5.4二次函数与一元二次方程 导学案2025-2026学年苏科版数学 九年级下册

该初中数学导学案围绕二次函数与一元二次方程的关系展开，通过活动1、2引导学生观察具体函数图像与方程根的联系，衔接二次函数图像和一元二次方程解法的旧知，搭建从直观到代数的学习支架，理解交点个数与根的个数关系及根为交点横坐标。 以“观察-抽象-应用”为主线，通过图像观察培养几何直观（数学眼光），用判别式推理根的情况发展推理意识（数学思维），分层练习和详细答案支持自主学习，帮助学生用数学语言表达函数与方程的联系，提升学习效率和数学素养。

5.4二次函数与 一 元二次方程(1) 【学习目标】 1. 体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图像研究方程问题的方法； 2.理解二次函数图像与x 轴(横轴)交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系， 3. 理解一元二次方程的根就是二次函数与x 轴图像交点的横坐标. 【学习过程】 活动1 1. 二次函数y=x²-2x-3与一元二次方程x²-2x-3=0有怎样的关系? 活动2 观察二次函数 y=-0.5x2-4x-4、y=x²-6x+9 、y=x²-2x+3 的图像，分别说出一元二次方 程 y=-0.5x2-4x-4、x²-6x+9=0、x²-2x+3=0的根的情况. 数学认识 二次函数y=a²+bx+c与一元二次方程a²+bx+c=0的关系. 学科网（北京）股份有限公司 例1不画图像，判断函数的图像y=-x²+5x-8与 x 轴是否有公共点? 课 时 练 习 1.不画图像，判断下列函数图像与x 轴公共点的个数： (1)y=x²-x;(2)y=x²-6x-9;(3)y=x²+6x+11. 2. 方 程 -x²+10x-25=0 的根是 ,则函数y=-x²+10x-25 的图象与 x 轴的交点有 个，其坐标是 3. 二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则方程x²+bx+c=0的解为 课堂小结： 谈谈你这一节课学到了什么? 课后作业 1.抛物线y=x²+2x-3与x轴的交点的个数有 ( ), A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2.下列函数的图像中，与x轴没有公共点的是( ). A.y=x²-2 B.y=x²-x C.y=-x²+6x-9 D.y=x²-x+2 3.已知二次函数y=x²-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程 x2-3x+m=0的两实数根是( ). A.x1=1,x2=-1 B.x₁=1,x2=2 C.x₁=1,x2=0 D.x=1,x=3 4.填空题： (1)若二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有两个公共点，则b²-4ac 0; (2)二次函数y=x²+2x-4 的图像与x轴的交点有 个 ； (3)已知二次函数y=x²+2x+c的图像在x轴上方，一元二次方程x²+2x+c=0 的根的情况是 ; (4)已知二次函数y=x²-2x-3的图像与x轴交于点A 、B, 线段AB的长为 : (5)已知二次函数y=x²+bx+c有最小值- 1,一元二次方程x²+bx+c=0的根的 情 况 是 (6)若二次函数y=-x²+2x+k的部分图象如图，则关于x的一元二次方程x²+2x+k=0的一个解x₁=3,另一个解x₂= . 5.判断下列函数的图象与x轴是否有公共点，并说明理由. (1)y=x²-2x; (2)y=x²-6x+9; (3)y=3x²-4x+4. 6.己知二次函数y=x²-4x+k 与x轴有公共点，求k的取值范围. 7.试说明一元二次方程x²-2x-3=0与二次函数y=x²-2x-3的关系 8.如图，某矩形相框长为26 cm, 宽为20cm, 其四周相框边(图中阴影部分)的宽的宽度相同，都是xcm, 相框内部的面积(图中较小矩形的面积)为ycm². (1)写出y与x的函数表达式； 9.已知二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像(如图),根据图像解答下列问题： (1)写出方程ax²+bx+c=0 的两个根； (2)写出不等式cx²+bx+c>0的解集； (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； (4)若方程ax²+bx+c=k有两个不相等的实数根，根据图像写出k的取值范围 . 10.已知二次函数y=x²-kx-3,试说明这个函数的图像与x轴一定有两个交点. 课时练习答案 1. 判断函数与x轴公共点个数 核心方法：计算判别式Δ=b²-4ac，Δ>0→2个，Δ=0→1个，Δ<0→0个。 (1) y=x²-x Δ=(-1)² - 4×1×0 = 1>0 → 2个公共点 (2) y=x²-6x-9 Δ=(-6)² - 4×1×(-9) = 36+36=72>0 → 2个公共点 (3) y=x²+6x+11 Δ=6² - 4×1×11=36-44=-8<0 → 0个公共点 2. 方程与函数交点 方程 -x²+10x-25=0 变形为 x²-10x+25=0，即(x-5)²=0 → 根为 x=5 函数图像与x轴交点个数 1个，坐标是 (5, 0) 3. 方程的解（根据图像） 交点横坐标为x=1和x=3 → x=1，x=3 课后作业答案 1.抛物线y=x²+2x-3与x轴交点个数 Δ=2² - 4×1×(-3)=4+12=16>0 → C（2个） 2.与x轴无公共点的函数 A. Δ=0+8=8>0；B. Δ=1>0；C. Δ=36-36=0；D. Δ=1-8=-7<0 → D 3.已知交点求方程的根 代入(1,0)得1-3+m=0→m=2，方程x²-3x+2=0的根为x=1和x=2 → B 4.填空题 (1) 有两个公共点→Δ>0 → > (2) Δ=2² - 4×1×(-4)=4+16=20>0 → 2 (3) 图像在x轴上方→Δ<0 → 无实数根 (4) 方程x²-2x-3=0的根为x=-1和x=3，AB长=|3-(-1)|=4 → 4 (5) 最小值-1<0，开口向上→与x轴有两个交点→ 有两个不相等的实数根 (6) 对称轴x=1，一个根x=3，另一个根x=1-(3-1)=-1 → -1 5.判断函数与x轴公共点 (1) y=x²-2x → Δ=4>0 → 有2个公共点 (2) y=x²-6x+9 → Δ=0 → 有1个公共点 (3) y=3x²-4x+4 → Δ=16-48=-32<0 → 无公共点 6.求k的取值范围 函数与x轴有公共点→Δ≥0，Δ=(-4)²-4×1×k=16-4k≥0 → k≤4 7.方程与函数的关系 方程x²-2x-3=0的根是函数图像与x轴交点的横坐标（x=-1和x=3） 当函数值y=0时，x的值就是方程的解 8.函数表达式 内部矩形长=26-2x，宽=20-2x → y=(26-2x)(20-2x)=4x²-92x+520（0<x<10） 9.根据图像解答（假设图像与x轴交于x=1、x=3，开口向上，顶点在x=2） (1) 方程的根为 x=1，x=3 (2) 不等式解集为 x<1或x>3 (3) y随x增大而减小的范围 x<2 (4) 方程有两个不等实根→k<顶点纵坐标（假设顶点纵坐标为-2）→ k<-2 10.证明函数与x轴有两个交点 Δ=(-k)²-4×1×(-3)=k²+12，无论k取何值，k²≥0→Δ≥12>0 → 一定有两个交点 学科网（北京）股份有限公司 $