3.3.2 抛物线的简单几何性质（六大题型）专项训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.2 抛物线的简单几何性质 题型一 判断抛物线的开口方向 1．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可. 【详解】方程，得或， 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 2．抛物线的准线方程是，则实数 . 【答案】/ 【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数. 【详解】抛物线化为标准方程：， 其准线方程是，而 所以 ，即 ， 故答案为： 3．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程，焦点为，抛物线上点A的横坐标为1，可设出点坐标含有未知数，再由可列出，再由，代入即可解得，即可求出抛物线方程. （2） 由题意设直线l：，，，再把抛物线与直线进行联立消，得.直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【详解】（1）由题意可设抛物线方程为，､， 由.可得，即.解得 抛物线方程为：. （2）设直线l：，，， 由联立得，. 则. 直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得. 以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为. 令.则. 即，解得或. 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 题型二 比较抛物线的开口大小 4．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次项的系数判断即可. 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项平方项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 5．在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）      （2）；    （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【答案】答案见解析 【分析】在同一坐标系下画出抛物线，和图象，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在同一坐标系下画出抛物线，和图象， 由图象可得，当方程中的系数越大，抛物线的开口就越大.    6．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线. （1）； （2）； （3）． 通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系． 【答案】答案见解析. 【分析】做出抛物线，根据图象得出结论. 【详解】在同一平面直角坐标系内做出抛物线，如图，    通过图象可以看出来，当x的系数为正数且越大时，抛物线的开口向右且开口越大. 题型三 抛物线的范围 7．已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点，，则，且，利用二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】记点，，则， 所以， 由，所以，当且仅当时，取最小值. 即点到点的距离的最小值为. 故选：C. 8．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，则，结合二次函数的性质计算可得. 【详解】因为为抛物线上任意一点，所以，， 所以， 所以当时取得最小值，依题意可得，所以. 故答案为： 9．若抛物线：()上的点与点(4，1)关于直线对称，是抛物线的焦点. （1）求的值； （2）若点是抛物线上使得取得最小值的点，，是抛物线上不同于点的两点，且有，求证：直线恒过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）首先根据点与点(4，1)关于直线对称，求出点坐标，再将点坐标代入曲线方程，求得的值. （2）先根据抛物线方程为及点Q坐标判断点在抛物线内部，数形结合得到取得最小值时，设直线的方程为，联立韦达定理得到，， 代入，化简整理得到关于的等量关系式，进而得到直线恒过定点. 【详解】解：（1）设，则线段的中点为. 依题意可得即 解得，所以. 由为抛物线上一点，得，. （2）由（1）得抛物线方程为， 将代入，得. 因为，所以点在抛物线内部. 过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，连接，则， 当且仅当，，三点共线时，取得最小值， 当时，，此时. 设直线的方程为， 联立方程，得消去得， ， 设，， 则，. 因为，所以. 又， ， 所以， 即，. 则，即， 代入线方程，得. 所以直线恒过定点. 【点睛】求解由向量形式给出的圆锥曲线的几何关系问题，常用坐标法处理，可以由向量关系得到点的坐标关系，将几何问题中的垂直､平行等问题转化成代数运算，也可利用向量的坐标运算将由向量形式给出的条件转化为坐标的等量关系进行求解，如本题需要将转化为，再根据点的坐标进一步转化为进行求解. 题型四 求抛物线的对称性 10．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 11．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是 ，的最小值是 . 【答案】 【解析】设，由题意可得，分，，三种情况讨论，求出轨迹方程，即可得出对称轴以及的最小值. 【详解】设，由题意可得，即， 当，即或时，无解； 当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是； 当时，，则，此时曲线的一条对称轴方程是；；即此时的最小值是； 综上，的最小值是. 故答案为：；. 【点睛】本题主要考查求抛物线的轨迹方程，考查抛物线的对称性，以及求抛物线上的点到定点的距离问题，属于常考题型. 12．已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 【答案】（1）见解析； （2）2 ＋4 . 【分析】（1）由抛物线的简单几何性质易得结果；(2) 由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝ |OM|=2. 设A(3，m)，代入y2＝8x即可得到△OAB的周长． 【详解】(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)， x＝－2，x轴，x≥0. (2)如图所示．由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M， 又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝ |OM|. 因为F(2,0)，所以|OM|＝|OF|＝3. 所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24. 所以m＝2或m＝－2. 所以A(3,2)，B(3，－2)． 所以|OA|＝|OB|＝ . 所以△OAB的周长为2＋4. 【点睛】本题考查了抛物线简单性质的应用，解题关键利用好三角形重心的性质，属于中档题. 题型五 抛物线的对称性的应用 13．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用抛物线的定义易得，结合基本不等式求取最小值时对应P，Q坐标，利用P，Q坐标求直线l的斜率，即可求解. 【详解】设直线l的倾斜角为，不妨设P在Q的上方， 过两点作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为， 结合抛物线的定义知，， 得，， 则，则 ， 当且仅当，即时等号成立， 设，，则，设l：， 联立，得，则， 故，，解得，， 此时l的斜率为， 结合抛物线的对称性可知，当P在Q的下方时，l的斜率为， 所以直线l的斜率为. 故选：D. 14．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 15．已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）借助抛物线对称性确定所过点，进而求出抛物线方程. （2）设出直线方程，与抛物线方程联立求出点坐标，进而求出直线方程即可. 【详解】（1）抛物线关于轴对称，而点关于轴对称， 若点之一在抛物线上，则另一点必在该抛物线上，不符合题意， 因此点必在抛物线上，，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，抛物线的焦点，显然直线都不垂直坐标轴， 设直线的方程为，则直线的方程为， 由消去得，设， 则，线段的中点， 同理得线段的中点，当时，直线斜率， 直线方程为，整理得，直线过定点， 当时，或，直线过定点， 所以直线过定点.    题型六 根据抛物线的对称性求相关参数 16．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 17．已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】利用余弦定理、基本不等式可得，进而有时，的周长最大，结合抛物线对称性，设，应用抛物线的定义及点在抛物线上求参数，即可得答案. 【详解】设，，    在中，，由余弦定理得， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 即时，的周长最大， 此时不妨设点，所以，化简，解得（舍去）， 故抛物线的标准方程为． 故答案为： 18．已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在 【分析】（1）由求解； （2）利用两点间距离公式将距离问题转化为函数求最值即可； （3）由题意得直线的斜率不为0，故设的方程为，将直线方程分别与椭圆方程和抛物线方程联立，利用韦达定理和弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意得 解得，所以的方程为. （2）设，由题意知， 所以， 因为，所以当时，， 所以. （3）由题意得直线的斜率不为0， 故设的方程为 联立直线与的方程，得消去并整理，得， 所以. 所以. 联立直线与抛物线的方程， 得消去并整理， 得， 所以， 所以， 所以， 若为定值，则，即， 所以存在，使得为定值.    19．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交H于P、Q两点，且． (1)求抛物线H的方程; (2)一条直线经过抛物线H的焦点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线上的动点． ①求证：不可能是钝角; ②是否存在这样的点C，使得是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②存在， 【分析】(1)根据抛物线的对称性，可得，进而得到坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的方程； （2）①设直线，联立方程，利用韦达定理和向量的数量积的坐标运算可得到，从而证得； ②设存在这样的点C，根据①得中间结论和线段中点公式求得 ，利用直线垂直的条件得到，则，由等边三角形条件得到，利用距离公式表示，进而求得. 【详解】（1）解：（1）由抛物线H的对称性，得，此坐标为， 设抛物线H的方程为，，得抛物线H的方程为 （2）（2）①设直线， ， 由，消去x并整理得， 则，， ∴， ， 所以， 所以 所以不可能是钝角; ②设存在这样的点C,设线段AB的中点为，连接CM， 因为△ABC为等边三角形，M为AB中点，∴CM⊥AB， 由①知，， 所以，， 所以坐标为， 当m=0时，直线AB斜率不存在，根据抛物线的对称性可知此时C的坐标为(-1,0), 而A(1,2),B(1,-2),此时AB=4，,, △ABC不是等边三角形， 当时，直线AB的斜率为, 直线CM的斜率为, 由CM⊥AB，得， 解得， 所以C的坐标为 所以 , 由①得，， 所以 所以， 由得， 所以存在点. 20．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知，. （1）求抛物线的方程； （2）过的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点(在之间)，直线交直线于点.是否存在这样的直线，使得(为的焦点)？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为或. 【分析】（1）设圆的方程为，可设，代入抛物线方程得，用表示点坐标，代入圆方程得的方程，同样可设，代入圆方程得一方程，联立可解得，得抛物线方程； （2）设直线的方程为，，，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理得，再由得的关系，与联立可解得，得直线方程． 【详解】解：（1）设圆的方程为， ∵，可设，代入得，∴，代入，得 .① ∵，抛物线的准线方程为，可设，代入，得 .② 解①②得(舍去). ∴抛物线的方程是. （2）的焦点的坐标，显然直线与坐标轴不垂直，设直线的方程为，，. 联立消去得. 由，解得，∴且. 由韦达定理得，. ∵，∴，∴. 整理得，∴， 整理得. 解得，经检验，符合题意. ∴这样的直线存在，且直线的方程为或，即或. 【点睛】关键点点睛：本题考查求抛物线方程，直线与抛物线相交问题．解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设直线方程，与抛物线方程联立消元后应用韦达定理，再结合其他条件可求解． 21．已知圆O1与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y0）.且关于直线x+y＝1对称. （1）求圆O及圆O1的方程： （2）在第一象限内.圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线y2＝4x交于点B，与x轴交于点D，且以点D为圆心的圆过点O，A，B？若存在.求出点A的坐标；若不存在.说明理由. 【答案】（1）圆O1的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5；圆O的方程为x2+y2＝5（2）不存在，详见解析 【分析】（1）由题意可得在直线上，可得的坐标，进而得到圆的方程；设关于直线的对称点为，由两直线垂直的条件和中点坐标公式可得，，进而得到圆的方程； （2）假设在第一象限内．圆上存在点，且以点为圆心的圆过点，，，则，为的中点，设出，的方程，分别联立圆的方程和抛物线的方程，求得，的坐标，再由中点坐标公式，解方程即可判断存在性． 【详解】（1）圆O1与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y0）.且关于直线x+y＝1对称， 可得P在直线x+y＝1上，即有﹣1+y0＝1，即y0＝2，P（﹣1，2）， 可得r＝1+4＝5，则圆O的方程为x2+y2＝5； 设（0，0）关于直线x+y＝1的对称点为（a，b），可得a＝b，a+b＝2， 解得a＝b＝1，可得圆O1的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5； （2）假设在第一象限内.圆O上存在点A，且以点D为圆心的圆过点O，A，B， 则OA⊥OB，D为AB的中点，由题意可得直线OA的斜率存在且大于0，设OA的方程为y＝kx（k＞0）， OB：yx， 由解得x，即有A（，k）， 由可得x＝4k2，即有B（4k2，﹣4k）， 由D为AB的中点，可得k4k＝0， 化为16k2+11＝0，方程无实数解， 则符合条件的k不存在，所以满足条件的A不存在. 【点睛】本题考查圆的方程和抛物线的方程的运用，直线和圆的方程、直线和抛物线方程联立，求交点，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3.2 抛物线的简单几何性质 题型一 判断抛物线的开口方向 1．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A．B．C．D． 2．抛物线的准线方程是，则实数 . 3．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 题型二 比较抛物线的开口大小 4．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 5．在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）      （2）；    （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 6．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线. （1）； （2）； （3）． 通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系． 题型三 抛物线的范围 7．已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 8．设为抛物线上任意一点，若的最小值为，则的值为 ． 9．若抛物线：()上的点与点(4，1)关于直线对称，是抛物线的焦点. （1）求的值； （2）若点是抛物线上使得取得最小值的点，，是抛物线上不同于点的两点，且有，求证：直线恒过定点. 题型四 求抛物线的对称性 10．已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 11．已知曲线是平面内到定点和定直线的距离之和等于3的动点的轨迹，则曲线的一条对称轴方程是 ，的最小值是 . 12．已知抛物线y2＝8x. (1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围； (2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长． 题型五 抛物线的对称性的应用 13．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（   ） A． B． C． D． 14．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为 ． 15．已知抛物线仅经过中的一点. (1)求的方程； (2)过的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点. 题型六 根据抛物线的对称性求相关参数 16．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 17．已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为 ． 18．已知右焦点为的椭圆过点. (1)求的方程； (2)若点在上，点为圆上一点，求的最大值； (3)过点的直线与交于点，与抛物线交于点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19．抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交H于P、Q两点，且． (1)求抛物线H的方程; (2)一条直线经过抛物线H的焦点F，且交曲线H于A、B两点，点C为直线上的动点． ①求证：不可能是钝角; ②是否存在这样的点C，使得是正三角形？若存在，求点C的坐标；否则，说明理由． 20．以抛物线：的顶点为圆心的圆交于，两点，交的准线于，两点.已知，. （1）求抛物线的方程； （2）过的直线交抛物线于不同的两点，，交直线于点(在之间)，直线交直线于点.是否存在这样的直线，使得(为的焦点)？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 21．已知圆O1与圆O：x2+y2＝r（r＞0）交于点P（﹣1，y0）.且关于直线x+y＝1对称. （1）求圆O及圆O1的方程： （2）在第一象限内.圆O上是否存在点A，过点A作直线l与抛物线y2＝4x交于点B，与x轴交于点D，且以点D为圆心的圆过点O，A，B？若存在.求出点A的坐标；若不存在.说明理由. 1 学科网（北京）股份有限公司 $