3.1.2 椭圆的简单几何性质（9大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识点1 椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 知识点3 椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则． 1、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 （1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点的位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． 列方程(组)时常用的关系式有，等． （2）在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个． 2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 3、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 4、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 题型一 由椭圆方程研究几何性质 【例1】（23-24高二上·北京·月考）已知椭圆方程为，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【变式1-1】（24-25高二上·河北石家庄·月考）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·月考）曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【变式1-3】（23-24高二上·四川雅安·月考）（多选）已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（    ） A．的长轴长为 B．的短轴长为 C．的坐标为 D．的最小值为 题型二 由几何性质求椭圆的标准方程 【例2】（24-25高二上·山东滨州·月考）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 【变式2-1】（24-25高二上·重庆·月考）焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 . 【变式2-2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【变式2-3】（24-25高二上·河南驻马店·月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 题型三 求椭圆离心率的值 【例3】（24-25高二上·湖南衡阳·月考）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·江苏徐州·月考）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高三上·广西柳州·月考）椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 题型四 求椭圆离心率的取值范围 【例4】（24-25高二上·重庆·月考）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高二上·浙江温州·期中）椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆内一点，对称中心在坐标原点，焦点在轴上的等轴双曲线E经过点，点在上，若椭圆上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-4】（23-24高二上·山东济宁·月考）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型五 直线与椭圆的位置关系 【例5】（23-24高二上·江西赣州·期中）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式5-1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式5-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 【变式5-3】（22-23高二下·四川内江·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【变式5-5】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型六 直线与椭圆的相交弦长 【例6】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆C：，直线被椭圆C截得的弦长为．求椭圆C的方程． 【变式6-3】（23-24高二上·上海宝山·月考）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 . 【变式6-4】（223-24高二上·福建龙岩·月考）已知椭圆． (1)求实数的取值范围； (2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长． 题型七 椭圆的中点弦问题 【例7】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（23-24高二上·山东青岛·月考）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【变式7-4】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程． 题型八 与切线有关的距离最值问题 【例8】（23-24高二上·重庆江北·月考）若椭圆上的点到直线的最短距离是，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24高二上·安徽淮北·月考）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高二上·山东济南·月考）已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型九 椭圆的综合应用 【例9】（23-24高二上·山东潍坊·月考）设椭圆：，其离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与相交于两点，线段的中点为，延长交于点，使得四边形为矩形，求的值. 【变式9-1】（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形. (1)求C的方程； (2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值. 【变式9-2】（24-25高二上·湖南·月考）在直角坐标系中，点，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围． 【变式9-3】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为. （i）求的值； （ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.2 椭圆的简单几何性质 知识点1 椭圆的简单几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 范围 ， ， 对称性 关于轴、原点对称 轴长 长轴长：；短轴长： 长轴长：；短轴长： 顶点 离心率 离心率越接近1，则椭圆越圆；离心率越接近0，则椭圆越扁 通径 通径的定义：过焦点且垂直于焦点轴的椭圆的弦长 通径的大小： 知识点2 直线与椭圆的位置关系 1、位置关系的判断 直线与椭圆的位置关系： 联立消去y得一个关于x的一元二次方程． ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法： 如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为：． 知识点3 椭圆的中点弦问题 1、根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； 2、点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：直线(不平行于轴)过椭圆()上两点、，其中中点为，则有． 证明：设、，则有， 上式减下式得，∴， ∴，∴． 特殊的：直线(存在斜率)过椭圆()上两点、，线段中点为，则有． 3、共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为，设其一交点为，则另一交点为，则． 1、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路 （1）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： ①确定焦点的位置； ②设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)； ③根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数． 列方程(组)时常用的关系式有，等． （2）在椭圆的简单几何性质中,轴长、离心率不能确定椭圆的焦点位置,因此仅依据这些条件确定的椭圆的标准方程可能有两个． 2、求椭圆的离心率通常有如下两种方法 （1）若给定椭圆的方程，则根据椭圆的焦点位置确定，，求出的值，利用公式直接求解． （2）若椭圆方程未知,则根据条件及几何图形建立满足的关系式，化为的齐次方程，得出的关系或化为的方程求解，此时要注意． 3、求椭圆离心率的取值范围的方法 （1）解析几何中求参数取值范围是一类常见而又较难的题型，其基本的解题思路有: ①建立目标函数，运用求函数值域的方法求解；②建立目标变量的不等式，解不等式求解． （2）求解时，在用基本量表示出椭圆上的点的坐标后，借助椭圆的范围建立一个关于基本量的不等式组，进而求解． 4、解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤： （1）得出直线方程，设交点为，； （2）联立直线与曲线方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）写出根与系数的关系； （4）将所求问题或题中关系转化为关于，的形式； （5）代入求解． 题型一 由椭圆方程研究几何性质 【例1】（23-24高二上·北京·月考）已知椭圆方程为，则椭圆的短轴长为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】椭圆的短半轴长，所以该椭圆的短轴长.故选：B 【变式1-1】（24-25高二上·河北石家庄·月考）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为，故选：D. 【变式1-2】（24-25高二上·陕西西安·月考）曲线与曲线一定成立的是（    ） A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等 【答案】B 【解析】曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率， 因为，所以， 曲线表示焦点在x轴上的椭圆， 其中，，， 所以长轴长为，短轴长，焦距为，离心率 故长轴长不相等，焦距相等，离心率不相等，短轴长不相等，故ABD错，B对；故选：B 【变式1-3】（23-24高二上·四川雅安·月考）（多选）已知，分别是椭圆的上、下焦点，点在椭圆上，则（    ） A．的长轴长为 B．的短轴长为 C．的坐标为 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】由椭圆，可得，，则， 所以，椭圆的长轴长为，的短轴长为，上焦点的坐标为， 根据椭圆的几何性质，得到的最小值为． 故选：ABD. 题型二 由几何性质求椭圆的标准方程 【例2】（24-25高二上·山东滨州·月考）椭圆的长短轴之和为18，焦距为6，则椭圆的标准方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】因为, 又因为，所以, ,解得, 椭圆焦点在x轴时，椭圆的标准方程为：; 椭圆焦点在y轴时，椭圆的标准方程为：.故选：C. 【变式2-1】（24-25高二上·重庆·月考）焦点在轴的椭圆，长轴长为，离心率为，则椭圆的标准方程为 . 【答案】 【解析】设椭圆的标准方程为. 由题意得，，∴， ∵，∴，∴， ∴椭圆的标准方程为. 故答案为： 【变式2-2】（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点的椭圆方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解析】当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为， 由离心率为，可得. ∵椭圆过点∴，，∴椭圆的标准方程为； 当椭圆的焦点在轴上时，，，得， 可得椭圆的标准方程为，整理为.故选：D 【变式2-3】（24-25高二上·河南驻马店·月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y轴上； (2)过点，离心率； 【答案】(1)(2)或；（2）利用离心率并再分焦点在x轴，y轴两种情形求解. 【解析】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上， 长轴长为4，短轴长为2，即，， 则有，， 故要求椭圆的标准方程为； （2）若椭圆的焦点在x轴上，设方程为. 则，所以，，， 即椭圆方程为. 若椭圆的焦点在y轴上，设方程为， 则，又，解得， 故椭圆方程为. 题型三 求椭圆离心率的值 【例3】（24-25高二上·湖南衡阳·月考）若椭圆满足，则该椭圆的离心率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】椭圆满足， 则该椭圆的离心率.故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·江苏徐州·月考）若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示不妨设椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的上顶点. 依题意可知，是正三角形. 因为在中，， 所以，即椭圆的离心率.故选：A 【变式3-2】（24-25高二上·吉林长春·月考）已知点F，A，B分别是椭圆的左焦点、右顶点和上顶点，AB的中点为M，若，则椭圆的离心率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，取的中点，连接,则易得，， 在中，，则, 又， 在中，由余弦定理，， 即，整理得，， 解得或（舍去），则.故选:B. 【变式3-3】（22-23高三上·广西柳州·月考）椭圆的上顶点为A，点均在C上，且关于x轴对称．若直线AP，AQ的斜率之积为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，设，则，则，， 故， 又，则， 所以，即， 所以椭圆C的离心率为．故选：C 【变式3-4】（24-25高二上·云南大理·月考）已知是椭圆的左，右焦点，A，B是椭圆C上的两点．若，且，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知：， 设， 因为，则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得； 又因为，则∥，且， 则，可得， 由椭圆定义可知：，即， 整理可得，即，可得， 所以椭圆C的离心率.故选：B. 题型四 求椭圆离心率的取值范围 【例4】（24-25高二上·重庆·月考）已知椭圆的焦距为，若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，则椭圆的离心率范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将直线整理可得， 易知该直线恒过定点， 若直线恒与椭圆有两个不同的公共点，可知点在椭圆内部； 易知椭圆上的点当其横坐标为时，纵坐标为，即可得， 整理可得，即，解得.故选：A 【变式4-1】（22-23高二上·浙江温州·期中）椭圆（）的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在点P满足，则椭圆C的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设椭圆的上顶点为,则令, 则, 且， , ,故选：B. 【变式4-2】（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点是椭圆的左顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于另一点（点在第一象限）．以原点为圆心，为半径的圆在点处的切线与轴交于点．若，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】要使，只要，只要， 因为直线的斜率为，即只要， 设直线方程为：， 联立，整理可得： 因为为方程的一个根， 故， 所以点， 可得， 由于，故， 令，可得， 可得，可得离心率， 所以离心率的取值范围是．故选：B． 【变式4-3】（23-24高二上·河南洛阳·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为，，为椭圆内一点，对称中心在坐标原点，焦点在轴上的等轴双曲线E经过点，点在上，若椭圆上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为等轴双曲线经过点， 所以将代入可得双曲线的方程为， 由点在上，得， 所以椭圆的左焦点的坐标是， 因为，所以，即， 又，当且仅当共线时等号成立， 所以，解得①， 又因为点在椭圆内，所以，即， 解得（舍去）或②， 由①②得，， 所以，故选：B 【变式4-4】（23-24高二上·山东济宁·月考）设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，由椭圆的定义可得，， 可设，可得，即有，① 由，可得，即为，② 由，可得，令，可得， 即有，由， 可得，即， 则时，取得最小值；或4时，取得最大值. 即有，得.故选：C 题型五 直线与椭圆的位置关系 【例5】（23-24高二上·江西赣州·期中）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【解析】联立， 则 所以方程有两个不相等的实数根， 所以直线与椭圆相交故选：C. 【变式5-1】（23-24高二上·辽宁葫芦岛·期末）已知直线，椭圆，则与的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【解析】直线：， 令，解得：，， 所以直线恒过定点， ，所以点在椭圆上，则直线与椭圆相交或相切.故选：D 【变式5-2】（23-24高二上·福建泉州·月考）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 【答案】D 【解析】因为直线和圆没有交点， 可得，即， 所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点， 又因为椭圆，可得， 所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点， 所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D. 【变式5-3】（22-23高二下·四川内江·月考）直线与椭圆恒有公共点，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于直线恒过点， 要使直线与椭圆恒有公共点， 则只要在椭圆的内部或在椭圆上即可， 即 ，解可得且， 故实数m的取值范围为.故选：C． 【变式5-4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知椭圆与直线相切，则的值不可能是（    ） A． B．2 C．3 D．3.9 【答案】A 【解析】联立椭圆方程与直线方程得， 化简并整理得， 依题意，，整理得， 因为，所以，解得， 对比选项可知的值不可能是.故选：A. 【变式5-5】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，即， 所以为椭圆的右半部分． 当时，直线与有两个公共点； 当时，直线，令， 将代入，得， 则，得，则． 由图可知，所以． 综上，的取值范围是．故选：D. 题型六 直线与椭圆的相交弦长 【例6】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，， 故有, 则.故选：D. 【变式6-1】（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知直线与椭圆交于，两点，当取最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，由， 消去整理得，解得或，则，， 则，， 所以 ， 所以当，即时取最大值.故选：C 【变式6-2】（23-24高二上·湖北孝感·月考）已知椭圆C：，直线被椭圆C截得的弦长为．求椭圆C的方程． 【答案】 【解析】由得， 故，解得， 故椭圆C的方程为． 【变式6-3】（23-24高二上·上海宝山·月考）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 . 【答案】 【解析】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为， 所以， 所以， ，解得， 所以直线为斜率为， 故答案为：. 【变式6-4】（223-24高二上·福建龙岩·月考）已知椭圆． (1)求实数的取值范围； (2)若直线过椭圆的右焦点，且交椭圆于两点，求弦的长． 【答案】(1)(2) （2）由题意求出椭圆方程，直曲联立，利用弦长公式即可求. 【解析】（1）因为表示椭圆， 所以，解得且， 故实数的取值范围是. （2）因为直线过椭圆的右焦点， 所以，所以， 设椭圆右焦点为，将点代入得， 所以，所以， 所以椭圆方程为， 由得，， 设，， 则，， 所以. 故弦的长为. 题型七 椭圆的中点弦问题 【例7】（24-25高二上·山东滨州·月考）已知是直线l被椭圆所截得的线段的中点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当直线的斜率不存在时，由对称性可知被椭圆截得线段的中点在轴上，不合题意； 故可设直线的方程为，代入椭圆方程化简得， ， 有，，解得， 所以直线的方程为，即.故选：B. 【变式7-1】（24-25高二上·重庆·月考）已知直线与椭圆相交于A、B，且AB的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设两点坐标分别为，因为且AB的中点为， 所以，因为在椭圆上， 所以①， 两式相减，得， 根据，上式可化简为， 整理得，又，所以，即， 所以.故选：B. 【变式7-2】（23-24高二上·江苏南通·月考）已知椭圆上的两个动点P，Q，设，，且线段PQ的垂直平分线经过一个定点，则定点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，在椭圆上， 且，当时，由， 得， 设线段PQ的中点为，所以， 所以线段PQ的垂直平分线的方程为， 即，该直线恒过定点 当时，线段PQ的垂直平分线也过定点， 故线段PQ的垂直平分线恒过定点故选：A． 【变式7-3】（23-24高二上·山东青岛·月考）已知直线与椭圆和交于A，B两点，且点平分弦AB，则m的值为 ． 【答案】3 【解析】设坐标为，则， 作差可得，则， 根据题意可得，，则，解得. 当时，联立，可得， 其，满足题意；故. 故答案为：. 【变式7-4】（24-25高二上·陕西西安·月考）已知椭圆的左焦点为是椭圆上任意一点，的最大值为3，最小值为1． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知是椭圆内一点，过点任做一条直线与椭圆交于两点，求以为中点的弦所在的直线方程． 【答案】(1)(2) 【解析】（1）由的最大值为3，最小值为得，则， 可得， 所以椭圆方程为 （2）根据题意得中点弦的斜率存在，且在椭圆内， 设,，,， 所以，， 两式作差，得， 由于是的中点，故， 所以， 所以，所以， 所以中点弦的方程为， 所求的直线方程． 题型八 与切线有关的距离最值问题 【例8】（23-24高二上·重庆江北·月考）若椭圆上的点到直线的最短距离是，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设与直线平行的直线为， 把直线代入椭圆，得， 由，解得， 因为椭圆上的点到直线的最短距离为， 则这两条平行线之间的距离为， 当时，有，，则， 当时，有，，则， 所以的最小值为.故选：C 【变式8-1】（24-25高二上·河南南阳·月考）已知是椭圆上一点，则点到直线的最小距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解法一：设与直线平行的直线为， 联立整理得， 令，解得或，所以与距离， 当时，最小，即点到直线的最小距离是. 解法二：设椭圆上点，则点到直线距离 ， 其中，当时，，故选:C. 【变式8-2】（23-24高二上·安徽淮北·月考）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】要使点到直线的距离最大，只需找到与平行、椭圆相切的最远的一条直线， 令与平行、椭圆相切的直线为，联立椭圆，消去x， 则，，可得， 对于直线，与直线距离为； 对于直线，与直线距离为； 所以点到直线的距离的最大值为.故选：A 【变式8-3】（23-24高二上·山东济南·月考）已知椭圆，点是椭圆上任意一点，则到直线的距离最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，,则， 则， 所以直线与椭圆相切，且在椭圆上方， 设直线方程为，联立， 则， 故，即，解得或（舍去）， 则 ， 故，故选：A 【变式8-4】（24-25高二上·山东菏泽·月考）已知椭圆的离心率为，若椭圆上的点到直线的最短距离不小于，则长半轴长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设平行且距离为的直线方程为， 所以，解得或（结合图象舍去） 设直线与平行且它们之间的距离为， 则的方程为， 由整理，得， 因为上的点到直线的最短距离不小于， 所以与椭圆相切或没有交点， 所以，整理得， 由椭圆的离心率为，可知，所以， 所以，则，所以.故选：C. 题型九 椭圆的综合应用 【例9】（23-24高二上·山东潍坊·月考）设椭圆：，其离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)已知斜率为的直线与相交于两点，线段的中点为，延长交于点，使得四边形为矩形，求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】（1）因为且，所以①， 又因为点在椭圆上，所以②， 解①②得， 所以椭圆的方程为； （2）由题意可知直线的斜率存在， 设直线， 由，得， 当，① 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以② 又因为， 所以 ， 所以③ 联立①②③解得， 所以直线的斜率为. 【变式9-1】（23-24高二上·湖南岳阳·月考）已知椭圆的上顶点、右焦点分别为为坐标原点，且是面积为2的等腰直角三角形. (1)求C的方程； (2)设A，B是C上的两个动点，且以为直径的圆经过点O，证明：为定值. 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】（1）设， 由题意可得：，解得， 因此椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线，，， 由消去y得， 由题意可知，则, 因为，所以， 即， ， 即 整理得. 而, 设h为原点到直线l的距离，则， 所以, 而，所以； 当直线l的斜率不存在时，设，则有， 不妨设，则， 代入椭圆方程得，所以， 所以. 综上所述，即为定值. 【变式9-2】（24-25高二上·湖南·月考）在直角坐标系中，点，动点满足直线与的斜率之积为．记的轨迹为曲线． (1)求的方程，并说明是什么曲线； (2)过左焦点且与坐标轴不垂直的直线，与曲线相交于，两点，的中点为，直线与曲线相交于，两点．求四边形面积的取值范围． 【答案】(1)曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆，； (2)． 【解析】（1）直线的斜率为， 直线的斜率为， 由题意可知：， 所以曲线是以坐标原点为中心，焦点在轴上，不包括左右两顶点的椭圆， 其方程为； （2）如图： 法一：直线的斜率存在且不为0，设， 联立，整理得恒成立， 且，则， 则，即， 直线的方程为，与，联立得， 设点到直线的距离分别为， 则， 四边形面积 ， 又，所以，故四边形面积的取值范围为. 法二：易知直线的斜率存在且不为0，设， 代入点得，相减得， 整理得①； 联立，得，所以． ； 设，由①得，直线方程为， 联立，解之得，即． 设点到直线的距离分别为， 则，， . 所以四边形的面积， 又，所以， 所以，故四边形面积的取值范围为． 【变式9-3】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右顶点，､分别为椭圆的左､右焦点，. (1)求椭圆的方程； (2)设与轴不垂直的直线交椭圆于两点（在轴的两侧），记直线，的斜率分别为. （i）求的值； （ii）若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由. 【答案】(1)(2)（i）；（ii）直线恒过点. 【解析】（1）由于椭圆的离心率为，故， 又，所以， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设与轴交点为，由于直线交椭圆C于两点（在轴的两侧） 故直线的的斜率不为0，直线的方程为， 联立，则， 则 设，则， 又 故， （ii）由（i）得. 因为，则. 又直线交与轴不垂直可得，所以，即 所以， 于是 整理得，解得或， 因为在轴的两侧，所以， 又时，直线与椭圆有两个不同交点， 因此，直线恒过点. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$