6.2黄金分割与相似图形（4个知识点+5种题型）讲义 2025-2026学年苏科版数学九年级下册

6.2相似图形与黄金分割（4个知识点+5种题型) 一、要点梳理 要点一、比例线段 1.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成 比例线段，简称比例线段. 2.比例的性质： (1)基本性质：如果=S，那么ad=bc. b d (2)合比性质：如果=C 那么a+bc+d b d b d 如果2-S,那么a-b-c-d b d 、bd 3)比性质：6-是=b+d+…+n≠0一 n →a+c+…+m_a b+d+…+nb(b+d++n≠0) 要点诠释： (1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； (2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关： (3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数. 要点二、黄金分割 1定义：点C起线段侣分成C和两段如果S一C那么线段8发点C黄金分制、京心 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点诠释： AC=V5-1AB≈0.618B(5-1叫做黄金分制值. 2 2 2.作一条线段的黄金分割点： 图4一7 如图，已知线段AB,按照如下方法作图： (1)经过点B作D⊥AB,使BDAB, 2 (2)连接AD,在DA上截取DE=DB. (3)在AB上截取ACAE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 要点三、相似三角形 议：在△B0和△BC中，如哭·BB，ZC,格CC 么△ABC和△A'B'C'相似，记做△ABC∽△A'B'C'· 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例， 相似三角形的对应边的比叫作相似比. 一般地，若△ABC与△A'B'C'的相似比为k则△A'B'C'与△ABC的相似比为} 要点诠释： 全等三角形是相似比为1的相似三角形.全等三角形是相似三角形的一个特例， 要点四、相似多边形 相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边 形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 如果四边形ABCD与四边形ABCD1相似，且点A,B,C,D分别与点A1,B1,C1,D1对应，则记作：“四 边形ABCD∽四边形AB1CD1”. 相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 要点诠释： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： (1)对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形： (2)对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； (3)边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形 二、典型例题 题型一.比例的性质 例1.若等==号≠0，则光的值为() A.星 B.号 c. D.9 【变式】准安区楼根)已知名-号异1a+6-2c=6,录a值， 题型二.比例线段 例2.若在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为3.5厘米，则这两地的实际距离是千 米. 【变式】（常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一 门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×08m·装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是 am、bm、cm、dm.若装裱后AB与AD的比是16：10，且a=b,c=d,c=2a,求四周边衬 的宽度. Dhem C am 0.8m bm 1.2m 题型三.黄金分割 例3.如图，若点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD),AB=6,则AD的长是() A D 6 A.3 B.3V5-1 C.9-3V5 D.35-3 【变式】（南京月考）（如图），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果4P_BP BP AB ·那么称点P为线段B的黄金分点，设邵=阳-，则：就是黄金比，并且飞：0618。 C p 图1 图2P 图3 (1)以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2)，等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的 定义为：满足底。腰 腰底+腰 ≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：一： (2)如图1，设AB=1,请你说明为什么k约为0.618： (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线I将一个 面积为S的图形分成面积为S和面积为S的两部分（设S<5,),如果三_三，那么称直线1为该图形的 1 S2 S 黄金分割线.（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理 由； (4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条？ 题型四.确定线段的黄金分割点 例4.如图，以线段AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接BE,延长DA至F,使得EF=BE, 以AF为边作正方形AFGH,则点H即是线段AB的黄金分割点.若记矩形BCIH的面积为S1,正方形 AFGH的面积为S2,则S1与S2的大小关系是() B A.S1>S2 B.S1<S2 C.S1=S2 D.不能确定 【变式】如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD.在BA的延长线上取 点F,使PF=PD.以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上. (I)求线段AM、DM的长； (2)求证：AM2=AD·DM: (3)请指出图中的黄金分割点， 题型五.相似图形 6 例5.下列各组图形中，一定相似的是() A.两个平行四边形 B.两个正方形 C.两个矩形 D.两个菱形 【变式】如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的 中点. (①)试说明四边形EFGH是平行四边形. (2)四边形EFGH与□ABCD相似吗？说明理由. G6.2相似图形与黄金分割(4个知识点+5种题型) 一、要点梳理 要点一、比例线段 1.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做 成比例线段，简称比例线段 2.比例的性质： a C b d ad =bc (1)基本性质：如果 ，那么 那么a+bc+d b d (2)合比性质：如果 9-S,那么a-b_c-d b d 如果 a c (3)等比性质：6 ==m(b+d++n≠0) →a+c++m_a b+d+…+nb(b+d+…+n≠0) 要点诠释： (1)两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比： (2)两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关： (3)两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数， 要点二、黄金分割 AC BC 1.定义：点C把线段AB分割成AC和CB两段，如果ABAC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫 做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点诠释： 1 AC=5,AB0.61852叫敢黄金分割值. 5-1 2.作一条线段的黄金分割点： 图4-7 如图，已知线段AB,按照如下方法作图： 1 (1)经过点B作BDLAB,使BD2AB. (2)连接AD,在DA上截取DEDB. (3)在AB上截取ACAE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点诠释： 一条线段的黄金分割点有两个. 要点三、相似三角形 AB BC CA 定义：在△ABC和△A'B'C'中，如果∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C',AB BC CA,那 么△ABC和△A'B'C'相似，记做△ABC∽△A'B′C'. 相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例. 相似三角形的对应边的比叫作相似比. 1 k 一般地，若△ABC与△A'B'C'的相似比为k,则△A'B'C'与△ABC的相似比为 要点诠释： 全等三角形是相似比为1的相似三角形.全等三角形是相似三角形的一个特例. 要点四、相似多边形 相似多边形：对于两个边数相等的多边形，如果他们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边 2 形叫作相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比. 如果四边形ABCD与四边形ABCD1相似，且点A,B,C,D分别与点A1,B1,C,D1对应，则记作： “四边形ABCD∽四边形ABCD1”. 相似多边形的性质： 相似多边形的对应角相等，对应边成比例. 要点诠释： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： (1)对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； (2)对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形： (3)边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 二、典型例题 题型一.比例的性质 例1.若登-名=后0，则梦产的值为《) 6 c是 0 B.7 D.3 【答案】A 【裤折1解：分=名=后20， “设答==名=k0, 346 ∴.x=3k,y=4k,z=6k, X+2=3k+6k9 y 4k4 故选：A. a b c 【变式】（淮安区模拟）己知654，且a+b-2c=6,求a值. 【分析】利用设k法进行计算即可解答。 3 a_b=c-k 【解答】解：设654 .a=6k,b=5k,C=4k, .a+b-2c=6, .6k+5k-8k=6, k=2, .a=6k=12, .a的值为12. 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设k法进行计算是解题的关键. 题型二.比例线段 例2.若在比例尺为1：1000000的地图上，测得两地的距离为3.5厘米，则这两地的实际距离是_千米。 【解析】解：设两地间的实际距离是xcm, ,比例尺为1：1000000，量得两地间的距离为3.5cm, 3.5 "1000000x 解得：X=3500000, ,3500000cm=35km, ∴.两地间的实际距离是35千米， 故答案为：35. 【变式】（常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的 一门特殊艺术.如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m.装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别 是am、bm、cm、dm.若装裱后AB与AD的比是l6:l0,且a=b,c=d,c=2a,求四周边 衬的宽度 4 C a m 0.8m bm 1.2m B dm 【分析】根据题意得到AB=.2+c+d)m,AD=(0.8+a+b)m,根据a=b,c=d,c=2a,得到方程， 解方程即可得到结论。 【解答】解：由题意得，AB=(1.2+c+d)m,AD=(0.8+a+b)m .a=b,c=d,c=2a, ∴AB=(1.2+c+d)m=(1.2+4a)m,AD=(0.8+a+b)m=(0.8+2a)m AB与AD的比是16：10， ∴.(1.2+4a):(0.8+2a)=16:10 ∴a=0.1, 经检验，a=0.1是方程的解， ∴.b=0.1,c=d=0.2, 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.lm、0.2m、0.2m. 【点评】本题考查了比例方程，正确地理解题意，列出比例方程是解题的关键。 题型三.黄金分割 例3.如图，若点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD),AB=6,则AD的长是() A D B 5 A.3 B.35-1 C.9-3V5 D.3V5-3 【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答。 【解答】解：：点D是线段AB的黄金分割点(AD>BD),AB=6, 4D5-145-1x6=395-23. 2 2 故选：D 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键. 【变式】（南京月考）（如图），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果 AP BP AP BP =k BPAB,那么称点P为线段AB的黄金分割点，设BPAB,则k就是黄金比，并且k≈0.618. C /P 图1 图2P 图3 (1)以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB(如图2)，等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形 底腰 ≈0.618 的定义为：满足腰底+腰 的等腰三角形是黄金三角形：类似地，请你给出黄金矩形的定义： ； (2)如图1，设AB=1,请你说明为什么k约为0.618： (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一 SS 个面积为S的图形分成面积为S和面积为S的两部分（设S<S),如果S,S，那么称直线！为该图形 6 的黄金分割线.（如图），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△4BC的黄金分割线吗？请说 明理由： (4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条？ 【分析】(1)类比黄金三角形的定义进行定义： (2)(3)根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析： (4)根据(2)中的结论，得到这样的直线有无数条. 【解答】解： 宽长 (1)满足长宽+长≈0.618 的矩形是黄金矩形： BPk (2)由AB得，BP=1×k=k,从而AP=1-k, AP BP 由BPAB得，BP2=AP×AB, 即k2=I-)×1, k=- 1±V5 解得”2， .k>0 :k=5-ls0.618 2 AP BP (3)因为点P是线段AB的黄金分割点，所以BPAB, 设△ABC的AB上的高为h,则 7 APxh .2 AP 1BPxh BP SABPC BPxh BP SMABC 1 ABxh AB 2 2 SMrC=SAoPC SABPC SAABC .直线CP是△ABC的黄金分割线. (4)由(2)知，在BC边上也存在这样的黄金分割点O,则A0也是黄金分割线，设A0与CP交于点W, 则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条 【点评】注意线段的黄金分割点的概念的延伸，能够根据黄金分割的定义结合三角形的面积进行分析证明。 题型四.确定线段的黄金分割点 例4.如图，以线段AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接BE,延长DA至F,使得EF=BE, 以AF为边作正方形AFGH,则点H即是线段AB的黄金分割点.若记矩形BCIH的面积为S1,正方形 AFGH的面积为S2,则S与S2的大小关系是() A.S>S2 B.S<S2 C.S=S2 D.不能确定 【答案】C 【解析】解：，点H即是线段AB的黄金分割点， ·AH2=BH·AB, 'S2=AH,S1=BH·BC=BH·AB, .S1=S2 8 故选：C 【变式】如图，以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD.在BA的延长线上取 点F,使PF=PD.以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上. (I)求线段AM、DM的长： (2)求证：AM=AD·DM; (3)请指出图中的黄金分割点. 【解析】(1)解：在Rt△APD中，AP=1,AD=2,由勾股定理知： PD=VAD2+AP2=V4+1-V5 .AM=AF=PF-AP=PD-AP=V5-1, ∴DM=AD-AM=3-5: (2)证明：由(1)得AM2=5-12=6-25,AD·DM=2×3-5=6-25, ∴.AM=AD·DM: (3)解：…AM=5-1 AD 2 .点M是AD的黄金分割点. 题型五.相似图形 例5.下列各组图形中，一定相似的是() A.两个平行四边形 B.两个正方形 C.两个矩形 D.两个菱形 【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法 解答. 【解答】解：A、两个平行四边形不一定相似，故本选项错误： B、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确： C、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项错误： D、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误， 故选：B 【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形的性质是解题的关 键，难度适中. 【变式】如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD 的中点. D (1)试说明四边形EFGH是平行四边形. (2)四边形EFGH与口ABCD相似吗？说明理由. 【解析】(1)，四边形ABCD是平行四边形，点O是两对角线的交点， ∴.OA=OC,OB=OD ,:E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点， .OE=0A.OG-OC.OF-TOB.OH-OD, ∴.OE=OG,OF=OH, 10