5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质（分层作业）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 分层作业 1、 题型研究 题型1正弦函数、余弦函数的单调性与最值 若函数在上的最小值是，则实数的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 题型2 利用单调性比较大小 设，，，则（    ） A． B． C． D． 题型3 求正弦函数、余弦函数的单调区间 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2、 基础达标 1.已知函数的图象如图所示，其中为正整数，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 2.已知 ，函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 4.若函数的最小正周期是，且图象关于点对称，则符合条件的一个的值为（    ）. A． B． C． D． 5.函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 6.单调增区间为 A． B． C． D． 7.设函数,则下列结论错误的是 A．设,则有 B．对任意,都有 C．对任意,都有 D．对任意,都有 8.已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9.已知函数，若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10.已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴方程为 C．的最小值为 D．的上为增函数 3、 能力提升 1.函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 2.设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知a＝log0.20.05，b＝0.51.002，c＝4cos1，则下列判断正确的是（    ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c 4.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.已知定义域为R的函数，满足，下列结论正确的个数为（    ） ①； ②函数的图象关于点对称； ③函数奇函数； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.函数对任意的都有，且时的最大值为，下列四个结论：①是的一个极值点；②若为奇函数，则的最小正周期；③若为偶函数，则在上单调递增；④的取值范围是.其中一定正确的结论编号是（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 8.已知函数的图像上相邻最高点和最低点的距离为，且在上有最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4、 直击高考 1.设函数(，)的最小正周期为，且图像关于直线对称，则它的一个对称中心的坐标是（    ）. A． B． C． D． 2.已知函数，点、、是直线与函数的图像自左至右的某三个相邻交点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3.已知函数为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，且在上单调，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 4.已知函数满足性质：①在定义域上有；②，恒有，则函数可能为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 分层作业 1、 题型研究 题型1正弦函数、余弦函数的单调性与最值 若函数在上的最小值是，则实数的值为（    ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【解析】利用辅助角公式将函数化为，根据正弦型函数值域可确定最小值为，由此构造方程求得结果. 【详解】          ，解得： 故选： 【点睛】本题考查根据正弦型函数最值求解参数值的问题，关键是能够利用辅助角公式将函数化为正弦型函数的形式，进而采用整体对应的方式得到正弦型函数的值域. 题型2 利用单调性比较大小 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、比较正弦值的大小 【分析】利用诱导公式可得，，根据正弦函数单调性可得，根据切弦互化结合正、余弦函数值的有界性分析可得，即可得结果. 【详解】因为，， 且在内单调递增，则，即， 又因为，则， 综上所述：. 故选：C. 题型3 求正弦函数、余弦函数的单调区间 已知函数，其中为实数，若对恒成立，且，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数、求cosx型三角函数的单调性 【分析】由对恒成立，结合函数最值的定义，易得在处取得最大值或最小值，由此可以确定满足条件的初相角的值，结合，易求出满足条件的具体的值，然后根据余弦型函数单调区间的求法，即可得到答案. 【详解】解：因为对恒成立， 所以在处取得最大值或最小值， 因此 , 即 又因为, 即, 所以 . 此时 , 即 . 由 得 即， 所以的单调递减区间是. 故选:A. 2、 基础达标 1.已知函数的图象如图所示，其中为正整数，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图象可得，即可求得范围，结合题意，可得值，将带入方程，可得表达式，根据的范围，即可得答案. 【详解】解：由图象知，且， ∴，∴， ∵为正整数，∴，∴， 把点代入得，， 则，所以，， ∵，∴． 故选：C． 2.已知 ，函数 在 内单调递减，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【详解】∵         ∴的单调减区间为 ∵，函数 在 内单调递减，且         ∴取，得         ∴         ∴，故答案选B 3.函数的图象可能是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、函数图像的识别、函数奇偶性的应用 【分析】先判断函数的奇偶性可排除选项A、B，再分析时，函数值的正负即可求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以函数为奇函数，图象关于原点中心对称，所以选项A、B错误； 因为时，，所以时，， 所以选项C错误，选项D正确； 故选：D. 4.若函数的最小正周期是，且图象关于点对称，则符合条件的一个的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据正弦型函数最小正周期可求得，利用整体对应的方式，结合正弦函数对称中心可构造方程求得的值. 【详解】的最小正周期，，； 关于点对称，，解得：， 则当时，. 故选：A. 5.函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】首先切化弦，然后根据的取值范围去绝对值，化简即可得到函数的最大值. 【详解】由于，且 ， ∴，由图像可知，当时最大 即 故选：A 6.单调增区间为 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【详解】试题分析：因为，所以只要求的减区间，由，解得，故选择B． 考点：三角函数的性质． 7.设函数,则下列结论错误的是 A．设,则有 B．对任意,都有 C．对任意,都有 D．对任意,都有 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、求cosx型三角函数的单调性、求余弦（型）函数的最小正周期 【解析】A选项利用函数的单调性进行判断.B选项利用函数的周期性进行判断.CD选项通过计算证明等式是否正确. 【详解】A，由解得，所以在上单调递减，所以,则有，故A选项正确. B，函数的最小正周期为，所以对任意,都有，故B选项正确. C，当时，，所以C选项错误. D，， ， 所以对任意,都有，所以D选项正确. 故选：C 【点睛】本小题主要考查三角函数的单调性、周期性，考查三角恒等变换，属于中档题. 8.已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较指数幂的大小、比较正弦值的大小、比较对数式的大小 【分析】分别利用函数、和的单调性，对“，，”三个因式进行估值即可. 【详解】因为函数是增函数，且，则， 因为函数是增函数，且，则， 因为正弦函数在区间上是减函数，且， 所以， 所以， 故选：D. 9.已知函数，若的图像的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由已知得，，且，解之讨论，可得选项. 【详解】因为的图像的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间， 所以， 所以， 又，且，解得， 又因， 所以，解得， 当时，符合题意， 当时，符合题意， 所以. 故选：B. 10.已知函数，则（    ） A．的最小正周期为 B．图象的一条对称轴方程为 C．的最小值为 D．的上为增函数 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、正弦函数的对称轴与单调性、最值的关系 【分析】利用辅助角公式，先将函数的解析式进行化简，再利用函数的性质分析选项． 【详解】， 对A，的最小正周期为，故A错误； 对B，，图象的一条对称轴方程为，故B正确； 对C，的最小值为，故C错误； 对D，由，得，则在上先增后减，故D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用、型函数的图象与性质，即周期性、对称性、最值、单调性，属于基础题． 3、 能力提升 1.函数的单调递减区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【解析】利用诱导公式可得本题即求函数的单调递增区间．令，求得的范围，可得函数的单调递减区间． 【详解】解：函数 故要求函数的单调递减区间，即求函数的单调递增区间． 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为， 即函数的单调递减区间为， 故选：． 【点睛】本题主要考查诱导公式、正弦函数的增区间，体现了转化的数学思想，属于基础题． 2.设函数的图象在区间上恰有三条对称轴、函数在上恰有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据对称轴满足的条件，结合在区间上恰有三条对称轴，可得，结合区间上恰有两个零点，知，从而可得的取值范围. 【详解】由，得． 根据函数的图象在区间上恰有三条对称轴，知，得． 根据函数在区间上恰有两个零点，知，得． 综上，的取值范围为． 故选：C 3.已知a＝log0.20.05，b＝0.51.002，c＝4cos1，则下列判断正确的是（    ） A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．b＜a＜c 【答案】D 【知识点】比较对数式的大小、比较余弦值的大小、比较指数幂的大小 【分析】根据对数函数、指数函数和余弦函数的单调性即可得出a，b，c的大小关系． 【详解】由0.51.002＜0.50＝， ∴b＜a＜c． 故选：D． 4.函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】含绝对值的正弦函数的图象 【解析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【详解】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 【点睛】本题考查根据函数图象的交点个数求参数的取值范围，较简单，画出函数的图象是关键. 5.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】先求出函数的单调递减区间，根据是函数减区间的子集转化为的不等式组求解可得结论． 【详解】解：由，， 得，， ∴函数的单调递减区间为，． ∵函数在上单调递减， ∴，， ∴，，即，， 解得， ∴实数的取值范围是． 故选：A． 6.已知定义域为R的函数，满足，下列结论正确的个数为（    ） ①； ②函数的图象关于点对称； ③函数奇函数； ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用可求得的解析式；根据余弦型函数的解析式和性质依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】且，， . 对于①，，①正确； 对于②，当时，，，由余弦函数性质得：不是的对称中心，②错误； 对于③，，可知为偶函数，③错误； 对于④，， ，，④正确； 正确命题的个数为个. 故选：. 【点睛】本题考查余弦型函数的性质的应用，涉及到三角函数解析式的求解、余弦型函数对称中心的判断、奇偶性的判断等知识，是对三角函数性质的综合考查. 7.函数对任意的都有，且时的最大值为，下列四个结论：①是的一个极值点；②若为奇函数，则的最小正周期；③若为偶函数，则在上单调递增；④的取值范围是.其中一定正确的结论编号是（    ） A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】 ①根据，得到是函数的一条对称轴，且时的最大值为判断；②由为奇函数，则，得到，再根据时的最大值为判断；③由为偶函数，则，得到，再根据时的最大值为判断；④由三角函数对称轴的性质判断. 【详解】 因为， 所以是函数的一条对称轴， 又因为时的最大值为， 所以是函数的一条对称轴，故①正确； 若为奇函数，则，所以， 又因为时的最大值为， 所以， 所以，故②正确； 若为偶函数，则，所以， 又因为时的最大值为，所以在上单调递增或递减，故③错误； 由题意的最小正周期，则，故④错误. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，奇偶性，周期性，还考查了运算求解的能力，属于难题. 8.已知函数的图像上相邻最高点和最低点的距离为，且在上有最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据勾股定理，结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】设的最小正周期为T，则， 解得，所以，所以． 当时，．又， 所以要使在上有最大值， 则，所以的取值范围为． 故选：B 4、 直击高考 1.设函数(，)的最小正周期为，且图像关于直线对称，则它的一个对称中心的坐标是（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据的最小正周期以及对称性，即可求得；再求的对称中心即可. 【详解】∵函数的最小正周期为，∴，则， 则， ∵图像关于直线对称，∴，即， ∵， ∴当时，， 则， 由，解得， 当时，， 即函数一个对称中心为. 故选：B. 【点睛】本题考查由正弦型函数的最小正周期以及对称轴求参数值，以及正弦型三角函数的对称中心的求解，属综合基础题. 2.已知函数，点、、是直线与函数的图像自左至右的某三个相邻交点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数图象的综合应用、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据，得到周期，然后计算，利用，的对称性，求出点的横坐标，代入求解即可． 【详解】解：， ，， 则， 即，即， 即， ， ， ， 得，此时． 故选：． 3.已知函数为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，且在上单调，则的最大值为（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】D 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心，得到，即，再根据函数在区间上单调，由，确定，再结合验证求解． 【详解】因为为图象的一条对称轴，为图象的一个对称中心， 所以，即，即为正奇数， ∵函数在区间上单调， ∴，即，解得． 当时，，取，此时在不单调，不满足题意； 当时，，取，此时在不单调，不满足题意； 当时，，取，此时在单调，满足题意； 故的最大值为3． 故选：D 4.已知函数满足性质：①在定义域上有；②，恒有，则函数可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】由①，得，即函数是奇函数.由②，得，即函数在上单调递增. A选项：是正比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意； B选项：是奇函数.当时，.因为在上单调递增，所以在上单调递增，符合题意； C选项：是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意； D选项：是反比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意. 故选：B. 学科网（北京）股份有限公司 $$