3.1.2 椭圆的简单几何性质（十七大题型）训练-2025-2026学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2 椭圆的简单几何性质 题型一 求椭圆的焦点、焦距 1．若椭圆的焦距为，则实数的值为（    ） A．24 B．9 C．1 D．9或1 【答案】B 【分析】由椭圆定义可得范围，再利用焦距定义分类讨论即可得. 【详解】由题意可得，即或； 当时，有，解得； 当时，有，解得，不符，故舍去， 综上可得. 故选：B. 2．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义及标准方程结合题中条件得到关系式，进一步计算即可. 【详解】因为是边长为1的等边三角形， 则， 所以， 又， 所以， 则 故答案为： 3．已知椭圆的左右焦点分别为，. (1)求椭圆的焦点坐标； (2)求椭圆的离心率； (3)若直线与椭圆有且只有一个交点，求实数的值. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用椭圆方程求得，可求得焦点坐标； （2）利用椭圆方程求得，可求椭圆离心率； （3）把直线代入椭圆的方程，利用求解即可. 【详解】（1）由椭圆，得，所以， 所以，所以椭圆的左右焦点坐标为，. （2）由（1）可得，所以， 所以椭圆的离心率为； （3）由，可得，整理得. 因为直线与椭圆有且只有一个交点，所以， 解得，所以直线与椭圆有且只有一个交点，实数的值为. 题型二 求共焦点的椭圆方程 4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将方程化为标准式，即可求出焦点坐标，设所求椭圆方程为，由焦点的坐标和点在椭圆上建立关于、的方程组，解之即可得到、的值，从而得到所求椭圆的方程． 【详解】解：因为椭圆，即， ，，可得，椭圆的焦点为， 设椭圆方程是，则，解得 所求椭圆的方程为. 故选：A． 5．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求出椭圆的标准方程，分析可得其焦点坐标，即可得要求的椭圆的焦点坐标，设其左右焦点为、，由椭圆的定义可得，由椭圆的几何性质可得的值，代入椭圆的标准方程即可得答案． 【详解】根据题意，椭圆的标准方程为， 其焦点坐标为， 则所求的椭圆的焦点坐标为，设其左右焦点为、， 又由椭圆经过点， 则有， 则， 又由，则， 则要求椭圆的方程为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，涉及椭圆的标准方程，注意先将已知椭圆的方程变为标准方程. 6．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意，分类讨论椭圆的焦点位置，结合椭圆的离心率公式求得，从而得解； （2）利用共焦点的性质得到，再利用点在椭圆上得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】（1）因为椭圆经过点， 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得，所以， 此时椭圆的标准方程为； 若椭圆焦点在轴上，则， 由，得， 此时椭圆的标准方程为； 综上，椭圆的标准方程为或. （2）因为所求椭圆与椭圆有相同的焦点，可得， 因为焦点在轴上，可设它的标准方程为且， 因为椭圆过点，所以有①， 又因为②， 由①②解得：， 所以所求椭圆的标准方程为. 题型三 椭圆中x、y的取值范围 7．设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则由题意可表示出、，结合垂直性质与在上计算即可得点横坐标，再利用两点间距离公式即可得解. 【详解】设，由题意可得，则， 则，， 由，则， 由在上，则有，即， 即有，整理得， 即，故或， 由可知，不符，故舍去，即有， 则. 故选：C. 8．已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用椭圆的范围求解即可. 【详解】因为是椭圆上一点， 所以点满足椭圆的范围， 因此，所以，即的取值范围是． 故答案为：. 9．已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）结合圆与圆的位置关系，利用椭圆的定义求解即可； （2）设点，将为钝角转化为且、、三点不共线，然后结合点在椭圆上，利用数量积的坐标运算列不等式求解即可. 【详解】（1）设动圆的半径为，圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为.因为动圆与圆外切，且与圆内切， 所以，所以， 所以曲线是以，为焦点，长轴长为10的椭圆. 设椭圆方程为，所以，，即，， 所以，又， 所以圆与圆内切于点， 所以的方程为； （2）设点，，， 所以，， 若为钝角，且、、三点不共线， 所以，------①         又由椭圆的方程得，------②         联合①②得，解得 所以点的横坐标的取值范围是. 题型四 根据椭圆的有界性求范围或最值 10．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，其中，可得出，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆， 则，，， 所以、， 设点，其中，且，故， 所以，， 故， 故当时，取最小值. 故选：A. 11．已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，根据两点间的距离公式列出，再由点为椭圆上的点进行求解即可. 【详解】设，所以， 又因为为椭圆上任意一点， 所以， 因为，当时，取得最小值， 所以的最小值为. 故答案为：. 12．已知椭圆过点和，是椭圆上的一个动点，，是的两个焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的面积； (3)已知轴上一点（），求的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）设出椭圆方程，利用待定系数法求出方程. （2）由（1）的结论，利用椭圆的定义，结合余弦定理及三角形面积公式求解. （3）设出点，利用两点间距离公式列式，再利用椭圆的范围及二次函数求出最大值. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由椭圆过点和，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由（1）得椭圆的焦点，， 由及余弦定理得， 则，即， 解得，所以的面积. （3）设，则，而， 因此， 函数，而， 当，即时，函数在上单调递减，，， 当，即时，，， 所以当时，的最大值为；当时，的最大值为. 题型五 点和椭圆的位置关系 13．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 14．设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为 ． 【答案】 【分析】分析可知，点在圆上，联立圆与椭圆的方程，求出公共解的个数即可. 【详解】在椭圆中，，，则， 若，易知原点为的中点，则， 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上，即点在圆上， 联立，可得，即点或， 即满足条件的点的个数为. 故答案为：. 15．已知椭圆及其上两点． (1)若且，求证：点在椭圆上； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出，在椭圆上，故，计算出，得到点在椭圆上； （2）得到，两边平方相加，结合可得，由柯西不等式可得，从而得到答案. 【详解】（1）因为， 所以，即， 在椭圆上，故， 其中 又，故， 所以点在椭圆上； （2）设，， 所以，故， 在椭圆上，故， 所以， 平方得①， 平方得，即②， 式子①+②得，即， 由于， 由柯西不等式得， 故，故， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，解得. 题型六 椭圆的对称性 16．椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先设出点的坐标，再代入斜率公式，结合点在椭圆上，即可化简求解. 【详解】设，，， ，即，则， 所以椭圆的离心率. 故选：B 17．如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 . 【答案】/ 【分析】延长交于另一点，连接，设，再根据椭圆定义得到其他长度，利用余弦定理得，最后再次使用余弦定理即可得到关于的齐次方程，解出即可. 【详解】如图，延长交于另一点，连接，由椭圆的对称性，得． 设，则． 在中，利用余弦定理得 ，即，解得， 所以． 在中，利用余弦定理得， 即，化简得， 所以的离心率． 故答案为：． 18．设椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为上任意一点，证明：到直线的距离等于； (3)过点的直线与交于两点，若，求的方程． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)或. 【分析】（1）根据离心率列方程求出，然后可得，即得方程； （2）设出点坐标，根据两点间的距离公式和点到直线的距离公式直接计算可证； （3）利用（2）中结论，求出的中点横坐标，结合椭圆对称性可得. 【详解】（1）由题知，，解得，所以， 所以椭圆的方程为. （2）设，点到直线的距离为，则， 因为， 所以，得证. （3）过及其中点分别作直线的垂线，垂分别为， 由（2）可知，， 所以，所以点在轴上， 由椭圆对称性可知，当直线垂直于轴时，的中点为，满足题意， 此时直线方程为； 当直线不垂直于轴时，的中点与点不重合， 此时中点和点都在轴，此时直线方程为. 综上，的方程为或. 题型七 求椭圆的顶点坐标 19．椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆标准方程有，即可得左顶点坐标. 【详解】由椭圆标准方程为，则，故左顶点的坐标为. 故选：B 20．已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 【答案】 【分析】由椭圆的性质，结合两点的距离公式求解． 【详解】已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为， 则， 不妨设，， 则. 故答案为：． 21．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，直线与交于两点（不与椭圆的顶点重合），当经过点且与轴垂直时，. (1)求的方程； (2)若点，被轴平分，当到直线的距离最大时，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由上顶点坐标求，再根据弦长求，即可写出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆的方程，写出，的表达式，由被轴平分，得到，之间的关系，由斜率公式结合，求的值，判断直线所过定点为，由时点到直线的距离最大求的值， 写出直线的方程. 【详解】（1）因为上顶点为，所以， 设，由，得， 所以，解得，所以的方程为. （2）由题可得，直线的斜率不为0， 设直线的方程为，，， 联立直线与椭圆的方程并整理得， 由，即，解得， 由一元二次方程根与系数的关系得，. 因为被轴平分，所以直线与直线的倾斜角互补，则，即. 又，所以. 而，所以. ①当直线斜率不存在时，直线的方程为， 所以点到直线的距离无最大值，舍去； ②当直线斜率存在时，. 则，所以直线恒过左焦点.当时，点到直线的距离最大. 因为，所以，即，所以. 所以，即，所以直线的方程为. 题型八 求椭圆的长袖、短袖 22．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】化简椭圆的方程为标准方程，结合椭圆的几何性质列出方程，即可求解. 【详解】椭圆的标准方程为，则，， 所以，，故此椭圆的短轴长. 故选：C. 23．已知点，椭圆：的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为 . 【答案】4 【分析】先求出点的坐标，然后代入椭圆方程中可求得，进而求得长轴长. 【详解】由题意知，，点是的中点， 所以. 因为点在椭圆上， 所以满足. 化简得，两边平方得. 解得. 所以椭圆的长轴长为. 故答案为：4. 24．设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点P在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； 【答案】(1)答案见解析 (2)9 【分析】（1）由椭圆方程可求得，由此可依次求得结果； （2）利用椭圆的定义和勾股定理可构造方程求得，由此可求得三角形面积. 【详解】（1）由椭圆方程得：，，则， 椭圆的长轴长为；短轴长为； 焦点坐标为，，离心率. （2）由椭圆的定义知：， ，， 即，解得：， . 题型九 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 25．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取椭圆的右焦点为点，连接，过点作轴于点，利用三角形中位线定理和相似形求出点的坐标，代入椭圆方程求出的值，即可求得离心率. 【详解】如图，取椭圆的右焦点为点，连接，则， 因为点C，F是线段AB的三等分点，则C为的中点，而O为的中点， 可得，    因，故，将代入，可得， 根据椭圆对称性，不妨取点，过点作轴于点，易得， 可得，因，则，即得， 代入可得，又，代入解得， 故该椭圆的离心率为. 故选：D. 26．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，线段与圆相切于点，若，则椭圆的离心率的值为 【答案】 【分析】如图所示，为椭圆的左焦点，连接，根据相似得到，利用勾股定理得到，得到答案. 【详解】如图所示：    设为椭圆的左焦点，连接，，，故. ，即，又， 则，故，，， 故，化简得到， 故. 故答案为：. 27．在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. (1)求椭圆的离心率； (2)设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据“伸缩变换”的定义得到的方程，然后求离心率即可； （2）根据得到的方程，然后设的方程，与的方程联立，根据相切得到，即可得到，为关于的方程的两根，然后利用韦达定理得到，最后将代入即可. 【详解】（1）    对于椭圆：，所以为， 故椭圆：（）中，， 故， 则椭圆的离心率. （2）由题解得，所以椭圆：， 设，则直线的方程为， 即，记，则的方程为， 将其代入椭圆的方程，消去，得， 因为直线与椭圆有且只有一个公共点， 所以，即， 将代入上式，整理得， 同理可得， 所以，为关于的方程的两根， 所以. 又点在椭圆：上，所以， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题，往往需联立直线与圆锥曲线方程，消元并结合韦达定理，运用弦长公式、点到直线距离公式、斜率公式、向量数量积公式进行转化变形，结合已知条件得出结果. 题型十 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 28．已知椭圆，若的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由离心率公式和的关系即可计算求解. 【详解】由题得的离心率， 所以. 故选：D 29．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由椭圆可得其离心率， 由椭圆可得其离心率为， 由于比椭圆更扁， 故的离心率满足，即，解得， 故长轴长为. 故答案为：． 30．已知点为抛物线；的焦点，点是该抛物线的对称轴与准线的交点，记以，为焦点的椭圆为椭圆． （1）若椭圆与抛物线在第一象限的交点为，且，求椭圆的离心率； （2）若，点为抛物线上一点，点，以为直径的圆与直线交于，，试探究弦的长是否为定值，若为定值，求该值的大小，若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）；（2）弦的长为定值． 【分析】（1）根据等式求出的坐标，再结合椭圆的定义、离心率公式进行求解即可； （2）根据圆的垂径定理，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：（1）设，因为点为抛物线：的焦点，点是该抛物线的对称轴与准线的交点，所以，， 因为，所以， 即，整理得：解得：， 因此， 所以，， 因为在以，为焦点的椭圆上，所以，， 所以椭圆的离心率． （2）设，则圆心， 所以该圆的半径为，圆心到直线的距离为， 因为，则， 则 所以弦的长为定值． 【点睛】关键点睛：本题的关键是应用椭圆的定义和圆的垂径定理以及熟练的数学运算能力. 题型十一 根据离心率求椭圆的标准方程 31．已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件依次求得的值，从而确定正确答案. 【详解】依题意，短半轴， 由，解得. 故选：A 32．若椭圆的焦点在轴上，长轴的长为4，离心率，则其标准方程为 ． 【答案】 【分析】根据长轴定义得到，再利用离心率公式即可得到答案. 【详解】由题可设椭圆方程为， 则由题意得，解得， 则. 则其标准方程为. 故答案为：. 33．已知椭圆（）的离心率为． (1)求E的方程； (2)记坐标原点为O，直线与E交于A，B两点，若，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）联立直线的方程与椭圆的方程，化简写出根与系数的关系，利用弦长列方程，由此求得的值. 【详解】（1）依题意，，解得， 故E的方程为． （2），联立， 消去可得，显然，设，， 则，， 于是， ， 即，可得（舍）或，故，    题型十二 相同离心率的椭圆方程 34．已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，结合椭圆离心率的定义，求出m，n的关系判断作答. 【详解】椭圆的方程为，则该椭圆的长短半轴长分别为， 离心率，解得， 对于A，，A符合； 对于B，，B符合； 对于C，，C不符合； 对于D，，D符合. 故选：C 35．如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 【答案】/ 【分析】由离心率相同，可得，由图可得，计算即可得的值. 【详解】由图可得，故有， 由两个椭圆离心率相同，则有，即， 故，即有，故. 故答案为：. 36．已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意椭圆焦点在轴上，，，进而根据的关系求解即可； （2）由椭圆定义得，进而根据解得，再根据得，最后计算面积即可. 【详解】（1）解：设椭圆的标准方程为， 由题意知，又因为椭圆和椭圆的离心率相同， 所以， 因为，所以，则， 所以椭圆的标准方程为. （2）解：由（1）知，椭圆的长半轴，焦距， 又由椭圆的定义知，， 所以联立，即 所以，解得 因为 又因为，所以 所以的面积 题型十三 由椭圆的离心率求参数的取值范围 37．已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【分析】由椭圆的离心率求法得，进而求目标式的值. 【详解】由题设，可得， 所以. 故选：C 38．设椭圆C：的右顶点为，为坐标原点，以为直径的圆与的一个交点为（异于点），若的离心率为，则 ． 【答案】 【分析】法一：连接OP，，过点P向x轴作垂线，垂足为B，确定点的坐标为，代入椭圆方程，化简进而可求解；法二：由离心率求导，进而可对椭圆方程进行变形，与圆联立可求出点的坐标，进而求出相应的边长，进而求角的余弦值. 【详解】解法一 不妨设点在第一象限，如图1， 连接OP，因为为以为直径的圆与C的一个交点，所以． 设，易知，所以，． 过点P向x轴作垂线，垂足为B，则，，所以， 所以点的坐标为． 因为离心率，所以，所以， 将点代入椭圆方程，得，即， 即，解得或，又α为锐角， 所以，即． 解法二  如图2，不妨设点在第一象限，因为离心率， 所以， 所以，，C的方程可化为， 以为直径的圆的方程为， 联立椭圆与圆的方程得， 化简得，解得或． 因为恰好是椭圆与圆的交点坐标，且为长轴端点， 所以时，，所以点P的坐标为． 连接，则， 所以，又， 所以． 故答案为： 39．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）求出直线的方程，利用点到直线的距离公式求解. （2）求出以线段为直径的圆方程，再与椭圆方程联立，按求出方程组的交点坐标即可. （3）设，表示出点的坐标，将点坐标代入椭圆方程，建立的关系，进而建立不等式求解. 【详解】（1）依题意，，而，则直线的方程为， 即，所以点到直线的距离. （2）由，得点在以线段为直径的圆上，， 由消去得，即， 当时，，，因此点，共2个； 当时，，解得，， 因此点，共4个， 所以当时，点的个数为2；当时，点的个数为4. （3）设，由，且在线段上，得， 则，解得，而， 由点在上，得，即， 整理得，即，由，得，解得， 所以的取值范围是. 题型十四 椭圆与桥梁问题 40．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：，求直线被椭圆所截得的弦长，代入椭圆方程即可求解. 【详解】以图中水面所在的直线为轴，水面的垂直平分线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据已知条件可知：桥洞与其倒影恰好构成的椭圆方程为：， 当水位上升时，水面的宽度也即当时，直线被椭圆所截的弦长. 把代入椭圆方程可得：， 所以当水位上升时，水面的宽度为， 故选：. 41．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立如图所示平面直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，即可求出离心率. 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 42．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】(1) (2)拱高、拱宽 【分析】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解. 【详解】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 题型十五 椭圆与反光镜的设计问题 43．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义和光的反射定理，以及角平分线定理可得 【详解】由已知得，， 由椭圆定义可得， 根据光的反射定理可得为的角平分线， 由正弦定理， 所以，，又 所以 即. 故选：D. 44．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为 . 【答案】 【分析】先利用同角三角函数基本关系求出，再在中利用余弦定理及椭圆的定义求出，进而得到为直角三角形，利用中角的关系可求出，再通过求出点坐标，则直线方程可求. 【详解】如图，设的角平分线与轴交于点， ， ， 设， 则，解得 ，即为直角三角形 又，， ， ， 当时，，得，， ，即 故答案为： 45．已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点． (1)求椭圆C的方程． (2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出T点，利用斜率之积为列出方程化简即可；（2）当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法线平分． 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设，直线的斜率分别为，，由题意知，，由得，整理得，故椭圆C的方程为． （2） 当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立， 只需证明法线平分． 设M点坐标为，则． 设与椭圆切于M点的切线方程为， 与椭圆方程联立得消去y得：，， 得． 所以切线斜率为，所以法线斜率为，法线方程为， 令，可得法线与x轴交点N的横坐标为， 易知，，所以，，， 所以，， 所以， 则或（舍去）， 所以法线MN平分，所以原结论成立． 题型十六 星体运行轨道问题 46．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象可知可判断A；根据图象可知，结合由不等式的性质可判断B，C；对两边同时平方化简可判断D. 【详解】如图可知，，，，A不正确； ，，；B不正确； 由，可知，C不正确； ，可得，故， 即，，，即，D正确， 故选:D. 47．如图，“神舟十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e．设地球半径为r，该飞船远地点离地面的距离为R，则该卫星近地点离地面的距离为 ． 【答案】 【分析】由题设及椭圆的几何性质可得，再由近地点距地面距离为，即可求结果. 【详解】由题设，若椭圆轨道对应方程为且， 椭圆的几何性质知：，则， 又近地点离地面的距离为. 故答案为：. 48．2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． (1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程； (2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，即可得出椭圆标准方程； （2）设变轨时，地球位于，根据到原点距离及在椭圆上可得点坐标，设出直线方程，利用点到直线的距离建立不等式求解. 【详解】（1）设椭圆的方程为， 由题意知，，， 解得，， 所以， 故所求椭圆的方程为：. （2）由（1）知， 设变轨时，地球位于， 则， 又， 解得， 设过点P的直线方程为， 即， 由， 化简可得 解得 若使地球与木星不会发生碰撞，则“变轨系数”k的取值范围是. 题型十七 椭圆的其他应用 49．在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲､乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过听到第一声，又过听到第二声，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，可能的传播路径为、、，比较对应的传播路径长度，即可区分第一声、第二声的路径，即可由路程和时间列方程，求解出，即 【详解】如图，甲在，乙在，直接传播路径有，即， 由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为，即 因为，所以，故第一声为，第二声为， 因为声音速度恒定，故，故， 故选：A 50．如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .    【答案】或 【分析】设切点为，与圆柱面相交于，由题意即为椭圆的长轴，椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，分析即得解. 【详解】对圆柱沿底面直径进行纵切，如图所示:切点为，与圆柱面相交于， 此时可知即为椭圆的长轴，在直角三角形中， ,又， 所以， 由平面与圆柱所截可知椭圆短轴即为圆柱底面直径的长，即， 所以椭圆的标准方程为或， 故答案为：或.    51．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求曲线的方程，注意. （2）设、直线为，联立曲线，应用韦达定理求的坐标，进而用表示、，即可证结论. 【详解】（1）由题意可设，且， 则， 所以曲线的方程为. （2）当，不妨取，满足曲线的方程， 则的方程为，可得， 此时可得，又，故； 当不垂直于时，设，则直线的方程为，    联立，得， 所以，则， 故， 又， 故， 即，所以， 综上所述：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 题型一 求椭圆的焦点、焦距 1．若椭圆的焦距为，则实数的值为（    ） A．24 B．9 C．1 D．9或1 2．我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中.如图，点是相应椭圆的焦点.若是边长为1的等边三角形，则 . 3．已知椭圆的左右焦点分别为，. (1)求椭圆的焦点坐标； (2)求椭圆的离心率； (3)若直线与椭圆有且只有一个交点，求实数的值. 题型二 求共焦点的椭圆方程 4．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程是（    ）． A． B． C． D． 5．过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程是 ． 6．求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点，且离心率： (2)经过点，且与椭圆有相同的焦点. 题型三 椭圆中x、y的取值范围 7．设O为坐标原点，，为椭圆C：的左，右两个焦点，点R在C上，点是线段上靠近点的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，若是椭圆上一点，则的取值范围是 ． 9．已知圆的圆心为，圆的圆心为，动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)当为钝角时，求点横坐标的取值范围. 题型四 根据椭圆的有界性求范围或最值 10．已知、是椭圆的两焦点，点在椭圆上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 11．已知为椭圆上任意一点，，则的最小值为 . 12．已知椭圆过点和，是椭圆上的一个动点，，是的两个焦点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求的面积； (3)已知轴上一点（），求的最大值. 题型五 点和椭圆的位置关系 13．若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 14．设、分别是椭圆的左、右焦点，在椭圆上满足的点的个数为 ． 15．已知椭圆及其上两点． (1)若且，求证：点在椭圆上； (2)若，求的取值范围． 题型六 椭圆的对称性 16．椭圆的左顶点为，点，均在上且关于轴对称.若直线，的斜率之积为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 17．如图，点，是椭圆C：（）的左、右焦点，A，B是C上两点，，且，则C的离心率为 . 18．设椭圆的右焦点为，离心率为． (1)求的方程； (2)设为上任意一点，证明：到直线的距离等于； (3)过点的直线与交于两点，若，求的方程． 题型七 求椭圆的顶点坐标 19．椭圆的左顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 20．已知椭圆长轴的一个顶点为，短轴的一个顶点为，则 ． 21．已知椭圆的上顶点为，左焦点为，直线与交于两点（不与椭圆的顶点重合），当经过点且与轴垂直时，. (1)求的方程； (2)若点，被轴平分，当到直线的距离最大时，求直线的方程. 题型八 求椭圆的长袖、短袖 22．椭圆的短轴长为（   ） A． B． C．6 D．3 23．已知点，椭圆：的右焦点为，若线段的中点恰好在椭圆上，则椭圆的长轴长为 . 24．设椭圆的左右两个焦点分别为，，若点P在椭圆上，且. (1)求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率； (2)求的面积； 题型九 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 25．已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点A，B，与y轴交于点C，点C，F是线段AB的三等分点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 26．已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上，线段与圆相切于点，若，则椭圆的离心率的值为 27．在平面直角坐标系中，若在曲线的方程中，以（且）代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比.已知椭圆：，椭圆：（）是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线. (1)求椭圆的离心率； (2)设为上异于其左、右顶点，的一点，当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值. 题型十 椭圆离心率大小与椭圆圆扁的关系 28．已知椭圆，若的离心率为，则（   ） A． B． C． D． 29．若椭圆比椭圆更扁，则椭圆的长轴长的取值范围是 ． 30．已知点为抛物线；的焦点，点是该抛物线的对称轴与准线的交点，记以，为焦点的椭圆为椭圆． （1）若椭圆与抛物线在第一象限的交点为，且，求椭圆的离心率； （2）若，点为抛物线上一点，点，以为直径的圆与直线交于，，试探究弦的长是否为定值，若为定值，求该值的大小，若不为定值，请说明理由． 题型十一 根据离心率求椭圆的标准方程 31．已知椭圆的离心率为，短半轴长为1，则（    ） A． B． C．1 D． 32．若椭圆的焦点在轴上，长轴的长为4，离心率，则其标准方程为 ． 33．已知椭圆（）的离心率为． (1)求E的方程； (2)记坐标原点为O，直线与E交于A，B两点，若，求m的值．  题型十二 相同离心率的椭圆方程 34．已知椭圆的方程为，且离心率为，则下列选项中不满足条件的为（    ） A． B． C． D． 35．如图，离心率相同的两个椭圆和分别是同一个矩形（此矩形的两组对边分别与两坐标轴平行）的内切椭圆和外接椭圆，则 ． 36．已知椭圆的两个焦点分别为，且与椭圆的离心率相等. (1)求椭圆的标准方程； (2)设点在椭圆上，且，求的面积. 题型十三 由椭圆的离心率求参数的取值范围 37．已知离心率为的椭圆的方程为，则（   ） A．2 B． C． D．3 38．设椭圆C：的右顶点为，为坐标原点，以为直径的圆与的一个交点为（异于点），若的离心率为，则 ． 39．椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与交于点． (1)若，点的坐标为，求点到直线的距离； (2)当时，求满足的点的个数； (3)设直线与的另一个交点为，，点的横坐标为，若的离心率，求的取值范围． 题型十四 椭圆与桥梁问题 40．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（    ）    A． B． C． D． 41．韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 42．如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 题型十五 椭圆与反光镜的设计问题 43．如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 44．圆锥曲线具有丰富的光学性质，从椭圆的一个集点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.如图，胶片电影放映机的聚光灯有一个反射镜.它的形状是旋转椭圆.为了使影片门（电影胶片通过的地方）处获得最强的光线，灯丝，与影片门应位于椭圆的两个焦点处.已知椭圆：，椭圆的左右焦点分别为，，一束光线从发出，射向椭圆位于第一象限上的Р点后反射光线经过点，且，则的角平分线所在直线方程为 . 45．已知椭圆C：上、下顶点分别为，且短轴长为，T为椭圆上（除外）任意一点，直线的斜率之积为，，分别为左、右焦点． (1)求椭圆C的方程． (2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光线必经过另一焦点．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线） 题型十六 星体运行轨道问题 46．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用和分别表示椭圆轨道I和II的焦距，用和分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（    ）    A． B． C． D． 47．如图，“神舟十三号”载人飞船的运行轨道是以地球的中心（简称“地心”）为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e．设地球半径为r，该飞船远地点离地面的距离为R，则该卫星近地点离地面的距离为 ． 48．2019年春节档非常热门的电影《流浪地球》引发如下思考：假设地球（设为质点P，地球半径忽略不计）借助原子发动机开始流浪的轨道是以木星（看作球体，其半径为万米）的中心F为右焦点的椭圆C．已知地球的近木星点A（轨道上离木星表面最近的点）到木星表面的距离为100万米，远离木星点B（轨道上离木星表面最远的点）到木星表面的距离为2500万米． (1)求如图给定的坐标系下椭圆C的标准方程； (2)若地球在流浪的过程中，由A第一次逆时针流浪到与轨道中心O的距离为万米时（其中a，b分别为椭圆的长半轴，短半轴的长），由于木星引力，部分原子发动机突然失去了动力，此时地球向着木星方向开始变轨（如图所示），假设地球变轨后的轨道为一条直线L，称这条直线的斜率k为“变轨系数”．求“变轨系数”k的取值范围，使地球与木星不会发生碰撞．（精确到小数点后一位） 题型十七 椭圆的其他应用 49．在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲､乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过听到第一声，又过听到第二声，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 50．如图，在一个高为20，底面半径为2的圆柱形乒乓球筒的上壁和下壁分别粘有一个乒乓球，下壁的乒乓球与球筒下底面和侧面相切，上壁的乒乓球与球筒上底面和侧面相切（球筒和乒乓球厚度均忽略不计）.一个平面与两个乒乓球均相切，已知该平面截球筒边缘所得的图形为一个椭圆，请写出此椭圆的一个标准方程 .    51．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足直线与直线的斜率之积为，设点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)已知点，直线与轴交于点，直线与交于点，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $