精品解析：广西壮族自治区高中2025-2026学年高三上学期11月联合调研测试数学试题

2025年秋季学期广西高中11月高三联合调研测试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 分析】利用乘法法则化简，再利用求模公式即可. 【详解】，则. 故选：B 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 分析】由特称命题否定定义可得答案. 【详解】由题可得命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解一元二次不等式化简集合，进而可求交集. 【详解】因为集合， 且集合，所以. 故选：C. 4. 样本数据2，6，5，13，4，8的第60百分位数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的求法计算即可. 【详解】将样本数据按照从小到大的顺序排列为2，4，5，6，8，13， 由于6×0.6=3.6，3.6不为整数，故第60百分位数为6， 故选：C. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，平方即可得出的值. 【详解】由题意，， ∴， 解得：． 故选：A. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ）． A. 10 B. 13 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由化简得，再根据等比数列通项公式计算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，因，， 则可得，所以． 故选：C 7. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得的倾斜角为，进而可得，计算即可. 【详解】作出示意图如图所示： 则抛物线的性质，可得，又， 所以可得的倾斜角为， 则可得， 从而. 故选：C. 8. 在中，分别为角的对边，已知，则（ ） A. 5 B. 8 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设外接圆半径为，根据正弦定理和二倍角公式化简求出，即，再根据余弦定理，求得，即得答案. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得，， 因为， 所以，即， 即， 在，，， 所以，所以，即， 所以，即，解得或（舍）， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数在区间上单调递减 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，将得到函数的图象 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正弦函数的最小正周期以及单调性分别代入检验判断ABC，将函数的图像沿x轴向左平移个单位长度，将得到函数整理判断D． 【详解】函数的最小正周期为，A正确； ，则，在单调递增，B不正确； 在对称轴处取到最值，则，C正确； 将函数图像沿轴向左平移个单位长度，将得到函数的图象，D不正确 故选：AC． 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 有两个零点 C. 在点处切线的斜率为 D. 在单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数的定义、零点的求解、导函数和函数的单调性进行逐一判断即可. 【详解】对于A： 函数的定义域为，关于原点对称， 而，所以函数为奇函数，A正确； 对于B： 令，则，则或， 所以，所以函数只有一个零点，B错误； 对于C： 当时，，对函数求导得 ，那么， 所以函数在点处切线的斜率为，C正确； 对于D： 当时，，所以函数在上单调递增，D正确. 故选：ACD. 11. 设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线离心率为 C. 点到轴的距离为 D. 四边形的面积为15 【答案】BCD 【解析】 【分析】过向作垂线，垂足为，易知、、，结合已知求出双曲线参数，再依次判断各项的正误. 【详解】由题意，，如图，过向作垂线，垂足为，，， 因为，则，得，故A错误； 由，得，且， 又， ，，所以双曲线的离心率，故B正确； 的面积， ，则点到轴的距离为，故正确； 的面积，则四边形的面积为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】应用向量垂直的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由，则，可得. 故答案为： 13. 已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由其单调性即可求解. 详解】由， 可得：， 构造函数，则， 所以在上单调递减，又， 所以的解集为：， 故答案为： 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点. 分别是球和球与圆台侧面的切点，分别是与圆台上下底面的切点． 则，且，，． 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得． 又由，所以，所以． 在直角三角形中，，得，所以． 又在直角三角形中，． 同理在直角三角形中，,． 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高． 所以圆台的体积． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【小问1详解】 在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 16. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为8． （1）求椭圆的方程： （2）若是上顶点，直线交椭圆于两点，的重心恰好为点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助焦点坐标与短轴长可得、，计算即可得，即可得该椭圆方程； （2）设、，由重心定义计算可得、，再设出直线方程，联立曲线，借助韦达定理计算即可得. 【小问1详解】 由题意可得，，则，， 故椭圆的方程为； 【小问2详解】 由，故，设、，中点为， 由的重心为点，则有， 即，， 即有，，则， 当直线斜率存在时，可设， 联立，消去得， 由于，故在椭圆内部，故恒成立， 有，解得， 故直线，即； 当直线斜率不存在时，， 则有，解得，此时，不符，故舍去； 综上可得：直线的方程为. 17. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)． （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面 （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）结合图形可证四边形是平行四边形，可得，可得∥平面； （2）根据题意结合二面角的定义可得，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面夹角． 【小问1详解】 取线段中点，连接， 由图1可知，四边形是矩形，且， 是线段与的中点， 且， 在图1中且，且． 所以在图2中，且， 且 四边形是平行四边形，则 由于平面，平面 平面 【小问2详解】 由图1，，折起后在图2中仍有， 即为二面角的平面角． ， 以为坐标原点，分别为轴和轴正向建立空间直角坐标系如图， 且设， 则， ， ， 设平面的一个法向量， 由，得，取则 于是平面的一个法向量， ， ∴直线与平面所成角的正弦值为 【点睛】 18. 在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； （3）若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据：（其中，） 【答案】（1）分布列见解析， （2），10.8 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依题意，确定X的取值可能为1，2，3，分别求出其对应的概率，列出分布列，利用数学期望公式计算即可； （2）利用将y关于t的回归方程化成线性方程，将相关数据代入公式依次计算，即得回归方程，并进行计算预测； （3）根据（1）的分析总结，得出在前n轮就成功的概率为，利用累乘法化简求解得，即可证得，即得. 【小问1详解】 由题意知，X的取值可能为1，2，3， ，， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 则X的数学期望． 【小问2详解】 令，则．由题意知，，，． 则，则，则有， 故回归方程为．当时，，故预测y的值约为10.8． 【小问3详解】 由题意知在前n轮就成功的概率为 ． 则在前n轮没有成功的概率为 ， 即，所以．故． 19. 已知函数. （1）求证：时，； （2）设，其中； ①求证：在区间上有唯一的极值点； ②设为在区间上的零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1）证明见详解 （2）①证明见详解，②，证明见详解. 【解析】 【分析】（1）构造函数，对函数求导，由导数在区间上的正负得到函数的单调性，然后得到函数值的大小关系，即可得证； （2）写出函数，并求导.①令，再求导函数，由导函数在区间上的正负得到函数的单调性，再由零点存在性原理得到存在唯一零点，然后得到函数的单调区间，从而证明函数存在唯一极值点. ②由①可知，求得参数，然后化简.构造函数，利用导函数得到构造函数的单调性，证明，从而得到，由函数的单调性判断与的大小. 【小问1详解】 令， 则， 当，，即在上单调递增. ∴当时，，即. 【小问2详解】 ， 则， ①令，则， 当，，即函数在上单调递增. ∵，. 即在之间存在唯一的，使得. 即当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 即是函数在区间上有唯一的极值点. ②由题设可得是函数在区间上的极值点. 由①可知，即为，故，即 单调递减区间，单调递增区间， ∵，， ∴函数在没有零点，在上存在唯一零点，，即. ， ， 令， ， 即函数在上单调递增，∵， ∴，即. ∴，而,∴. 【点睛】本题主要考查了利用导数与函数单调性的关系，本题第二问的第一小问关键是求导后能够再次构造函数求导，结合零点存在定理判断；本题第二问的第二小问关键是能利用零点和极值点，然后构造函数证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季学期广西高中11月高三联合调研测试 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 样本数据2，6，5，13，4，8的第60百分位数为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 13 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 记为等比数列的前项和，若，，则（ ）． A 10 B. 13 C. 9 D. 27 7. 设抛物线的焦点为，准线为，过抛物线上的一点作的垂线，垂足为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 在中，分别为角的对边，已知，则（ ） A. 5 B. 8 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数区间上单调递减 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象沿轴向左平移个单位长度，将得到函数的图象 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 是奇函数 B. 有两个零点 C. 在点处切线的斜率为 D. 在单调递增 11. 设是双曲线的左、右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且与双曲线右支相交于点，若，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为 C. 点到轴距离为 D. 四边形的面积为15 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，且，则_____． 13. 已知函数的定义域为，，对任意，，则 的解集为_____________. 14. 如图，圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 16. 已知椭圆的右焦点为，短轴长为8． （1）求椭圆的方程： （2）若是上顶点，直线交椭圆于两点，的重心恰好为点，求直线的方程． 17. 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)． （1）若是四边形对角线的交点，求证：平面 （2）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 在一个不透明的袋子里初始装有红球和白球各一个，每次有放回地从中任取一个，连续取两次，以上过程记为一轮．如果每一轮两次取到的都是红球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则往袋子里再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． （1）某人进行该抽球实验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球．记其进行抽球试验的轮次数为X，求X的分布列和数学期望； （2）为验证抽球实验成功的概率不超过，有1000名志愿者独立地进行该抽球实验，用t表示成功时抽球的轮次数，y表示对应的人数，以下是部分统计数据： t 1 2 3 4 5 y 232 98 60 40 20 求y关于t的回归方程，并预测当时y的值； （3）若在前n轮就成功的概率为，证明：． 附：回归方程系数：； 参考数据：（其中，） 19. 已知函数. （1）求证：时，； （2）设，其中； ①求证：在区间上有唯一的极值点； ②设为在区间上零点，为在区间上的极值点，比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $