5.4.2 第3课时 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第3课时 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．函数y＝sinπx的图象的两个相邻对称中心间的距离为（ ） A．π B．2π C．1 D．2 2．下列函数中周期为π，且在上单调递增的是（ ） A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sin2x D．y＝cos2x 3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是（ ） A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 4．设函数f（x）＝cos的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 5．若点（a，0）是函数y＝sin图象的一个对称中心，则a的值可以是（ ） A. B. C．－ D．－ 二、多项选择题 6．对于函数f（x）＝sin2x，下列选项中正确的是（ ） A．f（x）在上单调递减 B．f（x）的图象关于原点对称 C．f（x）的最小正周期为2π D．f（x）的最大值为2 7．已知f（x）＝sin，则下列结论正确的有（ ） A．函数f（x）的图象关于直线x＝对称 B．函数f（x）在上单调递增 C．函数f（x）的图象关于点中心对称 D．函数f（x）在上的值域是 三、填空题 8．函数f（x）＝4cos的对称中心为________． 9．如果函数f（x）＝cos（ω>0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为________． 四、解答题 10．已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象的一条对称轴为直线x＝. （1）求φ的值； （2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间． 11．已知函数f（x）＝－sin2x＋sinx＋a.当f（x）＝0有实数解时，求a的取值范围． 个性拓展练 12．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间上单调，且f＝－f＝1，则（ ） A．ω＝3，φ＝－ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝3，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 13．设函数f（x）＝cos（ω>0）．若f（x）≤f对任意的实数x都成立，则f＝______，ω的最小值为________． 14．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（－π<φ<0，ω>0）的图象关于直线x＝对称，且两相邻对称中心之间的距离为. （1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数g（x）＝f（x＋a）为偶函数，求|a|的最小值． 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第3课时 正弦函数、余弦函数性质的综合应用 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．函数y＝sinπx的图象的两个相邻对称中心间的距离为（ ） A．π B．2π C．1 D．2 解析：函数y＝sinπx的图象的两个相邻对称中心间的距离为，函数的周期T＝＝2，则＝＝1.故选C. 答案：C 2．下列函数中周期为π，且在上单调递增的是（ ） A．y＝sinx B．y＝cosx C．y＝sin2x D．y＝cos2x 解析：选项A、B中函数的最小正周期T＝2π，不合题意．令t＝2x，当x∈时，t∈[π，2π]，又y＝cost在[π，2π]上单调递增，所以D中y＝cos2x符合题意．故选D. 答案：D 3．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝对称的函数是（ ） A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin 解析：C中，函数y＝2sin的周期为T＝＝4π，故排除C；将x＝依次代入A，B，D求得函数值分别为0，2，.∴只有B中，函数在x＝取得最值，满足题意．故选B. 答案：B 4．设函数f（x）＝cos的最小正周期为，则它的一条对称轴方程为（ ） A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 解析：因为f（x）的最小正周期T＝，所以＝，解得ω＝10，所以f（x）＝cos，令10x－＝kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，结合选项，当k＝－1时，x＝－.故选B. 答案：B 5．若点（a，0）是函数y＝sin图象的一个对称中心，则a的值可以是（ ） A. B. C．－ D．－ 解析：由正弦函数的对称性可知sin＝0，则a＋＝kπ，k∈Z，a＝－＋kπ，k∈Z，当k＝0时，符合条件的一个a＝－.C正确．故选C. 答案：C 二、多项选择题 6．对于函数f（x）＝sin2x，下列选项中正确的是（ ） A．f（x）在上单调递减 B．f（x）的图象关于原点对称 C．f（x）的最小正周期为2π D．f（x）的最大值为2 解析：因为函数y＝sinx在上单调递减，所以f（x）＝sin2x在上单调递减，故A正确；因为x∈R且f（－x）＝sin2（－x）＝sin（－2x）＝－sin2x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故B正确；f（x）的最小正周期为π，故C错误；f（x）的最大值为1，故D错误．故选AB. 答案：AB 7．已知f（x）＝sin，则下列结论正确的有（ ） A．函数f（x）的图象关于直线x＝对称 B．函数f（x）在上单调递增 C．函数f（x）的图象关于点中心对称 D．函数f（x）在上的值域是 解析：令x＋＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋2kπ，k∈Z，故A正确；令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为，k∈Z，易得不是，k∈Z的子区间，故B错误；令x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，f（x）的图象关于点中心对称，故C正确；当x∈时，x＋∈，故f（x）的值域是，故D错误．故选AC. 答案：AC 三、填空题 8．函数f（x）＝4cos的对称中心为________． 解析：令2x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，故函数f（x）＝4cos的图象的对称中心为，k∈Z. 答案：，k∈Z 9．如果函数f（x）＝cos（ω>0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为________． 解析：因为函数f（x）＝cos（ω>0）的相邻两个零点之间的距离为，所以T＝2×＝，由＝，解得ω＝6. 答案：6 四、解答题 10．已知函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象的一条对称轴为直线x＝. （1）求φ的值； （2）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递增区间． 解：（1）依题意得2×＋φ＝＋kπ（k∈Z），所以φ＝＋kπ（k∈Z）， 因为|φ|<，所以φ＝. （2）解法一：由（1）得f（x）＝sin， 当x∈[0，π]时，2x＋∈， 所以当2x＋∈或2x＋∈时，f（x）单调递增， 此时解得x∈或， 故f（x）在[0，π]上的单调递增区间为，. 解法二：由（1）得f（x）＝sin， 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ（k∈Z），得－＋kπ≤x≤＋kπ（k∈Z）． 因为x∈[0，π]，所以当k＝0时，x∈； 当k＝1时，x∈， 故f（x）在[0，π]上的单调递增区间为，. 11．已知函数f（x）＝－sin2x＋sinx＋a.当f（x）＝0有实数解时，求a的取值范围． 解：－1≤sinx≤1，令t＝sinx，则－1≤t≤1. f（x）＝0有实数解， 即t2－t－a＝0在[－1，1]内有实数解． a＝t2－t，t∈[－1，1]， 设h（t）＝t2－t＝2－，t∈[－1，1]， 当t＝时，h（t）min＝－， 当t＝－1时，h（t）max＝2， ∴a的取值范围是. 个性拓展练 12．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）在区间上单调，且f＝－f＝1，则（ ） A．ω＝3，φ＝－ B．ω＝2，φ＝－ C．ω＝3，φ＝ D．ω＝2，φ＝ 解析：因为函数f（x）在区间上单调，且f＝－f＝1＝f（x）max，所以＝·＝－＝，所以ω＝2.则f（x）＝sin（2x＋φ），∴f＝sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<|φ|<，所以φ＝.故选D. 答案：D 13．设函数f（x）＝cos（ω>0）．若f（x）≤f对任意的实数x都成立，则f＝______，ω的最小值为________． 解析：∵f（x）≤f对任意的实数x都成立，∴当x＝时，f（x）取得最大值1.则f＝cos＝1，∴ω－＝2kπ，k∈Z，∴ω＝8k＋，k∈Z.∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值. 答案：1 14．已知函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（－π<φ<0，ω>0）的图象关于直线x＝对称，且两相邻对称中心之间的距离为. （1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间； （2）若函数g（x）＝f（x＋a）为偶函数，求|a|的最小值． 解：（1）函数f（x）＝2sin（ωx＋φ）（－π<φ<0，ω>0），且两相邻对称中心之间的距离为， 则T＝＝π， 解得ω＝2. 函数的图象关于直线x＝对称， 则2×＋φ＝kπ＋（k∈Z）， 解得φ＝kπ＋（k∈Z）． 由于－π<φ<0， 则φ＝－， 故函数f（x）＝2sin. 所以f（x）的最小正周期T＝＝π. 令－＋2kπ≤2x－≤2kπ＋（k∈Z）， 解得＋kπ≤x≤kπ＋（k∈Z）， 所以函数的单调递增区间为（k∈Z）． （2）函数g（x）＝f（x＋a）＝2sin为偶函数， 则2a－＝kπ＋（k∈Z）， 解得2a＝kπ＋（k∈Z）， 当k＝－1时，|a|min＝. 学科网（北京）股份有限公司 $