精品解析：山东省临沂市罗庄区2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2025—2026学年上学期学科素养水平调研试题九年级数学 （时间：120分钟 总分120分） 2025.11 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 3. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 如图，圆形拱门最下端在地面上，D为的中点，C为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 7. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，弧倍的弧，点是上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根为，则______． 12. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 13. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______． 14. 如图，是的切线，点B为切点，连接．若，，，则的长度为______． 15. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 19. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）利润为W元，求W与x之间的函数解析式； （3）在这段时间内，若销售单价不低于90元，且商场还要完成不少于250件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 20. 如图，中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点D，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 21. 已知抛物线，点为抛物线顶点． （1）若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式； （2）当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标； （3）在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值． 22. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．请判断的形状并说明理由． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点H，连接，如图③． 请直接写出线段长度的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期学科素养水平调研试题九年级数学 （时间：120分钟 总分120分） 2025.11 注意事项：1．答题前，请先认真浏览试卷；然后按要求操作； 2．答题时，端正心态，认真审题，认真书写，规范作图，保持卷面整洁！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 起源于中国的围棋深受青少年喜爱．以下由黑白棋子形成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，是中心对称图形，符合题意； 、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 2. 已知是方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. 20 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，两根之和为即可求解． 【详解】∵ 是方程 的两个实数根， ∴ ． 故选：A． 3. 如图，点A的坐标是，将线段绕点O顺时针旋转，点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化旋转，全等三角形的判定和性质，熟知图形旋转的性质是解题的关键． 根据题意画出旋转后的图形，再结合全等三角形的判定与性质即可解决问题． 【详解】解：如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和， 由旋转可知， ，， ， ． 在和中， ， ， ，． 点的坐标为， ，， 点的坐标为． 故选：B． 4. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标运算，根据题意代入求值比较大小即可． 【详解】∵二次函数 ， ∴对于点 ，有， 对于点，有， 对于点 ，有， ∵为常数，不影响大小比较， ∴，，， ∴． 故选：B． 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：． 故选：B． 6. 如图，圆形拱门最下端在地面上，D为的中点，C为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，则拱门所在圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是垂径定理的实际应用，勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，设拱门所在圆的半径为，则，，再进一步对运用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， ∵为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ∴，， 设拱门所在圆的半径为， ∴，而， ∴， ∴， 解得：， ∴拱门所在圆的半径为； 故选A 7. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，则过点和点的直线一定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．根据二次函数图象结合已知条件判断各式即可． 【详解】解：∵函数图像开口向上，与y轴交于正半轴，与x轴没有交点 ∴ ， ∵对称轴为， ∴ ， ∴， ∴在x轴负半轴上， 当时， ， 又∵ ∴则在第一象限， ∴过点和点的直线一定不经过第四象限； 故选：D． 8. 如图，是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点，连接．以点D为圆心，的长为半径在内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形，求扇形的面积，解直角三角形，作，等边三角形的性质结合圆内接四边形的性质，求出，三线合一，解直角三角形，求出的长，利用扇形的面积公式求出阴影部分的面积即可． 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形的外接圆，点D是弧的中点， ∴ ， ∴， 如图；作 ， 则：， ∴ ， ∴阴影部分的面积为； 故选：D． 9. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图，是半圆的直径，，点，在半圆上，，弧倍的弧，点是上的一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理等知识，连接，，，，由圆心角、弧、弦之间的关系得，所以是等边三角形，则，由圆周角定理可得，所以，故有，再由勾股定理得，因为，所以的最小值为，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，，， ∵，， ∴，， ∵弧倍的弧， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 已知方程的一个根为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系．已知一个根，可利用根与系数的关系求另一根，再求参数k，或直接代入方程求解． 【详解】解：方法一：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系，两根之和为，解得， 两根之积为，解得． 方法二：将根代入方程， 得， 即， 整理得， 解得 ． 故答案为：． 12. 将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 将抛物线向下平移个单位后，得到新抛物线，其与轴有公共点等价于对应二次方程有实数根，因此判别式大于等于零，由此列不等式求解的取值范围． 【详解】将抛物线 向下平移 个单位长度后，得到新抛物线的表达式为 ， 平移后的抛物线与轴有公共点，即方程 有实数根， 因此判别式 ， 计算判别式：， 由，得，解得． 故答案为：． 13. 定义：在平面直角坐标系中，将一个图形先向上平移个单位，再绕原点按逆时针方向旋转角度，这样的图形运动叫做图形的变换．如：点按照变换后得到点的坐标为，则点按照变换后得到点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，坐标与图形．根据题意，点向上平移2个单位，得到点，再根据题意将点绕原点按逆时针方向旋转，得到，，据此求解即可． 【详解】解：根据题意，点向上平移2个单位，得到点，交轴于点， ∴，， ∴，， ∴， 根据题意，将点绕原点按逆时针方向旋转， ∴， 作轴于点， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，是的切线，点B为切点，连接．若，，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理以及三角函数的应用，连接，由 的正切值求出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线，点B为切点， ∴， 在中，， 又∵ ， ∴， 在中，，， ∴ ， 故答案为：． 15. 已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像及性质，掌握二次函数最值的求解是解题的关键． 根据二次函数的性质，由于函数开口向上，最小值在对称轴处取得，最大值在离对称轴较远的端点处取得，结合条件列出不等式组求解． 【详解】二次函数，对称轴为直线， 由于当 时函数取得最小值， 故，解得 ， 又当时函数取得最大值，所以，解得， 因此，的取值范围是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共75分） 16. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根据方程特点选择合适的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解； （2）利用公式法求解． 【小问1详解】 解： 或 解得，； 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 解得，． 17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，格点（网格线的交点）A、B，C、D的坐标分别为，，，． （1）以点D为旋转中心，将旋转得到，画出； （2）直接写出以B，，，C为顶点的四边形的面积； （3）在所给的网格图中确定一个格点E，使得射线平分，写出点E的坐标． 【答案】（1） 解：如下图所示： （2）40 （3）(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，平行四边形的判定以及性质，等腰三角形的判定以及性质等知识，结合网格解题是解题的关键． （1）将点A，B，C分别绕点D旋转得到对应点，即可得出． （2）连接，，证明四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质以及网格求出面积即可． （3）根据网格信息可得出，，即可得出是等腰三角形，根据三线合一的性质即可求出点E的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，， ∵点B与，点C与分别关于点D成中心对称， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问3详解】 ∵根据网格信息可得出，， ∴是等腰三角形， ∴也是线段的垂直平分线， ∵B，C的坐标分别为，， ∴点， 即．（答案不唯一） 18. 如图，在中，． （1）实践与操作：用尺规作图法作的平分线交于点D；（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）应用与证明：在（1）的条件下，以点D为圆心，长为半径作．求证：与相切． 【答案】（1）见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，角平分线的性质定理，切线的判定等知识．熟练上述知识是解题的关键． （1）利用尺规作角平分线的方法解答即可； （2）如图2，作于，由角平分线的性质定理可得，由是半径，，可证与相切． 【小问1详解】 解：如图1，即为所作； 【小问2详解】 证明：如图2，作于， ∵是的平分线，，， ∴， ∵是半径，， ∴与相切． 19. 某商场以每件80元的价格购进一种商品，在一段时间内，销售量y（单位：件）与销售单价x（单位：元/件）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示． （1）求这段时间内y与x之间的函数解析式； （2）利润为W元，求W与x之间的函数解析式； （3）在这段时间内，若销售单价不低于90元，且商场还要完成不少于250件的销售任务，当销售单价为多少时，商场获得利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2） （3）单价为110元，利润有最大值7500元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用总利润等于单件利润乘以销量列出函数关系式，进行求解即可； （3）根据二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设这段时间内y与x之间的函数解析式为，， ∵由图象可知，函数图象经过点，， ∵，解得， ∴这段时间内y与x之间的函数解析式为． 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ∵销售单价不低于90元，且商场还要完成不少于250件的销售任务， ∴，，即， 解得． ∵，， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴当时，w随着x的增大而增大， 即当销售单价时，获得的利润w有最大值， ∴最大利润（元）． 20. 如图，中，，点O为边上一点，以点O为圆心，为半径作圆与相切于点D，连接． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，根据题意可得，根据余角的性质可得，根据圆周角定理可得，等量代换即可得证； （2）在中，勾股定理求得，证明，设的半径为r，则，，在中，，解方程即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵为切线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：在中，， ∵， 在和中，，， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r，则，， 在中，， 解得， ∴半径的长为． 21. 已知抛物线，点为抛物线顶点． （1）若抛物线与轴的交点坐标为点，求抛物线的解析式； （2）当点的纵坐标取最大值时，求的值及点坐标； （3）在（2）的条件下，当，函数有最小值7，求的值． 【答案】（1） （2），点的坐标为 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式，以及二次函数的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入抛物线解析式求出m的值，即可求得抛物线的解析式； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，再由可得当时，的最大值为，进而可得点的坐标； （3）先求出再（2）的条件下抛物线的表达式为，可知当时，函数有最小值，根据当，函数有最小值，可知的取值范围一定在对称轴的左边或者右边．然后分和两种情况讨论，即可求出n的值． 【小问1详解】 解：将代入抛物线解析式， 得：， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：， ∴，顶点的坐标为， ∵， ∴当时，的最大值为3， 此时点P的坐标为． 【小问3详解】 解：当时，， 当时，函数有最小值3， ∵时，函数的最小值是7， ∴的取值范围一定在对称轴的左边或者右边． 当时，时有最小值， ∴， 解得，， ∵， ∴． 当时，时有最小值， ∴， 解得，， ∵， ∴． 综上所述，或． 22. 在数学综合与实践活动课上，小红以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． （1）操作判断 小红将两个完全相同的矩形纸片和拼成“L”形图案，如图①．请判断的形状并说明理由． （2）深入探究 小红在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点C旋转，若． 探究一：当点F恰好落在的延长线上时，设与相交于点M，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点H，连接，如图③． 请直接写出线段长度的最大值和最小值． 【答案】（1）等腰直角三角形，证明见解析；（2）探究一：；探究二：的最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）由，可知是等腰三角形，再由，推导出，即可判断出是等腰直角三角形， （2）探究一：证明，可得，再由等腰三角形的性质可得，在中，勾股定理列出方程，解得，即可求的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，取、的中点为、，连接，，，分别得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，则，可知点在以为直径的圆上，设的中点为，，即可得出的最大值与最小值． 【详解】解：（1）的形状是等腰直角三角形，证明如下： 纸片和是两个完全相同的矩形， ， 是等腰三角形， ，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， （2）探究一：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得， 的面积； 探究二：连接，取的中点，连接，，取、的中点为、，连接，，， 是的中点， ，且， ， ，， ，且， 四边形是平行四边形， ，， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 点在以为直径的圆上， 设的中点为，连接 ， ∴ 的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，直角三角形的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，圆的性质，能够确定H点的运动轨迹是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $