1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是（ ） A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直 C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直 2．已知命题p：∀x∈N*，总有（x＋2）2>0，则¬p为（ ） A．∃x0∉N*，使得（x0＋2）2≤0 B．∃x0∈N*，使得（x0＋2）2≤0 C．∀x∉N*，总有（x＋2）2≤0 D．∀x∈N*，总有（x＋2）2≤0 3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ） A．¬p：∀x∈A，2x∈B B．¬p：∀x∉A，2x∉B C．¬p：∃x∉A，2x∈B D．¬p：∃x∈A，2x∉B 4．关于命题p“∃x∈R，x2－x＋1<0”的否定，下列说法正确的是（ ） A．¬p：∀x∈R，x2－x＋1>0，为假命题 B．¬p：∀x∈R，x2－x＋1>0，为真命题 C．¬p：∃x∈R，x2－x＋1≥0，为假命题 D．¬p：∀x∈R，x2－x＋1≥0，为真命题 解析：“∃x∈R，x2－x＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2－x＋1≥0”．对于任意实数x，x2－x＋1＝2＋≥，所以x2－x＋1≥0成立，即“∀x∈R，x2－x＋1≥0”是真命题．故选D. 答案：D 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A．{a|a>1} B．{a|a≥1} C．{a|a<1} D．{a|a≤1} 二、多项选择题 6．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（ ） A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 7．下列说法正确的有（ ） A．命题“∃x∈R，1<y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y>2” B．“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C．“∃x∈R，x－2>”是真命题 D．“∀x∈R，x2>0”的否定是真命题 三、填空题 8．已知D为一个非空数集，命题：“任意x∈D，x3＋1>0”的否定形式是________． 9．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是________． 四、解答题 10．写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由． （1）p：∃x∈R，x2＝－1； （2）p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2＋x－1＝0必有实数根； （3）p：有的平行四边形的对角线相等； （4）p：有些实数的绝对值是正数． 11．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，¬q为假命题，求实数m的取值范围． 个性拓展练 12．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1＝0，命题q：任意两个等边三角形都相似，下列判断错误的是（ ） A．p是真命题 B．¬p：∀x∈R，x2－x＋1≠0 C．q是真命题 D．¬q：存在两个等边三角形，它们不相似 13．若“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________． 14．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≥2}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}． （1）若A∩B＝B，求实数a的取值范围； （2）若∀x∈A，均有x∉B，求实数a的取值范围； （3）若∃x∈B，x∉A，求实数a的取值范围． 1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定 同步练习2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册 学号： 班级： 姓名： 一、单项选择题 1．命题“存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直”的否定是（ ） A．存在一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 B．任意一个四边形，它的两条对角线互相垂直 C．任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直 D．有些四边形，它们的两条对角线不互相垂直 解析：原命题为存在量词命题，其否定为全称量词命题，即“任意一个四边形，它的两条对角线不互相垂直”．故选C. 答案：C 2．已知命题p：∀x∈N*，总有（x＋2）2>0，则¬p为（ ） A．∃x0∉N*，使得（x0＋2）2≤0 B．∃x0∈N*，使得（x0＋2）2≤0 C．∀x∉N*，总有（x＋2）2≤0 D．∀x∈N*，总有（x＋2）2≤0 解析：原命题为全称量词命题，则其否定为存在量词命题，即∃x0∈N*，使得（x0＋2）2≤0.故选B. 答案：B 3．设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（ ） A．¬p：∀x∈A，2x∈B B．¬p：∀x∉A，2x∉B C．¬p：∃x∉A，2x∈B D．¬p：∃x∈A，2x∉B 解析：“∀x∈A，2x∈B”的否定为“∃x∈A，2x∉B”．故选D. 答案：D 4．关于命题p“∃x∈R，x2－x＋1<0”的否定，下列说法正确的是（ ） A．¬p：∀x∈R，x2－x＋1>0，为假命题 B．¬p：∀x∈R，x2－x＋1>0，为真命题 C．¬p：∃x∈R，x2－x＋1≥0，为假命题 D．¬p：∀x∈R，x2－x＋1≥0，为真命题 解析：“∃x∈R，x2－x＋1<0”的否定为“∀x∈R，x2－x＋1≥0”．对于任意实数x，x2－x＋1＝2＋≥，所以x2－x＋1≥0成立，即“∀x∈R，x2－x＋1≥0”是真命题．故选D. 答案：D 5．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，则实数a的取值范围是（ ） A．{a|a>1} B．{a|a≥1} C．{a|a<1} D．{a|a≤1} 解析：因为命题p：∃x>0，x＋a－1＝0为假命题，所以¬p：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1.故选B. 答案：B 二、多项选择题 6．关于命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（ ） A．¬p：∃x∈R，x2＋1＝0 B．¬p：∀x∈R，x2＋1＝0 C．p是真命题，¬p是假命题 D．p是假命题，¬p是真命题 解析：命题p：“∀x∈R，x2＋1≠0”的否定是“∃x∈R，x2＋1＝0”．所以p是真命题，¬p是假命题．故选AC. 答案：AC 7．下列说法正确的有（ ） A．命题“∃x∈R，1<y≤2”的否定是“∀x∈R，y≤1或y>2” B．“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C．“∃x∈R，x－2>”是真命题 D．“∀x∈R，x2>0”的否定是真命题 解析：由存在量词命题的否定是全称量词命题，故选项A中说法正确；“至少有一个x使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故选项B中说法错误；当x＝9时，x－2>，即7>3成立，故选项C中说法正确；命题“∀x∈R，x2>0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，当x＝0时，x2≤0成立，故选项D中说法正确．故选ACD. 答案：ACD 三、填空题 8．已知D为一个非空数集，命题：“任意x∈D，x3＋1>0”的否定形式是________． 解析：命题的否定形式为否定结论，同时存在量词与全称量词互换．因此“任意x∈D，x3＋1>0”的否定形式是：存在x∈D，x3＋1≤0. 答案：存在x∈D，x3＋1≤0 9．已知命题p：“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，则实数m的最大值是________． 解析：当x≥3时，2x≥6⇒2x－1≥5，因为“∀x≥3，使得2x－1≥m”是真命题，所以m≤5. 答案：5 四、解答题 10．写出下列命题p的否定，判断真假并说明理由． （1）p：∃x∈R，x2＝－1； （2）p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2＋x－1＝0必有实数根； （3）p：有的平行四边形的对角线相等； （4）p：有些实数的绝对值是正数． 解：（1）因为p：∃x∈R，x2＝－1， 所以¬p：∀x∈R，x2≠－1. 因为x2≥0，所以p的否定是真命题． （2）因为p：不论m取何实数，关于x的方程m2x2＋x－1＝0必有实数根，所以¬p：存在实数m，关于x的方程m2x2＋x－1＝0没有实数根． 当m＝0时，方程x－1＝0有实根；当m≠0时，方程m2x2＋x－1＝0的判别式Δ＝1＋4m2>0，故命题p为真命题，命题p的否定为假命题． （3）因为p：有的平行四边形的对角线相等，所以¬p：所有平行四边形的对角线都不相等．命题p是真命题，命题p的否定是假命题． （4）因为p：有些实数的绝对值是正数，所以¬p：所有实数的绝对值都不是正数．命题p为真命题，命题p的否定是假命题． 11．已知命题p：∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x，命题q：∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x，若命题p为真命题，¬q为假命题，求实数m的取值范围． 解：由题意知命题p，q都是真命题． 因为∀x∈{x|1≤x≤3}，都有m≥x， 所以m大于等于x的最大值，即m≥3. 因为∃x∈{x|1≤x≤3}，使m≥x， 所以m大于等于x的最小值，即m≥1， 因为两者同时成立， 所以实数m的取值范围为 {m|m≥3}∩{m|m≥1}＝{m|m≥3}． 个性拓展练 12．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1＝0，命题q：任意两个等边三角形都相似，下列判断错误的是（ ） A．p是真命题 B．¬p：∀x∈R，x2－x＋1≠0 C．q是真命题 D．¬q：存在两个等边三角形，它们不相似 解析：对于方程x2－x＋1＝0，Δ＝（－1）2－4×1×1＝－3<0，所以∀x∈R，x2－x＋1≠0，故p是假命题，A错误；¬p：∀x∈R，x2－x＋1≠0，B正确；任意两个等边三角形都相似，故q是真命题，C正确；¬q：存在两个等边三角形，它们不相似，D正确．故选A. 答案：A 13．若“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”的否定是假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：因为“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”的否定是假命题，所以“∃x0∈R，x＋2x0＋2＝m”是真命题，因此关于x的方程x2＋2x＋2－m＝0有实根，所以Δ＝22－4×1×（2－m）≥0，解得m≥1，因此实数m的取值范围是{m|m≥1}． 答案：{m|m≥1} 14．已知全集U＝R，集合A＝{x||x－2|≥2}，B＝{x|a＋1<x<2a－1}． （1）若A∩B＝B，求实数a的取值范围； （2）若∀x∈A，均有x∉B，求实数a的取值范围； （3）若∃x∈B，x∉A，求实数a的取值范围． 解：（1）由题意得A＝{x|x≤0或x≥4}． ∵A∩B＝B，∴B⊆A， 当B＝∅，即a＋1≥2a－1时，a≤2，符合题意； 当B≠∅，即a>2时，由B⊆A，得a＋1≥4或2a－1≤0，所以a≥3. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤2或a≥3}． （2）由题意得，A∩B＝∅. 当a≤2时，B＝∅，满足题意， 当a>2时，有解得－1≤a≤， 所以2<a≤. 综上，a的取值范围是. （3）命题“∃x∈B，x∉A”的否定是“∀x∈B，x∈A”． 当∀x∈B，x∈A时，B⊆A. 由（1）可知实数a的取值范围是 {a|a≤2或a≥3}． 因此原命题“∃x∈B，x∉A”为真命题时，实数a的取值范围是{a|2<a<3}． 学科网（北京）股份有限公司 $