专题：一元二次函数、方程和不等式 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题：一元二次函数、方程和不等式 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．若集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2＋x－6<0}，则A∩B＝（ ） A．{－2，－1，0，1} B．{0} C．{x|－3<x<2} D．{x|－1<x<1} 2．若a，b∈R，且a>|b|，则（ ） A．a<－b B．a>b C．a2<b2 D．> 3．甲、乙分别解关于x的不等式x2＋bx＋c<0.甲抄错了常数b，得到解集为{x|－6<x<1}；乙抄错了常数c，得到解集为{x|2<x<3}．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式的解集应为（ ） A．{x|－1<x<6} B．{x|1<x<6} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<－2} 4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y＋的最小值为（ ） A．9 B．10 C．12 D．13 5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x（1－y）．若不等式（x－a）⊗（x＋a）<1对任意实数x恒成立，则（ ） A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< 6．实数a，b，c满足a2＝2a＋c－b－1且a＋b2＋1＝0，则下列关系成立的是（ ） A．b>a≥c B．c>a>b C．b>c≥a D．c>b>a 二、多项选择题 7．对于任意实数a，b，c，d，下列结论正确的有（ ） A．若a2<b2，则a<b B．若a<b，c>d，则a－c<b－d C．若a＋c<b＋d，c<d，则a<b D．若0<a<b，0<c<d，则ac<bd 8．设正实数a，b满足a＋b＝1，则（ ） A．＋有最小值2 B．＋有最大值 C．有最大值 D．a2＋b2有最小值 三、填空题 9．一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为{x|x<－3或x>1}，则一元一次不等式ax＋b<0的解集为________． 10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂与仓库之间的距离为________千米时，运费和仓储费之和最小，最小值为________万元． 四、解答题 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0. （1）当a＝－1，b＝2，c＝1时，求该不等式的解集； （2）从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集． ①a＝1，b＝－2－m，c＝2m； ②a＝m，b＝m－2，c＝－2. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 12．已知正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝3. （1）若a＝1，证明：＋≥2； （2）求ab＋bc＋ca的最大值． 13．已知关于x的不等式≤－1的解集为. （1）求实数a的值； （2）若关于x的不等式≥m的解集为R，求实数m的取值范围． 14．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD相交于点G. （1）证明：△AMG的周长为定值； （2）求△AMG的面积S的最大值． 专题：一元二次函数、方程和不等式 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．若集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|x2＋x－6<0}，则A∩B＝（ ） A．{－2，－1，0，1} B．{0} C．{x|－3<x<2} D．{x|－1<x<1} 解析：因为B＝{x|x2＋x－6<0}＝{x|－3<x<2}，A＝{x|－1<x<1}，所以A∩B＝{x|－1<x<1}．故选D． 答案：D 2．若a，b∈R，且a>|b|，则（ ） A．a<－b B．a>b C．a2<b2 D．> 解析：由a>|b|，知当b>0时，a>b>0，此时<，a2>b2，故C、D错误．当b<0时，a>－b>b，此时A错误．故选B． 答案：B 3．甲、乙分别解关于x的不等式x2＋bx＋c<0.甲抄错了常数b，得到解集为{x|－6<x<1}；乙抄错了常数c，得到解集为{x|2<x<3}．如果甲、乙两人解不等式的过程都是正确的，那么原不等式的解集应为（ ） A．{x|－1<x<6} B．{x|1<x<6} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<－2} 解析：由题意得－6×1＝c，－b＝2＋3，所以c＝－6，b＝－5，故原不等式为x2－5x－6<0，解得－1<x<6.故选A． 答案：A 4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y＋的最小值为（ ） A．9 B．10 C．12 D．13 解析：2x＋y＋＝（2x＋y）＋＝6＋1＋＋＋＝7＋＋≥7＋2＝13，当且仅当＝，即x＝y＝4时，等号成立．故选D． 答案：D 5．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x（1－y）．若不等式（x－a）⊗（x＋a）<1对任意实数x恒成立，则（ ） A．－1<a<1 B．0<a<2 C．－<a< D．－<a< 解析：由题知，（x－a）（1－x－a）<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，∴Δ＝（－1）2－4（－a2＋a＋1）<0，得－<a<.故选C． 答案：C 6．实数a，b，c满足a2＝2a＋c－b－1且a＋b2＋1＝0，则下列关系成立的是（ ） A．b>a≥c B．c>a>b C．b>c≥a D．c>b>a 解析：因为a＋b2＋1＝0，所以a＝－b2－1，则a≤－1.又实数a，b，c满足a2＝2a＋c－b－1，所以（a－1）2＝c－b>0，所以c>b，b－a＝b＋b2＋1＝2＋>0，所以b>a，所以c>b>a.故选D． 答案：D 二、多项选择题 7．对于任意实数a，b，c，d，下列结论正确的有（ ） A．若a2<b2，则a<b B．若a<b，c>d，则a－c<b－d C．若a＋c<b＋d，c<d，则a<b D．若0<a<b，0<c<d，则ac<bd 解析：取a＝2，b＝－3，满足a2<b2，但a>b，故A错误；因为c>d，所以－c<－d.又因为a<b，所以a－c<b－d，故B正确；若a＋c<b＋d，c<d，取a＝1，b＝0，c＝10，d＝20，但a>b，故C错误；若0<a<b，0<c<d，根据不等式的同向同正可乘性，可得ac<bd，故D正确．故选BD． 答案：BD 8．设正实数a，b满足a＋b＝1，则（ ） A．＋有最小值2 B．＋有最大值 C．有最大值 D．a2＋b2有最小值 解析：因为正实数a，b满足a＋b＝1，所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，故A错误；因为≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，故＋≤，故B正确；因为≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故C正确；≥2＝，当且仅当a＝b＝时取等号，故a2＋b2≥，故D错误．故选BC． 答案：BC 三、填空题 9．一元二次不等式x2＋ax＋b>0的解集为{x|x<－3或x>1}，则一元一次不等式ax＋b<0的解集为________． 解析：由题意知，－3和1是方程x2＋ax＋b＝0的两根， 所以解得 不等式ax＋b<0即为2x－3<0，所以x<. 答案： 10．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂与仓库之间的距离为________千米时，运费和仓储费之和最小，最小值为________万元． 解析：设工厂与仓库之间的距离为x千米，运费为y1万元，仓储费为y2万元，则y1＝k1x，y2＝. 因为工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，所以k1＝5，k2＝20， 所以运费和仓储费之和为5x＋. 因为5x＋≥2 ＝20，当且仅当5x＝，即x＝2时，运费和仓储费之和最小值为20万元． 答案：2 20 四、解答题 11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0. （1）当a＝－1，b＝2，c＝1时，求该不等式的解集； （2）从下面两个条件中任选一个，并求出此时该不等式的解集． ①a＝1，b＝－2－m，c＝2m； ②a＝m，b＝m－2，c＝－2. 注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：（1）当a＝－1，b＝2，c＝1时，不等式为－x2＋2x＋1≥0， 即x2－2x－1≤0，解得1－≤x≤1＋， 所以不等式的解集为{x|1－≤x≤1＋}． （2）方案一：选择条件①. 当a＝1，b＝－2－m，c＝2m时，不等式为x2－（2＋m）x＋2m≥0，即（x－2）（x－m）≥0. 当m>2时，不等式的解集为{x|x≤2或x≥m}， 当m＝2时，不等式的解集为R， 当m<2时，不等式的解集为{x|x≤m或x≥2}． 综上，当m>2时，不等式的解集为{x|x≤2或x≥m}；当m＝2时，不等式的解集为R；当m<2时，不等式的解集为{x|x≤m或x≥2}． 方案二：选择条件②. 当a＝m，b＝m－2，c＝－2时， 不等式为mx2＋（m－2）x－2≥0. 若m＝0，则不等式为－2x－2≥0，此时不等式的解集为{x|x≤－1}． 若m≠0，则不等式可化为（mx－2）（x＋1）≥0， 当m>0时，不等式的解集为； 当m<－2时，不等式的解集为； 当m＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}； 当－2<m<0时，不等式的解集为. 综上，当m<－2时，不等式的解集为 ； 当m＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}； 当－2<m<0时，不等式的解集为； 当m＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当m>0时，不等式的解集为. 12．已知正实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝3. （1）若a＝1，证明：＋≥2； （2）求ab＋bc＋ca的最大值． 解：（1）证明：由a＝1，得b2＋c2＝2， 则＋＝（b2＋c2）＝1＋＋≥2， 当且仅当b＝c＝1时，等号成立，原式得证． （2）因为ab≤（a2＋b2），bc≤（b2＋c2）， ac≤（a2＋c2）， 当且仅当a＝b＝c＝1时，等号成立， 所以ab＋bc＋ac≤a2＋b2＋c2＝3， 即ab＋bc＋ca的最大值为3. 13．已知关于x的不等式≤－1的解集为. （1）求实数a的值； （2）若关于x的不等式≥m的解集为R，求实数m的取值范围． 解：（1）≤－1等价于＋1≤0， 即（3x－a－2）（x－2）≤0（x≠2）． 因为不等式的解集为， 所以3×－a－2＝0，解得a＝3. （2）由（1）可知a＝3，且x2＋x＋1>0， 所以≥m等价于3x2＋2x＋2≥mx2＋mx＋m， 即（3－m）x2＋（2－m）x＋2－m≥0，由题意知该不等式对x∈R恒成立． ①当m＝3时，可得x≤－1，不符合题意； ②当m≠3时，有 即解得 所以m≤2，故实数m的取值范围为{m|m≤2}． 14．如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是AD和BC边上的点．沿EF折叠使C与线段AB上的M点重合（M不在端点A，B处），折叠后CD与AD相交于点G. （1）证明：△AMG的周长为定值； （2）求△AMG的面积S的最大值． 解：（1）证明：设BM＝x，BF＝y，则CF＝MF＝1－y，由勾股定理可得x2＋y2＝（1－y）2，即y＝， 由题意可知，△AMG∽△BFM， 设△AMG，△BFM的周长分别为p，p1，则＝＝，又因为p1＝x＋y＋1－y＝x＋1，所以p＝·p1＝＝2，所以△AMG的周长为定值，且定值为2. （2）设△BFM的面积为S1，则＝＝，因为S1＝xy，所以S＝S1＝＝＝＝－（x＋1）－＋3≤－2 ＋3＝3－2，当且仅当1＋x＝，即x＝－1时等号成立，故S的最大值为3－2. 学科网（北京）股份有限公司 $