3.4 函数的应用（一）同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4 函数的应用（一） 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ） A．200副 B．400副 C．600副 D．800副 2．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线y＝f（x）（实线表示）；另一种是平均价格曲线y＝g（x）（虚线表示）．如f（2）＝3是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；g（2）＝3表示二个小时内的平均价格为3元．下列给出的图象中，可能正确的是（ ） 3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（ ） A．升高7.84% B．降低7.84% C．降低9.5% D．不增不减 4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（ ） A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好 5．某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为当日（ ） A．上午10：00 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00 二、多项选择题 6．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关．在一个限速30 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车后还是相撞了．事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过8 m，乙车的刹车距离略超过6 m，若甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：s甲＝x2＋x，s乙＝x2＋x，则下列结论正确的有（ ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．刹车前甲车的行驶速度大于20 km/h D．刹车前乙车的行驶速度大于30 km/h 7．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是（ ） A．y1＝ B．y2＝0.4x C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值 三、填空题 8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加1单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数R（Q）＝4Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________．（总利润＝总收入－成本） 9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 四、解答题 10．某公司购得一台机器投入生产，根据市场分析知，该机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N*）． （1）这台机器运转多少年时，可获得的总利润最大？最大是多少？ （2）这台机器运转多少年时，可获得的年平均利润最大？最大是多少？ 11．假设某条运河上的船只航行速度为v（单位：海里/小时），船只的密度为x（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0海里/小时；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当5≤x≤50时，船只的速度v是船只密度x的一次函数． （1）当0≤x≤50时，求函数v（x）的表达式； （2）当船只密度x为多大时，单位时间内，通过的船只数量f（x）＝xv（x）可以达到最大值？求出最大值． 个性拓展练 12．如图所示的是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）之间的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）之间的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 13．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为________m. 14．某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（单位：万元）．经计算，若年产量低于100千件，则这x千件产品的成本C（x）＝x2＋10x＋1100；若年产量不低于100千件，则这x千件产品的成本C（x）＝120x＋－5400.已知每千件产品的售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完． （1）写出年利润L（单位：万元）关于年产量x（单位：千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 3.4 函数的应用（一） 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．某厂日产手套总成本y（元）与手套日产量x（副）的函数解析式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为（ ） A．200副 B．400副 C．600副 D．800副 解析：由5x＋4000≤10x，解得x≥800，即日产手套至少800副时才不亏本．故选D. 答案：D 2．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时曲线y＝f（x）（实线表示）；另一种是平均价格曲线y＝g（x）（虚线表示）．如f（2）＝3是指开始买卖第二小时的即时价格为3元；g（2）＝3表示二个小时内的平均价格为3元．下列给出的图象中，可能正确的是（ ） 解析：开始时，即时价格与平均价格相同，故C错误；买卖过程中，平均价格不可能一直大于即时价格，故B错误；买卖过程中，即时价格不可能一直大于平均价格，故D错误，A正确．故选A. 答案：A 3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格相比，变化情况是（ ） A．升高7.84% B．降低7.84% C．降低9.5% D．不增不减 解析：设该商品原价为a，四年后的价格为a（1＋0.2）2·（1－0.2）2＝0.9216a.∴（1－0.9216）a＝0.0784a＝7.84%a，即比原来降低7.84%.故选B. 答案：B 4．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销量m（件）与售价x（元）满足一次函数：m＝162－3x，若要每天获得最大的销售利润，每件商品的售价应定为（ ） A．30元 B．42元 C．54元 D．越高越好 解析：设当每件商品的售价为x元时，每天获得的销售利润为y元．又m≥0，所以0<x≤54，由题意得，y＝m（x－30）＝（x－30）·（162－3x）．上式配方得y＝－3（x－42）2＋432.所以当x＝42时，利润最大．故选B. 答案：B 5．某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y＝f（x）的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为当日（ ） A．上午10：00 B．中午12：00 C．下午4：00 D．下午6：00 解析：由图象知，当0≤x≤4时，设直线y＝k1x，把点（4，320）代入得k1＝80，所以y＝80x；当4<x≤20时，设y＝f（x）＝k2x＋b，将点（4，320）和（20，0）代入得解得此时y＝f（x）＝－20x＋400，所以f（x）＝当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4，当4<x≤20时，令y＝－20x＋400≥240，解得4<x≤8，所以3≤x≤8，故第二次服药最迟的时间应为第一次服药8小时后，即当日下午4：00.故选C. 答案：C 二、多项选择题 6．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停下，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离往往跟行驶速度有关．在一个限速30 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不妙，同时刹车后还是相撞了．事发后，交警现场测得甲车的刹车距离略超过8 m，乙车的刹车距离略超过6 m，若甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与车速x（km/h）的关系大致如下：s甲＝x2＋x，s乙＝x2＋x，则下列结论正确的有（ ） A．甲车超速 B．乙车超速 C．刹车前甲车的行驶速度大于20 km/h D．刹车前乙车的行驶速度大于30 km/h 解析：由x2＋x>8，解得x<－40或x>20；由x2＋x>6，解得x<－40或x>30.因为x>0，所以x甲>20 km/h，x乙>30 km/h.经比较知，乙车超速．故选BCD. 答案：BCD 7．一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经市场调查了解到下列信息：每月土地占地费y1（单位：万元）与仓库到车站的距离x（单位：km）成反比，每月库存货物费y2（单位：万元）与x成正比，若在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，下列结论正确的是（ ） A．y1＝ B．y2＝0.4x C．y1＋y2有最小值4 D．y1－y2无最小值 解析：依题意设y1＝，y2＝k2x，k1≠0，k2≠0，x>0，∵在距离车站10 km处建仓库，则y1为1万元，y2为4万元，∴＝1，10k2＝4，解得k1＝10，k2＝0.4.∴y1＝，y2＝0.4x，x>0，∴y1＋y2＝＋0.4x≥2＝4，当且仅当＝0.4x，即x＝5时，等号成立，所以选项B、C正确，选项A错误；∵y1－y2＝－0.4x在（0，＋∞）上单调递减，∴y1－y2无最小值，选项D正确．故选BCD. 答案：BCD 三、填空题 8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加1单位，成本增加1万元，又知总收入R是生产数量Q的函数R（Q）＝4Q－Q2，则总利润L（Q）的最大值是__________万元，这时产品的生产数量为__________．（总利润＝总收入－成本） 解析：由题意可得L（Q）＝4Q－Q2－（200＋Q）＝－（Q－300）2＋250，则当Q＝300时，总利润L（Q）取得最大值250万元． 答案：250 300 9．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km（不超过3 km按起步价付费）；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km. 解析：设出租车行驶x km时，付费y元， 则y＝ 由y＝22.6，解得x＝9. 答案：9 四、解答题 10．某公司购得一台机器投入生产，根据市场分析知，该机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N*）． （1）这台机器运转多少年时，可获得的总利润最大？最大是多少？ （2）这台机器运转多少年时，可获得的年平均利润最大？最大是多少？ 解：（1）y＝－x2＋18x－25＝－（x－9）2＋56， 故这台机器运转9年时，可获得的总利润最大，为56万元． （2）设年平均利润为w（单位：万元），则w＝＝18－≤18－2＝8， 当且仅当x＝5时，等号成立， 故这台机器运转5年时，可获得的年平均利润最大，为8万元． 11．假设某条运河上的船只航行速度为v（单位：海里/小时），船只的密度为x（单位：艘/海里），当运河上的船只密度为50艘/海里时，河道拥堵，此时航行速度为0海里/小时；当船只密度不超过5艘/海里时，船只的速度为45海里/小时，数据统计表明：当5≤x≤50时，船只的速度v是船只密度x的一次函数． （1）当0≤x≤50时，求函数v（x）的表达式； （2）当船只密度x为多大时，单位时间内，通过的船只数量f（x）＝xv（x）可以达到最大值？求出最大值． 解：（1）当0≤x≤5时，v＝45； 当5<x≤50时，设v（x）＝ax＋b（a≠0）， 则解得 故v（x）＝ （2）由（1）可得f（x）＝xv（x）＝ 当0≤x≤5时，f（x）＝45x，此时f（x）max＝45×5＝225； 当5<x≤50时，f（x）＝－x2＋50x＝－（x－25）2＋625， 当x＝25时，f（x）取得最大值625， 由于225<625，故当船只密度为25艘/海里时，通过的船只数量f（x）可以达到最大值，最大值为625. 个性拓展练 12．如图所示的是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位：天）之间的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）之间的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ） A．第24天的销售量为200件 B．第10天销售一件产品的利润是15元 C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等 D．第30天的日销售利润是750元 解析：对于A选项，在图①中，t＝24时，y＝200，正确；对于B选项，根据图②，（0，25），（20，5）对应的中点坐标为（10，15），正确；对于D选项，由图①知第30天销售150件，由图②知第30天一件产品利润为5元，所以日销售利润为150×5＝750（元），正确；对于C选项，由①知（0，100），（24，200）对应的中点为（12，150），即第12天和第30天的销售量相同，根据图②，第12天的一件产品利润高于第30天一件产品的利润，所以第12天与第30天这两天的日销售利润不相等，错误． 答案：C 13．某公园要建造一个直径为20 m的圆形喷水池，计划在喷水池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池中心2 m处达到最高，最高的高度为8 m．另外还要在喷水池的中心设计一个装饰物，使各方向喷来的水柱在此处汇合，则这个装饰物的高度应该为________m. 解析：根据题意易知，水柱上任意一个点距水池中心的水平距离为x，与此点的高度y之间的函数关系式是：y＝a1（x＋2）2＋8（－10≤x<0）或y＝a2（x－2）2＋8（0≤x≤10），由x＝－10，y＝0，可得a1＝－；由x＝10，y＝0，可得a2＝－，于是，所求函数解析式是y＝－（x＋2）2＋8（－10≤x<0）或y＝－（x－2）2＋8（0≤x≤10）．当x＝0时，y＝7.5，∴装饰物的高度为7.5 m. 答案：7.5 14．某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本C（x）（单位：万元）．经计算，若年产量低于100千件，则这x千件产品的成本C（x）＝x2＋10x＋1100；若年产量不低于100千件，则这x千件产品的成本C（x）＝120x＋－5400.已知每千件产品的售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完． （1）写出年利润L（单位：万元）关于年产量x（单位：千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 解：（1）当0<x<100时，L＝100x－x2－10x－1100－2000＝－x2＋90x－3100； 当x≥100时， L＝100x－－2000 ＝－20x－＋3400， 所以L＝ （2）当0<x<100时，L＝－（x－90）2＋950， 故当x＝90时，L取得最大值950； 当x≥100时，L＝－20＋1600 ≤－20×2＋1600＝1000， 当且仅当x－90＝，即x＝105时取等号， 因为1000>950，所以当年产量为105千件时，该企业所获得的利润最大，为1000万元． 学科网（北京）股份有限公司 $