专题04 平行线重难点题型专训（5个知识点+17大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦平行线核心知识点，系统梳理平行的定义、公理及推论，三线八角的识别，平行线的判定方法（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等）和性质，形成从概念到应用的完整学习支架。 资料通过17大题型分层设计，从基础角的识别到综合证明，结合拓展训练中的生活实例（如探照灯、自行车结构）培养数学眼光，多结论问题发展推理意识，即时训练与自我检测助力学生查漏补缺，课中辅助教学，课后巩固提升。

专题04 平行线重难点题型专训 （5个知识点+17大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 立体图形中平行的棱 题型三 用直尺、三角板画平行线 题型四 同位角、内错角、同旁内角 题型五 同位角相等两直线平行 题型六 内错角相等两直线平行 题型七 同旁内角互补两直线平行 题型八 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型九 两直线平行同位角相等 题型十 两直线平行内错角相等 题型十一 根据平行线的性质求角的度数 题型十二 两直线平行同旁内角互补 题型十三 根据平行线的判定与性质求角度 题型十四 根据平行线的判定与性质证明 题型十五 平行公理的应用 题型十六 求平行线间的距离 题型十七 利用平行线间距离解决问题 拓展训练一 根据平行线的性质探究角的关系 拓展训练二 平行线的性质在生活中的应用 拓展训练三 平行公理推论的应用 拓展训练四 三线八角的多结论问题 知识点一：平行 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，同一平面内有两条直线和，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．都不是 【答案】B 【分析】本题考查同一平面内两直线的位置关系．掌握同一平面内两直线的位置关系是相交或平行是解题的关键． 根据图形直接判定即可． 【详解】解：由图可知，直线a与b的位置关系是相交． 故选：B． 2．（2025七年级上·江苏徐州·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线． 【答案】平行 【分析】根据平行线的定义，进行判断即可． 【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线， 故答案为：平行． 【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系．熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解题的关键． 知识点二：认识同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角、内错角和同旁内角的定义，熟练掌握同旁内角定义是解题的关键．根据同旁内角定义，即两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，即可进行求解． 【详解】解：A、图中两个角不是同旁内角，故本选项不符合题意； B、图中两个角是同位角，故本选项不符合题意； C、图中两个角是同旁内角，故本选项符合题意； D、图中两个角是内错角，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，和 是同位角，和 是内错角，的邻补角是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了同位角，内错角，邻补角．熟练掌握同位角，内错角，邻补角是解题的关键． 根据同位角，内错角，邻补角的定义进行作答即可． 【详解】解：由题意知，和是同位角，和是内错角，的邻补角是或， 故答案为：，，或． 知识点三：利用直尺和三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 1.落：将三角尺一边落在已知直线上； 2.靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 3.推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置； 4.画：沿三角尺的这一边画直线. PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）    A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】如图，根据题意得，则根据同位角相等，两直线平行即可判断. 【详解】解：如图，根据题意得， 所以，根据的是同位角相等，两直线平行； 故选：C.    【点睛】本题考查了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，熟知同位角相等，两直线平行是关键. 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定平行线，掌握判断步骤是解题的关键．将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③ 故答案为：①②③． 知识点四： 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，，，则∠2的度数是（      ） A．53° B．63° C．57° D．67° 【答案】D 【分析】求出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出即可． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，能正确求出是解此题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，要使，则的度数为 ． 【答案】 【分析】直接根据平行线的性质和判定即可求解． 【详解】解：， ， 要使，则, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和判定求角度，结合图形，熟练运用平行线的性质和判定是解题得关键． 知识点五： 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得出的结论，再根据平行线的性质对选项作出判断． 【详解】， ； A.由（两直线平行，内错角相等）可得到，故A错误，不符合题意； B.， （两直线平行，内错角相等），故B正确，符合题意； C.由、（两直线平行，同旁内角互补），根据等角的补角相等可得到，故C错误，不符合题意； D.，由，根据两直线平行，同旁内角互补可得到，故D错误，不符合题意． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是正确认识图形及“三线八角”． 2．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，，，则图中平行的直线有 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定． 根据平行线的判定定理进行解题． 【详解】解：如图，①∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； ②∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ③∵，， ∴． 综上所述，图中互相平行的直线有：． 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）下列属于平行线的有（   ） ①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米直线跑道线；④平直的火车铁轨 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的定义，同一平面内不相交的两条直线互相平行． 根据平行线的定义对生活实例进行判断即可得出答案． 【详解】解：属于平行线的有：①③④，共3个， 故选：C． 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（    ） A．a B．b C．m D．n 【答案】B 【分析】根据同一平面内，两条不相交的直线，叫做平行线，即可判断， 本题考查了平行的定义，解题的关键是：熟练掌握平行线的定义． 【详解】解：用直尺分别作a，b，l，m，n的延长线， 其中只有b的延长线不与l相交， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种． 【答案】 平行 相交 【分析】本题考查平面内两直线的位置关系，在同一平面内，不重合的两条直线要么平行，要么相交，熟记相关结论即可求解． 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有平行和相交， 故答案为：平行，相交． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 【答案】 相交 垂直 【分析】本题主要考查同一平面内两直线的位置关系，掌握同一平面内两直线的位置关系是解题的关键． 【详解】解：同一平面内两直线的位置关系为平行与相交，两条直线相交的特殊情况是垂直． 故答案为：相交；垂直． 4．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【答案】， 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，根据网格的特点可得，，再证明即可得到答案． 【详解】解：延长，由网格的特点可知交于M，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴． 【经典例题二 立体图形中平行的棱】 【例2】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】先找出不过棱AD的平面，确定平面内有与AD平行的直线即可． 【详解】解：∵在长方体ABCD-EFGH中，AD//EH∥BC， ∴AD∥平面EFGH，AD∥平面BCGF， ∴与棱AD平行的平面共有2个． 故选择：B． 【点睛】本题主要考查立体图形与平行线，利用平行线的定义找出与棱AD平行的平面并准确观察图形是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查认识立体图形，平行线的判定；解题的关键是理解题意．根据长方体的特征，即可得到与棱平行的棱． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有棱、棱、棱， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 【答案】棱，棱，棱． 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线． 【详解】在长方体中，与平行的棱是棱，棱，棱， 故答案为：棱，棱，棱． 【点睛】本题主要考查平行线的定义，熟练掌握长方体的结构特点是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 【答案】 ， ， ， 【分析】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线；当两条直线所交的四个角中，有一个角是直角时，我们就说这两条直线互相垂直．根据两条直线平行和垂直的定义判断即可． 【详解】解：由两条直线平行和垂直的定义知：，，， 【点睛】本题考查两条直线相交和垂直的定义，根据内容解题是关键． 4．（2025七年级上·江苏镇江·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【答案】见解析 【分析】此题考查平行线的意义，注意前提条件，是在同一平面内．利用平行的定义：在同一平面内，不相交（也不重合）的两条直线叫做平行线平行线，由此探讨得出答案即可． 【详解】解：如图的直线与既不相交也不平行，因为直线与不在同一个平面内．    【经典例题三 用直尺、三角板画平行线】 【例3】（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作平行线，角平分线，根据题意作出图形，再利用量角器即可求解． 【详解】解：根据题意作图如下： 再利用量角器量一量的度数，约为， 故选：B． 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了作图复杂作图、平行线的判定，根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，即可写出这样画图的依据，解决本题的关键是掌握平行线的判定． 【详解】解：根据作图过程可知： 画图的依据是：同位角相等，两直线平行． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线．其中的道理是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定．根据平行线的判定方法即可解答． 【详解】解：如图， 由作图可知，根据“同位角相等，两直线平行”可得． 故答案为：同位角相等，两直线平行 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查的是用三角板和直尺判定判定平行线，将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板即可判定． 【详解】解：将三角板的一条边靠在直线上，用直尺靠在三角板的另一条边上，固定直尺不动，推动三角板，可判定三个图形中的有①②③， 故答案为：①②③． 4．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）按要求画平行线，已知． (1)过A点作，过C点作交于点E． (2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题考查了用直尺和三角板过已知点画平行线，用直尺和三角板作平行线的步骤：一放，二靠，三推，四画，正确操作是解本题的关键． （1）首先将三角板的一边与重合（一放），直尺靠紧三角板的另一边（二靠），沿直尺平移三角板（三推），使三角板原来与重合的边经过点，过点A沿三角板的这边画直线（四画），同理，过点C作，交于点E．按此操作即可求解． （2）平行线作法与（1）相同． 【详解】（1）解：如图所示， （2）如图所示， 【经典例题四 同位角、内错角、同旁内角】 【例4】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了内错角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，四个选项中只有B选项中的与是内错角， 故选：B． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是同旁内角的定义，关键是知道哪两条直线被第三条直线所截．根据同旁内角是两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两个角判断即可． 【详解】解：与构成同旁内角的是． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）如图，已知直线被直线所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角． 【答案】 【分析】本题考查了三线八角的识别，理解并掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义，图形结合分析即可求解． 【详解】解：与是同位角，与是内错角，与是同旁内角， 故答案为：①；②；③ ． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图：与构成同旁内角的角有 个． 【答案】3 【分析】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个． 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 【答案】(1)，，； (2)，，； (3)； (4)． 【分析】（）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）根据同位角，同旁内角，内错角的定义逐一找出可得答案； （）借助（）（）中的两个基本模型可得结论； （）根据平行线的性质，逐一找出与相等的角可得答案． 本题主要考查了相交线，同位角，内错角，同旁内角，平行线的性质等数学常识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与； 内错角有：与，与； 同旁内角有：与，与； 故答案为：，，； （2）解：如图，    图中的同位角有：与，与，与，与，与，与，与，与， 与，与，与，与； 内错角有：与，与，与，与，与，与； 同旁内角有：与，与，与，与，与，与； 故答案为：，，； （3）解：图中共有（）型的基本图形个，（）型的基本图形个，由以上的结论可知， 图中共有同旁内角：． 故答案为：． （4）解：∵， ∴，，． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【经典例题五 同位角相等两直线平行】 【例5】（25-26七年级上·江苏南京·单元测试）下列各图中，不能画出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键．根据平行线的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：根据同位角相等，两直线平行，可得A、B正确； 根据垂直于同一直线的两条直线平行，可得D正确； C不能画出， 故选：C． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等时，两直线平行）是解题的关键． 依次分析每个选项中能否判定． 【详解】解：选项A，∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行），不能判定． 选项B，∵ ，且的对顶角与是同位角且相等， ∴ （同位角相等，两直线平行）． 选项C，，不能判定． 选项D，，不能判定． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有 ．（填写所有满足条件的序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理对条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①∵，∴，符合题意； ②∵，∴，符合题意； ③∵，∴，不能判定，不符合题意； ④∵，∴，符合题意； 所以，可以判定的有①②④， 故答案为：①②④． 4．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在四边形中，点为边上一点．请利用直尺和圆规在四边形内求作一点，使得，且点到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作角平分线，作一个角等于已知角，根据题意作的角平分线，，则点即为所求． 【详解】解：如图所示，点即为所求． 【经典例题六 内错角相等两直线平行】 【例6】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 1．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，理解并掌握平行线的性质是解题关键．根据同位角相等两直线平行，即可判断①；根据内错角相等两直线平行，即可判断②；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断③；根据对顶角相等和同旁内角互补两直线平行，即可判断④，综合即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵， ∴， ∴，故④正确， 综上可得：能判断的条件是①②③④． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）如图，在条件：①；②；③；④中，能判断的条件是 ． 【答案】① 【分析】根据平行线的判定定理解答． 【详解】， ．（内错角相等，两直线平行） 由②；③；④，都不能判断， 故答案为：①． 【点睛】此题考查平行线的判定定理，熟记判定定理是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明． 证明：∵AC平分∠DAB( )， ∴∠1＝∠ ( )， 又∵∠1＝∠2( )， ∴∠2＝∠ ( )， ∴AB ( )． 【答案】 已知 3 角平分线的定义 已知 3 等量代换 CD 内错角相等，两直线平行 【分析】根据平行线证明对书写过程的要求和格式填写即可. 【详解】证明：∵AC平分∠DAB(已知)， ∴∠1＝∠  3  (角平分线的定义)， 又∵∠1＝∠2(已知)， ∴∠2＝∠  3  (等量代换)， ∴AB∥CD (内错角相等，两直线平行)． 故答案为：已知；3；角平分线的定义；已知；3；等量代换；CD；内错角相等，两直线平行 【点睛】本题主要考查平行线证明的书写，正确的逻辑推理和书写格式是解题的关键. 4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，与互为余角，，，垂足为，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了余角的定义、垂直的定义、平行线的判定等知识点，掌握同位角相等、两直线平行成为解题的关键． 由余角的定义可得，再根据等量代换以及角的和差可得，然后结合垂直的定义可得，最后根据同位角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】证明：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 【经典例题七 同旁内角互补两直线平行】 【例7】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键． 【详解】解：（1）， ，符合题意； （2）， ，不符合题意； （3）， ，符合题意； （4）， ，符合题意； 共有3个条件符合题意． 故选：C． 1．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴. 故选：B 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题的关键； 根据平行线的判定，即可求解； 【详解】解：， ； 故答案为： 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）学习近平行线后，学霸君想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知学霸君画平行线的依据可以是 （把下列所有正确结论的序号都填在横线上） ①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行. 【答案】②③④ 【分析】理解折叠过程，根据直线平行条件即可解答. 【详解】由图可知，虚线与其他折痕垂直，根据折后角的关系可得同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，所以选②③④. 故答案为②③④ 【点睛】考查平行线的判定，理解折叠过程是解答本题的关键. 4．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图，已知：，，那么直线与的位置关系如何？并说明理由． 答：__________． 理由：（已知）， _____（_____）． （已知）， （等量代换）． _____（______）． 【答案】，见详解 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由可得出，由已知条件了可得出，进而可得出． 【详解】解：答： 理由：（已知）， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （等量代换）． （同旁内角互补，两直线平行）． 【经典例题八 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【例8】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判断，图形类的规律探索，根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ……， 以此类推可知，从开始，每4条直线为一个循环，与它们的位置关系分别为垂直，垂直，平行，平行， ∵， ∴， 故选：B． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，C为的边OA上一点，过点C作交的平分线OE于点F，作交BO的延长线于点H，若，现有以下结论：①；②；③；④．结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据平行线的性质可得，结合角平分线的定义可判断①；再由平角的定义可判断②；由平行线的性质可判断③；由余角及补角的定义可判断④． 【详解】解：，， ， 平分， ，故①正确； ， ， ，故②正确； ，， ，故③正确； ，， ，故④正确． 正确为①②③④， 故选:D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝ °． 【答案】57 【分析】根据角平分线得出∠HBC=∠DBC=，根据垂直得出BC∥DE，得出∠3+∠DBC=180°，结合∠2＋∠3＝180°，得出∠DBC=∠3，证出CH∥BD即可． 【详解】解：∵BC平分∠ABD， ∴∠HBC=∠DBC=， ∵BC⊥AE，DE⊥AE， ∴BC∥DE， ∴∠3+∠DBC=180°， ∵∠2＋∠3＝180°， ∴∠DBC=∠2， ∴CH∥BD， ∴∠DBA=∠1=66°， ∴∠DBC=∠2=， ∴∠ACH=∠ACB-∠2=90°-33°=57°． 故答案为：57． 【点睛】本题考查角平分线有关的计算，平行线判定与性质，求余角，掌握角平分线有关的计算，平行线判定与性质，余角性质是解题关键． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，点E在AC的延长线上，给出的四个条件：    （1）；（2）；（3）；（4）能判断的有 个. 【答案】3 【分析】根据平行线的判定定理进行逐一判断即可； 【详解】（1）如果 ，那么 ，故（1） 错误； （2），那么 ，内错角相等，两直线平行，故（2）正确； （3），那么 ； 同位角相等，两直线平行，故（3）正确； （4），那么 ， 同旁内角互补，两直线平行，故（4） 正确； 即正确的有 故答案为：3 【点睛】此题考查的是平行线的判定定理，比较简单，解答此题的关键是正确区分两条直线被第三条直线所截所形成的各角之间的关系． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于于． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质等知识点，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． （1）由可得，再根据同旁内角互补两直线平行即可解答； （2）由平行线的性质可得,再证明，最后根据两直线平行、同位角相等即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：，， ， ，， ， ． 【经典例题九 两直线平行同位角相等】 【例9】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数和邻补角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；根据平行线的性质和邻补角的知识，进行作答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质应用，熟练掌握平行线的性质是解答的关键． 根据水中的两条折射光线是平行的可求得，根据水面和杯底平行得的度数即可． 【详解】解：如图， ∵水中的两条折射光线是平行的， ∴， ∵水面和杯底互相平行， ， ． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等，根据平行线的性质得，，根据对顶角相等得，可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，是的平分线，交于点E，若，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查平行线的性质，由两直线平行，同位角相等，可得，再由角平分线的定义得，再次利用平行线的性质，可得． 【详解】解：，， ， 是的平分线， ， ， ， 故答案为：70． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）推理填空：如图，点、分别为、上的点，连接，和，已知，，所以，请将成立的推理过程补充完整． 推理过程：由题易知：，______ 因为已知 所以______ 所以____________内错角相等，两直线平行 则______ 又因为已知 所以______ 所以______ 【答案】对顶角相等；等量代换；；；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据对顶角相等推出，由平行线的判定得，进一步推出，最后由平行线判定可得结论．解题的关键是掌握平行线的判定与性质并熟练运用． 【详解】解：推理过程：由题易知：，对顶角相等， 因为（已知， 所以（等量代换， 所以（内错角相等，两直线平行， 则（两直线平行，同位角相等， 又因为（已知， 所以（等量代换， 所以（内错角相等，两直线平行． 故答案为：对顶角相等；等量代换；，；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【经典例题十 两直线平行内错角相等】 【例10】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得出，根据平行线的性质得出，再根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如下图所示，设该纸片为长方形，四边形沿翻折后得到四边形． 四边形沿翻折后得到四边形， ． 四边形是长方形， ． ． ． ， 故选：D 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解和掌握平行线的性质是解题的关键．设的延长线为，由，，根据平行线的性质得到与相等的角、、、、，因为，可推出互补的角的个数，即可求出答案． 【详解】解：设的延长线为， ，， ，， 与互补的角有，，，，，， ，， ． 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，若，，则图中与互补的角有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查平行线的性质和补角的定义，根据可得，，根据可得，根据对顶角相等可得，，根据补角的定义即可求解． 【详解】解：对图中各角进行如下标注： ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 综上可知，与互补的角有，，，，共4个， 故答案为：4． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·开学考试）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题考查平角的度数及平行线的性质．首先通过平角计算邻补角，再利用平行线的内错角相等，将已知角转化为与相关的角最终求和得到结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）填空： 已知：， 求证： _______． 证明：过A点作_______∥_______， 则_______， _______．（_______，_______） ∵是平角， ∴_______+_______．（______________） ∴______________．（______________） 即______． 【答案】；，；，；两直线平行，内错角相等；，，平角定义；，，等式的性质； 【分析】本题考查了平角的定义，平行线的性质．根据平行线的性质，平角的定义完成推理过程即可． 【详解】已知：， 求证：． 证明：过A点作， 则，．（两直线平行，内错角相等） ∵是平角， ∴ ∴ 即． 【经典例题十一 根据平行线的性质求角的度数】 【例11】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，由题意可知，，根据平行线的性质可得，，由此即可求解出的度数． 【详解】解：由题意可知：，， 而，， ， ， ． 故选：D． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角定义，由，则，，然后通过物理知识可得反射角等于入射角，即有，从而求出度数，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 由物理知识可得反射角等于入射角， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质，先根据题意作出图形，再根据平行线得到，，，接着根据镜面反射可得，，最后根据平角列方程求解即可． 【详解】解：如图，与平行的光线经过第一次镜面反射后得到线段，经过第二次镜面反射后得到射线，交于， ∵经过两次镜面反射后，与原光线夹角为， ∴， ∵与平行的光线， ∴，，， 由镜面反射可得，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，将一副三角板的顶点按如图方式放在一起，点，，三点在同一直线上，其中，，，，则 ；现将三角板绕点顺时针转动度，在转动过程中，若三角板和三角板有一组边互相平行，则 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形板中角度的计算，利用平角的定义计算即可得出的度数，分两种情况：当时；当时；分别利用平行线的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：； 如图，当时，， ， 此时； 当时，， ， 此时，， 综上所述，三角板和三角板有一组边互相平行，则或， 故答案为：；或． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【答案】(1)65 (2) (3)或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，过“拐点”构造平行线是解题关键． （1）过F点作，根据、即可求解； （2）过F点作，根据、即可求解； （3）根据题意画出满足条件的几何图，分四种情况讨论，求出旋转的角度即可求解． 【详解】（1）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）解：过F点作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：； （3）解：∵，， ∴， 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度， ∴； 时，如图所示： 此时：， 旋转角度为：， ∴； 综上所述：的值为：或或或． 【经典例题十二 两直线平行同旁内角互补】 【例12】（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，处在处的北偏东方向，处在处的北偏东方向，处在处的北偏西方向，则的度数是（    ） A．° B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，方位角；根据方位角的概念，图中给出的信息，得出，，根据平行线的性质求得，再根据求解． 【详解】解：∵处在处的北偏东方向， ∴， ∵， ， 处在处的北偏西方向， ， ， 故选：C． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，，平分，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由ABCD，∠B=100°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEC的度数，又由EF平分∠BEC，即可求得∠FEC的度数，然后由EG⊥EF，根据平角的定义，即可求得∠DEG的度数． 【详解】解：∵ABCD， ∴∠B+∠BEC=180°， ∵∠B=110°， ∴∠BEC=70°， ∵EF平分∠BEC， ∴∠CEF=∠BEC=35°， ∵EG⊥EF， ∴∠GEF=90°， ∵∠GEF+∠CEF+∠DEG=180°， ∴∠DEG=180°-90°-35°=55°． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，以及平角的定义，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，，则 ．    【答案】 【分析】由平行线的性质可得，，从而得到． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，，直线c与a、b分别相交于点A、B．当直线a绕点A旋转时，的大小会随之变化，直线b为保证与直线a平行，的大小也要随之变化．如果的度数为x度，那么的度数y可以表示为 ，在这个问题中，自变量为 ，当时， ．    【答案】 x 【分析】根据题目给出的数据和条件，首先判断出和互补，然后再依据的度数，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的度数为x度， ∴的度数y可以表示为， 在这个问题中，自变量为x， 当时，， 故答案为：；x；． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，解答本题的关键是掌握好两直线平行，同旁内角互补，然后再求解，此题目属于比较基础的题目，注意平时多积累学习即可． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知：，，四点在同一直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，猜想，，这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，Q是下方一点，连接，且，，若，直接写出的度数． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质（同位角相等、同旁内角互补等）以及角度的等量代换与计算，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，或利用平行线的传递性找到角之间的关系，进而推导角度关系． （1）延长 交于G；由得， 得；等量代换得； （2）作（即）；由得，得；结合角和差得； （3）由得；据角的比例关系得，即； 由得；对比得． 【详解】（1）解：延长相交于点G． ， ， ； （2）解：作，与相交于点P，则， ， ， ， 即； （3）解：∵，则， ∵，则， ∴， 即①， 由得，， 即，其中， ∴②， 对照①与②可知，， 即． 【经典例题十三 根据平行线的判定与性质求角度】 【例13】（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图所示，在四边形中，是它的一条对角线，若，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由可得，即得，据此即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：． 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质求角度的方法是解题的关键．作，可得，所以，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质、正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质和判定、垂直的定义即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质和判定即可求解； （3）过点作，过点作，根据平行线的性质和判定得到，，，推出，，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，已知直线，直线分别交直线a、b于点A、B、C、D，点P在直线上，连接． (1)如图1，当点P在A、B两点之间运动时，之间有何种数量关系，请说明理由； (2)如图2，当点P在的延长线时，之间的数量关系为： ；如图3，当点P在的延长线时，之间的数量关系为： ； (3)如图4，过点D作于E，若，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)； (3)10或2 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点P作， ∵直线， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2所示，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵直线， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当点P在的延长线上时，过点P作， ∵直线， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；； （3）解：如图，当点P在的延长线上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图，当点P在的延长线上时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的长为10或2． 【经典例题十四 根据平行线的判定与性质证明】 【例14】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，已知直线，则，，之间的关系是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，过C作，根据平行线的传递性可得，根据平行线的性质得出，，最后结合即可得出结论． 【详解】解：过C作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； 又， ∴， ∴， 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）将一副三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则； ⑤． 其中正确的有（　　） A．②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角板中角度的计算，根据，得到，可得，据此可判断①；证明即可判断②；根据题意得到，可得，据此可判断③；由平行线的性质得到，则，据此可判断④；根据，即可判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵， ∴，故⑤正确； 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，请你补充一个条件 ，使成立． 【答案】或或 【分析】本题考查平行线的性质与判定，结合已知条件和要满足的结论进行分析即可． 【详解】∵， ∴． 要使成立，则根据等式的性质，可以直接添加的条件是； 再根据平行线的性质和判定，亦可添加或． 故答案为：或或（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）根据解答过程填空（理由或数学式）： 已知：如图，，，求证：． 证明：（ ）， 又（        ）， （ ）， （ ）， ． （        ）， ， （ ）， （ ）． 【答案】邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质定理证明即可． 【详解】证明：（邻补角定义）， 又（已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知）， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， 故答案为：邻补角定义；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）按要求完成下列说明过程． 如图，点在上，已知，平分，平分，求证：． 证明：（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （_____）． 平分，（已知） _____（角平分线的定义）． 同理，． __________（_____）， （_____）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线的判定与性质，角平分线的定义，逐步分析，即可解答． 【详解】证明：（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，内错角相等）． 平分，（已知）， （角平分线的定义)． 同理，． （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【经典例题十五 平行公理的应用】 【例15】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解此题的关键是能正确作出辅助线，注意：两直线平行，内错角相等．过点作，根据平行公理可得，然后根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据角的和差关系计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， 故选：B 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作，过点C作，根据平行线的性质，和角平分线的定义，结合进行转化，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点B作，过点C作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握两直线平行内错角相等． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，，，，则 ． 【答案】115 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，能够添加辅助线构造平行是解题的关键．过点C作，根据，得出，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可． 【详解】解：过点C作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：115． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，，，，则的值为 （用表示） 【答案】 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，先作辅助线过H作，过F作，过I作，根据平行线的性质可得，等量代换得再根据等量代换即可得出答案． 【详解】解：过H作，过F作，过I作，如图： ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可； （2）根据题意，结合图形，可得，，可得到结果； （3）仿照（1）的运算，可得，，即可得到，结合已知条件，可得到结果． 【详解】解：（1）过点作， （两直线平行，内错角相等）， 又， （平行于同一直线的两直线平行）， ， ，，， ， 故答案为：两直线平行， 内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；；； （2）如图2，过点作， ， ， 又， ， ， ， ， ； （3）如图3，过点作， 由（1）可知，， 即， ， ， ， ， 即， ，，， ， ， 故答案为：． 【经典例题十六 求平行线间的距离】 【例16】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】D 【分析】本题考查垂线的性质及应用，熟练掌握垂线的性质是解题的关键，根据垂线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴线段的长度是直线a，b之间的距离， 故选：D． 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，正方形网格中，ABC的顶点A，B，C都在格点上，对于点P，Q，M，N分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 【答案】B 【分析】利用平行线的性质，以及三角形同底等高面积相等的性质进行判定即可解答． 【详解】因为正方形网格中，P，Q，M，N都在网格格点上，如图， 过A点作BC的平行线，则这条平行线经过N， 根据两平行线之间距离相等的特点，可得， N与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC相等，故D选项不符合题意； 过M点作BC的平行线，恰好经过M点、P点，根据三边对应相等可得, M、P分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC相等，故A、C选项不符合题意； 与 中，底边BC相等，但是高不相等，所以 与面积不相等， Q分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等，故B选项符合题意； 故正确选项为:B． 【点睛】题目主要考查了两平行线间距离相等，两个三角形同底等高则面积相等的性质． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为 ． 【答案】7或3 【分析】本题考查了平行线间的距离，分两种情况画出图形，分别进行解答即可． 【详解】解：如图，直线在直线与直线外时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 如图，直线在直线与直线之间时， 直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为， 直线与直线之间的距离为， 综上所述，与之间的距离为或， 故答案为：7或3． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．    【答案】5 【分析】直线c在直线b的上方，直线a和直线c之间的距离为； 【详解】如图，∵直线 ∴ ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为 故答案是：5． 【点睛】本题考查的是平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线，根据平行线的性质得出，再由，根据垂直的定义即可得到结果； （2）过作于，根据，即可求解． 【详解】（1） ∵ ∴ 又∵ ∴ （2）如图，过作于，则的长即为直线与的距离 ∵，， 是直角三角形 ∵ ∴ ∴直线与的距离 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形的面积，解题的关键是掌握：从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离． 【经典例题十七 利用平行线间距离解决问题】 【例17】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，直线，则可以表示这两条直线之间距离的线段是（     ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线间的距离的定义判断即可． 【详解】解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度， 观察图形可得为直线之间的垂线段， 故选：． 【点睛】此题考查了平行线间的距离，熟练掌握定义，并结合图形准确判断是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏常州·开学考试）如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 【答案】B 【分析】该题主要考查了图形的面积计算，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线之间距离相等解答． 作，连接，算出，即可求解； 【详解】解：如图，作，连接，则， 可知， 因此有：， 而； 因此，． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若三角形AOB的面积为6，且，则三角形的面积是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了平行线间的距离，三角形的面积计算等知识．根据设之间的距离为h，即可得到，进而得到．作于H，根据得到，即可得到． 【详解】解：∵， ∴设之间的距离为h， ∴， ∴， ∴． 如图，作于H， ∵， ∴， ∴． 故答案为：3 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线间的距离的应用，组合图形的面积计算，解题关键在于根据与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和．因为长方形的面积等于与的面积和，所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和，即． 【详解】解：如图： 因为与的面积都等于长方形的面积， 所以长方形的面积等于与的面积和， 所以与重叠部分的面积等于长方形未被这两个三角形盖住部分的面积和， 即： 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点，点A、B、P均在格点上．（请利用网格作图，画出的线用铅笔描粗描黑） （1）过点P画直线AB的平行线； （2）连接PA、PB，则三角形PAB的面积= ； （3）若三角形QAB面积与三角形PAB的面积相等，且格点Q与P不重合，则格点Q有 个． 【答案】（1）见解析；（2）6.5；（3）3 【分析】（1）连结AP，过点P作∠APQ=∠PAB，利用内错角相等，两直线平行可得PQ∥AB即可； （2）连PB，割补法利用网格正方形面积减去三个三角形面积即可； （3）由三角形QAB面积与三角形PAB的面积相等，在AB的平行线PQ上，截取PQ=AB或PQ1=AB，连结AQ，延长QA，在QA的延长线上截取AQ2=AQ即可． 【详解】（1）连结AP，过点P作∠APQ=∠PAB， ∴PQ∥AB， 则PQ为所求； （2）连PB， S△PAB=4×4-×4×3-×1×3-×4×1=16-6-1.5-2=6.5， 故答案为：6.5； （3）三角形QAB面积与三角形PAB的面积相等， 在AB的平行线PQ上，截取PQ=AB或PQ1=AB， 连结AQ，延长QA，在QA的延长线上截取AQ2=AQ， 则Q、Q1、Q2三点为所求， 则格点Q有3个， 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行线的作法，网格三角形面积，面积相等的三角形格点问题，掌握平行线的作法，网格三角形面积求法，面积相等的三角形格点确定方法是解题关键． 【拓展训练一 根据平行线的性质探究角的关系】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）过点作 ，根据平行线的性质进行说理即可； （2）过点作的平行线 ，利用平行线的性质说理即可． 【详解】（1）解：过点作 ， ∵， ∴， ，， 两式相加得∶ ， 即； （2）解：如图（2），过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即 ； 如图（3），过点作，设交点为， ， ， ， ，， ， 即； 如图（4），过点作， ， ∴， ， ， 即． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等进行计算． （1）先过作，根据平行线的性质即可得到，，再根据进行计算即可； （2）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到； （3）过作，根据，可得，，进而得到，同理可得，，再根据角平分线的定义，得出，进而得到． 【详解】（1）解：如图1，过作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过作， ， ， ，， ， 过作， ， ， ，， ， ， 与的角平分线相交于点， ， ； （3）解：（2）中的结论仍然成立，理由如下： 如图3，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 过作， ， ， ，， ， ， ∵与的角平分线相交于点K， ∴，， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）有一天，李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E．连接、后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，、与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系． (1)你能探讨出图①至图④各图中的、与之间的关系吗？请你写出关系式； (2)请你说明图③所写关系式成立的理由． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理的应用，解决此类题目的基本思路是过拐点作平行线． （1）分别过E作，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答即可； （2）选择③，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证． 【详解】（1）解：图①：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 图②：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 图③：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 图④：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． （2）证明：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 【拓展训练二 平行线的性质在生活中的应用】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    【答案】当秒或秒时，两灯的光束互相平行 【分析】设A灯转动t秒，分三种情况：①当时，②当时，③当时，分别根据两灯的光束互相平行列出方程求解即可． 【详解】解：设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①当时，，解得； ②当时， ，解得； ③当时，，解得（不合题意）； 综上所述，当秒或秒时，两灯的光束互相平行． 【点睛】本题考查了平行线的性质与一元一次方程的综合，熟练运用平行线的性质找等量关系是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质及其应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）过点F作，则，再证，根据平行线的性质，通过等量代换可得； （2）过点C作，则，进而求出，根据平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：结论：， 证明：如图，过点F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点C作， ∴， ∵， ∴， 根据题意可知，， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的判定证明，利用平行线的定义判断即可； （2）判断出若与巡洋舰航向相同，则，利用平行公理得到，求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：不会，理由是： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这两艘舰艇不会相撞； （2）如图，若要驱逐舰与巡洋舰航向相同， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行公理，解题的关键是读懂题意，了解实际情景的意义． 【拓展训练三 平行公理推论的应用】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，，说明直线与直线的位置关系，下表给出了题目的证明过程，请你把推理依据填写在表格的横线上． 证明 图形 理由；（____________________） ；        （____________________） ；        （____________________） ；         （____________________）     【答案】已知；同旁内角互补，两直线平行；已知；同平行于同一直线的两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，平行公理的推论，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的性质，平行公理的推论解答即可． 【详解】证明∶ (已知)， (同旁内角互补，两直线平行) (已知) (平行于同一直线的两直线平行)． 故答案为：已知；同旁内角互补，两直线平行；已知；平行于同一直线的两直线平行． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）图①为一幅动漫截图，图②是从图①中抽象出的“青蛙模型”，已知，． (1)__________度，与的位置关系是___________； (2)求的度数． 【答案】(1)118，平行 (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质． （1）根据平行线的性质和平行公理的推论，作答即可； （2）根据平行线的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴；； 故答案为：118；平行； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知：， ∴． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【答案】（1）D （2），，， （3），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质和平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质和平行公理的推论是解题的关键． （1）根据平行线的性质逐项判断即可； （2）利用平行线的性质与邻补角性质求解即可； （3）过点E作，根据平行线的性质得出，再证明，得到，从而由得出结论． 【详解】解：（1）A、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， 又∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，而与不一定相等，与不一定相等，原结论错误，故此选项符合题意； 故选：D． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）， 理由：过点E作，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练四 三线八角的多结论问题】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）小江与小北在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法． 小江说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在“三线八角”的图形中进行研究．此图中没有“三线八角”的图形，能不能构造出“三线八角”的图形呢？” 小北想了想，说道：“可以构造一条截线，与三条已有直线，分别交于点H，G，K，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”． 按照上述同学的说法，完成证明： 已知：如图，，．求证：． (1)在图中画出辅助线，并标出点H，G，K； (2)补全证明过程： ∵（已知） ∴（①） ∵（已知） ∴②________（两直线平行，内错角相等） ∴∠③________（等量代换） ∴（④） 【答案】(1)见解析 (2)①两直线平行，内错角相等；②；③；④同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是对平行线的判定条件与性质的掌握与灵活运用． （1）按要求画图即可； （2）根据平行线的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图所示． （2）证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴． ∴（内错角相等，两直线平行 ）． 故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③；④同位角相等，两直线平行． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）同学们，我们已经学习了平行线的判定条件与相关性质，涉及同位角、内错角、同旁内角．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有与这样位置关系的角称为“外错角”．试完成下面的探究问题． (1)探究定义：如图①，请另找出一对“外错角”：________． (2)猜想判定：外错角相等，两直线平行． 如图②，与是直线、被直线裁出的一对外错角，且，试说明． (3)猜想性质：两直线平行，外错角相等． 如图②，与是直线、被直线截出的一对外错角，且，试说明． 【答案】(1)和 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据“外错角”的定义作答即可； （2）利用对顶角相等，将“外错角”相等转化为同位角相等，根据平行线的判定即可证明； （3）利用对顶角相等和平行线的性质即可证明． 【详解】（1）由题意得，和是一对“外错角”， 故答案为：和； （2）∵（对顶角相等），（已知）， ∴（等量替换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． （3）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，对顶角相等及对新定义的理解，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）问题情景： 如图，，直线EF与直线CD、直线AB分别交于点P点Q，构成“三线八角”． 探究： (1)在图中，作“三线八角”中任意两个角的角平分线，试判断这两条角平分线的位置关系．请你画出其中四种不同情况的图形，并选择一种进行证明； 发现： (2)把你的发现用一句话概况出来； 拓展： (3)在备用图中，请你在直线EF的右侧平面内任取一点M，连结MP，MQ，探究∠MPD ，∠MQB ，∠PMQ之间的关系．请你画出所有不同的情况对应的图形，并直接写出结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据题意画出对应的图形，然后逐一证明即可； （2）根据（1）所求进行总结即可； （3）分图5、图6、图7三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； 图1两条角平分线所在的直线重合； 图2两条角平分线垂直： 证明：∵GQ平分∠AQP，QH平分∠BQP， ∴， ∵∠AQP+∠BQP=180°， ∴， ∴GQ⊥QH； 图3两条直线平行； 证明：∵， ∴∠CPQ=∠BQP， ∵PG平分∠CPQ，QH平分∠BQP， ∴， ∴∠GPQ=∠HQP， ∴； 图4两条直线垂直； 证明：过点I作， ∵， ∴， ∴∠CPF ＋∠AQP＝180°，∠CPN=∠PIH，∠HIQ=∠AQI， ∵PN平分∠DPF，QM平分∠BQP， ∴∠CPN＝∠CPF，∠AQI＝∠AQP， ∴ ∴PN⊥QM； （2）解：对顶角的角平分线在一条直线上； 邻补角的角平分线互相垂直； 两平行线构成的同位角的角平分线平行； 两平行线构成的内错角的角平分线平行； 两平行线构成的同旁内角的角平分线垂直 （3）解：如图5，过点M作， ∵， ∴， ∴∠MPD+∠PMN=180°，∠MQB+∠QMN=180°， ∴∠MPD+∠PMQ+∠QMN=∠MQB+∠QMN， ∴∠MPD+∠PMQ=∠MQB； 如图6所示，过点M作， ∵， ∴， ∴∠PMN=∠DPM，∠QMN=∠MQB， ∴∠PMQ=∠PMN+∠QMN=∠MPD+∠MQB； 如图7所示，过点M作， ∵， ∴， ∴∠PMN=∠DPM，∠QMN=∠MQB， ∴∠PMQ=∠PMN-∠QMN=∠MPD-∠MQB； 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角互补等等，熟知相关知识画出对应的图形是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，和互补就可以判断的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据平行线的判定的知识，进行作答，即可求解； 【详解】解：∵， 令， ∴， 即，和互补， ∴只有和互补就可以判断； 故选：D； 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，结合题意，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列四个图形缺口都能与右边的图形缺口吻合，哪个图形有可能与右边残缺的图形拼成一个梯形（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了梯形的性质，平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．根据梯形的两条底边互相平行，且两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，题干图形中两个角的度数分别为， ∵要使与题干中图形拼成一个梯形， ∴那么该图形的两个角要与题干中的两个角分别互为补角，即度数之和为， ∴四个选项中只有C选项符合题意， 故选：C． 4．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 5．（2025七年级·江苏常州·模拟预测）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角度的计算与平行线的性质，熟练掌握平行线的性质以及角度之间的关系是解题的关键．利用角度关系，结合已知的角度，通过计算求出的度数． 【详解】解：∵ 镜子与竖直方向的夹角， ∴ ． ∵ 入射角， ∴ ． ∴． ∵ 竖直，竖直， ∴ ， ∴ ． 又∵ 反射角等于入射角， ∴ ． 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，固定木条b，c，使，旋转木条a，要使得，则 ． 【答案】95 【分析】本题考查了平行线的性质，利用“两直线平行，同旁内角互补”解答即可． 【详解】， ， ， ． 7．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，若，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质．解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．过点作，由，得，根据两直线平行，同旁内角互补得到，，即可得到，即有．而，即可得到． 【详解】解：过点作，如图： ，， ， ， ， ， 即． 而， ． 故答案为：． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查平行线的判定和性质. 根据平行线的性质和判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∴；故③正确； ∴；故②正确； ∴；故⑥错误； ∵，， ∴， ∴；故⑤正确； 条件不足，无法得到；故④错误； 故答案为：①②③⑤． 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1） °； （2）若，则 °(用含x的式子表示)． 【答案】 40 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质. （1）根据角平分线的定义即可得到答案； （2）过点E作，由角平分线的定义得到，，再证明，则由平行线的性质可得，，据此可得答案． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴． 故答案为：． （2）如图，过点E作． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴， ∴，． ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·江苏常州·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．如图1，若直角三角尺的顶点G落在上，且，则的度数为 ．如图2，若直角三角尺的直角顶点F落在上，顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． 根据平行线的性质可知，依据，可求出结果；依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：因为， 所以， 因为，， 所以， 解得， 因为， 所以， 即， 所以， 故答案为：，． 11．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，，．求． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由平行线的性质得，即得，得到，再根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，，，求证． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和为，结合已知条件求出 的度数，再结合平行线的判定定理证明即可． 【详解】证明：如图所示，在中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的性质： （1）由两直线平行，内错角相等，可得，，等量代换可得； （2）由邻补角的定义可得，再由平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）在探究三角形内角和定理的课堂上，王老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． (1)小明经过观察、思考之后发现过的顶点A作，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个定理，请你完成这个证明． 如图，已知．求证：； (2)王老师继续引导探究“顶点A这个位置比较特殊，如果将顶点A的位置一般化，你能否得到其他的证明方法呢？” 如图，在中，点P是边上的任意一点．请用和（1）中不同的方法，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是灵活运用这些知识． （1）根据平行线的性质以及平角的定义即可证明； （2）过点分别作，，分别交、于点、，由平行线的性质以及平角的定义即可证明． 【详解】（1）证明：， ，， ， ； （2）证明：过点分别作，，分别交，于点，． ， ，， ， ，， ， ， ． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是： 如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务： (1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 【答案】(1) (2)当点P在区域①内时，；当点P在区域②内时，；当点P在区域③内时，；当点P在区域④内时，；当点P在区域⑤内时，；与点P在区域④内同理可得 【分析】本题考查平行线的判定与性质，过点作是解题的关键． （1）根据过点作，证明，根据平行线的性质求解即可； （2）分别作出各区域内的图形，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：过点作（如图，则 ， ∵，， ∴， 又 ， （2）解：当点P在区域①内时，，    过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 当点P在区域②内时，，    过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 当点P在区域③内时，，    与点P在区域①内同理可得； 当点P在区域④内时，，    过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 当点P在区域⑤内时，，    过点P作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 当点P在区域⑥内时，，    与点P在区域④内同理可得． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 平行线重难点题型专训 （5个知识点+17大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 平面内两直线的位置关系 题型二 立体图形中平行的棱 题型三 用直尺、三角板画平行线 题型四 同位角、内错角、同旁内角 题型五 同位角相等两直线平行 题型六 内错角相等两直线平行 题型七 同旁内角互补两直线平行 题型八 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行 题型九 两直线平行同位角相等 题型十 两直线平行内错角相等 题型十一 根据平行线的性质求角的度数 题型十二 两直线平行同旁内角互补 题型十三 根据平行线的判定与性质求角度 题型十四 根据平行线的判定与性质证明 题型十五 平行公理的应用 题型十六 求平行线间的距离 题型十七 利用平行线间距离解决问题 拓展训练一 根据平行线的性质探究角的关系 拓展训练二 平行线的性质在生活中的应用 拓展训练三 平行公理推论的应用 拓展训练四 三线八角的多结论问题 知识点一：平行 1、定义：同一平面内的两条直线的位置有两种：平行或相交．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线． 定义中的三个要点：（1）在同一平面内；（2）不相交，即没有公共点；（3）两条直线，而不是线段或射线． 2、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3、平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，同一平面内有两条直线和，则与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．都不是 2．（2025七年级上·江苏徐州·专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线． 知识点二：认识同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条线所截，可得八个角，即“三线八角”，如图所示。 （1）同位角：可以发现∠1与∠5都处于直线的同一侧，直线、的同一方，这样位置的一对角就是同位角。图中的同位角还有∠2与∠6，∠3与∠7，∠4与∠8。 （2）内错角：可以发现∠3与∠5都处于直线的两旁，直线、的两方，这样位置的一对角就是内错角。图中的内错角还有∠4与∠6。 （3）同旁内角：可以发现∠4与∠5都处于直线的同一侧，直线、的两方，这样位置的一对角就是同旁内角。图中的同旁内角还有∠3与∠6。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）下列手势中，两只手的大拇指和食指所成的角为同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，和 是同位角，和 是内错角，的邻补角是 ． 知识点三：利用直尺和三角尺画平行线 过直线外一点画已知直线的平行线的步骤： 1.落：将三角尺一边落在已知直线上； 2.靠：紧靠三角尺的另一边放一直尺； 3.推：将三角尺沿直尺的边推到原来与已知直线重合的边恰好经过已知点的位置； 4.画：沿三角尺的这一边画直线. PS：推动三角尺时，必须保持三角尺紧贴直尺，且直尺不能移动，否则画出的图形不准确. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（    ）    A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．同位角相等，两直线平行 D．对顶角相等，两直线平行 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）用适当的方法验证下列各图中的直线，的位置关系，其中的有 ．（请填写序号） 知识点四： 平行线判定 判定方法 （1）：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简单说成： 同位角相等，两直线平行。 几何语言： ∵∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） 判定方法 （2）：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行。 ∵∠2＝∠3 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） 判定方法 （3）：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简单说成： 同旁内角互补，两直线平行。 ∵∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，，，则∠2的度数是（      ） A．53° B．63° C．57° D．67° 2．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，要使，则的度数为 ． 知识点五： 平行线性质 性质（1）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠1=∠5（两直线平行，同位角相等） 性质（2）：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 几何语言：∵a∥b ∴∠3=∠5（两直线平行，内错角相等） 性质（3）：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。 几何语言：∵a∥b ∴∠3+∠6=180°（两直线平行，同旁内角互补） 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，，，则图中平行的直线有 ． 【经典例题一 平面内两直线的位置关系】 【例1】（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）下列属于平行线的有（   ） ①交通路口的斑马线；②天上的彩虹；③百米直线跑道线；④平直的火车铁轨 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知四条线段a，b，m，n中的一条与挡板另一侧的线段l平行，请判断该线段是（    ） A．a B．b C．m D．n 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有 和 两种． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）一位同学采用如图所示的方式整理所学知识，请补充①②两处的知识：① ；② ． 4．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，在方格纸中给出了线段、、．根据你所学的知识和方法，写出它们之间的位置关系． 【经典例题二 立体图形中平行的棱】 【例2】（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在长方体ABCD-EFGH中，与棱AD平行的平面共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）观察如图所示的长方体，与棱平行的棱是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图，在长方体中，与平行的棱是 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）观察如图所示的长方体，用符号表示下列两棱的位置关系： ， ， ， ． 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学们讨论一下． 4．（2025七年级上·江苏镇江·专题练习）如图、的直线与既不相交也不平行，为什么会出现这样的情况？与同学们讨论一下．    【经典例题三 用直尺、三角板画平行线】 【例3】（2025·江苏泰州·模拟预测）如图，已知，过点画，画的平分线，、交于点，量一量的度数，约为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图所示，小华借助直尺和三角板，根据“一重合、二紧靠、三移动、四画线”的步骤完成了“过直线外一点画直线”，其中依据的数学原理是（   ） A．内错角相等，两直线平行 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，利用移动三角尺的方法，过已知直线外一点画它的平行线．其中的道理是 ． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）下列各图中的直线，用推三角尺的方法验证，其中的有 （填序号）． 4．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）按要求画平行线，已知． (1)过A点作，过C点作交于点E． (2)过B点作交的延长线于点D，交的延长线于点F． 【经典例题四 同位角、内错角、同旁内角】 【例4】（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）下列图形中，与是内错角的是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）在如图所示的风筝骨架中，与构成同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·随堂练习）如图，已知直线被直线所截，则和 是同位角，和 是内错角，和 是同旁内角． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图：与构成同旁内角的角有 个． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）将复杂的平面图形分解成若干个基本图形是解决疑难问题的法宝．在学习几何的过程中，多总结、归纳几何基本图形，一定会得到意想不到的收获数学大师罗增儒在著作数学解题学引论中也专门阐述了把复杂的数学问题分解为基本问题来研究，化繁为简，化整为零这是一种常见的数学解题思想．    (1)在相交线与平行线这章中，有一个基本图形：三线八角（如图1），图中，有______对同位角，______对同旁内角，______对内错角； (2)如图，平面内三条直线两两相交，图中，有______对同位角，______对同旁内角， ______对内错角； (3)如图，平行直线、与相交直线、相交，则图中同旁内角共有______对； (4)如图，，，则图中与相等的角（不含）有______个． 【经典例题五 同位角相等两直线平行】 【例5】（25-26七年级上·江苏南京·单元测试）下列各图中，不能画出的是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）下列图形中，由能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点在的延长线上，给出四个条件：；；；．其中能判断的有 ．（填写所有满足条件的序号） 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，在下列给出的条件中：①；②；③；④，可以判定的有 ．（填序号） 4．（25-26七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在四边形中，点为边上一点．请利用直尺和圆规在四边形内求作一点，使得，且点到，的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【经典例题六 内错角相等两直线平行】 【例6】（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图，直线，被直线所截，给出下列条件：①；②；③；④．其中能判定的是（   ） A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·江苏无锡·课后作业）如图，在条件：①；②；③；④中，能判断的条件是 ． 3．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图，AC平分∠DAB，∠1＝∠2，试说明． 证明：∵AC平分∠DAB( )， ∴∠1＝∠ ( )， 又∵∠1＝∠2( )， ∴∠2＝∠ ( )， ∴AB ( )． 4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，与互为余角，，，垂足为，试说明． 【经典例题七 同旁内角互补两直线平行】 【例7】（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，下列能判定的条件有（   ）个 （1）；（2）；（3）；（4） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②； ③；④． 其中能判断的是（　　） A．①② B．①④ C．①③ D．②④ 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图： ，（填写一个满足条件的理由，用符号表示，不得添加任何辅助线）． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）学习近平行线后，学霸君想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的，如图所示，由操作过程可知学霸君画平行线的依据可以是 （把下列所有正确结论的序号都填在横线上） ①两直线平行，同位角相等；②同位角相等，两直线平行；③内错角相等，两直线平行；④同旁内角互补，两直线平行. 4．（25-26七年级上·江苏连云港·期中）如图，已知：，，那么直线与的位置关系如何？并说明理由． 答：__________． 理由：（已知）， _____（_____）． （已知）， （等量代换）． _____（______）． 【经典例题八 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行】 【例8】（24-25七年级上·江苏泰州·期中）在同一平面内有条直线，如果，依此类推，那么与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．垂直或平行 D．重合 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，C为的边OA上一点，过点C作交的平分线OE于点F，作交BO的延长线于点H，若，现有以下结论：①；②；③；④．结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知BC⊥AE，DE⊥AE，∠2＋∠3＝180°．若∠1＝66°，BC平分∠ABD，则∠ACH＝ °． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，点E在AC的延长线上，给出的四个条件：    （1）；（2）；（3）；（4）能判断的有 个. 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，已知于于． (1)试说明：； (2)若，求的度数． 【经典例题九 两直线平行同位角相等】 【例9】（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，已知，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，在空气中平行的两条入射光线，射入水中后与之分别对应的两条折射光线也是平行的．若水而和杯底互相平行，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·开学考试）如图，，，则的度数为 ． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图，是的平分线，交于点E，若，则 ． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）推理填空：如图，点、分别为、上的点，连接，和，已知，，所以，请将成立的推理过程补充完整． 推理过程：由题易知：，______ 因为已知 所以______ 所以____________内错角相等，两直线平行 则______ 又因为已知 所以______ 所以______ 【经典例题十 两直线平行内错角相等】 【例10】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示的图形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，，，点在上，点在上，设与相等的角的个数为不包括本身，与互补的角的个数为若，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，若，，则图中与互补的角有 个． 3．（25-26七年级上·江苏徐州·开学考试）如图，一束平行于主光轴的光线经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是 度． 4．（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）填空： 已知：， 求证： _______． 证明：过A点作_______∥_______， 则_______， _______．（_______，_______） ∵是平角， ∴_______+_______．（______________） ∴______________．（______________） 即______． 【经典例题十一 根据平行线的性质求角的度数】 【例11】（24-25七年级上·江苏徐州·期中）探照灯、卫星天线、汽车灯等都是利用凹面镜的原理，由它的焦点处发出的光线反射后将会平行射出，如图：由焦点O处发出的光线经反射后沿着与平行的方向射出，已知，，则等于（    ） A． B． C． D． 1．（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在水平地面上放一个平面镜，且，在边上有一点，从点处射出一束光线经平面镜反射后，反射光线恰好与平行，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，两面镜子，的夹角为，一束与平行的光线经过两次镜面反射后，与原光线夹角为．若，则的度数是 度． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，将一副三角板的顶点按如图方式放在一起，点，，三点在同一直线上，其中，，，，则 ；现将三角板绕点顺时针转动度，在转动过程中，若三角板和三角板有一组边互相平行，则 ． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）已知直线，在三角形纸板中，． (1)将三角形按如图1放置，点E和点G分别在直线、上，若，则 ； (2)将三角形按如图2放置，点E和点G分别在直线、上，交于点H，若，试求之间的数量关系； (3)在图2中，若，将三角形绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当三角形两条直角边分别与平行时，求出相应t的值（直接写出答案）． 【经典例题十二 两直线平行同旁内角互补】 【例12】（25-26七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，处在处的北偏东方向，处在处的北偏东方向，处在处的北偏西方向，则的度数是（    ） A．° B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，已知，，平分，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，，，则 ．    3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，，直线c与a、b分别相交于点A、B．当直线a绕点A旋转时，的大小会随之变化，直线b为保证与直线a平行，的大小也要随之变化．如果的度数为x度，那么的度数y可以表示为 ，在这个问题中，自变量为 ，当时， ．    4．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）已知：，，四点在同一直线上． (1)如图1，求证：； (2)如图2，猜想，，这三个角之间有何数量关系？并证明你的结论； (3)如图3，Q是下方一点，连接，且，，若，直接写出的度数． 【经典例题十三 根据平行线的判定与性质求角度】 【例13】（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）如图所示，在四边形中，是它的一条对角线，若，，则（  ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）“抖空竹”可以让人快乐，数学也可以让人快乐，如图①是依宸同学“抖空竹”的一个瞬间，我们把图①抽象成数学问题：如图②，已知，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，．若，则的度数是 ． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，已知直线，直线分别交直线a、b于点A、B、C、D，点P在直线上，连接． (1)如图1，当点P在A、B两点之间运动时，之间有何种数量关系，请说明理由； (2)如图2，当点P在的延长线时，之间的数量关系为： ；如图3，当点P在的延长线时，之间的数量关系为： ； (3)如图4，过点D作于E，若，，求的长． 【经典例题十四 根据平行线的判定与性质证明】 【例14】（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，已知直线，则，，之间的关系是（   ）    A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）将一副三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则； ⑤． 其中正确的有（　　） A．②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．①②③④ 2．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知，请你补充一个条件 ，使成立． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）根据解答过程填空（理由或数学式）： 已知：如图，，，求证：． 证明：（ ）， 又（        ）， （ ）， （ ）， ． （        ）， ， （ ）， （ ）． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）按要求完成下列说明过程． 如图，点在上，已知，平分，平分，求证：． 证明：（已知） （同旁内角互补，两直线平行） （_____）． 平分，（已知） _____（角平分线的定义）． 同理，． __________（_____）， （_____）． 【经典例题十五 平行公理的应用】 【例15】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，，平分，平分，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，，，，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，已知，，，，则的值为 （用表示） 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，平面上有两条直线，，，是平面上这两条直线间的一点． 【问题探究】（1）如图，若，，求的度数． 解：过点作， （ ） 又 （ ） ， ，， 【问题解决】（2）若，，请根据（1）的解题思路，求图2中的度数． 【方法总结】（3）如图，若， ， ，则的度数为 ．（用含，，的式子表示） 【经典例题十六 求平行线间的距离】 【例16】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，公路的两侧看作直线a，b，且，则直线a，b之间的距离是（   ） A．线段 B．线段 C．线段的长度 D．线段的长度 1．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，正方形网格中，ABC的顶点A，B，C都在格点上，对于点P，Q，M，N分别与点B，C为顶点构成三角形，面积与ABC不相等的是（    ） A．P B．Q C．M D．N 2．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）在同一平面内，已知直线，若直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，则直线与直线之间的距离为 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图，直线a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．    4．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，直线，与，分别交于点，，且，交直线于点． (1)若，求的度数； (2)若，，求直线与的距离． 【经典例题十七 利用平行线间距离解决问题】 【例17】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）如图，直线，则可以表示这两条直线之间距离的线段是（     ）      A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏常州·开学考试）如图，是直角梯形的高，E为梯形对角线上一点，如果、、的面积依次为56，50，40，那么的面积是（    ) A．32 B．34 C．35 D．36 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形中，，对角线，交于点O，若三角形AOB的面积为6，且，则三角形的面积是 ． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在长方形内画了一些直线，已知其中有块面积分别是，，的三角形、三角形、四边形，那么图中阴影部分的面积是 ． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点，点A、B、P均在格点上．（请利用网格作图，画出的线用铅笔描粗描黑） （1）过点P画直线AB的平行线； （2）连接PA、PB，则三角形PAB的面积= ； （3）若三角形QAB面积与三角形PAB的面积相等，且格点Q与P不重合，则格点Q有 个． 【拓展训练一 根据平行线的性质探究角的关系】 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）已知：在如下四个图形中，，   (1)图（1）中与的关系满足：，请说明理由． (2)分别探讨其余的三个图形中，与的关系，请你从所得三个关系中任意选取一个说明理由． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）已知直线，点P为平面内一点，连接与． (1)如图1，点在直线之间，当，时，求的度数． (2)如图2，点在直线之间，与的角平分线相交于点，写出与之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点落在下方，与的角平分线相交于点，（2）中的结论是否还成立？请说明理由． 3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）有一天，李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线、，然后在平行线间画了一点E．连接、后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②、图③、图④等图形，这时他突然一想，、与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”的功能，找到了这三个角之间的关系． (1)你能探讨出图①至图④各图中的、与之间的关系吗？请你写出关系式； (2)请你说明图③所写关系式成立的理由． 【拓展训练二 平行线的性质在生活中的应用】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）长江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A射线自AM顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线自BP顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是3°/秒，灯B转动的速度是1°/秒，假定这一带长江两岸河堤是平行的，即．若灯B射线先转动20秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？    2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，陈老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知，，试探究与之间的数量关系？小智同学经过思考发现，过点F作即可得出结论，请你写出结论，并完成证明过程； (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图所示是驱逐舰、巡洋舰两艘舰艇参与某次演练的情景，已知，． (1)已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在方向上航行，假设在航行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞？请说明理由； (2)已知驱逐舰到达点C后沿继续航行，巡洋舰到达点E后沿继续航行，且，．若驱逐舰在原航向上向左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求的值． 【拓展训练三 平行公理推论的应用】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，，说明直线与直线的位置关系，下表给出了题目的证明过程，请你把推理依据填写在表格的横线上． 证明 图形 理由；（____________________） ；        （____________________） ；        （____________________） ；         （____________________）     2．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）图①为一幅动漫截图，图②是从图①中抽象出的“青蛙模型”，已知，． (1)__________度，与的位置关系是___________； (2)求的度数． 3．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）本张老师在课堂中带领同学们探究这样的问题： 如图1，将一个含的三角板与两条平行直线如图放置．其中，三角板各角度数为． 【问题解决】 （1）下列结论错误的是（      ） A．　B．　C．　D． （2）在探究中张丽发现，这5个角之间相互都有关系，只要告诉其中一个角的度数就可求出其它角的度数，小强说：“让我试试．若，可求出其它4个角的度数”．请你替小强求出这四个角的度数； 【探索发现】 （3）如图2，张老师再把三角板如图放置，在两平行直线之间，请你探索并说明与的数量关系． 【拓展训练四 三线八角的多结论问题】 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）小江与小北在讨论性质“平行于同一条直线的两条直线平行”的证明方法． 小江说道：“我们之前证明两条直线平行时，常在“三线八角”的图形中进行研究．此图中没有“三线八角”的图形，能不能构造出“三线八角”的图形呢？” 小北想了想，说道：“可以构造一条截线，与三条已有直线，分别交于点H，G，K，然后就可以用平行线的判定定理进行证明了”． 按照上述同学的说法，完成证明： 已知：如图，，．求证：． (1)在图中画出辅助线，并标出点H，G，K； (2)补全证明过程： ∵（已知） ∴（①） ∵（已知） ∴②________（两直线平行，内错角相等） ∴∠③________（等量代换） ∴（④） 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）同学们，我们已经学习了平行线的判定条件与相关性质，涉及同位角、内错角、同旁内角．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有与这样位置关系的角称为“外错角”．试完成下面的探究问题． (1)探究定义：如图①，请另找出一对“外错角”：________． (2)猜想判定：外错角相等，两直线平行． 如图②，与是直线、被直线裁出的一对外错角，且，试说明． (3)猜想性质：两直线平行，外错角相等． 如图②，与是直线、被直线截出的一对外错角，且，试说明． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）问题情景： 如图，，直线EF与直线CD、直线AB分别交于点P点Q，构成“三线八角”． 探究： (1)在图中，作“三线八角”中任意两个角的角平分线，试判断这两条角平分线的位置关系．请你画出其中四种不同情况的图形，并选择一种进行证明； 发现： (2)把你的发现用一句话概况出来； 拓展： (3)在备用图中，请你在直线EF的右侧平面内任取一点M，连结MP，MQ，探究∠MPD ，∠MQB ，∠PMQ之间的关系．请你画出所有不同的情况对应的图形，并直接写出结论． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，和互补就可以判断的角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·江苏常州·期中）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）下列四个图形缺口都能与右边的图形缺口吻合，哪个图形有可能与右边残缺的图形拼成一个梯形（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 5．（2025七年级·江苏常州·模拟预测）汉代初年成书的《淮南万毕术》记载道：“取大镜高悬，置水盆于下，则见四邻矣”．图为记载的潜望镜的结构简图，图为其平面示意图．已知镜子与竖直方向的夹角，入射角，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·期末）如图，固定木条b，c，使，旋转木条a，要使得，则 ． 7．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，，若，则等于 ． 8．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图所示，已知，于点B，，则下列结论一定正确的有 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥． 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期末）如图，，点C在点D的右侧，平分，平分，所在直线交于点E，． （1） °； （2）若，则 °(用含x的式子表示)． 10．（24-25七年级上·江苏常州·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间．如图1，若直角三角尺的顶点G落在上，且，则的度数为 ．如图2，若直角三角尺的直角顶点F落在上，顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 11．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，，，．求． 12．（25-26七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，，，求证． 13．（24-25七年级上·江苏徐州·期中）如图是大众汽车的标志图案，其中蕴涵着许多几何知识．根据下面的条件完成证明． 已知：如图，，， (1)求证：； (2)若，求的度数． 14．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段练习）在探究三角形内角和定理的课堂上，王老师引导同学们根据拼合过程，思考如何作出辅助线证明． (1)小明经过观察、思考之后发现过的顶点A作，那么由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于”这个定理，请你完成这个证明． 如图，已知．求证：； (2)王老师继续引导探究“顶点A这个位置比较特殊，如果将顶点A的位置一般化，你能否得到其他的证明方法呢？” 如图，在中，点P是边上的任意一点．请用和（1）中不同的方法，求证：． 15．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图1，，，，求度数． 小明的解题思路是： 如图2，过点P作，通过平行线性质，可分别求出、的度数，从而可求出的度数；    完成下列任务： (1)依据小明的思路写出求的度数的完整解答过程； (2)如图3，，直线与直线，分别相交于点G，H，这样三条直线将平面分成六个区域．点P是平面内任意一点，且满足，．请你直接写出点P分别在6个区域运动时，、、之间的数量关系，并选择点P在某一区域内的情况进行证明．（点P不在直线，，上） 学科网（北京）股份有限公司 $