5.2.1实际问题的函数刻画（第二课时） 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦实际问题的函数刻画，核心是从实际情境中抽象数量关系并建立函数模型。课堂以“椅子四脚落地”生活情境导入，通过分析四脚距离之和函数，结合零点存在定理，搭建从函数性质到实际应用的学习支架，梳理模型构建思路。 特色在于以真实问题驱动，如椅子放稳问题培养数学抽象（抽象距离之和函数）与数学建模（建立存在性模型），纪念章市场价问题借数据拟合发展逻辑推理。采用启发讨论与实例探究法，学生提升用数学眼光观察、思维思考的能力，教师可依托情境案例有效落实核心素养培养。

课题 5.2.1实际问题的函数刻画（第二课时） 学科 数学 教材 北师大版（2019）必修第一册 章节 第五章第二部分第一节 课程类型 新授 课时安排 2课时 年级 高一 教学目标及教学重点、难点 教学目标： 1.学习在实际情境中确认与问题相关的因素，把握各因素之间的关系，提高阅读理解的能力． 2. 学习用数学表达实际问题中因素之间的关系，体会数学的应用价值． 教学重、难点： 重点：分析实际问题中各相关因素之间的关系，建立刻画实际问题的函数模型． 难点：建立刻画实际问题的函数模型． 教材分析 本节课是高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章《函数应用》中的一部分，本课旨在通过实际问题的引入，使学生理解函数概念的应用，并学会用函数来刻画和解决现实生活中的问题。这一章节通常会进一步深化函数模型的构建与应用，提高学生的数学建模能力和函数思维。 核心素养 1.数学抽象：能够从实际情境中抽象出数学问题，将具体问题转化为数学问题，建立数学模型。 2.数学建模：学会用数学语言和工具来描述实际问题，建立并求解数学模型，解决实际问题。 3.逻辑推理：在函数模型构建和求解过程中，能够进行合理的逻辑推理，判断模型的有效性和正确性。 4.数学运算：在解决实际问题时，能够准确地进行数学运算，得到正确的结果。 教学方法和手段 教学方法：启发法、练习法、讨论法 教学手段：多媒体辅助教学 教学过程(表格描述) 教学环节 主要教学活动 设置意图 情境导入 创设问题情境： 现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？ 依照生活经验，如果一把椅子没放稳，只需前后挪动几下，或者旋转一下就能够放稳了，也就是说答案应该是肯定的．你能否用函数的观点来给出理性的解释？ 通过生活中的实际情境，激发学生的好奇心和求知欲，为接下来从函数的角度分析实际问题铺垫． 探究新知 知识点：实际问题的函数刻画 问题1：现有一把椅子，四条腿一样长且四脚连线成正方形，需放在起伏不平但光滑的地面上，能否将这把椅子四脚同时落地放稳？你能否用函数的观点来解释？ 师生活动： （1）教师提示学生这个问题其实可以转化为一个数学问题，特别是与函数有关的问题，引导学生分析函数的性质，教师可以简要介绍介值定理或连续函数的中值定理等数学原理，说明在连续函数上，如果函数值在边界上异号，则函数内部必存在零点。 （2）学生认真观察教师展示的椅子，并思考教师提出的问题，在教师的引导下，积极参与关于函数模型的建立和函数性质的分析的讨论，尝试理解并应用数学原理来解释椅子放稳的问题。 （3）教师带领学生共同分析题目。 探究：如图，记这把椅子四脚连线所形成的图形为正方形，对角线的交点为；以点为旋转中心，初始位置的转过角时，记，两点与地面距离之和为，，两点与地面距离之和为．因为任意位置的椅子都可以三只脚与地面接触，所以总有•．记，显然函数的图象是不间断的曲线． 对于初始位置，不妨设，，则． 追问1：椅子逆时针旋转，点转到点，你能判断此时的符号吗？ 预设答案：，，所以． 于是，根据函数零点存在定理，可知在区间上存在，使得，即，所以这把椅子四脚能够同时落地放稳． 教师总结： 这个例子告诉我们，零点存在定理的重要实用价值在于判断事物的存在性．另外，用函数的观点观察生活，会对已知的事实或经验给出理性的解释． 注意：当不易建立起函数模型时，可根据实际问题中变量的变化规律，或结合图形的变化趋势进行分析，找出实际问题的解． 问题2：通过市场调查，得到一枚某纪念章的市场价（单位：元）与上市时间（单位：天）的关系如下： 上市时间 4 10 36 市场价 90 51 90 探究：根据上表，你能从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的关系吗？ ①，②，③ 师生活动： （1） 教师引导学生观察数据，特别是注意市场价在上市初期、中期和后期的变化情况，对题意进行分析； （2） 学生认真观察上表数据，注意市场价随上市时间的变化趋势，在教师的指导下，选取恰当的函数描述该纪念章的市场价与上市时间的关系； （3） 教师进行讲解； 预设答案：由表可得，随着的值的增大，的值先减小后增大，而所给的三个函数中，和显然都是单调函数，不满足题意， 因此，选取函数最恰当． 追问：利用你所选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格． 预设答案：把，，代入中，得 ，， ，，， ， 当时，取得最小值，， 该纪念章市场价最低时的上市天数为，最低价格为元． 教师总结： 通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合． 对于此类实际应用问题，关键是先建立适当的函数关系式，再解决数学问题，然后验证并结合问题的实际意义进行求解． 通过对问题的探究，提升学生的阅读能力，帮助学生理解生产实际情境，明确解决问题的价值，为后续的学习做铺垫 典例精析 例1、 18世纪70年代，德国科学家戴维-提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离（天文单位）如下表： 他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的天王星与太阳的距离大约是多少？ 【师生活动】 学生自主思考，教师出示正确答案。 【解析】 解：由数值对应表作散点图如图： 根据散点图可设， 代入前3个数据可得：，，． 所以． 将，，代入检验，，．刚好符合． 所以，． 故谷神星、天王星距离太阳的距离分别为，个天文单位． 例2：加油站的汽油都存储在地下油槽中，由于比较容易测量槽中油料的高度，因此一般用油料的高度来监控油槽中的油料量．现有一圆柱体油槽，横卧地下，其母线呈水平状态，纵截面是圆（如下图），截面圆半径是，圆柱的长是．从资料可查出圆的弓形面积与圆面积比例系数表（如下表），它给出了弓形面积占单位圆面积的比值．其中，，． 为了方便加油站操作人员估计油槽中的油料量，请编制一份油料的液面高度（单位：）与油料量（单位：）的对照表，该表的油料液面高度取值从开始，最大为，间隔．（取，油料量精确到） 【师生活动】 学生自主思考，分析题意，教师出示正确答案。 【解析】 解：如图，油槽截面的油料液面线为，记油料液面高度时的油料的面积为． 依题意知：． ． 这里，于是可得到油料的液面高度与油料量的对照表． 通过例题讲解，让学生理解怎样解决问题，提高学生解决问题的能力。 当堂练习 教师PPT出示练习题，学生自主完成，教师点评 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的核心素养。 课堂总结 本节课主要研究实际问题的数学刻画如何刻画． （1）认真读题，仔细审题． （2）引进数学符号，建立数学模型． （3）会把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题． 应用问题解答的关键是：用数学的眼光看实际问题，用数学语言表示实际问题． 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。 板书设计 5.2.1 实际问题的函数刻画（第二课时） （1）认真读题，仔细审题． （2）引进数学符号，建立数学模型． （3）会把数学结果转化为实际问题的结果进行诠释实际问题． 教学设计反思 教学亮点 1.情境导入有效：通过生活中的实际情境（如椅子稳定问题）作为引入，激发了学生的好奇心和求知欲，为后续的函数建模做好了铺垫。 2.实例分析深入：通过多个具体实例的分析，学生不仅掌握了函数模型的构建方法，还学会了如何应用函数的性质来分析和解决实际问题。 3.核心素养培养：在教学过程中，注重培养学生的数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等核心素养，使学生能够全面发展。 不足之处 1.部分学生理解困难：对于部分基础薄弱的学生来说，函数的抽象性质和实际应用可能仍存在一定的理解困难。在今后的教学中，需要更加注重基础知识的巩固和个别辅导。 2.课堂互动不足：虽然通过实例分析引导学生思考，但课堂互动环节仍有待加强。可以通过小组讨论、角色扮演等方式增加学生的参与度，提高学生的主动性和积极性。 改进措施 3.加强基础知识巩固：在教授新知识之前，先对相关的基础知识进行回顾和巩固，确保学生能够跟上教学进度。 4.增加课堂互动：设计更多的互动环节，如小组讨论、案例分析、角色扮演等，让学生积极参与课堂活动，提高学生的学习兴趣和参与度。 5.分层教学：针对不同基础的学生进行分层教学，为基础薄弱的学生提供更多的辅导和支持，为基础较好的学生提供更具挑战性的任务。 学科网（北京）股份有限公司 $