第21章 二次根式 单元测试 2025-2026学年 华东师大版九年级数学上册

第21章 二次根式 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•海南期中）下列各数中，与的积是有理数的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025秋•兴庆区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．（2025秋•鄠邑区期中）如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD的面积是27，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 4．（2025秋•天元区校级期中）如图，x的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意x的值都能使下列二次根式有意义的选项是（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•邓州市期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025春•武城县期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 二．填空题（共5小题） 7．（2025秋•虹口区期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为　 　 ． 8．（2025秋•浦东新区期中）计算：　 　 ． 9．（2025秋•海淀区校级期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么　 　 ． 10．（2025秋•金凤区校级期中）若xy＜0，则化简后的结果是　 　 ． 11．（2025秋•浦东新区期中）已知a＞0，化简　 　 ． 三．解答题（共4小题） 12．（2025秋•福田区校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 13．（2025春•张店区期中）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 14．（2025•莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C． （1）正方形木板A的边长为　 　 分米，B的边长为　 　 分米，C的边长为　 　 分米； （2）求木板①中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 15．（2025•琼山区校级二模）综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积． （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝　 　 ，BC＝　 　 ，AC＝　 　 ，△ABC的面积为　 　 ； （2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：S，其中p（a+b+c）； 秦九韶公式：S． （3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 第21章 二次根式 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•海南期中）下列各数中，与的积是有理数的是（　　） A． B． C． D． 【考点】分母有理化． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】将各选项的数分别与相乘，求出结果并判断是否为有理数即可． 【解答】解：根据二次根式的运算，有理数的定义逐项分析判断如下： A、，是无理数，不符合题意； B、，是无理数，不符合题意； C、，是无理数，不符合题意； D、，是有理数，符合题意， 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次根式的运算，有理数的定义，正确计算是解题的关键． 2．（2025秋•兴庆区校级期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据二次根式混合运算的法则对每个选项进行计算即可． 【解答】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟记二次根式混合运算的法则是解题的关键． 3．（2025秋•鄠邑区期中）如图所示，用四张大小一样的长方形纸片拼成一个正方形ABCD，正方形ABCD的面积是27，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（　　） A． B． C． D． 【考点】二次根式的应用． 【专题】二次根式；运算能力；应用意识． 【答案】D 【分析】首先由正方形ABCD的面积是27，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去AE，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【解答】解：小正方形边长为： ， ∴这个小正方形的周长为：4． 故选：D． 【点评】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键． 4．（2025秋•天元区校级期中）如图，x的取值范围在数轴上表示如下，满足该范围的任意x的值都能使下列二次根式有意义的选项是（　　） A． B． C． D． 【考点】二次根式有意义的条件；在数轴上表示不等式的解集． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】D 【分析】根据数轴判断出x的取值范围，再根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0逐项进行判断即可． 【解答】解：x的取值范围在数轴上表示如下， A、当﹣1≤x＜0时，没有意义，故此选项不符合题意； B、当﹣1≤x＜1时，没有意义，故此选项不符合题意； C、当﹣1≤x＜2时，没有意义，故此选项不符合题意； D、当x≥﹣1时，有意义，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件．正确记忆知识点是解题关键． 5．（2025秋•邓州市期中）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【考点】同类二次根式． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义判断即可． 【解答】解：A、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B、，与是同类二次根式，故此选项符合题意； C、，与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D、与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式． 6．（2025春•武城县期末）若2、5、n为三角形的三边长，则化简的结果为（　　） A．5 B．2n﹣11 C．11﹣2n D．﹣5 【考点】二次根式的性质与化简；三角形三边关系． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】A 【分析】根据三角形的三边关系可求出n的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质进行化简即可求出答案． 【解答】解：由三角形三边关系可知：3＜n＜7， ∴3﹣n＜0，8﹣n＞1， 原式＝|3﹣n|+|8﹣n| ＝﹣（3﹣n）+（8﹣n） ＝﹣3+n+8﹣n ＝5， 故选：A． 【点评】本题考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 二．填空题（共5小题） 7．（2025秋•虹口区期中）有一个圆的面积和边长为的正方形的面积相同，则此圆的半径为　　 ． 【考点】二次根式的应用． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】． 【分析】依据题意，设此圆的半径为r，则圆的面积为πr2＝（）2，求出r即可判断得解． 【解答】解：由题意，设此圆的半径为r， ∴圆的面积为πr2＝（）2． ∴r2＝6． ∴r（负根舍去）． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次根式的性质是关键． 8．（2025秋•浦东新区期中）计算：　a2 ． 【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质进行化简． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简是解题的关键． 9．（2025秋•海淀区校级期中）如果的整数部分是a，小数部分是b，那么　8　 ． 【考点】二次根式的化简求值；估算无理数的大小． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】8． 【分析】根据算术平方根得到4＜17＜5，进而求出a、b，计算即可． 【解答】解：∵16＜17＜25， ∴17，即4＜17＜5， ∴的整数部分是a＝4，小数部分是b4， 则a﹣b4﹣（4）8， 故答案为：8． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，正确估算无理数的大小是解题的关键． 10．（2025秋•金凤区校级期中）若xy＜0，则化简后的结果是　　 ． 【考点】二次根式的性质与化简． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】． 【分析】先根据已知条件和二次根式有意义的条件，求出x和y的取值范围，再根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：∵xy＜0， ∴若有意义，y＞0，x＜0， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 11．（2025秋•浦东新区期中）已知a＞0，化简　　 ． 【考点】二次根式的性质与化简． 【专题】二次根式；推理能力． 【答案】． 【分析】根据二次根式的性质进行化简． 【解答】解：， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质与化简是解题的关键． 三．解答题（共4小题） 12．（2025秋•福田区校级期中）计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【考点】二次根式的混合运算． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】（1）3； （2）2； （3）1﹣2； （4）5+3． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则计算后再算加减即可； （2）利用二次根式的乘除法则计算后再算加减即可； （3）利用完全平方公式及平方差公式计算后再算加减即可； （4）利用二次根式的乘法法则，算术平方根的定义，有理数的乘方法则，绝对值的性质计算后再算加减即可． 【解答】解：（1）原式＝223 ＝3； （2）原式 ＝4﹣2 ＝2； （3）原式＝2﹣21﹣（5﹣3） ＝2﹣21﹣2 ＝1﹣2； （4）原式＝3×1（2） ＝3+42 ＝5+3． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 13．（2025春•张店区期中）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用． 问题提出：该如何化简？ 建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•． 那么便有：（a＞b）， 问题解决：化简：， 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，． ∴， 模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式： （1）； （2）． 模型应用2： （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）． 【考点】二次根式的应用；勾股定理；无理数；完全平方公式． 【专题】整式；模型思想． 【答案】（1）1；（2）2；（3）22． 【分析】（1）根据模型，得m＝6，n＝5，进而求得a和b分别为1和，代入求解即可； （2）将原式化为．根据模型，得m＝13，n＝40，进而求得a和b分别为和2，代入求解即可； （3）根据勾股定理，求得BC边的长度，再根据模型化简即可． 【解答】解：（1）m＝6，n＝5． ∵1+5＝6，1×5＝5， ∴（）2+（）2＝6，， ∴1． （2）∵． ∴m＝13，n＝40， ∵5+8＝13，5×8＝40， ∴（）2+（）2＝13，， ∴2． （3）BC． ∵， ∴m＝16，n＝48， ∵4+12＝16，4×12＝48， ∴（）2+（）2＝16，， ∴BC22． 【点评】本题考查二次根式的应用、完全平方公式及勾股定理等，熟练掌握并能够灵活运用它们是本题的关键． 14．（2025•莲池区校级模拟）如图，现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C． （1）正方形木板A的边长为　2　 分米，B的边长为　2　 分米，C的边长为　3　 分米； （2）求木板①中阴影部分的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为16平方分米的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【考点】二次根式的应用． 【专题】二次根式；运算能力． 【答案】（1）2，2，3； （2）不能截出．理由见解答． 【分析】（1）根据正方形方面积公式求解； （2）根据题意列出代数式，再计算求解； （3）比较无理数的大小． 【解答】解：（1）∵在长方形木板①上截出三个面积分别为4平方分米、8平方分米和18平方分米的正方形木板A，B，C， ∴正方形木板A的边长为2分米，B的边长为2分米，C的边长为3分米， 故答案为：2，2，3； （2）（23）4﹣8﹣18＝1020﹣30＝（1010）平方分米； （3）不能截出． 理由：正方形木板的边长为4分米， ∵2+24，58， ∴不能截出． 【点评】本题考查了二次函数的应用，掌握矩形的面积公式和二次根式的运算是解题的关键． 15．（2025•琼山区校级二模）综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积． （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝　　 ，BC＝　　 ，AC＝　　 ，△ABC的面积为　3.5　 ； （2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：S，其中p（a+b+c）； 秦九韶公式：S． （3）一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 【考点】二次根式的应用． 【专题】二次根式；运算能力；应用意识． 【答案】（1），，，3.5；（2）作图见解析；△GHQ的面积为3；（3）． 【分析】（1）依据题意，根据勾股定理分别求出AB、BC、AC，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出△ABC的面积； （2）依据题意，根据勾股定理画出△GHQ，根据矩形的面积公式、三角形的面积公式求出△GHQ的面积； （3）依据题意，把三边长代入秦九韶公式，根据二次根式的性质化简即可． 【解答】解：（1）由题意，AB，BC，AC． S△ABC＝S长方形DEFC﹣S△ADC﹣S△AEB﹣S△BCF ＝92×32×13×1 ＝9﹣3﹣1﹣1.5 ＝3.5． 故答案为：，，，3.5． （2）由题意，可以作图如下． S△GHQ＝S长方形ABQD﹣S△AGH﹣S△BGQ﹣S△DHQ ＝82×12×24×1 ＝8﹣1﹣2﹣2 ＝3． 答：△GHQ的面积为3． （3）由题意，令，b，， ∴a2＝5，b2＝6，c2＝7． ∴ ． 【点评】本题主要考查了勾股定理、二次根式的化简、三角形的面积计算，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $