专题05 因式分解（期末真题汇编45题，上海专用）七年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题05 因式分解 6大高频考点概览 考点01 因式分解的意义 考点02 提公因式法分解因式 考点03 平方差公式分解因式 考点04 完全平方公式分解因式 考点05 十字相乘法 考点06 分组分解法 地 城 考点01 因式分解的意义 一、单选题 1．(24-25七上·上海静安区·期末)关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是关键． 【详解】解：①没有降次，不属于因式分解； ②，属于因式分解； 所以①不是因式分解，②是因式分解 故选：D． 2．(24-25七上·上海青浦区·期末)下列变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解的定义及提公因式法分解因式，根据因式分解是指将几个单项式和的形式转化为几个单项式或多项式的积的形式，逐个判断即可，熟练掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解是解题的关键． 【详解】解：、，不属于因式分解，不符合题意； 、，是整式的乘法运算，不属于因式分解，不符合题意； 、，不属于因式分解，不符合题意； 、，属于因式分解，符合题意； 故选：． 3．(24-25七上·上海闵行区·期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项不是因式分解，则A不符合题意； B. 是乘法运算，则B不符合题意； C. 符合因式分解的定义，则C符合题意； D. 等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：C． 4．(24-25七上·上海普陀区·期末)下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的意义．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【详解】解：中等号左边是单项式，则A不符合题意； 是乘法运算，则B不符合题意； 符合因式分解的定义，则C符合题意； 中等号右边不是积的形式，则D不符合题意； 故选：C． 5．(23-24七上·上海宝山区·期末)下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式．据此作答即可．此题考查因式分解的意义，解题关键在于掌握多项式的因式分解． 【详解】A、等式右边不是乘积形式，故选项不符合题意； B、，是因式分解，故选项符合题意； C、，不是因式分解，故选项不符合题意； D、，等式右边不是乘积形式，故选项不符合题意． 故选：B． 6．(23-24七上·上海普陀区·期末)下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解；根据因式分解的概念，即把一个多项式化成几个整式的积的形式，进行逐一分析判断． 【详解】解：A、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； B、符合因式分解的概念，故本选项符合； C、该变形是整式乘法，不是因式分解，故本选项不符合； D、该变形没有分解成积的形式，故本选项不符合． 故选：B． 二、填空题 1．(24-25七上·上海闵行区·期末)一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解和多项式乘多项式，根据多项式乘多项式的法则计算即可得出答案． 【详解】解： ， 所以这个整式是， 故答案为：． 2．(24-25七上·上海普陀区·期末)已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的意义．由题意可得式，则，，根据m、p，q都为整数确定m的值即可． 【详解】解：由题意可得， 则，， ∵m、p，q都为整数， ∴，或，， 则或， 故答案为：． 地 城 考点02 提公因式法分解因式 一、单选题 1．(24-25七上·上海进才中学·期末)把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了提公因式法分解因式，解题的关键是正确找出公因式．直接提取公因式即可分解． 【详解】解：， 故选：D． 2．(23-24七上·上海金山区·期末)下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A. ，该选项错误，不符合题意； B. ，该选项正确，符合题意； C. ，该选项错误，不符合题意； D. ，该选项错误，不符合题意． 故选：B． 二、填空题 1．(24-25七上·上海青浦区·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解—分组分解法，先把原式中一二两项分成一组，三四两项分成一组，每组分别提取公因式，最后组与组之间提取公因式即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 2．(24-25七上·上海进才中学·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式：系数，取各项系数的最大公因数，字母，取各项都含有的相同字母，并且相同字母的指数取次数最低的．准确的找出公因式是解题的关键．确定公因式即可即可求解． 【详解】 故答案为： 3．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)因式分解：（n是正整数） ． 【答案】 【分析】本题考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题的关键，直接利用提取公因式法分解因式得出即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．(24-25七上·上海宝山区·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解，直接提取公因式即可分解因式． 【详解】解：； 故答案为： 5．(23-24七上·上海普陀区·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查提取公因式法因式分解，利用提取公因式法因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 地 城 考点03 平方差公式分解因式 一、填空题 1．(24-25七上·上海进才中学·期末)已知，，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了平方差公式、解二元一次方程组，利用平方差公式因式分解是解题的关键．由变形得，结合可得，再利用二元一次方程组解得、的值，即可解答． 【详解】解：， ， 又， ， ， 解得：， ． 故答案为：7． 2．(24-25七上·上海上宝中学·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式后三项结合后写成完全平方，然后再运用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 3．(24-25七上·上海市北初级中学·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】根据平方差公式分解因式，即可． 【详解】解：， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查因式分解，掌握平方差公式是解题的关键． 4．(23-24七上·上海闵行区·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查的是分解因式．后三项用完全平方公式分解后，再用平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．(23-24七上·上海奉贤区·期末)如果一个多项式因式分解后有一个因式为，那么符合条件的多项式可以是 ．（只需写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查多项式的因式分解，根据提取公因式、平方差公式或完全平方公式等知识解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 地 城 考点04 完全平方公式分解因式 一、单选题 1．(24-25七上·上海松江区·期末)下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用公式法进行因式分解，熟记能用公式法进行因式分解的式子的特点是解题的关键． 根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； B：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； C：不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故此选项不符合题意； D：，故此选项符合题意． 故选：D ． 二、填空题 1．(24-25七上·上海延安初级中学·期末)如果，那么的值为 ． 【答案】/0.25 【分析】本题考查因式分解、非负数的性质、代数式求值，根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方式的非负性求得x、y值，进而代值求解即可． 【详解】解：由得， 即， ∵，， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：． 2．(23-24七上·上海华育中学·期末)分解因式： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 先提取公因式x，再利用完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 1．(24-25七上·上海民办扬波中学初中部·期末)因式分解： 【答案】 【分析】本题重点考查完全平方公式分解因式和提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式需要运用完全平方公式，完全平方公式为，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法，熟练掌握因式分解的技巧是本题解题的关键． 先对前三项运用完全平方公式，后两项提取公因式，最后再提取公因式，即可完成计算． 【详解】解： ． 2．(24-25七上·上海进才中学北校·期末)已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解；通过完成平方将方程转化为平方和为零的形式，从而求出和的值． 【详解】解：， ∴， 化简得 ， 所以 且 ， 解得 ， ， 因此 ． 3．(24-25七上·上海浦东新区川沙新镇·期末)因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决问题的关键． 先由平方差公式因式分解，再由完全平方和与完全平方公式因式分解即可得到答案． 【详解】解： ． 4．(24-25七上·上海进才中学北校·期末)因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解，包括提取公因式法，公式法，以及完全平方公式与平方差公式，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法并能针对不同题型使用不同方法． （1）通过提取公因式和完全平方公式进行因式分解； （2）通过完全平方公式和平方差公式进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 地 城 考点05 十字相乘法 一、单选题 1．(23-24七上·上海浦东新区部分学校联考·期末)已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 【答案】D 【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可． 【详解】解：∵甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数， ∴甲为，乙为，丙为， 则甲与丙相减的差为：； 故选：D 二、填空题 1．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了用十字相乘法因式分解，要注意利用是解决问题的关键． 利用十字相乘法解答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的十字相乘法．利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解：原式 故答案为： 3．(24-25七上·上海延安初级中学·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，根据进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握十字相乘法进行因式分解． 【详解】解： ∵， ∴． 故答案为：． 5．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是 ． 【答案】或 【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解．把分成和，和，和，和，进而得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述：的取值是或， 故答案为：或． 6．(23-24七上·上海宝山区·期末)如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于 ． 【答案】 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成或即可求解． 【详解】解：，， ，， 如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于． 故答案为：． 7．(23-24七上·上海松江区·期末)分解因式：= ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，掌握及十字相乘法的分解方法是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案：． 8．(23-24七上·上海浦东新区部分学校联考·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】， 故答案为：． 9．(23-24七上·上海杨浦区·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为；． 10．(23-24七上·上海浦东新区川沙镇·期末)分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，利用十字相乘法分解因式即可；解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【详解】． 故答案为：． 三、解答题 1．(23-24七上·上海闵行区·期末)因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．先将看作整体，利用十字相乘法分解，再对利用十字相乘法继续分解即可． 【详解】解： ． 地 城 考点06 分组分解法 一、填空题 1．(24-25七上·上海华曜宝山实验学校·期末)因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解－分组分解法、提公因式法，正确找出可提取的公因式是解题关键． 利用分组分解法，将原式重新组合为，再进行因式分解，前两项提公因式a，后两项提公因式，再应用提公因式法分解即可. 【详解】解： 故答案为： 二、解答题 1．(24-25七上·上海浦东新区民办欣竹中学·期末)因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法，公式法进行分解因式，十字相乘法分解因式．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把原式整理得，再运用平方差公式进行因式分解，即可作答． （2）先把原式整理得，再运用十字相乘法进行因式分解，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．(24-25七上·上海闵行区莘松中学·期末)乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 【答案】(1)②，① (2) 【分析】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据平方差公式和提取公因式的概念填空即可． （2）先将多项式分组，再在组内利用完全平方公式和提公因式法分解，最后再整体提公因式即可求解； 【详解】（1）解：乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是平方差公式， 第二步到第三步因式分解运用的方法是提公因式法． 故答案为：②，①． （2）解： ． 3．(24-25七·上海华东师范大学第二附属中学·期末)因式分解： 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 先分组分解，再用提取公因式法分解． 【详解】解： ． 4．(24-25七上·上海杨浦区·期末)因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据式子特点先分组为：，然后利用平方差公式和完全平方公式，最后再用十字相乘法分解答即可； （2）根据式子特点将原式变形为，然后整理得，设，整理得，最后把代入即可得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ， 设， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 5．(24-25七上·上海徐汇区民办南模中学·期末)因式分解：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先分组得到，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 因式分解 6大高频考点概览 考点01 因式分解的意义 考点02 提公因式法分解因式 考点03 平方差公式分解因式 考点04 完全平方公式分解因式 考点05 十字相乘法 考点06 分组分解法 地 城 考点01 因式分解的意义 一、单选题 1．(24-25七上·上海静安区·期末)关于等式和从左到右的变形，下列说法中（　　） A．①和②都是因式分解 B．①和②都不是因式分解 C．①是因式分解，②不是因式分解 D．①不是因式分解，②是因式分解 2．(24-25七上·上海青浦区·期末)下列变形属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25七上·上海闵行区·期末)下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25七上·上海普陀区·期末)下列从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24七上·上海宝山区·期末)下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 6．(23-24七上·上海普陀区·期末)下列从左到右的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25七上·上海闵行区·期末)一个整式可因式分解为，那么这个整式是 ． 2．(24-25七上·上海普陀区·期末)已知整式可以因式分解为，如果、、都为整数，那么的值为 ． 地 城 考点02 提公因式法分解因式 一、单选题 1．(24-25七上·上海进才中学·期末)把因式分解时，提出公因式后，另一个因式是（） A． B． C． D． 2．(23-24七上·上海金山区·期末)下列各等式中，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25七上·上海青浦区·期末)因式分解： ． 2．(24-25七上·上海进才中学·期末)因式分解： ． 3．(23-24七上·上海外国语大学附属外国语学校·期末)因式分解：（n是正整数） ． 4．(24-25七上·上海宝山区·期末)因式分解： ． 5．(23-24七上·上海普陀区·期末)因式分解： ． 地 城 考点03 平方差公式分解因式 一、填空题 1．(24-25七上·上海进才中学·期末)已知，，则 ． 2．(24-25七上·上海上宝中学·期末)因式分解： ． 3．(24-25七上·上海市北初级中学·期末)分解因式： ． 4．(23-24七上·上海闵行区·期末)因式分解： ． 5．(23-24七上·上海奉贤区·期末)如果一个多项式因式分解后有一个因式为，那么符合条件的多项式可以是 ．（只需写一个） 地 城 考点04 完全平方公式分解因式 一、单选题 1．(24-25七上·上海松江区·期末)下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25七上·上海延安初级中学·期末)如果，那么的值为 ． 2．(23-24七上·上海华育中学·期末)分解因式： ． 三、解答题 1．(24-25七上·上海民办扬波中学初中部·期末)因式分解： 2．(24-25七上·上海进才中学北校·期末)已知，求的值． 3．(24-25七上·上海浦东新区川沙新镇·期末)因式分解：． 4．(24-25七上·上海进才中学北校·期末)因式分解 (1) (2) 地 城 考点05 十字相乘法 一、单选题 1．(23-24七上·上海浦东新区部分学校联考·期末)已知甲、乙、丙均为x的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为，乙与丙相乘的积为，则甲与丙相减的结果是(  ) A． B．5 C．1 D． 二、填空题 1．(24-25七上·上海延安中学附属吾学校·期末)分解因式： ． 2．(24-25七上·上海嘉定区四校联考·期末)因式分解： ． 3．(24-25七上·上海延安初级中学·期末)因式分解： ． 4．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)因式分解： ． 5．(23-24七上·上海曹阳二中附属中学·期末)如果多项式在整数范围内可以因式分解，那么m可以取的值是 ． 6．(23-24七上·上海宝山区·期末)如果关于的二次三项式可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数等于 ． 7．(23-24七上·上海松江区·期末)分解因式：= ． 8．(23-24七上·上海浦东新区部分学校联考·期末)因式分解： ． 9．(23-24七上·上海杨浦区·期末)分解因式： ． 10．(23-24七上·上海浦东新区川沙镇·期末)分解因式： ． 三、解答题 1．(23-24七上·上海闵行区·期末)因式分解：． 地 城 考点06 分组分解法 一、填空题 1．(24-25七上·上海华曜宝山实验学校·期末)因式分解： ． 二、解答题 1．(24-25七上·上海浦东新区民办欣竹中学·期末)因式分解： (1) (2) 2．(24-25七上·上海闵行区莘松中学·期末)乐乐在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解 解：原式  第一步   第二步 ．  第三步 ①提公因式法； ②公式法； ③十字相乘法． (1)乐乐从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）； (2)请你按照上述方法分解因式：． 3．(24-25七·上海华东师范大学第二附属中学·期末)因式分解： 4．(24-25七上·上海杨浦区·期末)因式分解： (1)； (2)． 5．(24-25七上·上海徐汇区民办南模中学·期末)因式分解：． 2 / 19 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $