函数的概念、表示及性质 专题练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题：函数的概念、表示及性质 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知集合M＝，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N＝（ ） A．∅ B．{x|x≥1} C．{x|x>1} D．{x|x≥0且x≠1} 2．已知f（2x＋1）＝x2－2x，则f（5）＝（ ） A．－1 B．0 C．1 D．3 3．已知函数f（x）＝2x－3，当x≥1时，恒有f（x）≥m成立，则实数m的取值范围是（ ） A．R B．（－∞，－1] C．[－1，＋∞） D．∅ 4．已知函数f（x）＝x（|x|－4），则下列结论正确的是（ ） A．f（x）是偶函数，单调递增区间是（0，＋∞） B．f（x）是偶函数，单调递减区间是（－∞，2） C．f（x）是奇函数，单调递减区间是（－2，2） D．f（x）是奇函数，单调递增区间是（－∞，0） 5．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x<0时，f（x）＝，则f等于（ ） A．－2 B．－ C. D．2 6．若函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B．（0，＋∞） C．（－3，＋∞） D. 二、多项选择题 7．已知定义在R上的函数f（x），若函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（x）>1，则下列结论正确的是（ ） A．若f（x）是奇函数，则f（x）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞） B．若f（x）是偶函数，则f（x）的值域为（1，＋∞） C．若f（x）是奇函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递增 D．若f（x）是偶函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递减 8．已知函数f（x）＝若存在x1<x2<x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，则下列结论正确的有（ ） A．x2＋x3＝4 B．x2x3的最大值为4 C．t的取值范围是（－1，3] D．x1＋x2＋x3的取值范围是 三、填空题 9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2＋2，则函数f（x）＝________，f（－4）＝________. 10．设函数f（x）＝若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是________． 四、解答题 11．已知函数f（x）的解析式为f（x）＝ （1）求f； （2）若f（a）＝2，求a的值； （3）画出f（x）的图象，并写出函数f（x）的值域（直接写出结果即可）． 12．已知函数f（x）＝－x，x∈（0，＋∞）． （1）判断并证明f（x）在（0，＋∞）上的单调性； （2）解不等式：f>f（1）． 13．已知函数f（x）＝－x2＋2mx＋m.当x∈[－1，1]时，设f（x）的最大值为M，求M的最小值． 14．定义在（0，＋∞）上的函数f（x），满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0. （1）求证：f＝f（m）－f（n）； （2）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2. 专题：函数的概念、表示及性质 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．已知集合M＝，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N＝（ ） A．∅ B．{x|x≥1} C．{x|x>1} D．{x|x≥0且x≠1} 解析：由题得M＝＝{x|x≥0且x≠1}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}＝{y|y≥1}，所以M∩N＝{x|x>1}．故选C. 答案：C 2．已知f（2x＋1）＝x2－2x，则f（5）＝（ ） A．－1 B．0 C．1 D．3 解析：令2x＋1＝5，得x＝2，所以f（5）＝22－4＝0.故选B. 答案：B 3．已知函数f（x）＝2x－3，当x≥1时，恒有f（x）≥m成立，则实数m的取值范围是（ ） A．R B．（－∞，－1] C．[－1，＋∞） D．∅ 解析：因为f（x）＝2x－3在x∈[1，＋∞）上为增函数，所以f（x）min＝－1，故满足f（x）≥－1.又因为在x≥1时，f（x）≥m恒成立，所以m≤－1，故m∈（－∞，－1]．故选B. 答案：B 4．已知函数f（x）＝x（|x|－4），则下列结论正确的是（ ） A．f（x）是偶函数，单调递增区间是（0，＋∞） B．f（x）是偶函数，单调递减区间是（－∞，2） C．f（x）是奇函数，单调递减区间是（－2，2） D．f（x）是奇函数，单调递增区间是（－∞，0） 解析：由于f（－x）＝－x（|－x|－4）＝－x（|x|－4）＝－f（x），定义域是R，故f（x）是奇函数．当x>0时，f（x）＝x2－4x，图象的对称轴是直线x＝2，故f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据函数图象的对称性，得f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，0）上单调递减，故C正确． 答案：C 5．已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－2≤x<0时，f（x）＝，则f等于（ ） A．－2 B．－ C. D．2 解析：∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，∴f＝f.又∵函数f（x）为奇函数，∴f＝－f＝－（－2）＝2，即f＝2.故选D. 答案：D 6．若函数f（x）＝在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B．（0，＋∞） C．（－3，＋∞） D. 解析：因为f（x）＝在R上单调递增，所以解得0<a≤.故A正确． 答案：A 二、多项选择题 7．已知定义在R上的函数f（x），若函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，且f（x）>1，则下列结论正确的是（ ） A．若f（x）是奇函数，则f（x）的值域为（－∞，－1）∪（1，＋∞） B．若f（x）是偶函数，则f（x）的值域为（1，＋∞） C．若f（x）是奇函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递增 D．若f（x）是偶函数，则f（x）在（－∞，0）上单调递减 解析：当f（x）是定义在R上的奇函数时，f（0）＝0，即0在值域内，故A错误；若f（x）是奇函数，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，故C正确；当f（x）是定义在R上的偶函数时，f（x）的图象关于y轴对称，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的值域为（1，＋∞），但在x＝0时的函数值不确定，故B错误；若f（x）是偶函数，因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则f（x）在（－∞，0）上单调递减，故D正确．故选CD. 答案：CD 8．已知函数f（x）＝若存在x1<x2<x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝t，则下列结论正确的有（ ） A．x2＋x3＝4 B．x2x3的最大值为4 C．t的取值范围是（－1，3] D．x1＋x2＋x3的取值范围是 解析： 作出f（x）的图象如图所示．由题意可知x3>x2>0，且x2＋x3＝4，则x2x3≤2＝4，当且仅当x2＝x3＝2时等号成立，因为x2≠x3，所以x2x3<4，故A正确，B错误．由图可知t的取值范围是（－1，2），故C错误．因为2>＋2>－1，所以x1<－，又x2＋x3＝4，所以x1＋x2＋x3的取值范围是，故D正确． 答案：AD 三、填空题 9．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝x2＋2，则函数f（x）＝________，f（－4）＝________. 解析：令x<0，则－x>0，因为当x>0时，f（x）＝x2＋2，所以f（－x）＝（－x）2＋2＝x2＋2.又因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－x2－2.当x＝0时，f（x）＝0.所以f（x）＝代入x＝－4可得f（－4）＝－（－4）2－2＝－18. 答案： －18 10．设函数f（x）＝若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是________． 解析：函数f（x）的大致图象如图所示，因为f（f（a））≤2，所以f（a）≥－2，由函数图象可知a≤. 答案：（－∞，] 四、解答题 11．已知函数f（x）的解析式为f（x）＝ （1）求f； （2）若f（a）＝2，求a的值； （3）画出f（x）的图象，并写出函数f（x）的值域（直接写出结果即可）． 解：（1）∵f（x）＝ ∴f＝＋5＝， ∴f＝f＝－2×＋8＝－3. （2）∵f（x）＝ f（a）＝2，∴或或 解得a＝－1或a＝3，故a＝－1或3. （3）作出函数f（x）的图象，如图所示， 由图象得，f（x）的最大值为f（1）＝6，故函数f（x）的值域为（－∞，6]． 12．已知函数f（x）＝－x，x∈（0，＋∞）． （1）判断并证明f（x）在（0，＋∞）上的单调性； （2）解不等式：f>f（1）． 解：（1）f（x）在（0，＋∞）上单调递减，证明如下： ∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1<x2， 则f（x1）－f（x2）＝－ ＝－（x1－x2） ＝－（x1－x2）＝（x2－x1）. 因为0<x1<x2，所以x2－x1>0，＋1>0， 所以f（x1）－f（x2）>0，所以f（x1）>f（x2）， 所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减． （2）因为f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且 f>f（1）， 所以0<<1，解得－1<x<1，即所求不等式的解集为（－1，1）． 13．已知函数f（x）＝－x2＋2mx＋m.当x∈[－1，1]时，设f（x）的最大值为M，求M的最小值． 解：因为f（x）＝－（x－m）2＋m＋m2，所以f（x）在（－∞，m]上单调递增，在[m，＋∞）上单调递减． 当m≤－1时，f（x）在[－1，1]上单调递减， 故最大值M＝f（－1）＝－1－m≥0； 当－1<m<1时，最大值M＝f（m）＝m＋m2＝2－∈； 当m≥1时，f（x）在[－1，1]上单调递增， 故最大值M＝f（1）＝3m－1≥2. 综上，M的最小值为－. 14．定义在（0，＋∞）上的函数f（x），满足f（mn）＝f（m）＋f（n）（m，n>0），且当x>1时，f（x）>0. （1）求证：f＝f（m）－f（n）； （2）若f（2）＝1，解不等式f（x＋2）－f（2x）>2. 解：（1）证明：f（m）＝f＝f＋f（n）， 即f＝f（m）－f（n）． （2）任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1<x2，则>1.由（1）得f（x2）－f（x1）＝f>0， 即f（x2）>f（x1），所以f（x）在（0，＋∞）上是增函数，∵f（2）＝1， ∴2＝f（2）＋f（2）＝f（4），f（x＋2）－f（2x）>2，即f（x＋2）>f（2x）＋f（4），即f（x＋2）>f（8x），又∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数， ∴解得0<x<，故不等式f（x＋2）－f（2x）>2的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $