精品解析：陕西省西安市第一中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

陕西省西安一中2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，5，6 C. 8，15，17 D. 11，12，15 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理的逆定理分别计算各个选项，选出正确的答案． 【详解】解：A、，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； B、，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意； C、，能组成直角三角形，故此选项符合题意； D、，不能组成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式性质及同类二次根式定义，熟记同类二次根式的定义是解决问题的关键． 先利用二次根式性质对各选项中的二次根式进行化简，再根据同类二次根式定义判断即可得到答案． 【详解】解：依题意，，，， 与是同类二次根式，可以合并． 故选：C． 3. 根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A. 东经，北纬 B. 电影院8排22号 C. 枣庄市青檀路 D. 港口南偏东方向上距港口10海里 【答案】C 【解析】 【分析】根据有序实数对可以确定位置，方向和距离可以确定位置，判断解答即可． 本题考查了位置的确定方法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：A、东经，北纬的位置明确， 故A不符合题意； B、电影院8排22号的位置明确， 故B不符合题意； C、枣庄市青檀路无法确定物体的具体位置， 故C符合题意； D、港口南偏东方向上距港口10海里的位置明确， 故D不符合题意； 故选：C． 4. 已知正比例函数的图象经过点，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k的值． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴k的值等于． 故选：A． 5. 若点的坐标是，则点到轴的距离为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，点到轴的距离等于点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值；据此即可求解． 【详解】解：点的坐标是，则点到轴的距离为， 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等．也考查了坐标与图形性质． 先利用点坐标得到，再根据全等三角形的性质得到，然后根据轴的负半轴上点的坐标特征写出点坐标，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：，， ，， ， ， 点坐标为． 故选：C． 7. 已知函数中随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，一次函数图象与其系数的关系，根据正比例函数的增减性可得，则，据此可判断出一次函数图象经过的象限，由此可得答案． 【详解】解：∵函数中随的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，四象限． 故选A． 8. 在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是……根据这个规律，第2025个点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是点的坐标规律题，根据点的坐标变化规律归纳公式是解决此题的关键． 根据图形推导出当时，第个点的坐标为：，再往后推1个点即可得到答案． 【详解】解：由图可知：第4个点的坐标为：， 第8个点的坐标为：， 第12个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：， ∴当时，第个点的坐标为：， ∴第个点的坐标为：． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的验证，核心思路是通过计算图形的总面积，两种不同的计算方法建立等式从而推导出勾股定理． 【详解】解：拼接后的图形是一个直角梯形，上底为，下底为，高为， 根据梯形面积公式：， 拼接后的图形由两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形组成： 则两个直角三角形的面积为， 等腰直角三角形(斜边为)的面积为， ∴， 即， 验证的定理是勾股定理． 故答案为：． 10. 9的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出． 【详解】∵， ∴9算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 11. 2025年春节期间，动画电影《哪吒2》在各大影院热映．某影院规定，座位的位置采用“排数，座数”的形式来记录，例如5排7座记作为．按照这个规则，10排2座应记为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，理解题意是解题的关键．根据题意即可求解． 【详解】解：由题意得，10排2座应记为． 故答案为：． 12. 将函数的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移．由“上加下减”的原则求解即可． 【详解】解：将函数的图象向上平移2个单位所得函数图象的解析式为， 故答案为：． 13. 如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 __________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称最短路线问题，勾股定理，等腰直角三角形，正方形的性质，解题的关键是作出辅助线，找出的周长最小时、的位置． 延长，截取，连接，延长，过点，作于点，根据勾股定理求出，根据垂直平分线的性质得出，得出当、、、在同一直线上时，的周长最小，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，截取，连接，延长，过点，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形和是正方形， ∴，，， ∴，， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴当、、、在同一直线上时，的周长最小，且此时的周长等于的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的周长最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共81分） 14. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用二次根式的混合运算法则即可求解； （2）利用二次根式的混合运算法则即可求解； 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 15. 已知一个正数的平方根和，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 【答案】（1） （2）不在 由（1）知 ，，点  的坐标为 ， 当时，， ∴点不在一次函数的图像上． 【解析】 【分析】本题考查了平方根和立方根的概念，一次函数图像上点的特征．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0． （1）根据一个数的平方根互为相反数，有，可求出值，由的立方根是，可求出值，继而代入求出答案， （2）把代入中，求出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：一个正数的平方根互为相反数，有， 解得：， 又的立方根是，即 解得：， ，算术平方根为：， 即的算术平方根为． 【小问2详解】 略 16. 如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为 （2） ，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵的长为，BM的长为， ∴， ∴， ∴， ∴供水点M到喷泉A需要铺设的管道长为； 【小问2详解】 略 17. 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是个单位长度． （1）写出三个顶点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使的和最小，在图中直接标出点即可（保留作图㾗迹）． 【答案】（1），，； （2） 如图， ∴即为所求； （3） 如图， 此时点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，画轴对称图形，轴对称的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平面直角坐标系即可求解； （）作，，关于轴对称点，，，然后连接即可； （）连接，交轴于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：由平面直角坐标系可得，，，； 【小问2详解】 解：作，，关于轴对称点，，，连接各点， 【小问3详解】 解：连接，交轴于点，则点即为所求， 理由：∵与对称， ∴， ∴， ∴根据“两点之间线段最短”可得，的和最小． 18. 已知与x成正比例，当时， （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算时，y的值． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，关键是掌握与x成正比例，即设为． (1)因为与x成正比例，所以可设，又因时，，所以，即，从而可求出y与x之间的函数关系式； (2)利用(1)中求得的函数关系式，求出时，y的值即可． 【小问1详解】 解： 与x成正比例， 设， 又时，， ，即 ， 即． 故y与x之间的函数关系式． 【小问2详解】 解：当时，． 故y的值为11． 19. 已知一次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）求坐标轴所围成的三角形的面积； （3）图象上有两点，，当时，则______填、或． 【答案】（1） 描点、连线，画出函数图象如图所示． ． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，描点、连线，即可画出一次函数的图象； （2）由（1）的结论结合三角形的面积计算公式，即可求出一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积； （3）由k=-1＜0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合＞可得出＜． 【小问1详解】 解：当x=0时，y=-1×0+3=3， ∴一次函数y=-x+3的图象与y轴交于点（0，3）； 当y=0时，-x+3=0， 解得：x=3， ∴一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0）． 【小问2详解】 解：∵一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点（3，0），与y轴交于点（0，3）， ∴一次函数y=-x+3的图象与坐标轴所围成的三角形的面积=×3×3=； 【小问3详解】 解：∵k=-1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵图象上有两点（，），（，），且＞， ∴＜． 故答案为：＜． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出该一次函数图象与两坐标轴的交点坐标；（2）利用三角形的面积计算公式，求出一次函数的图象与坐标轴围成三角形的面积；（3）牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”． 20. 李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． （1）甲商店一张会员卡的价格为 元； （2）求 的函数表达式； （3）若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 选乙商店比较合算．理由如下： 当时，，， ∵， ∴李老师选乙商店比较合算． 【解析】 【分析】（）求出时的值即可求解； （）根据题意解答即可求解； （）求出时和的值，进而比较即可求解； 本题考查了一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时，， ∴甲商店一张会员卡的价格为元， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴ 的函数表达式为； 【小问3详解】 略 21. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在y轴上，求点P的坐标 ； （2）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了点所在的象限，在坐标轴上的点的坐标特征， 对于（1），根据点P在y轴上，可得，求出解即可得出答案； 对于（2），根据题意可得，求出解，再确定坐标即可. 【小问1详解】 解：∵点P在y轴上， ∴， 解得， 则， ∴点； 【小问2详解】 解：∵点P在第二象限，且到x轴，y轴的距离相等， ∴，， 解得， 则，， ∴点. 22. 小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 【答案】（1）18 （2）y＝4x+18 （3）所挂物体质量为8kg 【解析】 【分析】（1）根据表格可知时弹簧长度即为不挂物体时弹簧长度； （2）利用表格中数据的变化求解； （3）将y＝50代入y与x的函数关系式求解． 【小问1详解】 解：（1）根据表格可知，当时，， ∴弹簧不挂物体时的长度为18cm； 故答案为：18． 【小问2详解】 由表格可得所挂物体每增加1千克，弹簧长度增加4cm，不挂物体时，弹簧长度为18cm， 则y与x的关系为y＝4x+18， 故答案为：y＝4x+18． 【小问3详解】 把y＝50代入y＝4x+18得 50＝4x+18， 解得x＝8， ∴所挂物体质量为8kg． 【点睛】本题考查函数的表示方法，解题关键是掌握函数的定义，根据题干中表格信息写出函数表达式． 23. 【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为5，到轴的距离为3，因为，所以点的“微距值”为 【知识应用】 （1）点的“微距值”为______； （2）若点的“微距值”为2，求的值； （3）若点在直线上，且点的“微距值”为2，求点的坐标． 【答案】（1）2 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，以及对新定义“微距值”的理解与应用．解题关键在于准确根据定义判断“微距值”是点到轴还是轴的距离，对于含有参数的情况（如第（2）（3）问），要分情况讨论，结合点所在直线方程求解坐标． （1）根据“微距值”的定义，先求出点到轴和轴的距离，再比较大小确定“微距值”．点到轴的距离，到轴的距离，比较与大小； （2）由点的“微距值”为2，点到轴的距离，“微距值”为2，根据定义可知且，进而求解的值； （3）设点的坐标为，由点在直线上，点的“微距值”为2，分两种情况讨论：一是当时，；二是当时，，分别求解和的值确定点坐标． 【小问1详解】 解：∵点到轴的距离，到轴的距离，且， 点的“微距值”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：点到轴的距离， ∵点的“微距值”为2， ∴点到轴的距离， 或； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， 点在直线上， 情况一：当时 ，此时，即， 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入，得， 即，解得， 此时， ，满足， 点坐标为； 情况二：当时 ，此时，即， 当时，代入， 得，此时， ， 不满足，舍去； 当时，代入， 得，此时， ，满足， 点坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 24. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图1，若，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）5 （2） （3）存在，点B的坐标为或 【解析】 【分析】（1）证明可得，在中，利用勾股定理解得的长，最后根据三角形面积公式即可求解； （2）作轴于点，根据题意，可证，再由全等三角形对应边相等的性质得到，结合点的坐标分别解得的长，继而得到的坐标，再由待定系数法解得直线的解析式，令即可求解； （3）画出符合题意的示意图，设点B，点是符合要求的两个点，即，设，过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点，由点坐标表示线段和，根据可证，再由全等三角形对应边相等的性质解得的长，继而得到点的坐标，最后将点代入直线上即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ， ∴在与中， ， ， ， ∵中，， ∴， ． 故答案为：； 【小问2详解】 解：过点B作轴于点， 则， ∴， ， ， ， ． 在与中， ， ， ， ， ∴，， ，， ， ． 设直线的解析式为：， ∵直线过点， ∴， 解得：， 直线的解析式为：， 令得，， ； 【小问3详解】 解：存在，有两个点符合题意，点B的坐标为或，理由如下： 如图，设点B，点是符合要求的两个点，即， 设， 过点作直线平行轴，过点作直线平行轴，两直线相交于点， 则， ， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴，， ， ∴， ， ，即， ∵点在直线上， ， ， ∴点B的坐标为或． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、待定系数法求一次函数的解析式，理解并运用模型的思路方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西省西安一中2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、单选题（每小题3分，共24分） 1. 以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，5 B. 4，5，6 C. 8，15，17 D. 11，12，15 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A. 东经，北纬 B. 电影院8排22号 C. 枣庄市青檀路 D. 港口南偏东方向上距港口10海里 4. 已知正比例函数的图象经过点，则的值等于（ ） A. B. C. D. 5. 若点的坐标是，则点到轴的距离为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，，则点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数中随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，有若干个横坐标、纵坐标都是整数的点，我们称它们为“整点”．把这些点按图中箭头标注的顺序排列，第1个点是，第2个点是，第3个点是，第4个点是……根据这个规律，第2025个点是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 9. 如图，这是由两个全等的直角三角形拼成的图形，根据此图，我们可以验证的学过的重要定理是_______(用字母表示)． 10. 9的算术平方根是_____． 11. 2025年春节期间，动画电影《哪吒2》在各大影院热映．某影院规定，座位的位置采用“排数，座数”的形式来记录，例如5排7座记作为．按照这个规则，10排2座应记为__________． 12. 将函数的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为____． 13. 如图，是等腰直角三角形，，，分别以，为边作正方形和正方形，点是线段上的动点，点是线段BC上的动点，则的周长最小值为 __________________． 三、解答题（共81分） 14. 计算： （1） （2） 15. 已知一个正数的平方根和，的立方根为， （1）求的算术平方根； （2）点是否在一次函数的图像上？请说明理由． 16. 如图，某小区的两个喷泉A，B之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． （1）求供水点M到喷泉A需要铺设的管道长； （2）试判断与的位置关系，并说明理由． 17. 如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是个单位长度． （1）写出三个顶点的坐标； （2）画出关于轴对称的； （3）在轴上找一点，使的和最小，在图中直接标出点即可（保留作图㾗迹）． 18. 已知与x成正比例，当时， （1）求出y与x之间的函数关系式； （2）计算时，y的值． 19. 已知一次函数． （1）画出这个函数的图象； （2）求坐标轴所围成的三角形的面积； （3）图象上有两点，，当时，则______填、或． 20. 李老师计划购进一批宫灯，已知甲、乙两个商店的标价都是每个元．两商店的售卖方式如下： 甲商店：购买一张会员卡，享受会员价，每个宫灯可按标价的七折售卖； 乙商店：不购买会员卡，每个宫灯可按标价的九折售卖． 设李老师购买宫灯个，在甲商店购买所需费用为元，且，在乙商店购买所需费用为元． （1）甲商店一张会员卡的价格为 元； （2）求 的函数表达式； （3）若李老师准备购买个宫灯，则选哪个商店比较合算?请说明理由． 21. 已知点，解答下列各题： （1）若点P在y轴上，求点P的坐标 ； （2）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求点P的坐标 ． 22. 小亮想了解一根弹簧的长度是如何随所挂物体质量的变化而变化的，他把这根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体，下表是小亮测得的弹簧的长度y与所挂物体质量x的几组对应值． 所挂物体质量x/kg 0 1 2 3 4 5 弹簧长度y/cm 18 22 26 30 34 38 （1）由表格可知，弹簧不挂物体时的长度为______cm； （2）请直接写出y与x的关系式______； （3）当弹簧长度为50cm（在弹簧承受范围内）时，求所挂重物的质量．（写出求解过程） 23. 【阅读理解】 点在平面直角坐标系中，记点到轴的距离为，到轴的距离为，给出以下定义：若，则称为点的“微距值”；若，则称为点的“微距值”；特别地，若点在坐标轴上，则点的“微距值”为例如，点到轴的距离为5，到轴的距离为3，因为，所以点的“微距值”为 【知识应用】 （1）点的“微距值”为______； （2）若点的“微距值”为2，求的值； （3）若点在直线上，且点的“微距值”为2，求点的坐标． 24. 如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明，我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： （1）如图1，若，则的面积为 ； （2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标； （3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为？若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $