1.2.3反比例函数的图象与性质 教学设计 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦用待定系数法确定反比例函数表达式及性质应用，通过复习三种函数图象性质和待定系数法步骤，搭建从正比例函数到反比例函数的学习支架，衔接前后知识脉络。 这份资料以类比教学和数形结合为特色，通过合作探究分析图象判断k值、比较函数值，培养学生几何直观与推理意识，多元评价与分层作业设计助力教师精准教学，提升学生用数学语言表达和解决问题的能力。

《1.2.3反比例函数的图象与性质》教学设计 一、课题：反比例函数的图象与性质第3课时 二、教学内容分析 《1.2.3反比例函数的图象与性质》这节课内容是学习用待定系数法确定反比例函数的表达式以及反比例函数图象的性质的应用。学生已经学过反比例函数的图象与性质，已拥有研究函数的图象与性质的知识。此外，学生在八年级已经掌握了利用待定系数法求正比例函数的解析式的方法，这些知识为后面的学习铺垫了基础。为学习反比例函数的实际问题打下坚实基础，起到承上启下的作用。本节课中，引导学生学会根据坐标求反比例函数的表达式，并由表达式探索直角坐标系内的点与反比例图象的位置关系，以及利用函数图象解决问题，培养学生综合运用反比例函数的图象与性质的能力，体现数形结合思想。 三、学情分析 授课班级的学生在前面的学习中，已掌握反比例函数的图象与性质，掌握了函数的图象绘制的一般步骤，形成了数形结合的良好思维习惯，同时获得借助函数图象来研究函数的性质的基本方法，懂得了从图形、文字、符号等三种语言相互转换对函数性质加以描述。通过类比的思想，加上已学习的图象知识，学生对本节内容的学习就不再陌生，至于如何更好的引导学生进行深挖的性质，则需教师引导学生先从列表取值观察。 四、教学目标 （1）能用待定系数法求出反比例函数的表达式； （2）知道反比例函数的表达式就可以知道某一个点是否在这个函数的图象上； （3）培养学生的读图能力，加深学生对反比例函数图象性质的理解，渗透了数形结合思想的培养. 五、教学重点、难点 重点：用待定系数法求出反比例函数的表达式。 难点：通过反比例函数的图像或表达式来理解反比例函数的性质。 六、评价设计 评价项目 评价细则 评价方式 教师评价 学生评价 预习 课前能够认真阅读，并完成预习需要解决问题任务，正确率高（2分）。只是阅读课本并做了标记，完成部分预习任务的（1分）。 教师检查科代表 （2人） 科代表检查小组长，小组长检查组员 交流 积极参与讨论交流，有学生提出自己的看法，其他组员认真听，并达成共识，完成教师布置的任务（2分）。如果有组员不认真或不参与或目标未能很好达成（1分）。 教师观察每个小组完成情况进行评价 展示 展示声音洪亮，能够从观察表格数据到图象，再用语言准确表达（2分）。如果只是会用语言表达性质（1分）。 教师点评 小组长互评 质疑 能够对其他小组展示内容提出有价值的质疑（2分）。只是纠错（1分）。 教师点评 检测 1.课堂提问回答正确并说出理由加1分，只回答正确答案语言表扬鼓励。 2.练习检测：选择1题1分，填空1题1分，解答题1题3分（能用符号、文字、图象表达）。 教师点评 学生互评 创新精神 学习过程中有独特见解，彰显个性，并能分享自己的想法、解法。 及时表扬 鼓励 七、教学过程活动设计 环节名称 教师活动 学生活动 设计意图 时间 环节一 复习提问， 温故孕新. 问题1：正比例函数、一次函数、反比例函数的图象性质是什么？ 问题2：用待定系数法求正比例函数和一次函数解析式的方法和步骤是什么？ 追问：一次函数有多少个待定的系数，需要几个点？正比例函数呢？ 生:老师提出问题，学生集体回答. 老师提出问题，学生个别回答：把点的坐标代入表达式求出待定系数k和b的值. 对所学的三种函数的性质进行对比复习，让学生对它们的性质有系统的了解. 复习待定系数法的方法与步骤为求反比函数的表达式做铺垫. 3分 环节二 创设情境 引入新知 活动1：已知反比例函数的图象经过点Q（3,2）、 （1）求k的值，并写出该函数的表达式； （2)判断点M(-2，-3）， N(2，4)是否在这个函数的图象上； （3）这个函数的图象位于哪些象限？在每个象限内，函数值y随自变量x的增大如何变化? 生：（1）把点 Q（3,2）代入反比例函数，得，解得k=6. 因此，这个反比例函数的表达式为 . （2）把点M，N的坐标分别代入，可知点M的坐标满足函数表达式，点N的坐标不满足函数表达式，所以点M在这个函数的图象上，而点N不在这个函数的图象上. (3）因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小. 学生会类比前面所学的待定系数法求反比例函数的表达式. 学生能利用反比例函数的性质解决其他问题. 10分 环节三 合作探究 活动领悟 活动2：反比例函数的图象如下图，根据图象，回答下列问题， （1）k的取值范围是k＞0还是k＜0？说明理由； （2）如果点A(-2,y1), B(3，y2)是该画数图象上的两点，试比较y1 ，y2的大小. 活动3：如图正比例函数与反比例函数的图象交于点Q（2，-5)，）（1）试求出它们的表达式；（2）直接写出y1 ＞ y2 自变量x的取值范围. 生:学生先独立思考，在小组内合作讨论并完成解题过程. 老师利用投影仪投出解题过程： 解：（1）由图可知，反比例函数的图像的两支曲线分别位于第二、四象限内，函数值y随x的增大而增大，因此， k＜0 . （2）点A（-2，y1），B（-3，y2）是该函数图象上的两点，-2＜0，-3＜0，所以点A，B都位于第三象限.又因为-2＜-3，由反比例函数图像的性质可知：y1 ＜ y2 . 引导学生读图，师生共同分析题目，并由老师利用投影仪投出解题过程： 解：（1）设正比例函数的解析式为，反比例函数的表达式为，其中k1，k2为常数，且均不为零.由于这两个函数的图象交于点Q（2，-5)，则点Q（2，-5)是这两个函数图象上的点，即点Q的坐标分别满足这两个表达式. 因此-5=k1×2，. 解得 k1=，k2-10. （2） x＜-2或 0＜x＜2. 训练读图能力，加深学生对反比例函数图象性质的理解. 通过读图象，让学生掌一次函教与反比例函教的综合应用. 教师应适时帮助学生总结正比例函数与反比例函数的联系与区别. 15分 环节四 尝试练习，巩固提高. 1.对于函数，下列说法错误的是（ ）. A.它的图象是轴对称图形 B.它的图象分布在一、三象限 C.当x＞0时，y随x的增大而减小 D.当x＜0时，y随x的增大而增大 2.若反比例函数的图象过点(-2，3)，则k= . 3.如果点A(1,y1）和B(-1,y2)在反比例函数图象上，则y1 y2 .（选填“＞”“＜”或“=”） 生:先独立完成，然后小组交流答案订正. 了解对所学知识的掌握情况. 4分 环节五 适时小结，兴趣延伸. 1.本节课主要学了哪些知识？体现了哪些数学方法？ 2.我们是如何学习的？与之前学习新知识的方法有什么不同？ 思考并回答以下问题: (1)本节课主要学了哪些知识？ (2)与之前学习新知识的方法有什么不同？ 梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容：反比例函数的图象和性质，体会数形结合在函数研究中的重要作用. 3分 环节六 目标检测 x ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 y 3 4.5 9 ﹣9 ﹣4.5 ﹣3 1.已知一个函数满足如表（x为自变量），则这个函数的表达式为（　　） A． B． C． D． 2.已知反比例函数的图象经过点A（1，4）． （1）求该反比例函数的关系式； （2）画出反比例函数的图象； （3）当1＜x＜4时，y的取值范围． 生:完成练习后，小组交流后，对照答案订正，小组代表发言. 第1题考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，熟知用待定系数法求反比例函数的解析式的一般步骤是解答此题的关键．第2题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数得图象、反比例函数的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及反比例函数的图象与性质是解题的关键． 5分 八、板书设计 1.2.3反比例函数的图像与性质（3） 1.待定系数法 2.正比例函数表达式 3.反比例函数表达式 9、 作业设计 课 题 1.2.3反比例函数的图像与性质（3） 作业内容 作业类型 完成 时间 作业内容和参考答案 设计意图 题目来源 课后作业 基础性5分钟 1．若反比例函数的图象经过点（﹣3，5），则该反比例函数的解析式为（　　） A． B． C．y＝﹣15x D．y＝15x 2． 2.如图，点A是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数解析式为（　　） A B． C． D． 3．已知点A（m，4）在函数y＝2x的图象上，则经过点A的反比例函数的解析式为　 　． 答案：1.A； 2.A； 3. 设计意图: 考查的是待定系数法求反比例函数的解析式，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 加深学生对反比例函数图象性质的理解，渗透了数形结合思想的培养. 题目来源:改编. 综合性10分钟 4.如图，在▱ABCD中，A（1，0），B（0，2），D（﹣2，0），反比例函数在第二象限内的图象经过点C． （1）C点坐标为 　　．（2）求反比例函数的表达式． （3）点E是x轴上一点，若△DCE是直角三角形，请直接写出点E的坐标． 答案：C（﹣3，2）；；E的坐标为（﹣3，0）或（﹣7，0）． 设计意图: 本题考查了坐标系中求点的坐标、反比例函数解析式、勾股定理等知识，把线段转化为点的坐标或把点的坐标转化为线段，对直角三角形中的直角进行分类讨论是解题的关键． 题目来源:改编. 十、教学反思和改进 反比例函数的表达式由唯一确定，在本节课教学中，特别强调图象上任一点的坐标即可确定该函数的表达式。为让学生掌握这一点，本节课教学注重以下几点： 一是类比教学。反比例函数的图象上任一点的坐标即可确定该函数的表达式，这和前面学习和正比例函数的表达式类似，因而在课前复习中注重待定系数法求表达式的方法，目的是让学生类比学习本课内容，揭示与认识知识之间的联系，帮助学生构建知识网络。 二是注重数形结合思想的培养。本节课中活动中、练习中均注重读图能力的训练，通过读图与文字相结合，学生通过对图形的研究和分析，加深学生对反比例函数图象的性质的理解。同时，通过对解析式的分析，可知图象的分布区域和走向，从“数”想象到“形”，从“形”研究“数”，体现数形结合的思想方法。 教学改进： 函数是初中数学的核心概念。它是一种具有普通意义的数学模型，在分析和解决一些实际问题中有着广泛的应用。反比例函数是一种特殊的函数，是自变量和函数值呈反比例关系的函数。教学中，应该注意以有的研究函数的经验和方法为基础。让学生经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，准确用解析式表示函数，并能通过表达式的分析，解决实际问题”。让学生在学习中，充分感悟函数思想、数形结合思想、建模思想。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $