大题02 立体几何（专项训练，5大题型+高分必刷）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

大题02 立体几何 历年北京高考题中，主要考查线面的位置关系；由已知条件求解长度或距离；空间向量求角 整体来看立体几何总体难度有所提升,但仍然以基础性题目为主,注重考查数学文化,社会生活实践中的数学问题,解答题以常见儿何体为载体,重点考查空间中点、线、面的位置关系的判断与论证,以及空间角的求法,从能力上更加注重对空间想象,逻辑思维和运算求解能力的考查,题目多为中档的综合性问题。预测2025年考查内容涉及求平面的法向量利用向量研究平行问题、利用向量研究垂直问题、异面直线所成的角、线面角、二面角、距离问题。 题型一 利用向量研究平行关系 （2025·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得点到平面的距离； （2）利用坐标法设点，根据线面平行列方程，解方程即可. 【详解】（1）因为平面平面，平面平面， 且平面，故平面．    以为原点，所在直线为轴，过点平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得平面的一个法向量为，           所以点到平面的距离为； （2）由（1）知，平面的一个法向量为， “线段上存在点，使得平面”等价于“”．          因为，设，， 则，， 所以，解得， 所以线段上存在点，即中点，使得平面. 用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. 1.（2025·北京大兴·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 【分析】（1）根据给定条件，利用直二面角的定义推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，设，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明列式求解. 【详解】（1）在直角梯形中，，即， 由直角梯形绕直线旋转得到直角梯形，得， 则是平面与平面所成二面角的平面角， 而平面平面，即平面与平面所成二面角是直角， 因此，所以. （2）由（1）知，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 假设在线段上存在点P，使得直线平面，设， 则，，设平面的法向量， 于是，取，得，而， 由直线平面，得，则，解得， 所以在线段上存在点P，使得直线平面，点为线段上靠近的三等分点. 题型二：利用向量研究垂直问题 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 【解】（1）依题意，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，． 由E为棱的中点，得． 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以向量为平面的一个法向量，而， 所以，又平面，所以平面． （2）设平面的一个法向量为， 则，即 不妨令，可得为平面的一个法向量． 设平面的法向量，又向量，， 则，即， 不妨令，可得为平面的一个法向量． 因为，所以． 所以平面平面． 用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 1.如图，正方体中，、分别为、的中点． (1)用向量法证明平面平面； (2)用向量法证明平面． 【解】（1）如图建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为， 则，，，，，， 故，，，， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以，即， 故平面平面； （2）由，是线段，中点， 则，， 所以，则， 所以平面. 2.（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 【解】（1）连接交于点，连接OQ. 因为，Q分别为，BC中点，则， 且面，面，可得平面， 又因为平面，平面平面直线， 所以. （2）取中点， 以为原点，QC，QA，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，设，则， 可得，，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，可得； 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为平面平面，则， 可得，解之得或2， 所以CP的长度为或2. 题型三：利用向量研究线面角问题 1．（2025·北京大兴·三模）如图，矩形，平面平面，，平面ADF与棱BE交于点． (1)求证：； (2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值． 【分析】（1）由和证明平面平面，进而证明；l （2）以为原点，分别以所在直线为x轴，轴，轴建立空间直角坐标系，,求出平面ADF的一个法向量为，进而求出直线CF与平面ADF夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：因为，平面,平面, 所以平面, 又，平面,平面, 所以平面, 又，且平面 所以平面平面, 又因为平面CDF，所以平面 因为平面ADF，平面平面 所以，即 （2）因为平面平面ABCD 所以．又, 如图，以为原点，分别以所在直线为x轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则 所以 设平面ADF的一个法向量为，则，即 不妨令，则，所以 所以直线CF与平面ADF夹角的正弦值. 利用向量研究线面角问题，实质是线与平面法向量位置关系的考查，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧利结论：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 1．（2025·北京·三模）如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面. (1)证明：F是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【解题指导】（1）根基线面平行的向量表示，设出F的坐标，根据线面平行，说明F是的中点. （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量方法，求出线面角的正弦值. 【规范答题】（1） 如图所示，以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则， 设， ，可得，解得， 可得，则设平面的一个法向量， 则，得，解得，所以F是的中点. （2） 如图所示，，，当时，， 设面的法向量，则，即， 令，解得，面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2025·湖北·二模）如图，在四棱锥中，平面，平面平面． (1)证明：； (2)若，且为的重心，求直线与平面所成角的正弦值． 【解题指导】（1）过点A作于点E，由面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理和性质定理即可证明； （2）以点B为坐标原点，所在的直线分别为轴，过点B且平行于的直线为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量与平面的法向量，由线面角的向量公式代入即可得出答案. 【规范答题】（1）如图，过点A作于点E． 平面平面，平面平面平面， 平面． 又平面． 又平面平面． 平面平面． 又平面． （2）由（1）知， 以点B为坐标原点，所在的直线分别为轴， 过点B且平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． 设．① ．② 由①②得． 又为的重心，． 设平面的法向量为，则 ， 令，则 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值． 题型四：利用向量研究二面角问题 （2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 【解题指导】（1）选择①②，根据面面垂直的性质可得，勾股定理可得，然后根据线面垂直的判定即可证明；选择①③，根据面面垂直的性质可得，根据三角形全等得，然后根据线面垂直的判定即可证明；选择②③，勾股定理可得，根据三角形全等得，然后根据线面垂直的判定即可证明； （2）以A为原点建立空间直角坐标系，，利用向量法求解即可 【规范答题】（1）选择①②， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由②知，，，，所以， 又在平面内相交于点A，所以平面， 选择①③， 因为为正方形，所以， 由①知，平面平面，平面， 平面平面=，， 所以平面，又平面 ，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面， 选择②③， 由②知，，，，所以， 由③知，，又为正方形，所以， 所以，所以， 所以，， 又在平面内相较于点A，所以平面 （2）由（1）知，平面， 又为正方形，所以， 如图，以A为原点建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 则， 令，则。 所以， 设平面与平面所成角为， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 利用向量研究二面角问题，实质是两个面法向量的综合应用，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧用结论： 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 3、几何法二面角的求法 定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 三垂线法：在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角 1．（2025·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值. 【解题指导】（1）利用余弦定理求出，即可得到，再由，即可得到平面，从而得证； （2）取中点，中点，即可证明平面，且，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【规范答题】（1）如图：    因为，，所以为等边三角形，， 又，所以，又， 所以. 因为，所以为直角三角形，所以. 又，，为平面内的两条相交直线， 所以平面，平面，所以平面平面； （2）取中点，中点，因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又，所以， 故以为原点，建立如图空间直角坐标系，    所以，，，，，. 设，因为， 解得，所以. 设平面的法向量为， 则，取； 设平面的法向量为， 则，取. 那么，，. 平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，又，所以. 2．（2025·北京通州·二模）如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，． (1)求证：平面ADF； (2)求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值． 【解题指导】（1）连结BE交AD于G，连结FG，由图形结合已知得到FG是的中位线，再由线面平行的判定定理证明即可； （2）先证明平面ABC，然后建系如图坐标系，分别求出平面ADF的法向量和平面BCD的一个法向量，代入空间二面角公式求解即可. 【规范答题】（1）连结BE交AD于G，连结FG． 因为四边形ABDE是矩形，所以点G为BE的中点． 因为点F为CE的中点，所以FG是的中位线． 所以，又平面ADF，平面ADF， 所以平面ADF． （2）因为四边形ABDE是矩形，所以． 因为，，且平面，平面， 所以平面ABC， 因为，所以平面ABC． 所以以点A为原点，分别以AC，AE所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系A-xyz． 所以，，，，，． 所以，． 设平面ADF的法向量为，所以，． 所以，令，得，，所以． 因为平面ABC，所以． 因为，，平面BCD， 所以平面BCD， 所以为平面BCD的一个法向量． 而． 所以平面BCD与平面ADF所成角的余弦值为． 题型五：利用向量研究距离问题 （2025·北京东城·一模）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. (1)证明：平面； (2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【解题指导】（1）由题设得，，应用线面平行的判定证明平面，平面，再由面面平行的判定及性质证明结论； （2）根据已知证明，，，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求点面距，列方程求的长. 【规范答题】（1）由四边形为平行四边形，则，又， 平面，平面，则平面，同理平面， 由，都在平面内，则平面平面， 平面，则平面； （2）平面平面，平面平面，平面， 所以平面，平面，则，， 选条件①：，都在平面内，则平面， 平面，则； 选条件②：由，，， 则，又，故， 所以，则， 综上，，，， 以为原点，为的正方向建立空间直角坐标系， 所以，令，则， 故，， 令是平面的一个法向量，则， 取，则， 由题设，可得， 所以. 利用向量研究距离问题，实质是研究法向量与距离公式的综合，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧用距离公式： 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 1．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【解题指导】（1）设的中点为，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）记的中点为，连接，推导出，然后以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值； （3）设，利用空间向量法可求出的值，在利用空间向量法可求出点到平面的距离. 【规范答题】（1）设的中点为，连接、， 因为为的中点，所以，且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面. （2）记的中点为，连接， 因为，，， 所以四边形是矩形，则，， 以为原点，以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，如图， 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为， 所以，令，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. （3）依题意，设，则， 又由（2）得平面的一个法向量为， 记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 2．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 【解题指导】（1）取中点G，连接，可得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答； （2）（i）建立空间直角坐标系，即可求解平面的法向量，利用二面角夹角公式求解二面角余弦；（ii）由点到平面距离公式计算求解. 【规范答题】（1） 取中点G，连接， 则，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面； （2） （i）以为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 则． 设平面的法向量为， 则，取，则 设平面的法向量为， 设二面角为， 则 ， 因为为锐角，所以； （ii）由（i）平面的一个法向量为， 点到平面的距离 1．（2025·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得平面，进而由线面锤子的性质定理得线线垂直. （2）取的中点E，先求得是正三角形，然后建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，最后利用向量法求得线面角的正弦值即可. 【详解】（1）∵，是的中点，∴， 又∵平面平面且交于，平面， ∴平面， 又平面，∴. （2）取的中点E，∵， ∴，，且，， ∴四边形是矩形，∴， 因此是正三角形，∴，，. 如图所示，建立空间直角坐标系    ，，，，， ∴，，， 设平面的法向量， 则有， 令，则，， 故为平面的一个法向量. 由 所以直线与平面所成角的正弦值为. 2．（2025·北京丰台·二模）如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．    (1)求证：为的中点； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）由已知可得平面，由线面平行可得，进而得四边形为平行四边形，即可证得为的中点； （2）选择条件①：取中点，连接，由已知条件可证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用坐标运算求得平面的一个法向量，设，再利用坐标运算和直线与平面所成角的正弦值为，解出，即可解答； 选择条件②：先证得平面，同①建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为，然后解答同①. 【详解】（1）在菱形中，． 因为平面平面， 所以平面． 又平面，平面平面， 所以． 又四棱柱中，， 所以四边形为平行四边形． 所以，所以为的中点． （2）选择条件①：    取中点，连接， 在菱形中，． 因为，所以为等边三角形． 因为为中点，所以，故． 因为平面，且平面， 所以， 所以两两垂直． 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则，则． 设， 所以． 设直线与平面所成角为， 所以． 解得， 所以存在符合条件的点． 选择条件②： 取中点，连接． 因为平面，且平面， 所以， 又，且平面， 所以平面． 因为平面，所以， 又因为为中点，所以． 在菱形中，， 所以为等边三角形， 所以，故． 所以两两垂直．如图建立空间直角坐标系， 则， 所以． 因为平面， 所以取平面的一个法向量为． 设， 所以． 设直线与平面所成角为， 所以． 解得， 所以存在符合条件的点． 3．（2025·北京东城·二模）如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【分析】（1）根据线面平行的性质定理平面得出即可得证； （2）求出平面与平面两个面的法向量，用平面夹角的向量公式即可求出余弦值. 【详解】（1）连接， 因为底面是正方形，所以是的中点，点在棱上，因为平面，平面， 且平面平面，所以，所以为的中点. （2）如图，以为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，设， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 4．（2025·北京朝阳·一模）如图，在四棱柱中，平面，在四边形中，，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值． 【分析】（1）连接，根据长度和平行关系得到四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可得证； （2）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，即可得到点处直线两两互相垂直，即可建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解面面角的余弦值即可. 【详解】（1）连接． 因为为的中点， 所以． 又，所以四边形为平行四边形． 所以． 又因为， 所以． 所以四边形为平行四边形． 所以． 又因为平面平面， 所以平面． （2）因为平面， 所以． 又因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面． 所以． 所以两两垂直． 如图建立空间直角坐标系， 则． 所以． 因为平面， 所以是平面的法向量． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则．于是． 设平面与平面夹角为， 则． 5．（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面. (1)求证：是的中点； (2)再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【分析】（1）取的中点，连接，线面平行的性质有，结合得到为平行四边形，即可证结论； （2）根据所选条件，构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】（1）取的中点，连接，又是的中点，则且， 由在棱上，底面为矩形，则，故， 由平面，且面面，则， 所以为平行四边形，故， 所以是的中点，得证； （2）选①：面面，面面，，面， 所以面，又底面为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系， 则， 所以，设面的一个法向量为， 则，令，则， 显然面的一个法向量为，故， 所以平面与平面夹角的余弦值； 选②：连接，底面为矩形，则，而，， 所以，即，又，都在面内， 所以面，又底面为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系， 则， 所以，设面的一个法向量为， 则，令，则， 显然面的一个法向量为，故， 所以平面与平面夹角的余弦值； 6．（2025·北京朝阳·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，，，．    (1)若平面，证明：平面； (2)若底面，，二面角的正弦值为，求的长． 【分析】（1）根据三角形三边长可得到三角形角度，再根据线面垂直得到线线垂直，结合同一平面内垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由空间向量夹角的余弦公式列方程，即可得求答案. 【详解】（1）证明：∵，，，即， ∴，即， ∵平面，平面， ∴， ∴，又平面，平面， ∴平面； （2）∵底面，底面， ∴，，又， 以点为原点，以所在的直线为轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：    令，则， ，则， ， 设平面的法向量为， ∴， 令，则， ∴， 设平面的法向量为， ∴， 令，则， ∴， ∵二面角的正弦值为，则余弦值为， 又二面角为锐角，∴， 解得，所以. 7．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，平面平面，点为线段的中点，，直线与平面所成的角为.    (1)若点为线段的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【分析】（1）取的中点，根据题意作出图形，由中位线和平行四边形的性质证明四边形为平行四边形，从而得到线线平行，然后证明线面平行； （2）由线面角的定义，及已知线段长求得长.由线面垂直的性质得到，，由面面垂直的性质得到，然后建立空间直角坐标系，结合线段长得到点的坐标，从而得到平面内向量的坐标，由空间向量的数量积求得面的法向量，再由空间向量的夹角求得二面角的余弦值. （3）由空间向量的投影即可得点到面的距离. 【详解】（1）取的中点，连接，； 因为分别为的中点， 所以，． 因为四边形是平行四边形，G为线段的中点， 所以，， 所以，． 所以四边形为平行四边形， 所以． 因为 所以平面．    （2）因为平面，所以即为直线与平面所成的角， 由题意可知：，又，所以， 因为平面， 所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以且，，两两垂直， 分别以，，所在直线为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系， 则，，，，则，，，      设平面的法向量为，平面的法向量为， 则有，也即，令，则； 则有，也即，令，则， 则， 由图可知：二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. （3）因为 所以点到平面的距离. 8．（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)已知平面， ①求二面角的正弦值： ②点到平面的距离. 【分析】（1）利用三棱柱形质以及中位线性质，根据线面平行判定定理证明即可得出结论； （2）①建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的余弦值即可得出其正弦值； ②利用空间距离的向量求法代入计算可得结果. 【详解】（1）取的中点为，连接，如下图所示： M为棱的中点，的中点为，可得且； 又易知，且，所以，； 又，所以； 由三棱柱性质可得，因此， 所以，可知四边形为平行四边形； 可得，又平面，平面； 所以平面 （2）①由已知平面，可得； 又，可知两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 可知， 设平面的一个法向量为， 所以，令，可得， 因此法向量可以为， 又易知平面与轴垂直，所以平面的一个法向量可以为； 则； 因此二面角的正弦值为； ②由（1）可知，平面的法向量可以为， 又， 所以点到平面的距离为. 9．（2025·北京怀柔·模拟预测）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即可； （2）利用面面角的向量求法求解即可； （3）利用点到平面距离的向量求法求解即可. 【详解】（1）在三棱台中，平面，， 显然直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    因为，， 所以，，，，，， 由，分别是，中点，得，， 则，， 因此，而点直线，则， 又平面，平面， 所以平面； （2）由（1）知，，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以， 设二面角的大小为，， 则， 所以二面角的正弦值为； （3）由（1）知，，由（2）知，平面的法向量， 所以点到平面的距离. 10．（2025·北京大兴·三模）如图（1），在中，，，将沿折起到的位置，E，F分别为，上的动点，过作平面，交于点Q，使得平面，如图（2）. (1)证明：； (2)若，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 【分析】（1）由面面平行的性质定理求解； （2）选择条件①：选择条件②：都是建立空间直角坐标系进行求解． 【详解】（1）因为，所以，， 又因为、平面，， 所以平面，而平面，所以平面平面， 因为平面平面，平面平面， 所以． （2）选择条件①：平面平面， 因为，， 所以为二面角的平面角， 因为平面平面，所以， 所以建立如图空间直角坐标系，又， 所以E，F，Q分别是PC，BC，CD的中点，，，， ，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则得， 令，则，，所以， 设二面角的平面角为，则， 由题可知，二面角为钝二面角则， 二面角的余弦值为， 选择条件②：， 因为平面，平面，所以， 因为，，BC，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面平面， 所以，所以， 因为，， 所以建立如图空间直角坐标系，又， 所以E，F，Q分别是，，的中点，，，， ，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则 得， 令，则，，所以， 设二面角的平面角为，则， 由题可知，二面角为钝二面角，则， 二面角的余弦值为． 11．（2025·北京·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，． (1)设平面平面，求证：； (2)从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）平面交直线于点，求线段的长度． 条件①：平面平面； 条件②：； 条件③：四棱锥的体积为． 【分析】（1）利用线面平行的判定、性质推理即得. （2）选条件①③或②③，证明底面，求出，（ⅰ）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，进而求出面面角；（ⅱ）令，利用垂直关系的向量表示求出即可. 【详解】（1）在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，则， 而平面平面，于是平面， 又平面，且平面平面，所以. （2）选条件①③，平面平面，四棱锥的体积为， 连接和交于点，连接，显然是中点，由，得， 而平面平面，平面，底面， ，，解得， 选条件②③，，四棱锥的体积为， 连接和交于点，连接，显然是中点，由，得， 又是中点，由，得，而平面，则，底面， ，，解得， 若选条件①②，平面平面，，此2条件均可证明底面， 点的位置不确定，即四棱锥存在，但不唯一，因此条件①②不可选. （i）以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量为，因此， 所求平面与平面所成角的余弦值为. （ii）平面交线段于点，由（i）知，， 设，则， 由，得，所以. 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 【分析】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN，只需证明即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出直线AB的方向向量与面PCD的法向量，根据向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）取PA的中点N，PB的中点M，连接FN、MN， 与为等腰直角三角形且， 不妨设，.. E、F分别为BC、PD的中点， ，且. ，， ，∴四边形FGMN为平行四边形， ， 平面PAB，平面PAB，平面PAB； （2）平面ABCD，以A为原点，AC、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则， ， 设平面PCD的一个法向量为， ，， 取，，. 设AB与平面PCD所成角为， 则， 即AB与平面PCD所成角的正弦值为. 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【详解】（1）取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 【分析】（1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的判定定理即可得证； （2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【详解】（1）因为平面平面， 所以，同理， 所以为直角三角形， 又因为，， 所以，则为直角三角形，故， 又因为，， 所以平面. （2）由（1）平面，又平面，则， 以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则， 所以， 设平面的法向量为，则，即 令，则，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以， 所以， 又因为二面角为锐二面角， 所以二面角的大小为. 4．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面. （2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值. 【详解】（1）取的中点为，连接， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 而，则， 而平面，平面，故平面， 而，则，同理可得平面， 而平面， 故平面平面，而平面，故平面， （2）因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为，故平面， 因为平面，故， 若选①，则，而，， 故平面，而平面，故， 所以，而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 若选②，因为，故平面，而平面， 故，而，故， 而，，故， 所以，故， 而，，故平面， 故可建立如所示的空间直角坐标系，则， 故， 设平面的法向量为， 则，从而，取，则， 设直线与平面所成的角为，则 . 5．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 【分析】(1)首先将平面进行扩展，然后结合所得的平面与直线的交点即可证得题中的结论； (2)建立空间直角坐标系，利用空间直角坐标系求得相应平面的法向量，然后解方程即可求得实数的值. 【详解】(1)如图所示，取的中点，连结， 由于为正方体，为中点，故， 从而四点共面，即平面CDE即平面， 据此可得：直线交平面于点， 当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点与点重合， 即点为中点. (2)以点为坐标原点，方向分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为2，设， 则：， 从而：， 设平面的法向量为：，则： ， 令可得：， 设平面的法向量为：，则： ， 令可得：， 从而：， 则：， 整理可得：，故（舍去）. 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 大题02 立体几何 历年北京高考题中，主要考查线面的位置关系；由已知条件求解长度或距离；空间向量求角 整体来看立体几何总体难度有所提升,但仍然以基础性题目为主,注重考查数学文化,社会生活实践中的数学问题,解答题以常见儿何体为载体,重点考查空间中点、线、面的位置关系的判断与论证,以及空间角的求法,从能力上更加注重对空间想象,逻辑思维和运算求解能力的考查,题目多为中档的综合性问题。预测2025年考查内容涉及求平面的法向量利用向量研究平行问题、利用向量研究垂直问题、异面直线所成的角、线面角、二面角、距离问题。 题型一 利用向量研究平行关系 （2025·安徽合肥·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为的中点，，，，，． (1)求点到平面的距离； (2)在线段上是否存在点，使得平面?若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2. 1.（2025·北京大兴·月考）如图，在直角梯形中，，，.直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使平面平面，M为线段BC的中点，P为线段上的动点. (1)求证：； (2)是否存在点P，使得直线平面？请说明理由. 题型二：利用向量研究垂直问题 如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．求证： (1)∥平面； (2)平面平面． 用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 1.如图，正方体中，、分别为、的中点． (1)用向量法证明平面平面； (2)用向量法证明平面． 2.（2025·江苏淮安·模拟预测）如图，在正三棱柱中，，，点为的中点，点为上一点.    (1)若平面平面直线，求证：； (2)当平面平面时，求CP的长度. 题型三：利用向量研究线面角问题 1．（2025·北京大兴·三模）如图，矩形，平面平面，，平面ADF与棱BE交于点． (1)求证：； (2)求直线CF与平面ADF夹角的正弦值． 利用向量研究线面角问题，实质是线与平面法向量位置关系的考查，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧利结论：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为， 1．（2025·北京·三模）如图，在棱长为2的正方体中，M、E分别是、的中点，点F在线段上，平面. (1)证明：F是的中点； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2025·湖北·二模）如图，在四棱锥中，平面，平面平面． (1)证明：； (2)若，且为的重心，求直线与平面所成角的正弦值． 题型四：利用向量研究二面角问题 （2025·北京海淀·三模）在四棱锥中，四边形为边长为4的正方形，．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知． (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 条件①，平面平面； 条件②：； 条件③，． 利用向量研究二面角问题，实质是两个面法向量的综合应用，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧用结论： 如图，若于于，平面交于，则为二面角的平面角，. 若分别为面的法向量，则二面角的平面角或， 3、几何法二面角的求法 定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如图在二面角的棱上任取一点，以为垂足，分别在半平面和内作垂直于棱的射线和，则射线和所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于求两条异面直线的夹角即可）． 三垂线法：在面或面内找一合适的点，作于，过作于，则为斜线在面内的射影，为二面角的平面角 1．（2025·北京·模拟预测）如图，在四棱锥中，，. (1)求证：平面平面； (2)若线段上存在点，满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求实数的值. 2．（2025·北京通州·二模）如图，几何体ABCDE中，，四边形ABDE是矩形，，点F为CE的中点，，． (1)求证：平面ADF； (2)求平面BCD与平面ADF所成角的余弦值． 题型五：利用向量研究距离问题 （2025·北京东城·一模）如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面. (1)证明：平面； (2)已知点到平面的距离为，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的长. 条件①：； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 利用向量研究距离问题，实质是研究法向量与距离公式的综合，解题的思路是： 1、求平面向量的法向量 求平面向量的法向量的基本方法是待定系数法，即先设出一个法向量的坐标（x，y，z），再在平面上取两个向量（可取特殊向量，如在某个坐标平面上的向量，或与某坐标轴平行的向量），则它们与法向量均垂直，因此它们的数量积均为0，从而得到x、y、。所满足的两个方程，再令x为某个特殊值，便可得出y、z的值，从而确定一个法向量．要注意一个平面的法向量有无数个，因此不可能直接求出x、y、z的值，但在特殊条件下便可求出． 2、巧用距离公式： 求点面距的一般步骤： ①求出该平面的一个法向量； ②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离． 1．（2025·北京石景山·一模）如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 2．（2025·北京·模拟预测）如图，在三棱柱中，，点D,E分别在棱和棱上，且为棱的中点． (1)求证：平面； (2)若平面ABC， （i）求二面角的余弦值： （ii）点到平面的距离． 1．（2025·北京顺义·期中）如图，在四棱锥中，，，平面平面，，M，N分别是，的中点.    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 2．（2025·北京丰台·二模）如图，在四棱柱中，底面与侧面均为菱形，平面为的中点，与平面交于点．    (1)求证：为的中点； (2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，判断在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①，条件②分别解答，按第一个解答计分． 3．（2025·北京东城·二模）如图，长方体的底面是正方形，，，点在棱上，平面. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 4．（2025·北京朝阳·一模）如图，在四棱柱中，平面，在四边形中，，为线段的中点． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，求平面与平面夹角的余弦值． 5．（24-25高三上·北京海淀·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面. (1)求证：是的中点； (2)再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 6．（2025·北京朝阳·模拟预测）如图所示，在四棱锥中，，，．    (1)若平面，证明：平面； (2)若底面，，二面角的正弦值为，求的长． 7．（24-25高三下·北京朝阳·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，平面平面，点为线段的中点，，直线与平面所成的角为.    (1)若点为线段的中点，求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 8．（24-25高三下·北京·阶段练习）如图，在三棱柱中，，，，点分别在棱和棱上，且，为棱的中点． (1)求证：平面； (2)已知平面， ①求二面角的正弦值： ②点到平面的距离. 9．（2025·北京怀柔·模拟预测）三棱台中，若平面，，，，，分别是，中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的正弦值； (3)求点到平面的距离. 10．（2025·北京大兴·三模）如图（1），在中，，，将沿折起到的位置，E，F分别为，上的动点，过作平面，交于点Q，使得平面，如图（2）. (1)证明：； (2)若，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角的余弦值. 条件①：平面平面； 条件②：. 11．（2025·北京·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，为中点，． (1)设平面平面，求证：； (2)从条件①，条件②，条件③中选择两个作为已知，使四棱锥存在且唯一确定． （ⅰ）求平面与平面所成角的余弦值； （ⅱ）平面交直线于点，求线段的长度． 条件①：平面平面； 条件②：； 条件③：四棱锥的体积为． 1．（2025·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，E为BC的中点． (1)若分别为的中点，求证：平面PAB； (2)若平面ABCD，，求直线AB与平面PCD所成角的正弦值． 2．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． (1)若为线段中点，求证：平面． (2)若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 3．（2023·北京·高考真题）如图，在三棱锥中，平面，．    (1)求证：平面PAB； (2)求二面角的大小． 4．（2022·北京·高考真题）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点． (1)求证：平面； (2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值． 条件①：； 条件②：． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 5．（2021·北京·高考真题）如图：在正方体中，为中点，与平面交于点． （1）求证：为的中点； （2）点是棱上一点，且二面角的余弦值为，求的值． 6 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $