专题：常用逻辑用语 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题：常用逻辑用语 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．下列命题为全称量词命题的是（ ） A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360° 2．设命题p：∃x0∈R，x＋1＝0，则命题p的否定为（ ） A．∀x∉R，x2＋1＝0 B．∀x∈R，x2＋1≠0 C．∃x0∉R，x＋1＝0 D．∃x0∈R，x＋1≠0 3．下列四个命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ） A．∀x∈R，x2＋3≥0 B．∀x∈N，x2≥0 C．∃x∈Z，使x5<1 D．∃x∈Q，使x2＝3 4．下列选项中，使|x－1|<2成立的一个必要不充分条件是（ ） A．－1<x<3 B．－3<x<3 C．0<x<3 D．0<x<4 5．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A．{a|a≤4} B．{a|a<4} C．{a|a<－4} D．{a|a≥－4} 6．若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分不必要条件，则实数m的值为（ ） A．1 B．－ C．－或1 D．－1或 二、多项选择题 7．下列命题的否定是假命题的是（ ） A．等圆的面积相等，周长相等 B．∀x∈N，x2≥1 C．任意两个等边三角形都是相似的 D．有些梯形的对角线相等 8．下面命题为真命题的是（ ） A．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 B．“m<0”是“二次方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 C．“a<1”是“<1”的充分不必要条件 D．“m＝2”是“M＝{x|mx2＋（m＋2）x＋2＝0}为单元素集合”的充分不必要条件 三、填空题 9．下列命题是真命题的是________（填序号）． ①方程3x－2y＝10有整数解； ②∃x∈R，x≤0的否定为∀x∉R，x>0； ③∃n∈N*，使得n能被11整除； ④∀x∈N，x2≥1的否定是∃x∈R，x2<1. 10．已知集合A＝{x|1<x<m，m∈R}，B＝{3，6}，“x∈B”是“x∈A”的充分条件，则实数m的取值范围是________． 四、解答题 11．写出下列命题的否定并判断其真假； （1）不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； （2）某些梯形的对角线互相平分； （3）被8整除的数能被4整除． 12．已知集合A＝{x|－3≤x<1}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}． （1）若B是A的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若命题“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围． 13．已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0，命题q：－2<m<2.若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围． 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°. 专题：常用逻辑用语 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．下列命题为全称量词命题的是（ ） A．有一个偶数是素数 B．至少存在一个奇数能被15整除 C．有些三角形是直角三角形 D．每个四边形的内角和都是360° 解析：选项A、B、C中的“有一个”“至少存在一个”“有些”均为存在量词，选项D中的“每个”是全称量词，故选项D中的命题是全称量词命题．故选D. 答案：D 2．设命题p：∃x0∈R，x＋1＝0，则命题p的否定为（ ） A．∀x∉R，x2＋1＝0 B．∀x∈R，x2＋1≠0 C．∃x0∉R，x＋1＝0 D．∃x0∈R，x＋1≠0 解析：将存在量词改为全称量词，并否定结论即可得解．故选B. 答案：B 3．下列四个命题中，是存在量词命题且是真命题的是（ ） A．∀x∈R，x2＋3≥0 B．∀x∈N，x2≥0 C．∃x∈Z，使x5<1 D．∃x∈Q，使x2＝3 解析：选项A、B中的命题为全称量词命题，故不符合题意；当x＝0时，x5<1，故C中命题为真命题；解方程x2＝3，得x＝±，不是有理数，故D中存在量词命题为假命题．故选C. 答案：C 4．下列选项中，使|x－1|<2成立的一个必要不充分条件是（ ） A．－1<x<3 B．－3<x<3 C．0<x<3 D．0<x<4 解析：由不等式|x－1|<2，得－2<x－1<2，解得－1<x<3.对于A，－1<x<3是|x－1|<2成立的充要条件；对于B，{x|－1<x<3}⫋{x|－3<x<3}，所以－3<x<3是|x－1|<2成立的一个必要不充分条件；对于C，{x|0<x<3}⫋{x|－1<x<3}，所以0<x<3是|x－1|<2成立的一个充分不必要条件；对于D，{x|0<x<4}与{x|－1<x<3}不是包含关系，所以0<x<4是|x－1|<2成立的既不充分也不必要条件．故选B. 答案：B 5．若命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A．{a|a≤4} B．{a|a<4} C．{a|a<－4} D．{a|a≥－4} 解析：命题“∀x∈R，x2－4x＋a≠0”的否定为“∃x∈R，x2－4x＋a＝0”，由题知其为真命题，所以方程x2－4x＋a＝0有实数根，即Δ＝16－4a≥0⇒a≤4.故选A. 答案：A 6．若“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分不必要条件，则实数m的值为（ ） A．1 B．－ C．－或1 D．－1或 解析：把x＝2代入m2x2－（m＋3）x＋4＝0，得4m2－2m－2＝0，解得m＝－或m＝1.当m＝1时，m2x2－（m＋3）x＋4＝0可化为x2－4x＋4＝0，解得x＝2，此时“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充要条件，应舍去；当m＝－时，m2x2－（m＋3）x＋4＝0可化为x2－10x＋16＝0，解得x＝2或x＝8，此时“x＝2”是“m2x2－（m＋3）x＋4＝0”的充分不必要条件．故m＝－，B正确．故选B. 答案：B 二、多项选择题 7．下列命题的否定是假命题的是（ ） A．等圆的面积相等，周长相等 B．∀x∈N，x2≥1 C．任意两个等边三角形都是相似的 D．有些梯形的对角线相等 解析：A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题；B的否定：∃x∈N，x2<1，真命题；C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；D的否定：所有梯形的对角线都不相等．如等腰梯形的对角线相等，假命题．故选ACD. 答案：ACD 8．下面命题为真命题的是（ ） A．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 B．“m<0”是“二次方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件 C．“a<1”是“<1”的充分不必要条件 D．“m＝2”是“M＝{x|mx2＋（m＋2）x＋2＝0}为单元素集合”的充分不必要条件 解析：对于A，当a≠0，b＝0时，ab＝0；若ab≠0，则a≠0且b≠0，因此“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，正确；对于B，当m<0时，方程x2＋（m－3）x＋m＝0的判别式Δ＝（m－3）2－4m>0，则方程x2＋（m－3）x＋m＝0有两个不相等的实根x1，x2，显然x1x2＝m<0，即方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根；当方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根x1，x2时，Δ＝（m－3）2－4m>0且m＝x1x2<0，解得m<0，因此“m<0”是“二次方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根”的充要条件，正确；对于C，当0<a<1时，>1成立，因此“a<1”不是“<1”的充分条件，错误；对于D，当m＝2时，方程为2x2＋4x＋2＝0，解得x＝－1，即M＝{－1}，满足充分性，而当m＝0时，方程为2x＋2＝0，解得x＝－1，此时集合M也为单元素集合，不满足必要性，正确．故选ABD. 答案：ABD 三、填空题 9．下列命题是真命题的是________（填序号）． ①方程3x－2y＝10有整数解； ②∃x∈R，x≤0的否定为∀x∉R，x>0； ③∃n∈N*，使得n能被11整除； ④∀x∈N，x2≥1的否定是∃x∈R，x2<1. 解析：对于①，在3x－2y＝10中，令x＝0，则y＝－5，即3x－2y＝10存在整数解x＝0，y＝－5，故①为真命题；对于②，∃x∈R，x≤0的否定为∀x∈R，x>0，故②为假命题；对于③，当n＝11，22，33，…时，n均能被11整除，所以∃n∈N*，使得n能被11整除，故③为真命题；对于④，∀x∈N，x2≥1的否定是∃x∈N，x2<1，故④为假命题． 答案：①③ 10．已知集合A＝{x|1<x<m，m∈R}，B＝{3，6}，“x∈B”是“x∈A”的充分条件，则实数m的取值范围是________． 解析：因为“x∈B”是“x∈A”的充分条件，所以B⊆A，所以6<m，故实数m的取值范围是{m|m>6}． 答案：{m|m>6} 四、解答题 11．写出下列命题的否定并判断其真假； （1）不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根； （2）某些梯形的对角线互相平分； （3）被8整除的数能被4整除． 解：（1）命题的否定是“存在实数m，方程x2＋x－m＝0没有实数根”； 当Δ＝1＋4m<0，即m<－时，一元二次方程x2＋x－m＝0没有实数根，所以是真命题． （2）命题的否定是“任何一个梯形的对角线都不互相平分”，是真命题； 假设对角线互相平分，该四边形就是平行四边形，不是梯形． （3）命题的否定是“存在一个数能被8整除，但不能被4整除”，显然是假命题． 12．已知集合A＝{x|－3≤x<1}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}． （1）若B是A的充分不必要条件，求实数m的取值范围； （2）若命题“∃x∈A，使得x∈B”是真命题，求实数m的取值范围． 解：（1）若B是A的充分不必要条件，则B⫋A. 当B＝∅时，有m＋1<2m－1，即m>2； 当B≠∅时，有 解得－1≤m<0.综上，m的取值范围为 {m|－1≤m<0或m>2}． （2）若命题“∃x∈A，使得x∈B”是真命题， 则B为非空集合，且A∩B≠∅， 所以m＋1≥2m－1，即m≤2. 当A∩B＝∅时， 有或 所以1≤m≤2或m<－4， 所以m的取值范围为{m|－4≤m<1}． 13．已知命题p：∃x∈R，x2－2x＋m＝0，命题q：－2<m<2.若命题p，q一真一假，求实数m的取值范围． 解：由p是真命题，得Δ＝4－4m≥0，所以m≤1. 若p为真命题，q为假命题， 则解得m≤－2； 若p为假命题，q为真命题， 则解得1<m<2. 所以实数m的取值范围为{m|m≤－2或1<m<2}． 14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°. [证明] 充分性： 因为A＝90°， 所以方程x2＋2ax＋b2＝0可化为x2＋2ax＋a2－c2＝0， 所以x2＋2ax＋（a＋c）（a－c）＝0， 所以[x＋（a＋c）][x＋（a－c）]＝0， 所以该方程有两个根： x1＝－（a＋c），x2＝－（a－c）， 同理，另一个方程x2＋2cx－b2＝0 可化为x2＋2cx＋c2－a2＝0， 所以x2＋2cx＋（c＋a）（c－a）＝0，所以[x＋（c＋a）][x＋（c－a）]＝0， 所以该方程有两个根： x3＝－（a＋c），x4＝－（c－a）， 可以发现x1＝x3， 所以这两个方程有公共根． 必要性： 设α是两方程的公共根， 则 由①＋②得2α2＋2α（a＋c）＝0. 若α＝0，由①式得到b2＝0，即b＝0，矛盾， 所以α≠0， 所以α＝－（a＋c）， 代入①式得（a＋c）2－2a（a＋c）＋b2＝0，整理得c2＋b2＝a2，所以A＝90°. 综上，方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是A＝90°. 学科网（北京）股份有限公司 $