5.2 实际问题中的函数模型（教学课件）数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦实际问题中的函数模型，核心知识点包括函数模型的构建、选择与应用。课堂导入从生活实物模型切入，结合前情回顾的零点存在定理和二分法，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于通过公司收益、鞋号脚长等实例，融合数学建模与数学思维，引导学生从实际问题中抽象函数关系。采用实例分析与题型训练结合的教学方法，小结梳理模型选择要点，助力学生提升数学应用能力，也为教师提供了丰富的教学案例。

第五章 函 数 应 用 北师大版2019必修第一册·高一 5.2 实际问题中的函数模型 前情回顾 若函数在闭区间上的图象是一条连续曲线，并且在区间端点的函数值一正一负，即有，则在区间内，函数至少有一个零点，即在区间内相应的方程至少有一个实数解. 1.零点存在定理 对于一般的函数 y = f(x)，x∈[a，b]，若函数 y = f(x) 的图象是一条连续的曲线，f(a)・f(b)<0，则每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中个小区间的求方程近似解的方法称为二分法. 2.二分法 单击此处添加备注 2 学 习 目 标 1 2 3 理解函数在实际问题中的应用.(重点) 能够根据实际问题建立合适的函数模型.(重点、难点) 运用函数解决实际问题，提升数学抽象、数学建模、数学运算等核心素养． 读教材 阅读课本P136-P141，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“实际问题中的函数模型”吧！ 1.常见的函数模型由哪些？可以用来解决哪些问题呢？ 2.如何将实际问题用函数来构建？ 3.如何选择出最优的函数模型？ 单击此处添加备注 4 新课引入 你一定不会对模型这个词陌生吧！如我们在博物馆会看到飞机模型、轮船模型、汽车模型。模型其实是对客观事物的一种模拟，把真实的东西按一定的比例仿制出来，使人们能清楚地了解事物的全貌。除了机械模型以外，还有生物模型、地质模型等，可以说生活中存在的事物都可以做成模型。 上面我们提到的都是客观实物的模型，那么数学模型是什么呢？ 函数模型又是什么呢？ 单击此处添加备注 5 学习过程 01 03 02 目录 1 实际问题的函数刻画 3 题型训练 2 用函数模型解决实际问题 单击此处添加备注 6 新知探究 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式． 函数模型是应用最广泛的数学模型之一，它在实际生活中的应用非常地广泛，不同的函数模型能刻画出现实生活中不同的变化规律. 实际问题中的变量与变量之间的关系被认定为符合函数关系，就可以将实际问题转化为函数问题，从而建立函数模型，使实际问题得以解决. 单击此处添加备注 7 新知探究 实际问题的函数刻画 根据实际问题提供的两个变量间的关系是否确定，可把构建函数模型问题分为 两类： 构建确定的函数模型，因为变量间的关系确定，所以一般通过对变量的分 析，寻求相等关系来建立函数模型； 构建最佳的函数模型，因为实际问题中的变量间的关系并不完全确定，所 以一般是通过两个变量间的几组对应值，找到一个最恰当的函数模型. 单击此处添加备注 8 实例分析 例1.某公司投入了万元，用于研发设计一种新型几何模板．经测算，每件产品的直接成本是元，市场的合适售价是元．显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益．当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计） 问题1：这个问题涉及了哪几个因素？ 与产量及单件产品的直接成本、研发费用有关系； 与销售量及销售单价有关系； 与生产总成本及销售总收入有关系． ①生产总成本（记作C） ②销售总收入（记作R） ③总收益（记作L） 问题2：以上涉及的量，哪些是定量？哪些是变量？ 销售单价、单件产品的直接成本和研发成本； 定量 变量 当产品畅销时，销售量等于产量，产量为变量，设为 单击此处添加备注 9 实例分析 问题3：这几个因素之间存在怎样的关系？ 总收益 总收入 总成本 - 例1.某公司投入了万元，用于研发设计一种新型几何模板．经测算，每件产品的直接成本是元，市场的合适售价是元．显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益．当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计） 问题4：如何用函数表示上述关系？ ①生产总成本（记作C） ②销售总收入（记作R） ③总收益（记作L） 单击此处添加备注 10 实例分析 例1.某公司投入了万元，用于研发设计一种新型几何模板．经测算，每件产品的直接成本是元，市场的合适售价是元．显然，这家公司一方面要尽力为使用者提供可信的产品，另一方面又要争取获得好的收益．当这种新型几何模板畅销时，怎样计算总收益呢？（销售、仓储及维护等环节成本忽略不计） 问题4：由收益与销量的函数关系式可以得到哪些结论？ 由可以得到收益与销量之间满足一次函数模型. 从而可以作出函数图象，如右图 从图中清晰可见：产量件是关键点， 若，则要亏损； 若，则总收益为； 若，则可盈利． 单击此处添加备注 11 实例分析 例2.网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表，第一行是脚长（新鞋码，单位：），第二行是我们习惯称呼的“鞋号（旧鞋码，单位：号）”． 脚长/ 220 225 230 235 240 245 250 255 260 鞋号/号 34 35 36 37 38 39 40 41 42 （1）脚长和鞋号有什么关系呢？ （2）如果看到一款“号”的女童鞋，你知道对应的脚长估计是多少吗？ （3）一名脚长为的女运动员，又该穿多大号的鞋呢？ 分析：题中以表格的形式表示了脚长,鞋号之间的关系，因此可以通过作出“散点图”找到脚长与鞋号之间的关系. 单击此处添加备注 12 实例分析 解：（1）观察上表，设脚长、鞋号分别为，， 将每一对数，对应的数对用平面直角坐标系的点来表示，如图： 可以看出，这些点在一条直线上，不妨将这条直线表示为． 利用表格中的任意两组数，得，． 因此． （2）当时，即， 即能穿号鞋的女童的脚长不超过． （3）当时，， 即脚长为的女篮球运动员应穿43号的鞋． 单击此处添加备注 13 实例分析 例3.现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？ 分析：依照生活经验，如果一把椅子没有放稳，我们只需要前后挪动几下，或者旋转一下就能放稳了.也就是答案是肯定的，因此可以尝试用函数的观点来给出合理的解释. 解：记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形，对角线的交点为； 以点为旋转中心，初始位置的转过角时，记，两点与地面距离之和为，，两点与地面距离之和为 因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触， 所以总有•． 记，显然函数的图象是不间断的曲线． 单击此处添加备注 14 实例分析 对于初始位置，不妨设，，则． 思考：椅子逆时针旋转，点转到点，你能判断此时的符号吗？ ，， 所以． 于是，根据函数零点存在定理，可知在区间上存在， 使得，即， 所以这把椅子四脚能够同时落地放稳． 这个例子告诉我们，零点存在定理的重要实用价值在于判断事物的存在性. 另外，用函数的观点观察生活，会对已知的事实或经验给出理性的解释. 单击此处添加备注 15 实例分析 例4.加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量．现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如下图），截面圆半径是，圆柱的长是．从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如下表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值．其中，，． 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 0.019 0.052 0.094 0.142 0.196 0.252 0.312 0.374 0.436 0.5 为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量，请编制一份油料的液面高度（单位：）与油料量（单位：）的对照表，该表的油料液面高度取值从开始，最大为，间隔．（取，油料量精确到） 单击此处添加备注 16 实例分析 油料量 分析：油料液面高度为时 例4.加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量．现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如下图），截面圆半径是，圆柱的长是．从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如下表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值．其中，，． 单击此处添加备注 17 实例分析 解：如图，油槽截面的油料液面线为， 记油料液面高度时的油料的面积为． 依题意知： ． ． 这里，于是可得到油料的液面高度与油料量的对照表． 0 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0 859.104 2351.232 4250.304 6420.672 8862.336 11394.432 14107.392 16910.784 19714.176 22608 0 344 940 1700 2568 3545 4558 5643 6764 7886 9043 单击此处添加备注 18 学习过程 01 03 02 目录 1 实际问题的函数刻画 3 题型训练 2 用函数模型解决实际问题 单击此处添加备注 19 新知探究 思考1：我们学过的函数模型有哪些？ 几种常见的函数模型 一次函数模型 反比例函数模型 二次函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 幂型函数模型 分段函数模型 这个模型实质是以上两个或两个以上函数的综合，应用十分广泛 单击此处添加备注 20 新知探究 思考2：选择函数模型时应注意什么问题？ 选择函数模型时，要让函数的性质、图象与所解决的问题基本吻合. 先根据散点图选取适当的函数模型，然后通过待定系数法求解析式， 最后通过数据验证. 实际问题一旦被认定是函数关系，就可以通过研究这个函数的性质，使问题得到解决． 单击此处添加备注 21 实例分析 例5.要建造一段的高速公路，工程队需要把人分成两组，一组完成一段的软土地带公路的建造任务，同时另一组完成剩下的的硬土地带公路的建造任务．据测算，软、硬土地每米公路的工程量分别是人·天和人·天．问：如何安排两组的人数，才能使全队筑路工期最短？ 在软土地带筑路时间为：， 在硬土土地带筑路时间为：， 取较大值得到关于 全队筑路时间的函数 工期最小值 分析：设在软土地带工作的人数为人，则在硬土地带工作的人数为人， 单击此处添加备注 22 实例分析 解：设在软土地带工作的人数为人，则在硬土地带工作的人数为人． 根据题意，在软土地带筑路时间为， 在硬土地带筑路时间为，其中，． 因为函数在区间上是减函数，函数在区间上是增函数， 所以全队筑路工期为： 单击此处添加备注 23 实例分析 解：由，即，得．从而 ． 因为函数在区间上递减，在区间上递增，所以是函数的最小值点． 但不是整数，于是计算和，其中较小者即为所求． 经计算，，． 于是，当安排人到软土地带工作，人到硬土地带工作时，可以使全队筑路工期最短． 单击此处添加备注 24 实例分析 例6.某公司每年需要某种计算机元件个，每次购买元件需手续费元，每个元件的库存费是每年元．若将这些元件一次购进，则可少花手续费，但即便不考虑资金占用，个元件的库存费也不少，若多次进货，则可减少库存费，但手续费要增加．现在需要确定：每年进货几次最经济（总费用最少）？ 分析：首先要做一些假设：①每天需同样多的元件；②其他费用可以作为常数看待． 总费用 库存费 手续费 其他费用 将个元件所需的总费用记为元，一年总库存费记为元，购买元件总手续费记为元，其他费用记为元（为常数）， 则． 单击此处添加备注 25 实例分析 解：将个元件所需的总费用记为元，一年总库存费记为元，购买元件总手续费记为元，其他费用记为元（为常数），则． 若每年平均进货次（），则每次的进货量为个． 假设用完个元件的时间为年，在内，时刻的库存量为， 满足，，． 解得 ． 如图，阴影部分的面积是第一个时间段内需支付库存费的库存量的总和，相当于在年内每一时刻需支付库存费的库存量均为个． 单击此处添加备注 26 实例分析 另外，元，所以． 由基本不等式，得． 当且仅当，即时，上面的不等式取等号，此时总费用最少， 故每年进货次最经济． 在年内，每个元件的库存费为元， 则个元件的库存费为(元)． 一年总库存费为：(元)． 存贮模型 单击此处添加备注 27 学习过程 01 03 02 目录 1 实际问题的函数刻画 3 题型训练 2 用函数模型解决实际问题 单击此处添加备注 28 题型训练 题型一 用函数图象刻画变化过程 练习1：某工厂6年来生产某种产品的情况是:前3年年产量的增长速度越来越快,后3年年产量保持不变,则该厂6年来这种产品的总产量C与时间t(单位:年)的函数关系图象正确的是(　　) A 解：前3年年产量的增长速度越来越快,只有A,C的图象符合要求,而后3年年产量保持不变,故选A. 单击此处添加备注 29 题型训练 题型一 用函数图象刻画变化过程 练习2：某同学家门前有一笔直公路直通长城,某天,他骑自行车匀速前往,先前进了 ,觉得有点累,就休息了一段时间,有些泄气,就沿原路返回骑了,当他想起“不到长城非好汉”时,便调转车头继续前进,则该同学离起点的距离与时间的函数关系图象大致为(　　) 解：由题意可知,前进时,s是关于时间t的一次函数,所以其图象特征是直线上升.由于中间休息了一段时间,该段时间的图象应是平行于横轴的一条线段.然后原路返回,图象下降且时间增加,再调转车头继续前进,则直线上升. C 单击此处添加备注 30 题型训练 题型二 用已知函数模型解决实际问题 练习3：某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少. 已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量 ，首次改良工 艺后所排放的废气中含有的污染物数量，第 次改良工艺后所 排放的废气中含有的污染物数量（单位： ）可由函数 给出，其中 是指改良工艺的次数． （1）试求改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量 的函数解析式. （2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过 .试问：至少改良多少次工艺后才能使企业所排放的废气中含有的污 染物数量达标？（参考数据： ） 单击此处添加备注 31 题型训练 题型二 用已知函数模型解决实际问题 解：（1）由题意得， ，且 ， 所以，解得 ， 所以 ， 故改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量 的函数解析式为 . （2），整理得 ， 即，两边同时取对数，得 ， 整理得 ， 因为，所以 ，故至少改良6次工艺后才能使企业所排放的废气中含有的污染物数量达标． 单击此处添加备注 32 题型训练 题型二 用已知函数模型解决实际问题 练习4：为支持福利事业,解决残疾人就业问题,银行决定给某福利企业免息贷款46.8万元,用于经营某种商品.已知该种商品的进价为每件40元,每月销售量q(单位:百件)与销售价格p(单位:元/件)之间满足关系式: 该企业职工每人每月工资为1 200元,其他经营性费用为每月13 200元. (1)如果暂时不考虑还贷的前提下,当销售价格p为52元/件时,每月刚好收支平衡,求该企业的职工人数; 解： (1)设该企业职工人数为t, 依题意p=52时,q=36时, 则(52-40)×36×100=1 200t+13 200, ∴t=25.即该企业有25名职工. 单击此处添加备注 33 题型训练 题型二 用已知函数模型解决实际问题 (2)设每个月的利润为f(p),则 ∵当p=55时,[(-2p+140)(p-40)]max=450, 当p=61时,[(-p+82)(p-40)]max=441, ∵450>441, ∴p=55时,能更早还清贷款, 又(100×450-1 200×20-13 200)×12=93 600, ∴当定价为55元时,最早5年后能还清贷款. (2)若该企业只有20名职工,在保证职工工资及其他经营性支出外,剩余的利润都用来偿还贷款,试问最早几年后还清贷款? 单击此处添加备注 34 题型训练 题型三 函数模型的选择 练习5：某科研小组对面积为8000平方米的某池塘内的一种生物的生长规律进行研究， 开始时在此池塘投放了一定面积的该生物（假设该池塘投放前不含该生物），通过试 验得到该生物的覆盖面积 （单位：平方米）与所经过的时间（单位：月， ） 之间的一组数据，如下表： 0 2 3 4 4 25 62.5 156.3 为描述与的关系，提供了以下三种函数模型： ； ； . 试判断哪个函数模型更适合，并求出该模型的函数解析式； 单击此处添加备注 35 题型训练 题型三 函数模型的选择 解：函数 刻画的是增长速度越来越快的变化规律， 函数 刻画的是增长速度越来越慢的变化规律， 函数 刻画的是增长速度不变的规律， 根据表中的数据可知该生物增长的速度越来越快， 所以函数模型 更适合. 根据题意得可得所以， . 经检验可知，当时，， 当时， ，符合题意.故， . 单击此处添加备注 36 题型训练 题型三 函数模型的选择 练习6：在某种新型材料的研制中,实验人员获得了下列一组实验数据:现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律,其中最接近的一个是(　　) x 3 4 5.15 6.126 y 4.0481 7.5 12 18.01 解：对于选项A，各组数据都很接近，故函数可以近似地表示这些数据的规律。对于其他选项，数据差距较大。 A 单击此处添加备注 37 课堂小结 知识点一 实际问题的函数刻画 根据实际问题提供的两个变量间的关系是否确定，可把构建函数模型问题分为两类： 一是构建确定的函数模型，因为变量间的关系确定，所以一般通过对变量的分 析，寻求相等关系来建立函数模型； 二是构建最佳的函数模型，因为实际问题中的变量间的关系并不完全确定，所 以一般是通过两个变量间的几组对应值，找到一个最恰当的函数模型. 单击此处添加备注 38 课堂小结 知识点二 用函数模型解决实际问题 解决实际问题的一般思路 单击此处添加备注 39 感谢聆听! 单击此处添加备注 40 q= f(p)= $