广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年上学期九年级数学期末模拟卷03

广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年度第一学期九年级数学期末模拟卷03 一．选择题（共10小题） 1．“阳马”是由长方体裁得的一种几何体，如图水平放置的“阳马”的主视图为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示的电路中，当随机闭合开关S1、S2、S3中的两个时，灯泡能发光的概率为（　　） A． B． C． D． 3．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为（　　） A．x（60﹣x）＝864 B．x（x﹣60）＝864 C．x（60+x）＝864 D．2[x+（x+60）]＝864 4．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 5．函数和的部分图象如图所示，点A在的图象上，过点A作AB∥y轴交x轴于点C，交的图象于点B．若AC＝3BC，则的值为（　　） A．﹣3 B． C． D．3 6．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB：BC＝3：4，则BF：FD为（　　） A．5：3 B．5：4 C．4：3 D．2：1 7．第14届国际数学教育大会（ICME﹣14）会标如图1所示，会标中心的图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”．如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH＝1：3，则sin∠ABE＝（　　） A． B． C． D． 8．如图，在边长为2的正方形EFGH中，M，N分别为EF与GH的中点，一个三角形ABC沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点A恒在直线MN上，当点A运动到线段MN的中点时，点E，F恰与AB，AC两边的中点重合，设点A到EF的距离为x，三角形ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y．则当y时，x的值为（　　） A．或2 B．或2 C．2± D．或 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　） A．14 B．15 C．8 D．6 10．如图，点A、B在双曲线y1（x＞0）上，直线AB分别与x轴、y轴交于点C、D，与双曲线y2（x＜0）交于点E，连接OA、OB，若S△AOC＝20，AB＝3BC，AD＝DE，则k2的值为（　　） A．﹣10 B．﹣11 C．﹣12 D．﹣13 二．填空题（共5小题） 11．公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．已知阻力和阻力臂分别为600N和1m，当动力为1200N时，动力臂是 　 　 m． 12．方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n，则（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026）＝ 　 　 ． 13．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝5，CA＝10，点D，E分别在AC，AB边上，AEAD，连接DE，将△ADE沿DE翻折，得到△FDE，连接CE，CF．若△CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD＝ 　 　 ． 14．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G．若图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为　 　 ． 15．如图，把边长为1：2的矩形ABCD沿长边BC，AD的中点E，F对折，得到四边形ABEF，点G，H分别在BE，EF上，且BG＝EHBE＝2，AG与BH交于点O，N为AF的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，则tan∠AMN＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（1）计算：； （2）解方程：x2﹣4x﹣1＝0． 17．如图，四边形ABCD是菱形，延长AB到点F，使BF＝AB，连接DF交CB于点E． （1）请你用无刻度的直尺和圆规把图形补充完整（保留作图痕迹），并证明E是BC的中点； （2）连接DB，若DF⊥BC，DB＝4，求DE的长． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，点E在CD上，∠DAE＝45°，F为BC的中点，连结AE，AF，分别交BD于点G，H，连结EF． （1）求证：BD＝2EF． （2）当EF＝6时，求GH的长． 19．如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD． （1）求证：DE＝AF； （2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE． 20．暑假期间，小明一家到某旅游风景区登山．他们从山底A处出发，先步行200m到达B处，再从B处坐缆车到达山顶C处．已知山坡AB的坡角α＝16°，缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β＝37°，这座山的高度CD＝296m，A，B，C，D在同一平面内． （1）求小明一家步行上升的垂直高度（结果取整数）； （2）求缆车的行驶路线BC的长（结果取整数）． （参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29；sin37°≈0.60，cos37°≈0.830，tan37°≈0.75） 21．综合与实践：九年级课外小组计划用两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板做收纳盒． 【任务要求】 任务一：设计无盖长方形收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．如图1． 任务二：设计有盖长方形收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分．如图2． 【问题解决】 （1）若任务一中设计的收纳盒的底面积为1600cm2，剪去的小正方形的边长为多少厘米？ （2）若任务二中设计的该收纳盒的底面积为608cm2． ①该收纳盒的高是多少厘米？ ②请判断能否把一个尺寸如图3所示的玩具机械狗完全立着放入该收纳盒，并说明理由． 22．把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，AB⊥x轴于点B，连接BC． （1）若k＝3，OB＝m+2，AB＝m，试求m的值； （2）在（1）的条件下，在x轴上取一点P，使的值为“黄金比”，求点P的坐标． 23．综合探究 如图1，在矩形ABCD中，，动点E在边BC上，连接AE． （1）过点B作BF⊥AE交CD于F， ①当a＝1，求证：AE＝BF； ②当a≠1时，求的值（用含a的代数式表示）． （2）如图2，动点H在边AD上，将矩形ABCD沿EH折叠，点A、B折叠后的位置分别是点A′、B′，点C恰好是线段A′B′的中点，求的值（用含a的代数式表示）． 广东省揭阳市榕城区真理中学2025-2026学年度第一学期九年级数学期末模拟卷03 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A A A A A C A A C 一．选择题（共10小题） 1．【答案】A 【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：如图水平放置的“阳马”的主视图为． 故选：A． 【点评】本题考查简单组合体的三视图，主视图是从物体的正面看得到的视图． 2．【答案】A 【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果，再由概率公式求解即可． 【解答】解：设S1、S2、S3中分别用1、2、3表示， 画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中灯泡能发光的有4种结果， ∴灯泡能发光的概率为：， 故选：A． 【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 3．【答案】A 【分析】根据题意，设宽为x步，则长为（60﹣x）步，利用矩形面积公式即可列出方程． 【解答】解：利用矩形面积公式即可列出方程为： x（60﹣x）＝864， 故选：A． 【点评】本题考查根据实际问题列一元二次方程，理解题意是关键． 4．【答案】A 【分析】待定系数法求得直线FG的解析式为y＝﹣2x﹣1，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【解答】：设直线 FG的解析式为 y＝kx+b，代入（﹣1，1），（0，﹣1）， ∴，解得， ∴直线FG的解析式为 y＝﹣2x﹣1， ∵E（1，2）， A．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时经过原点，对应的EH经过整点（2，1），符合题意， B．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时原点在FG下方，对应的EH在整点（2，1）上方，不符合题意， C．当E为时，平移方式为向右平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时点（2，0）在正方形内部，不符合题意， D．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为y＝﹣2（x）﹣12x，此时点（2，1）在正方形内部，不符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，正方形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．【答案】A 【分析】连接OA、OB，由AC＝3BC、AB∥y轴得到S△OAC＝3S△OBC，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△OAC，继而求出S△OBC，再根据反比例函数系数k的几何意义即可求解． 【解答】解：如图，连接OA、OB， 由条件可知OC⊥AB， ∴S△OAC＝3S△OBC． 由条件可知， ∴， ∴且k2＜0， ∴， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．熟练掌握该知识点是关键． 6．【答案】A 【分析】设AB＝3x，BC＝4x，根据勾股定理得到AC5x，根据相似三角形的性质得到ADx，根据等腰三角形的性质得到BE＝BF，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵AB：BC＝3：4， ∴设AB＝3x，BC＝4x， ∵∠ABC＝90°， ∴AC5x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴， ∴ADx， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠AEB＝∠AFD， ∵∠AFD＝∠BFE， ∴∠BEF＝∠BFE， ∴BE＝BF， ∵∠ABE＝∠ADF＝90°， ∠BAE＝∠DAF， ∴△ABE∽△ADF， ∴， ∴， 方法二：∵AB：BC＝3：4， ∴设AB＝3x，BC＝4x， ∵∠ABC＝90°， ∴AC5x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵∠BAD＝∠CAB， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∴， ∴ADx，过FH⊥AB于H， ∵AE是∠BAC的平分线，FD⊥AC， ∴FH＝FD， ∵sin∠ABD， ∴． 方法三：过F作FH⊥AB于H， 则HF＝DF， ∵， ∴△ADB∽△ACB， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 7．【答案】C 【分析】设EF＝x，则AH＝3x，根据全等三角形，正方形的性质可得AE＝4x，再根据勾股定理可得AB＝5x，即可求出sin∠ABE的值． 【解答】解：根据题意，设EF＝x，则AH＝3x， ∵△ABE≌△DAH，四边形EFGH为正方形， ∴AH＝BE＝3x，EF＝HE＝x， ∴AE＝4x， ∵∠AEB＝90°， ∴， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了勾股定理，全等三角形的性质，正方形的性质，三角函数值的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8．【答案】A 【分析】分两种情形：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P．如图2中，当点A在正方形外部时，分别求解即可解决问题． 【解答】解：如图1中，当过A在正方形内部时，连接EG交MN于O，连接OF，设AB交EH于Q，AC交FG于P． 由题意，△ABC是等腰直角三角形，AQ＝OE＝OG＝AP＝OF，S△OEF＝1， ∵y， ∴S四边形AOEQ+S四边形AOFP＝1.5， ∴OA•2＝1.5， ∴OA， ∴AM＝1． 如图2中，当点A在正方形外部时， 由题意，重叠部分是六边形WQRJPT，S重叠＝S△ABC﹣2S△BQR﹣S△AWT， ∴2.512AN×AN， 解得AN， ∴AM＝2， 综上所述，满足条件的AM的值为或2， 故选：A． 【点评】本题考查正方形的性质，平移变换，多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．【答案】A 【分析】如图，连接EC，CH．设AB交CR于J．证明△ECP∽△HCQ，推出，由PQ＝15，可得PC＝5，CQ＝10，由EC：CH＝1：2，推出AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a，证明四边形ABQC是平行四边形，推出AB＝CQ＝10，根据AC2+BC2＝AB2，构建方程求出a即可解决问题． 【解答】解：如图，连接EC，CH．设AB交CR于J． ∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形， ∴∠ACE＝∠BCH＝45°， ∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°， ∴∠ACE+∠ACB+∠BCH＝180°，∠ACB+∠BCI＝180° ∴B，C，D共线，A，C，I共线，E、C、H共线， ∵DE∥AI∥BH， ∴∠CEP＝∠CHQ， ∵∠ECP＝∠QCH， ∴△ECP∽△HCQ， ∴， ∵PQ＝15， ∴PC＝5，CQ＝10， ∵EC：CH＝1：2， ∴AC：BC＝1：2，设AC＝a，BC＝2a， ∵PQ⊥CR，CR⊥AB， ∴CQ∥AB， ∵AC∥BQ，CQ∥AB， ∴四边形ABQC是平行四边形， ∴AB＝CQ＝10， ∵AC2+BC2＝AB2， ∴5a2＝100， ∴a＝2（负根已经舍弃）， ∴AC＝2，BC＝4， ∵•AC•BC•AB•CJ， ∴CJ4， ∵JR＝AF＝AB＝10， ∴CR＝CJ+JR＝14， 故选：A． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 10．【答案】C 【分析】过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF，先证明四边形DHFB为平行四边形，则BF＝DH，证明△AHD≌△CFB（AAS），则AD＝BC，再证明△EKD≌△AHD（AAS），则S△EKD＝S△AHD，ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1，则，由AG∥y轴，得到，则，则S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝1，则可求，即可求解k2的值． 【解答】解：过点E作EK⊥y轴于点K，过点A作x、y轴的垂线，垂足为G，H，过点B作x轴的垂线，垂足为F，连接OE，HF，BH，AF， 由条件可知， ∵BF∥y轴，AH∥x轴，AG∥y轴， ∴S△OAH＝S△AHF＝S△OBF＝S△BFH， 由条件可知△AHF，△BHF在FH上的高相等， ∴AB∥FH， ∴四边形DHFB为平行四边形， ∴BF＝DH， ∵AH∥x轴， ∴∠DAH＝∠BCF， ∵∠AHD＝∠CFB＝90°， ∴△AHD≌△CFB（AAS）， ∴AD＝BC， 在△EKD和△AHD中， ， ∴△EKD≌△AHD（AAS）， ∴S△EKD＝S△AHD，AD＝ED， ∵AB＝3BC， ∴ED：AD：AB：BC＝1：1：3：1， ∴， ∴， ∵AG∥y轴， ∴， ∴， ∴S△ADH＝S△AOD﹣S△AHO＝5﹣4＝1， ∴S△EKD＝S△AHD＝1， ∴， ∵双曲线经过第二象限， ∴k2＝﹣12， 故选：C． 【点评】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数k的几何意义，平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，解题的关键是熟练掌握反比例函数有关的“等角、等线段”的性质是解题的关键． 二．填空题（共5小题） 11．【答案】0.5． 【分析】根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂计算即可． 【解答】解：600×1÷1200＝0.5（m）， ∴动力臂是0.5m． 故答案为：0.5． 【点评】本题考查反比例函数的应用，掌握杠杆原理是解题的关键． 12．【答案】﹣4048． 【分析】如果一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1，x2，则，.根据根与系数的关系和方程的解得到m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025，代入，并再将原式化简为 mn﹣（m+n）+1，即可求解． 【解答】解：∵方程x2﹣2024x﹣2025＝0的两个根分别是m、n， ∴m2﹣2024m﹣2025＝0，n2﹣2024n﹣2025＝0，m+n＝2024，mn＝﹣2025， ∴m2＝2024m+2025，n2＝2024n+2025， ∴（m2﹣2023m﹣2026）（n2﹣2023n﹣2026） ＝（2024m+2025﹣2023m﹣2026）（2024n+2025﹣2023n﹣2026） ＝（m﹣1）（n﹣1） ＝mn﹣（m+n）+1 ＝﹣2025﹣2024+1 ＝﹣4048， 故答案为：﹣4048． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 13．【答案】． 【分析】设AD＝x，，根据折叠性质得DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE，过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M，证明△AHE∽△ACB，得到，进而得到EH＝x，AH＝2x，证明Rt△EHD是等腰直角三角形，得到∠HDE＝∠HED＝45°，可得∠FDM＝90°，证明△FDM≌△EHM（AAS），得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x的值即可． 【解答】解：∵， ∴设AD＝x，， ∵△ADE沿DE翻折，得到△FDE， ∴DF＝AD＝x，∠ADE＝∠FDE， 过E作EH⊥AC于H，设EF与AC相交于M， 则∠AHE＝∠ACB＝90°， 又∵∠A＝∠A， ∴△AHE∽△ACB， ∴， ∵CB＝5，CA＝10，， ∴， ∴EH＝x，，则DH＝AH﹣AD＝x＝EH， ∴Rt△EHD是等腰直角三角形， ∴∠HDE＝∠HED＝45°，则∠ADE＝∠EDF＝135°， ∴∠FDM＝135°﹣45°＝90°， 在△FDM和△EHM中， ， ∴△FDM≌△EHM（AAS）， ∴，， ∴， 25﹣5x， ∵△CEF的面积是△BEC的面积的2倍， ∴， 则3x2﹣40x+100＝0， 解得，x2＝10（舍去）， 则， 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解 答的关键． 14．【答案】见试题解答内容 【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG+CG的长，进而得出其周长． 【解答】解：∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3， ∴阴影部分的面积为9＝6， ∴空白部分的面积为9﹣6＝3， 由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，可得△BCE≌△CDF， ∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为3， ∠CBE＝∠DCF， ∵∠DCF+∠BCG＝90°， ∴∠CBG+∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°， 设BG＝a，CG＝b，则ab， 又∵a2+b2＝32， ∴a2+2ab+b2＝9+6＝15， 即（a+b）2＝15， ∴a+b，即BG+CG， ∴△BCG的周长3， 故答案为：3． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用． 15．【答案】． 【分析】先判断出四边形ABEF是正方形，进而判断出△ABG≌△BEH（SAS），得出∠BAG＝∠EBH，进而求出∠AOB＝90°，再判断出△AOB∽△ABG，求出，再判断出△OBM∽△OAN，求出BM＝1，即可求出答案． 【解答】解：∵点E，F分别是BC，AD的中点， ∴AFAD，BEBC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°，AD∥BC，AD＝BC， ∴AF＝BEAD， ∴四边形ABEF是矩形， 由题意知，AD＝2AB， ∴AF＝AB， ∴矩形ABEF是正方形， ∴AB＝BE，∠ABE＝∠BEF＝90°， ∵BG＝EH， ∴△ABG≌△BEH（SAS）， ∴∠BAG＝∠EBH， ∴∠BAG+∠ABO＝∠EBH+∠ABO＝∠ABG＝90°， ∴∠AOB＝90°， ∵BG＝EHBE＝2， ∴BE＝5， ∴AF＝5， ∵∠OAB＝∠BAG，∠AOB＝∠ABG， ∴△AOB∽△ABG， ∴， ∴， ∵OM⊥ON， ∴∠MON＝90°＝∠AOB， ∴∠BOM＝∠AON， ∵∠BAG+∠FAG＝90°，∠ABO+∠EBH＝90°，∠BAG＝∠EBH， ∴∠OBM＝∠OAN， ∴△OBM∽△OAN， ∴， ∵点N是AF的中点， ∴ANAF， ∴， ∴BM＝1， ∴AM＝AB﹣BM＝4， 在Rt△MAN中，tan∠AMN， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了矩形性质，正方形性质和判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，求出BM是解本题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）分别根据算术平方根，特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整数指数幂的运算法则计算出各数，最后合并即可， （2）利用公式法求解即可． 【解答】解：（1） ； （2）x2﹣4x﹣1＝0， Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握运算法则和解方程步骤是解题的关键． 17．【答案】（1）图形见解析，证明见解析； （2）2． 【分析】（1）由题意画出图形，再证明△CDE≌△BFE（ASA），得CE＝BE，即可得出结论； （2）由线段垂直平分线的性质得BF＝BD＝4，则AB＝BF＝4，再由菱形的性质得BC＝AB＝4，则BE＝2，然后由勾股定理求出DE的长即可． 【解答】解：（1）如图， 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠C＝∠FBE，∠CDE＝∠F， ∵BF＝AB， ∴CD＝BF， ∴△CDE≌△BFE（ASA）， ∴CE＝BE， ∴E是BC的中点； （2）由（1）可知，△CDE≌△BFE， ∴CE＝BE，DE＝FE， ∵DF⊥BC， ∴BF＝BD＝4，∠DEB＝90°， ∴AB＝BF＝4， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝4， ∴BEBC＝2， ∴DE2， 即DE的长为2． 【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、尺规作图、勾股定理以及线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握菱形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．【答案】（1）证明见解答过程； （2）4． 【分析】（1）根据矩形的性质得出AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，结合直角三角形的性质、等腰三角形的判定求出AD＝ED，则DE＝CE，即可求出EF是△BCD的中位线，根据三角形中位线的性质求解即可； （2）结合（1）求出BD＝12，根据矩形的性质求出，，CD∥AB，AD∥BC，即可判定△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH，根据相似三角形的性质求出DG＝4，BH＝4，根据线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB＝2AD， ∴AB＝CD＝2AD，∠ADC＝∠DAB＝90°，AD＝BC， ∵∠DAE＝45°， ∴∠DEA＝90°﹣45°＝45°＝∠DAE， ∴AD＝ED， ∴CD＝2DE， ∴DE＝CE， ∵F为BC的中点， ∴EF是△BCD的中位线， ∴BD＝2EF； （2）解：由（1）知，BD＝2EF， ∵EF＝6， ∴BD＝12， ∵AB＝CD＝2AD＝2DE，AD＝BC，F为BC的中点， ∴，， 在矩形ABCD中，CD∥AB，AD∥BC， ∴△DEG∽△BAG，△FBH∽△ADH， ∴，， ∴，， ∴DG＝4，BH＝4， ∴GH＝BD﹣DG﹣BH＝4． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 19．【答案】证明过程见解答． 【分析】（1）证明△ACF≌△DAE（ASA），即可解决问题； （2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC， ∴∠ACF＝∠DAC ∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD， ∴△ACF≌△DAE（ASA）， ∴AF＝DE； （2）∵△ACF≌△DAE， ∴∠AFC＝∠DEA， ∴∠AFB＝∠DEC， ∵∠ABC＝∠CDE， ∴△ABF∽△CDE， ∴， ∴AF•DE＝BF•CE， ∵AF＝DE， ∴AF2＝BF•CE． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，梯形，勾股定理，熟练运用相似三角形的性质和判定是本题的关键． 20．【答案】见试题解答内容 【分析】（1）过点B作BE⊥AD于E，根据正弦的定义求出BE； （2）过点B作BF⊥CD于F，根据矩形的性质求出DF，进而求出CF，再根据正弦的定义计算即可． 【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于E， 在Rt△ABE中，∠A＝α＝16°，AB＝200米， 则BE＝AB•sinA≈200×0.28＝56（m）， 答：小明一家步行上升的垂直高度约为56m； （2）如图，过点B作BF⊥CD于F， 则四边形BEDF为矩形， ∴DF＝BE＝56m， ∵CD＝296m， ∴CF＝CD﹣DF＝296﹣56＝240（m）， 在Rt△CBF中，∠CBF＝β＝37°， 则BC400（m）， 答：车的行驶路线BC的长约为400m． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 21．【答案】（1）剪去的小正方形的边长为10cm； （2）①收纳盒的高为12厘米；②不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【分析】（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，则底面的长为（100﹣2x）厘米，宽为（40﹣2x）厘米，根据面积的计算公式列式即可求解； （2）根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，结合图示分析可得收纳盒底面的长、宽，根据收纳盒的底面积为608cm2列式可得a＝12， ②根据该收纳盒的高与玩具机械狗的尺寸比较即可求解． 【解答】解：（1）设剪去的小正方形的边长为x厘米，由题意得： （100﹣2x）（40﹣2x）＝1600， 解得：x1＝10，x2＝60（不符合题意，舍去）， 答：剪去的小正方形的边长为10cm （2）①根据题意，长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，设收纳盒的高为a厘米，则收纳盒底面的长为（厘米），宽为（40﹣2a）厘米， ∴（50﹣a）（40﹣2a）＝608， 解得：a＝12，a2＝58＞50（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为12厘米， ②∵12＜15， ∴不能把玩具机械狗完全放入该收纳盒． 【点评】本题主要考查用一元二次方程的运用，理解题意是关键． 22．【答案】（1）m＝1； （2）或． 【分析】（1）根据题意可得A（m+2，m），再把A（m+2，m）代入反比例函数解析式中计算求解即可； （2）由（1）可得AB＝1，根据题意可得，据此求出OP的长即可得到答案． 【解答】解：（1）∵AB⊥x轴，OB＝m+2，AB＝m， ∴A（m+2，m）， ∵k＝3， ∴反比例函数解析式为， ∵点A、C是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，将点A的坐标代入得： ， 解得：m＝1（经检验，是原分式方程的根，且符合题意）或m＝﹣3（不合题意，舍去）； （2）由（1）可得AB＝1， ∵的值为“黄金比”， ∴， ∴， ∴点P的坐标为或． 【点评】本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，黄金分割，正确理解题意是解题的关键． 23．【答案】（1）①证明过程详见解答； ②a； （2）． 【分析】（1）①∠ABC＝∠C＝90°，从而∠ABF+∠CBF＝90°，∠ABF+∠BAE＝90°，从而∠BAE＝∠CBF，从而得出△ABE≌△BCF，从而AE＝BF， ②可推出∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE＝∠CBF，从而△ABE∽△BCF，从而； （2）取AB的中点G，连接CG，作BW∥EH，交AD于W，可证得四边形BWHE是平行四边形，从而BW＝EH；根据对称得出点G和点C关于EH对称，AB＝A′B′，EH⊥CG，从而得出BW⊥CG，从而△ABW∽△CBG，从而，进一步得出结果． 【解答】（1）①证明：如图1， 设AE，BF交于点O， 当a＝1，AB＝BC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°， ∴∠ABF+∠CBF＝90°， ∵BF⊥AE， ∴∠AOB＝90°， ∴∠ABF+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠CBF， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴AE＝BF， ②解：由①知， ∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE＝∠CBF， ∴△ABE∽△BCF， ∴； （2）解：如图2， 取AB的中点G，连接CG，作BW∥EH，交AD于W， ∴BG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC∥AD，∠ABC＝90°， ∴四边形BWHE是平行四边形， ∴BW＝EH， ∵矩形ABCD沿EH折叠，点A、B折叠后的位置分别是点A′、B′，点C恰好是线段A′B′的中点， ∴点G和点C关于EH对称，AB＝A′B′， ∴EH⊥CG， ∴BW⊥CG， 由②知， △ABW∽△CBG， ∴， 不妨设AB＝2a，BC＝2，则BG＝a， ∵∠ABC＝90°， ∴CG， ∴， ∴． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/11/29 22:34:15；用户：真理实验学校；邮箱：zhenli@jyeoo.com；学号：55633728 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $