣↘=↗;（4）↘﹣↗=↘. 5、复合函数的单调性：对于复合函数y＝f[g(x)]， 若t＝g(x)在区间(a，b)上是单调函数，且y＝f(t)在区间(g(a)，g(b))或(g(b)，g(a))上是单调函数 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性 ，则y＝f[g(x)]为 若t＝g(x)与y＝f(t)的单调性 ，则y＝f[g(x)]为 ．简称“ ”． 清单06函数的奇偶性 1、一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做 ． 2、一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做 ． 3、具有奇偶性的函数的图象的特征 （1）偶函数的图象关于 对称；奇函数的图象关于 对称． （2）利用定义判断函数奇偶性的步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称； ②确定f(－x)与f(x)的关系； ③作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定;(2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 4、 在两个对称的区间上具有 的单调性， 在两个对称的区间上具有 的单调性． 5、 在关于原点对称的区间上有 的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数； 在关于原点对称的区间上的最值互为 ，取最值时的自变量也互为 ． 易错点1 抽象函数的定义域理解不到位导致出错 错误：求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 注意：在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域 例题1-1已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例题1-2已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 易错点2 定义域和对应关系（法则）判断不到位 错误：判断两个函数是否表示同一个函数时对函数定义域和对应关系（法则）化简不完整 例题2-1下列四组函数：① ；② ；③； ④；其中表示同一函数的是（    ） A．②④ B．②③ C．①③ D．③④ 例题2-2（多选题）下列四组函数中，表示不同函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 易错点3 用换元法求函数值域或解析式时忽略定义域导致出错 错误：忽略函数换元后新元的范围导致最后计算出错 注意：函数问题一定要注意定义域优先原则 例题3-1函数的值域是（ ） A． B． C． D． 例题3-2若函数，则 ． 易错点4 忽略单调区间不能用∪来连接导致出错 错误：求解单调区间时结果用∪来连接导致出错 注意：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接 例题4-1已知函数，则的单调递增区间为 . 例题4-2函数，单调递减区间为 ． 易错点5 利用函数单调性来解不等式时忽略函数定义域导致出错 错误：在利用函数单调性求取值范围时忽略原函数本身的定义域导致出错 注意：在用函数单调性解不等式时要注意分类讨论的方法和定义域优先原则的应用 例题5-1已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题5-2已知函数，，对任意的、且，总有，若，则实数的取值范围是 ． 易错点6 忽略对函数中参数的讨论导致漏解 错误：忽略对一次函数和二次函数中参数的讨论导致计算时漏解 注意：在求函数最值时一定要注意对函数中的参数进行讨论，进而利用函数单调性求最值 例题6-1已知函数.若函数在区间上单调，求实数a的取值范围. 例题6-2已知函数，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 ． 例题6-3函数在区间上的最小值记为. (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)求的最小值. 易错点7 函数奇偶性理解混淆导致出错 错误：把奇函数和偶函数的概念混淆导致在解题过程中出错 注意：（1）定义法：先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数； （2）图象法：若的图象关于轴对称，则为偶函数； （2）图象法：若的图象关于原点对称，则为奇函数. 例题7-1判断下列函数的奇偶性． (1)；(2)；(3)； (4)；(5) 例题7-2设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 1．下列各组函数表示相同函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．函数的奇偶性为（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 3．若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，（   ） A． B． C． D． 7．已知是定义在上的单调函数，若，且，，则（   ） A． B． C． D．与大小不确定 8．若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（多选）下列各组函数为同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）设函数，定义域均为，则下列结论正确的有（   ） A．若，均为奇函数，则函数为奇函数 B．若，均为增函数，则函数为增函数 C．若，均为偶函数，则函数为增函数 D．若，均为偶函数，则函数为偶函数 11．若函数的定义域是，则的定义域是 . 13．已知函数是定义在上的减函数，则实数a的取值范围为 . 14．已知函数． (1)若函数在区间上是单调递增函数，求实数的取值范围； (2)若对一切实数都成立，求实数的取值范围． 15．已知二次函数，满足当时，取得最大值5，且. (1)求二次函数的表达式： (2)若，求函数的最大值； (3)已知函数的值域为，求实数的取值范围. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $