大题05 函数与导数（专项训练，5大题型+高分必刷）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

大题05 函数与导数 根据近几年的高考情况，函数与导数是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查切线方程，单调性，零点，恒成立等综合问题。常利用数形结合去解决该类问题，培养学生的能力，并且该部分常用于拔高。 题型一：利用导数研究函数的单调性 （2025·北京西城·模拟）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递减区间； (3)若函数在区间上只有一个极值点，求a的取值范围． 【解题指导】（1）当时，求出的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程； （2）当时，求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递增区间； （3）令，分析可知，函数在上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围. 【规范答题】（1）当时，，则， 所以， 曲线在点处的切线方程为， （2）当时，， 所以该函数的定义域为， ， 由，解得或， 所以当时，求函数的单调递减区间为， （3）因为， 则， 令，因为函数在区间上只有一个极值点， 则函数在上有一个零点， 当时，对任意的，，不合乎题意； 当时，函数在上单调递增， 因为，只需，合乎题意； 当时，函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，只需，不合乎题意，舍去. 综上所述，实数a的取值范围是. 1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 2、求函数单调区间的步骤 （1）确定函数的定义域； （2）求（通分合并、因式分解）； （3）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递增区间； （4）解不等式，解集在定义域内的部分为单调递减区间． 3、含参函数单调性讨论依据： （1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； （2）导函数的零点在不在定义域或区间内； （3）导函数多个零点时大小的讨论。 1.（2025·北京顺义·三模）设函数 ，且在处的切线方程为. (1) 求k的值； (2) 求的单调区间； (3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由. 【解题指导】（1）根据导数的几何意义可得，可得解； （2）利用导数求函数单调性； （3）求出切线方程，设，转化为在恒成立，再由二次函数性质可解. 【规范答题】（1）， 则， 解得； （2）， 令，得或， 当时，，所以函数在和上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为； （3）因为，所以，， 所以处切线方程为， 整理得：， 设， 则 ， 所以， 若在单调，则恒成立， 所以只有即或（舍）时，恒成立， 即在单调递增，所以. 2.（2025·北京丰台·二模）已知函数在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)求的单调区间； (3)若，求的取值范围． 【解题指导】（1）根据函数在某点处的切线方程，利用导数几何意义以及该点在函数图像和切线上来求解的值； （2）通过对函数求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （3）将的表达式代入不等式，通过移项、因式分解等方法求解的取值范围. 【规范答题】（1）因为， 所以． 由题意，解得. （2）由（1）得． 令，解得． 当变化时，的变化情况如表所示： -4 -1 0 - 0 + 0 - 0 + 单调递减 单调递增 1 单调递减 0 单调递增 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）设． 设，则． 当时，在上单调递增，， 当时，在上单调递减，， 所以恒成立． 由题意，等价于或， 解得或． 综上，的取值范围是． 题型二：利用导数研究函数的极值 （2025·北京通州·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 【解题指导】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【规范答题】（1）由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 1、利用导数求函数极值的方法步骤 （1）求导数； （2）求方程的所有实数根； （3）观察在每个根x0附近，从左到右导函数的符号如何变化． ①如果的符号由正变负，则是极大值；②如果由负变正，则是极小值；③如果在的根x＝x0的左右侧的符号不变，则不是极值点． 根据函数的极值(点)求参数的两个要领： ①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； ②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证. 1．（25-26高三上·北京朝阳·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在处取得极小值，求的值，并说明理由. (3)若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围. 【解题指导】（1）由导数的几何意义即可求解； （2）由导数与极值的关系即可求解； （3）根据导函数的初始值，结合导函数的图象的连续性，进行分类讨论研究，即可得到实数的取值范围. 【规范答题】（1）因为，则，， 故，所以曲线在点处的切线方程为 （2）由（1）知，所以，此时，，当时，， 所以在区间上单调递增， 设，则，设，则， 所以，当，，所以在区间上单调递增， 又，，故存在使得， 所以当时，，即， 所以在区间上单调递减，故函数在时，取得极小值，所以， 所以的值为； （3）因为，则，， 当，即，由函数图象的连续性可知， 必存在正实数，使得对任意的，， 此时单调递增，从而，不符合题意； 当，即，由函数图象的连续性可知， 必存在正实数，使得对任意的，， 对应单调递减，从而，符合题意； 当时，，， 设，在上恒为正， 所以在上单调递增， 所以在上，在上单调递增， 从而，不合题意； 综上，的范围是 2．（2025·北京朝阳·二模）已知函数. (1)当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：； (2)若函数的极大值大于0，求a的取值范围. 【解题指导】(1)（i）求导，根据点斜式直线方程求解；（ii）构造函数，求的最大值即可； (2) 函数，求出的最大值，并对最大值做讨论即可. 【规范答题】（1）， ，， （i）在处的切线方程为； （ii）令 ，则 ，当时 单调递减， 当时单调递增，在处取得最大值 ， ； （2）由题可知 ，则 ，    ， ，令 ， 当 时是减函数，当 时是增函数， 处取得极大值，也是最大值， ， 令 ，显然是增函数，欲使得 ， ，即 ，解得 ， 所以a的取值范围是 . 题型三：利用导数研究函数的最值 （2025·北京海淀·三模）已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【解题指导】（1）求出导函数，得出单调性，进而求出极值和极值点情况； （2）求出，根据的值域确定出的正负性，进而得出单调性即可求最值； （3）将问题转化为使得成立，求的最小值即可. 【规范答题】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 函数在区间上连续，在内可导，则求函数最值的步骤为： （1）求函数在区间上的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （3）实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 1．（2025·北京密云·模拟预测）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)讨论的单调区间； (3)若对任意，都有，求的最大值.（参考数据：） 【解题指导】（1）求得，，再根据导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）讨论参数与和的大小关系，在不同情况下，求函数单调性，即可求得单调区间； （3）将问题转化为在上的最大值，根据（2）中所求单调性，求得，再构造函数解关于的不等式即可. 【规范答题】（1），，又，， 故的图象在点处的切线方程为，即. （2），又，， 则时，当，，单调递增；当，，单调递减； 时，当，，单调递减；当，，单调递增； 当，，单调递减； 时，当，，在单调递减； 时，当，，单调递减；当，，单调递增； 当，，单调递减. 综上所述：当，的单调增区间为，单调减区间为； 当，的单调减区间为，单调增区间为； 当，的单调减区间为，没有单调增区间； 当，的单调减区间为，单调增区间为. （3）若对任意，都有，则在上的最大值； 由（2）可知，当，在单调递增，在单调递减， 故； 令，则， 故在单调递增，又，则； 故当时，， 也即当时，对任意，都有. 故的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第三问处理的关键是，将在区间上恒成立，转化为，再根据第二问中所求函数单调性求得，再构造函数解不等式即可. 2．（2025·北京丰台·三模）已知函数. (1)求曲线的斜率为1的切线方程； (2)证明：； (3)设，求在区间上的最大值和最小值. 【解题指导】（1）求出函数的导函数，令求出，即可求出切点的横坐标，从而求出切点坐标，即可求出切线方程； （2）求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得证； （3）求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出函数的极值，在计算区间端点值，即可求出函数的最值. 【规范答题】（1）因为，所以，令， 解得，则，所以切点为，切线的斜率， 所以切线方程为，即. （2）因为定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值即最小值，所以，所以. （3）因为，， 则， 令，则， 所以时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 所以使得，所以当时，当时，当时， 即当时，当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 又，，又， 所以， 由（2）知，，则， 所以，. 题型四：利用导数研究函数恒成立问题 （2025·北京顺义·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)设，讨论函数的单调性； (3)若对任意的，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解题指导】（1）将代入函数中，对函数求导，求出切线斜率，利用点斜式即可； （2）先对原函数求导，然后利用分类讨论的思想进行分析求解即可； （3）构造函数，将问题转化，然后利用函数导数的单调性求解即可. 【规范答题】（1）， ， ， 当时，， 切点坐标为， 又，切线斜率为， 曲线在处切线方程为： . （2），， ，， ，， ①当时，成立， 的单调递减区间为，无单调递增区间. ②当时，令， 所以当时，，在上单调递减 时，，在上单调递增 综上: 时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）， ， ， 令，， 由已知可得： 且， 的单调区间是 ，， 时，恒成立， ，， 令，，即证，， 成立， 的单调递减区间为， ， 恒成立， 综上：的取值范围是. 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 1．（2025·北京东城·期中）已知函数． (1)时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)证明不等式恒成立． 【解题指导】（1）求出切点坐标，用导数的几何意义求出切线斜率即可求解； （2）求出导函数后对的值进行分情况讨论即可求； （3）用切线不等式可证得结果. 【规范答题】（1）时，，依题意切点坐标为， ，所以函数在处的切线的斜率为， 故函数在处的切线方程为，即. （2）的定义域为，， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 时，，单调递增， 时，，单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）要证恒成立，即证恒成立， 令，，由（2）可知， 在上单调递增，在上单调递减， 所以恒成立， 即有时恒成立，当且仅当时取“=”号， 亦有即恒成立，当且仅当，即时取“=”号. 所以一方面，当且仅当，即时取“=”号， 另一方面恒成立，当且仅当时取“=”号， 所以恒成立，原不等式得证. 2．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数． (1)若在处的切线与x轴平行，求a的值； (2)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； (3)若在区间上恒成立，求a的取值范围． 【解题指导】（1）根据导数几何意义可得在处的切线斜率为0，即可得； （2）利用导函数对参数进行分类讨论，判断出函数的单调性即可求得极值点； （3）将不等式在区间上恒成立转化成函数在恒成立，利用导数求得当时，成立，即可求得的取值范围. 【规范答题】（1）由题可得，， 又切线与x轴平行，所以，即，解得． 经检验，当时，在处的切线为，满足题意． 所以. （2）易知函数的定义域为，又， 则当时，恒成立，在上单调递增，无极值点； 当时，令，则， 和随的变化如下表： x － 0 ＋ 极小值 此时，存在极小值点为，无极大值点． （3）设，则， 当时，，则在上单调递增，，结论不成立； 当时，令，则， 若，即，和随的变化如下表: x － 0 ＋ 极小值 若在区间上恒成立，则只需. 设，，则， 所以在上单调递增，， 因此在上无解； 若，即，，在上单调递减， 所以恒成立， 综上所述，a的取值范围是． 题型五：利用导数研究函数的零点问题 （2025·北京石景山·一模）设函数． (1)若m＝－1， ①求曲线在点处的切线方程； ②当时，求证：. (2)若函数在区间上存在唯一零点，求实数m的取值范围. 【解题指导】（1）①对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，然后代入点斜式直线方程即可求解. ②令，利用导数法求得其在上单调递减，结合，即可证明. （2）对函数求导，分类讨论研究函数的单调性，利用零点存在性定理求解即可. 【规范答题】（1）①当时，，可得， 则， 可得曲线在点处的切线方程为，即． ②令， 则， 当时，可得在上单调递减， 又因为，所以，即，即， 即当时，. （2）由函数，可得， 令， 当时，，即在区间上单调递增． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意； 当时，函数的图像开口向上，且对称轴为直线， 由，解得， 当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递减． 因为，所以， 所以函数在区间上没有零点，不符合题意． 综上可得，， 设使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 因为，要使得函数在区间上存在唯一零点， 则满足，解得， 所以实数m的取值范围为． 导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。 1．（2025·北京顺义·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，讨论的零点个数. 【解题指导】（1）求得导数，结合上，导数的符号，即可求解函数的单调区间； （2）求得，分、，两种情况讨论，求得函数的单调性，结合零点的存在定理，得到结论. 【规范答题】（1）解：当时，函数， 可得. 当在区间上变化时，，f（x）的变化如下表： x 0 0 + 0 - f（x） 极小值1 极大值 -1 所以的单调增区间为；的单调减区间为. （2）解：由题意，函数， 可得 当时，在上恒成立， 所以时，，所以在上单调递增. 又因为，所以f（x）在上有0个零点. 当时，令，可得. 由可知存在唯一的使得， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 因为，，， ①当，即时，在上有0个零点. ②当，即时，在上有1个零点. 综上可得，当时，有1个零点；当时，有0个零点. 2．（2025·北京朝阳·模拟预测）设函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最大值并记为，求的最小值； (3)当时，求零点的个数. 【解题指导】（1）根据导数的几何意义，即可求得切线方程； （2）首先利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性求函数的最大值，再利用导数求函数的最小值； （3）首先利用导数求函数的单调性和最大值，再结合零点存在性定理，即可求解函数的零点个数. 【规范答题】（1），，， 所以函数在处的切线方程是； （2），， 当时，，所以函数在单调递减，函数没有最大值，故舍去； 当时，，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，函数取得最大值， ，得， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，函数取得最小值，. （3）当时，， ，得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数取得最大值，， 当时，，所以时，必存在一个零点， 当时，，所以时，必存在一个零点， 综上可知，函数零点个数是2个. 1．（2025·北京通州·二模）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，若对于任意，不等式成立，求a的取值范围． 【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再把代入原函数求出，最后由点斜式写出直线方程即可； （2）求导后令导数为零，解出两个根，再由导数的正负确定单调区间即可； （3）含参数的函数不等式恒成立问题，先由单调性得到，，，解不等式得到参数的范围，再比较参数大小，确定范围即可. 【详解】（1）因为，所以． 所以． 所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． 因为，令，即， 解得，，所以． 当x变化时，，的变化情况如下表所示． x 2 0 0 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 所以的单调递减区间为和，单调递增区间为． （3）在（2）的条件下，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 因为对于任意，不等式成立， 所以，，． 所以，得，，得； ，得． 因为， 所以． 所以a的取值范围是． 2．（2025·北京西城·模拟预测）已知函数. (1)若，求在处切线方程； (2)求的极大值与极小值； (3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点. 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解； （2）求出函数导数，分类讨论得函数单调性，根据单调性求函数极值即可； （3）根据（2）判断函数大致变化趋势，由函数零点个数即函数图象与x轴交点个数可证明. 【详解】（1）当时，，， 所以， 又， 所以切线方程为，即. （2）， 当时，，解得， 故时，，单调递减；时，，单调递增， 故时，的极小值为，无极大值； 当时，令，解得，， 故当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故的极大值为，极小值为； 当时，令，解得，， 故当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的极大值为，极小值为； 综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为. （3）当时，由（2）知， 在和上单调递增， 在上单调递减，且时，恒成立， 时，， 又的极大值为，极小值为， 所以存在实数时，函数有三个零点. 3．（2025·北京石景山·一模）已知函数. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求证：，. (2)若在上恰有一个极值点，求的取值范围. 【分析】（1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论； （2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围. 【详解】（1）当时， （ⅰ） ，又，所以切线方程为. （ⅱ），，因为，所以, 所以，所以 所以在单调递增，所以； （2）， 当时，所以， , 由（1）知，， 所以在上单调递增. 所以当时，没有极值点， 当时，， 因为与在单调递增. 所以在单调递增. 所以，. 所以使得. 所以当时，，因此在区间上单调递减， 当时，，因此在区间上单调递增. 故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是. 4．（2025·北京顺义·一模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在 上的最大值和最小值； (3)设 ，证明：对任意的，有． 【分析】（1）先求出在 处的导数，再根据点斜式直线方程求解； （2）求导，判断导数的符号，求出 的单调性，根据单调性求解； （3）运用同构的思想构造函数，根据单调性证明. 【详解】（1） ， ，在点处的切线方程为 . （2） ， 是偶函数， 则 ，单调递增， ，  ，   在 上单调递减，在 上单调递增， ∴当时，取最小值1，当 或 时，取最大值. （3）要证明对任意的，有， 只需证明对任意的，有 ， ， ，在上上单调递减， ，. 5．（2025·北京房山·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数在上的最小值. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程； （2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值. 【详解】（1）当时， 所以. 所以曲线在处的切线方程为：. （2）. ①当时，. 所以时，. 所以在上是增函数.所以. ②当时，令，解得（舍） 1°当，即时，时，. 所以在上是增函数.所以. 2°当，即时， x - 0 + 减函数 极小值 增函数 所以. 3°当，即时，时，. 所以在上是减函数.所以. 综上，当时，； 当时，. 当时，. 6．（2025·北京海淀·模拟）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）由题设可得，根据的符号研究的单调性，进而确定极值. （2）对任意的恒成立，转化为：对任意的恒成立，令，通过求导求的单调性进而求得的最大值，即可求出实数a的取值范围. 【详解】（1）当时，，的定义域为， ，则. 令，则，令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增. 当时，取得极小值且为，无极大值. （2）对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，，所以， 则在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，则，则. 实数a的取值范围为：. 7．（2025·北京西城·模拟）设函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为1，求实数的值； (2)求的单调区间； (3)若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值. 【分析】（1）利用导数的几何意义直接求解即可； （2）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； （3）利用分离参数可得，令，利用导数求出函数的最小值，即可求解. 【详解】（1）由已知条件得， 在点处的切线斜率为， 即， （2）的定义域为, ， 若，则，则在上单调递增； 若，由得，由得， 则单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由得， 整理得， 当时，，即 令，则. 令，由（2）知，函数在上单调递增， 其中，， ∵由零点存在性定理可知在上存在唯一的零点，即， ∴在上，在上， ∴在上，在上， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴在上的最小值为， 又∵，∴，即， ∴，且为整数， ∴的最大值. 8．（2025·北京海淀·模拟预测）设函数，． (1)设是图象的一条切线，求证：当时，与坐标轴圈成的三角形的面积与切点无关； (2)若函数在定义域上单调递减，求a的取值范围； (3)当时，直接写出函数零点的个数． 【分析】(1)根据导数的几何意义求出切线l的方程，求出l的横纵截距，求出其与坐标轴围成的三角形面积为定值即得证； (2)问题等价于在上恒成立，参变分离即可求a的范围； (3)令f(x)＝0，参变分离求出a＝，讨论h(x)的图像特征即可求f(x)零点个数. 【详解】（1）当时，，， 设图象上任意一点， 切线l斜率为. 过点的切线方程为， 令，解得； 令，解得. 切线与坐标轴围成的三角形面积为. ∴与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关； （2）由题意，函数的定义域为. ∵在上单调递减， ∴在上恒成立， 即当恒成立， ∴， ∵当，当且仅当时取等号. ∴当时，， ∴. ∴的取值范围为. （3）时，f(x)零点个数为0；，f(x)零点个数为1；a＞e时，f(x)零点个数为2. 显然x＝1不是f(x)的零点，∴， 令，x＞0且x≠1则， ， ∴在单调递减，在单调递增， ∴在(0，1)时，h(x)有极小值；在(1，＋∞)时，h(x)＜0， ∴如图： ∴时，f(x)零点个数为0；，f(x)零点个数为1；a＞e时，f(x)零点个数为2. 9．（2025·北京平谷·模拟预测）设函数（）. (1)当时， ①求曲线在点处的切线方程； ②求函数的最小值. (2)设函数，证明：当时，函数至多有一个零点. 【分析】（1）①利用求导求出切线的斜率，然后写出直线方程； ②求导后分析函数的单调性可求得最小值； （2）对参数进行分类讨论，利用倒数来分析函数的单调性来确定函数的零点. 【详解】（1）解：由题意得： 函数定义域为， 当时 ① 所以曲线在点处的切线方程是. ②令，当即函数递减区间为； 当时，即函数递增区间为 所以函数的最小值； （2）因为 令， ①时，，函数在定义域上单调递增，至多有一个零点； ②时，，令，得，令，得 所以函数在区间单调递减，在区间单调递增 则函数在时有最小值，此时函数无零点. ③时，，令，得或 令，得 所以函数在区间单调递增，在区间单调递减 因为函数，所以，且在区间上恒成立. 所以函数在区间上至多有一个零点. 综上，当时，函数至多有一个零点. 10．（2025·北京·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在极值，求实数的取值范围； (3)求证：对任意，都存在，使得． 【分析】（1）利用导数的几何意义进行求解即可； （2）利用导数分情况讨论函数的单调性，判断极值即可求解 （3）利用（2）中的函数的单调性，将进行赋值即可证明. 【详解】（1）当时，，， ，又， 曲线在点处的切线方程为：； （2），， 当时，，在上单调递减，无极值； 当时，令，即， 解得， 当时，， 0 0 极大值 极小值 的单调递增区间为，单调递减区间为，为函数的两个极值点， 故符合题意； 当时，， 在上单调递增，无极值. 综上，实数的取值范围为； （3）①当时，由（2）知，在上单调递减， 令，则，； ②当时，为极大值，为极小值， ， 令，则； ③当时，在上单调递增，令， ，； 综上，对任意，都存在，使． 1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线． (1)求的最大值； (2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； (3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围． 【分析】（1）利用导数判断其单调性，即可求出最大值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围. 【详解】（1）设，， 由可得，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值为. （2）因为，所以直线的方程为，即， 设，， 由（1）可知，在上单调递增，而， 所以，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，且， 而当时，，所以总有，单调递增 故，从而命题得证； （3）解法一：由题意，直线，直线， 所以，， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以 ， 由（1）可得当时，， 所以， 所以. 解法二：由可设，又，所以，即， 因为直线的方程为，易知， 所以直线的方程为, ，. 所以 ,由（1）知,当时，，所以, 所以. 2．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2），切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 3．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； (2)设函数，求的单调区间； (3)求的极值点个数． 【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可； （2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间； （3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数. 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. （2）由（1）得， 则， 令，解得，不妨设，，则， 易知恒成立， 所以令，解得或；令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和. （3）由（1）得，， 由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减； 所以在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，， 所以，则单调递增， 所以在上无极值点； 综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解. 4．（2022·北京·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，讨论函数在上的单调性； (3)证明：对任意的，有． 【分析】（1）先求出切点坐标，在由导数求得切线斜率，即得切线方程； （2）在求一次导数无法判断的情况下，构造新的函数，再求一次导数，问题即得解； （3）令，，即证，由第二问结论可知在[0,+∞）上单调递增，即得证. 【详解】（1）解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： （2）解：因为，     所以， 令， 则， ∴在上单调递增， ∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增. （3）解：原不等式等价于， 令，， 即证， ∵， ， 由（2）知在上单调递增， ∴， ∴ ∴在上单调递增，又因为， ∴，所以命题得证. 5．（2021·北京·高考真题）已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果. 【详解】（1）当时，，则，，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； （2）因为，则， 由题意可得，解得， 故，，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为. 当时，；当时，. 所以，，. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 大题051 函数与导数 明考情·和方向 根据近几年的高考情况，函数与导数是高考必考点。虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍 有可能在解答中考查这部分内容。在高考中，主要考查切线方程，单调性，零点，恒成立等综合问题。常 利用数形结合去解决该类问题，培养学生的能力，并且该部分常用于拔高。 研大题·提能力 题型一：利用导数研究函数的单调性 题型二：利用导数研究函数的极值 函数与导数 题型三：利用导数研究函数的最值 题型四：利用导数研究函数恒成立问题 题型五：利用导数研究函数零点问题 题型一：利用导数研究函数的单调性 曲列 (2025北京西城模拟)己知函数f(x) (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1，fI)处的切线方程： (2)当a=1时，求函数f(x)的单调递减区间： (3)若函数f(x)在区间(0,1)上只有一个极值点，求a的取值范围. 悟技能 1、求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成· 基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进， 行换元 2、求函数单调区间的步骤 1/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 厂1)确定函数f(x)的定义域： (2)求∫'(x(通分合并、因式分解)； (3)解不等式'(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间； !(4)解不等式'(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 」3、含参函数单调性讨论依据： (1)导函数有无零点讨论（或零点有无意义）； (2)导函数的零点在不在定义域或区间内； (3)导函数多个零点时大小的讨论。 变式 1.(2025·北京顺义·三模)设函数f(x=x2-kx+ln2x,且在(1，f(1）处的切线方程为y=-2+n2 (1)求k的值： (2)求fD的单调区间； 3)设y=g(x)为fx在点(t,f(t)切线方程，是否存在t使得函数h(x)=f(x)-gx)单调？若存在，求出 所有t的值；如不存在，说明理由 2.(2025北京丰台.二模)己知函数f(x)=x3+2x2)e+(a,b∈R)在点-l,f(-1)处的切线方程为y=1. (1)求a,b的值； (2)求f(x)的单调区间： 3)若f(x≤-x2-2x,求x的取值范围. -00,-4 .4 (-4,-10 -1 (-1,0 0 (0,+0） f(x) 0 0 f(x刘 单调递减 -32e3 单调递增 1 单调递减 0 单调递增 题型二：利用导数研究函数的极值 曲列 (2025北京通州模拟预测)己知函数fx=lnx-mx2+2-mx. 2/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)若函数f(x)的极值点在(2,3)内，求m的取值范围； (2)若f(x)有两个零点，求m取值的范围。 悟技能 丨1、利用导数求函数极值的方法步骤 I(1)求导数f'(x): 」(2)求方程f'(x)=0的所有实数根： L(3)观察在每个根x附近，从左到右导函数'(x)的符号如何变化. 1①如果∫'(x)的符号由正变负，则f'(x)是极大值；②如果由负变正，则f'(x,)是极小值；③如果在 |f'(x)=0的根x=xo的左右侧∫'(x)的符号不变，则不是极值点. 」根据函数的极值（点）求参数的两个要领： ①列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； !②验证：求解后验证根的合理性本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证 变式 1. (25-26高三上北京朝阳·期中)己知函数f(x)=e+asinx-1a∈R. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若函数f(x)在x=0处取得极小值，求a的值，并说明理由. (3)若存在正实数m,使得对任意的x∈(0，m),都有f(x<0,求a的取值范围. 2.(2025北京朝阳.二模)已知函数f(x)=lnx+2aVx(aeR) (1)当a=1时， (i)求曲线y=f(x)在点1，f(1)处的切线方程； (i)证明：fx≤2x: (2)若函数h(x=fx-2x的极大值大于0，求a的取值范围 题型三：利用导数研究函数的最值 3/10 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 曲5列 （2025北京海淀三模)已知f(=2x+1 √x+a (1)当a=0时，求函数f(x)的极值点和极值； a分》时，求函数在利上的最小值： 3)若不等式f(x)≥的解集非空，求a取值范围. 悟技能 1函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则求函数f(x)最值的步骤为： (1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值； (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个 是最小值； (3)实际问题中，“驻点”如果只有一个，这便是“最值”点。 查式 1. （2025京害云模根测)已知属数到=+上-2行-m (1)求∫(x的图象在点1，f(1)处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调区间； (3)若对任意xe(1,+o),都有f(x)≤ln2-1,求a的最大值.（参考数据：ln2≈0.7） 2.(2025·北京丰台三模)己知函数f(x=xlnx+1-x. (1)求曲线y=f(x的斜率为1的切线方程； (2)证明：f(x)≥0； (3)设gx=f(x,求gx)在区间(0，e上的最大值和最小值， 题型四：利用导数研究函数恒成立问题 典例 （2025北京顺义模拟预测)已知函数f()=e-2. (1)当k=1时，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程； (2)设g(x)='(x),讨论函数g(x)的单调性； 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)若对任意的s,1∈(0，+0)，当0<1<5时，)-f@>1恒成立，求实数k的取值范围 s-t 悟技能 对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： !1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围： 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题， 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的 新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法， 丨注意恒成立与存在性问题的区别. 磨 曹式、 1. (2025·北京东城期中)己知函数f(x=lnx-ax(a∈R) (1)a=1时，求函数f(x在x=1处的切线方程； (2)讨论函数f(x)的单调性： 3)证明不等式e-2-ax>f(x恒成立. 2(2025北京东城模拟预测)已知蛋数=2hr+号. (1)若f(x在1，f(1)处的切线与x轴平行，求a的值： (2)∫x)是否存在极值点，若存在求出极值点，若不存在，请说明理由； 3)若f(x)≥a在区间(0,1上恒成立，求a的取值范围. (0,va a Na,to】 f(x) 0 + f(x) 极小值 (0,va a (a, g'(x) 0 + 5/10 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 g(x) 极小值 题型五：利用导数研究函数的零点问题 曲5列 (2025·北京石景山一模)设函数f(x)=x2+mln(x+1)(m∈R). (1)若m=-1, ①求曲线f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： ②当xe(1,+o)时，求证：f(x)<x3. (2)若函数f(x)在区间(0,1上存在唯一零点，求实数m的取值范围， 一一一一一一一一一-一-一-一-一-一-一-一-一 1悟技能 丨导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、「 」参数的分类讨论等)，需要对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负 和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是 必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方。 查式 1 1. (2025·北京顺义三模)己知函数f(x)=xsinx+cosx+。ax2,x∈[0，π]. (1)当a=0时，求f(x)的单调区间； (2)当a>0时，讨论f(x)的零点个数， 2 下 π 2 '(x 0 0 f (x) 极小值1 极大值 -1 2 2. (2025北京朝阳·模拟预测)设函数∫(x=aln(x+1)-xa≠0). (1)求曲线y=f(x在(0，f(0)处的切线方程； 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)若函数f(x)有最大值并记为M(a),求M(a)的最小值； 3)当a=时，求f(x)零点的个数. 刷大题·拿高分 刷 模拟 1.(2025北京通州.二模)已知函数fy=+r-】,4eR. er (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)当a>0时，求f(x)的单调区间： B（2)的条件下，若对于任意x,不等式号f八≤1+。是成立，求a的取位范司， 2 (2,+0】 f'(x) 0 0 f(x刘 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 2. (2025北京西城模拟预测)已知函数f(x=e(x-1)2. (1)若a=1,求f(x)在0，f(0)处切线方程； (2)求f(x的极大值与极小值； (3)证明：存在实数M,当a>0时，函数y=f(x)-M有三个零点. 3.(2025北京石景山一模)已知函数fx=e-1-m sin x(meR). (1)当m=1时， (i)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (i)求证： f(x)>0. 2诺在(0，上恰有一个极值点，求m的取值花围， 7/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2025·北京顺义.一模)己知函数f(x=x2+cosx. (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： (2)求函数f(x)在[-2π，2π]上的最大值和最小值： (3)设gx=∫(x,证明：对任意的s>1,有gs)-gt<3s-31. 5.(2025北京房山二模)已知函数)=-1e-Ja(@ck). (1)当a=0时，求曲线y=f(x)在x=0处的切线方程； (2)求函数f(x)在[1,2]上的最小值. (1,Ina) In a (na,2) f'(x) 0 + fx对 减函数 极小值 增函数 6. (2025北京海淀模拟)已知函数f(x=xlnx+ax+2. (1)当a=0时，求f(x)的极值； 2)若对任意的x∈[1，e2],f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围. 7.(2025北京西城模拟)设函数f(x)=e-ax-2. (1)若曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线斜率为1，求实数a的值； (2)求f(x)的单调区间； (3)若a=1,k为整数，且当x>0时，（x-k)f'(x+x+1>0恒成立，求k的最大值. 8。(2025:北京海淀模拟预测)设函数f()=alnx+,aeR, (1)设1是y=f(x)图象的一条切线，求证：当a=0时，1与坐标轴圈成的三角形的面积与切点无关： (2)若函数gx=fx-x在定义域上单调递减，求a的取值范围； 3)当a>0时，直接写出函数f(x)=alnx+二零点的个数， 9.(2025·北京平谷模拟预测)设函数f(x=alnx+1)+x2(aeR). 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)当a=-4时， ①求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程： ②求函数f(x的最小值. (2)设函数g(x)=ax-1,证明：当a≤2时，函数H(x=fx)-gx至多有一个零点. 10.(2025北京.三模)已知函数f(x=ax-lnx-(a∈R). (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若fx)存在极值，求实数a的取值范围； (3)求证：对任意aeR,都存在m,n∈(0+oo,使得f(m)f(n)<0. (0,x （x,x2 X2 (（,+∞) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 真题 1.(2025北京高考真题)己知函数f(x)的定义域是-1，+∞)，f(0)=0,导函数f'(x= n(1+x,设4是 1+x 曲线y=f(x)在点A(a,f(a)(a≠0)处的切线 (1)求f'(x)的最大值： (2)当-1<a<0时，证明：除切点A外，曲线y=f(x)在直线的上方； 3设过点4的直线6与直线4垂直，4，与x维交点的横坐标分别是x·,若a>0,求、x的取一 值范围。 2.(2024北京·高考真题)设函数f(x=x+n(1+x)(k≠0)，直线1是曲线y=f(x)在点(t,f(t)(t>0)处 的切线， (1)当k=-1时，求f(x)的单调区间. (2)求证：1不经过点(0,0). 9/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)当k=1时，设点A1,f(t)(t>0),C(0,f(t)）,O(0,0),B为1与y轴的交点，S。4co与S。48o分别表示 △AC0与△AB0的面积.是否存在点A使得2SA4Co=15S△4Bo成立？若存在，这样的点A有几个？ (参考数据：1.09<ln3<1.10,1.60<ln5<1.61,1.94<ln7<1.95) 3.(2023北京·高考真题)设函数f(x)=x-xer+b,曲线y=f(x)在点L,f)处的切线方程为y=-x+1. (1)求a,b的值： (2)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间； (3)求f(x)的极值点个数. 4.(2022北京高考真题)己知函数f(x)=e*1n(1+x) (1)求曲线y=f(x)在点(0，f(O)处的切线方程； (2)设g(x)=∫'(x),讨论函数g(x)在[0，+o)上的单调性； (3)证明：对任意的s,t∈(0，+oo),有f(s+)>f(s)+f(). 5.(2021,北京高考真题)已知函数fx=3-2x x2+a (1)若a=0,求曲线y=f(x在点1，f1)处的切线方程： (2)若f(x)在x=-1处取得极值，求f(x)的单调区间，以及其最大值与最小值. -0,-1 -1 -1,4 4 4,+0 f'(x) 0 0 f(x) 增 极大值 减 极小值 增 10/10