专题05 幂函数与函数的应用（期末真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题05幂函数与函数的应用 ☆7大高频考点概览 考点01幂函数的定义 考点02幂函数的定义域 考点03幂函数的值域 考点04幂函数的图象及应用 考点05幂函数的性质 考点06二次函数模型解决实际问题 考点07分段函数与分式函数模型的应用 目目 考点01 幂函数的定义 一、 单选题 1. (24-25高一上浙江衢州期末)已知幂函数f(x)的图象过点(2，V②)，则f(9)=() A.-3 B.5 C.2 D.3 2.(24-25高一上浙江台州期末)若幂函数f(x=x“的图象过点(4,2)，则f(3)的值为() 1 A:9 B. 3 3 D.5 3.(24-25高一上浙江衢州期末)若幂函数f(x)=x“的图象经过点(3,3)，则的值为() A.2 B.-2 C. 4.(24-25高一上浙江温州期末)已知幂函数f(x)=m2-3)x"在(0，+0)上单调递减，则m=（) A.-2 B.1 C.2 D.-2或2 5.(24-25高一上浙江杭州期末)已知幂函数f(x)=n2+2n-2·x-2"在(0，+∞）上是减函数，则n的值 为() A.-3 B.1 C.3 D.1或-3 二、多选题 6.(24-25高一上浙江丽水期末)下列函数中，为幂函数的是() A.f(x)=x' B.f(x)=2x2 C.f(x)=x D.f(x)=2 7.(24-25高一上浙江嘉兴期末)己知幂函数f(x)=x“(为常数)，则下列结论正确的是() 1/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.函数f(x)的图象都经过点(L,) B.若a=3,则f(3)=27 C.若a=-1,则函数f(x)为偶函数 D.若函数f(x)的图象经过点(4,2)，则函数∫(x)在其定义域上单调递减 8.(24-25高一上浙江嘉兴期末)已知幂函数f(x)=x的图象经过点(4,2)，则() A.a=2 1 B.f(x)的图象经过点(1,1) C.f(x)在[0，+o)上单调递增 D.不等式f(x)≥x的解集为xx1 9.(24-25高一上浙江期末)已知幂函数f(x)=(-3a+1)x-3m2,其中a,m∈R,则下列说法正确的是() A.a=-1 B.若}<m<1时，f2)>f) C.若m=4时，y=f(x关于y轴对称D.f(x)恒过定点(-1，-1 三、填空题 10.(24-25高一上·浙江湖州期末)已知幂函数f(x=x“(a是常数)满足f(8)=2,则 f(1000)= 11.(24-25高一上浙江宁波期末)已知幂函数f(x)的图象过点(2,8)，则f(-1)= 12.2425高一上浙江期末)已知幂函数y=的图象过点(2》则f付)-一 13.(24-25高一上浙江丽水期末)若幂函数f(x)=m2-m-1x"的图象不经过原点，则实数m的值 是 目目 考点02 幂函数的定义域 一、多选题 2425高一上衡州期末)已知幂函数了)三m+?，则下列结论正确的有 A刘话 B.f(x)的定义域是R 2/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.f(x)是偶函数 D.不等式f(x-1)≥f(2)的解集是[-1,1)U(1,3引 2.(24-25高一上浙江温州·期末)若幂函数f(x)=x的图象经过点 则函数f(x)具有的性质是() A.在定义域内是减函数 B.图象过点(1,1 C.是奇函数 D.其定义域是R 二、填空题 3.（24-25高一上浙江·期末)己知幂函数y=-3x,则此函数的定义域为 考点03 幂函数的值域 一、多选题 1. (2425高一上江台州期中)如果幂函数到=”的图象过2》， 下列说法正确的有() A.m=1且a=-2 B.f(x)是偶函数 C.f(x是减函数 D.f(x的值域为0，+0) 二、填空题 2.(24-25高一上浙江期中)函数f(x)=√2x-x2的单调递减区间为 ； 值域为 目目 考点04 幂函数的图象及应用 一、单选题 1.(24-25高一上浙江杭州期末)如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为() -2 A.y= B.y=网 D.y=x 3/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高一上浙江金华期末)已知aeR,则函数f)=的图像不可能是() x2+1 B. 3.(24-25高一上浙江·期末)已知实数a,b满足等式a3=b,给出下列五个关系式：①1<b<a;② a<b<-1;③0<b<a<1;④-1<a<b<0;⑤a=b,其中，可能成立的关系式有() A.1个 B.2个 C.3个 D.5个 2425高一上浙江杭州期末)已知幂函数y=X在第一象限内的图象如图所示，若n∈2，-2，)，)厕 与曲线C,C,C,C对应的的值依次为() C CA A.、1 22 B2分2月 11 C222-2 二、多选题 5.(24-25高一上·浙江·期末)下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是() A.幂函数的图象都过(L,1)点 B.幂函数的图象都不经过第四象限 C.幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D.幂函数必定是增函数或减函数中的一种 4/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 6.(24-25高一上浙江杭州期末)有四个幂函数：①f(x)=x；②f()=x2;③f)=x2；④ f(x)=x.某同学绘制了这四个函数的图象如图所：则函数①②③④对应图象序号为 y个AB 目目 考点05 幂函数的性质 一、单选题 1. (24-25高一上浙江温州期末)下列函数中在其定义域内是单调函数的是() A.f(x)=x2 B.f(x)=x 1 C.f(x)= D.f(x)=x2 2.(24-25高一上·浙江宁波·期末)下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是() A.y=-xx∈R) B.y=-x3-x(x∈R) C.y=()"(xeR) D.y=-L(xER, 且x≠0) 3.(24-25高一上浙江杭州期末)若一个幂函数的图像经过点 1 则它的单调增区间是() A.（-o,1 B.(0,+0 C.（-0,0) D.R 4.(24-25高一上浙江·期中)若a∈-2，-1，- '3212,3 111 则使幂函数y=x“为奇函数且在(0，+0)上单 调递减的a值的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(24-25高一上浙江期末)幂函数f(x)=(m2-2m-2x-2在(0，+0)为增函数，则m的值是() A.-1 B.3 C.-1或3 D.1或-3 5/13 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1) ,x≤0 6.(24-25高一上浙江·期末)设函数f(x) 2 ,若∫(x)>2,则x的取值范围是() x2,x>0 A.(-0,-1U(4,+∞ B.（-0,-1 C.4,+0 D.-1,4) 7245资上江发期-，b-.-目 则a,b,c的大小关系是() A.a>c>b B.a>b>c C.cxb>a D.b>c>a 二、多选题 8.（24-25高一上浙江宁波·期末)下列函数是增函数的是() A.y=x3 B.y=x2 C.y=x2 D.y=-x 9.(24-25高一上·浙江宁波期末)己知函数f(x),如果存在不全为零的实数a,b,使得f(x+a)-b为奇 函数，那么f(x)叫做关于(a,b)的“类奇函数”.下列结论正确的有() A.f(x)=x3+1为“类奇函数” B.f(x)=lnx为“类奇函数” C.若f(x)为“类奇函数”，则f(x)可以是偶函数 D.若f(x)是关于(a,b)的“类奇函数”，则f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称图形 10.(24-25高一上·浙江台州期末)己知a>b>c>0,则() A.a+c>b+c B.ac>bc b C.a>- D.a<b a+c b+c 11.(24-25高一上·浙江期末)若a>b>1>c>0,则() A.abe B. C.c“<cb D.log。c>log6c 三、填空题 12.(24-25高一上浙江期中)函数y=(-x2+4x)的单调递增区间是 6/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.（2425高-上浙江宁泼期未)已知幂函数)=×ae{-2-1分3 为奇函数，且在(0，+0)上单 调递减，则= 14.2425高一上浙江杭州期末)设ae123,-, 则使y=x“是偶函数，且在(0，+∞)上单调递增的 a的值是」 15.(24-25高一上浙江杭州期末)若f(x)=x3+2x,则不等式fx2-3)+f1-x)<0的解集是 16.(24-25高一上浙江温州期末)己知函数f(x)=√-x2+ax+1(a∈R)是偶函数，则a=_ ,函 数∫(x)的单调递增区间为」 17.(24-25高一上·浙江宁波期末)已知定义在R上的函数f(x)满足下列两个条件： ①fx+y)=f(x)+fy)-3y(x+y);②x>0,fx+x3>0 请你写出一个符合要求的函数解析式」 18.(24-25高一上·浙江丽水·期末)写出一个为奇函数的幂函数f(x)= 19.(24-25高一上浙江温州·期末)已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)x-2在(0，+0)为减函数，则 f(2)= 20.(24-25高一上浙江绍兴期末)已知f(x)= ogxx之l则ff-2)=一若f(<1,则x的取 -x3,x<1, 值范围是 目目 考点06 二次函数模型解决实际问题 一、单选题 1.(24-25高一上浙江·期中)嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽 最为出名，被誉为“粽子之王”.小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元.若按最低售价出售， 每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个.那么小嘉一天能获得的最大收入 是() A.440元 B.450元 C.460元 D.470元 二、解答题 7/13 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 2.(24-25高一上·浙江杭州·期中)为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术 攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品经测算，该项目月处理 13 -80x2+5040x,x∈120,144) 成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y= 1 2-200x+80000,x∈[144,500 2 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿 (1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不 亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 3.(24-25高一上浙江台州期末)已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量y(台)与销售单价x(元) 之间的关系近似满足一次函数y=-10x+500 (1)设每月获得的利润为W（元)，写出W与x之间的函数关系式： (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应 该为多少？ 4.(24-25高一上浙江台州期末)某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这 种商品在未来40天内的日销售量m(件)与x(天)的关系如表： 时间x(天) 3 6 10 36 日销售量m(件 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格片=4x+25(1≤x≤20且x为整数)，后20天每天的价格 为=弓+40(20<≤40且x为整数). (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量m与时间x(天)之间的关系式： (2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？ (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润（α≤4.5）给希望工程.公司通过 销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间x(天)的增大而增大，求的取值范围， 目目 考点0☑ 分段函数与分式函数模型的应用 、单选题 8/13 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 1.(24-25高一上·浙江杭州期末)某车企生产A型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆A 9 型汽车另需增加投资8x万元，当该款汽车年产量低于400辆时，名？+专)，当年生产量不低手 400辆时，g(x)=16x 360000-3500,若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工 厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为() A.2000万元B.2100万元 C.2200万元 D.2300万元 2.(24-25高一上·浙江嘉兴期末)为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式 如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过300m 2.98元/m3 超过300m3但不超过480m3的部分 3.60元/m3 超过480m3的部分 4.50元/m3 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为() A.610m B.600m3 C.558.7m3 D.462.7m 3.(24-25高一上·浙江·期末)某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价 高峰时间段用电价格表： 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.568 超过50至200的部分 0.598 超过200的部分 0.668 低谷时间段用电价格表： 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.318 超过200的部分 0.388 若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付 9/13 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 电费为()元 A.200.7 B.207.7 C.190.7 D.197.7 二、多选题 4.(24-25高一上·浙江温州期中)根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万 辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下， 大桥上的车流速度（单位：千米小时）是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度 x≥200时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度x≤20时，车流速度为60千米/小时.研究表明：当 20≤x≤200，车流速度是车流密度x的一次函数.规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数， 单位：辆/小时)f(x)=xv(x).下列说法正确的是() A.若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B.若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C.当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D.车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 三、解答题 5.（24-25高一上浙江·期中)为激发当地市场活力，政府决定为某小微企业提供x(万元)的专项补贴.该 企业在收到政府x∈(0,20】（万元）补贴后，产量将增加到。x(万件).同时该企业生产 2x(万件)产品需 x2-14x+70,0<x≤10， 要投入成本∫(x)(万元)关于政府补贴x(万元)满足函数：f(x)= 225105 现以每件 5x+ 10<x≤20. /10+6 元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴成本） (1)求该企业收到补贴后生产所获收益(x(万元)关于政府补贴x（万元)的函数关系式： (2)当政府的专项补贴为多少万元时，该企业所获收益最大？ 6.(24-25高一上·浙江台州期中)经过调研发现，某机器工厂每月生产的机器数量W(单位：台)和成 本x(单位：万元)满足如下关系：W(x)= 19 ,0<x≤3 x+ ,己知该机器的市场售价为1万元/台，且 -x2+9x-5,3<x≤6 供不应求，记工厂每月的利润为f(x)(单位：万元)· (1)求f(x)的函数解析式： 10/13 专题05 幂函数与函数的应用 7大高频考点概览 考点01幂函数的定义 考点02 幂函数的定义域 考点03 幂函数的值域 考点04 幂函数的图象及应用 考点05 幂函数的性质 考点06 二次函数模型解决实际问题 考点07 分段函数与分式函数模型的应用 地 城 考点01 幂函数的定义 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出函数解析式，代入可得答案. 【详解】设，因为幂函数的图象过点，所以， 解得，所以. 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江台州·期末）若幂函数的图象过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入点可求出解析式，即可求出答案. 【详解】由幂函数的图象过点，所以， 解得，故，所以. 故选：D. 3．（24-25高一上·浙江衢州·期末）若幂函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知可得，即可求得的值. 【详解】由已知可得，解得. 故选：C. 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A．-2 B．1 C．2 D．-2或2 【答案】A 【分析】利用幂函数的定义得到，可解得的值，再利用单调性进行检验即可. 【详解】是幂函数， ，， 当时，，此时在上单调递增，舍去； 当时，，此时在上单调递减，满足题意； . 故选：A. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数在上是减函数，则n的值为（    ） A． B．1 C．3 D．1或 【答案】B 【分析】先由函数是幂函数，得到或，再分别讨论，是否符合在上是减函数的条件. 【详解】因为函数是幂函数，则， 所以或. 当时，在上是增函数，不合题意. 当时在上是减函数，成立. 故选：B. 二、多选题 6．（24-25高一上·浙江丽水·期末）下列函数中，为幂函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用幂函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】由幂函数的定义知，和是幂函数， 和不是幂函数，分别是二次函数和指数函数， 故选：AC. 7．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知幂函数为常数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．若，则 C．若，则函数为偶函数 D．若函数的图象经过点，则函数在其定义域上单调递减 【答案】AB 【分析】利用幂函数图象性质判断A；求出函数解析式判断BCD. 【详解】对于A， ，A正确； 对于B，当 时， ，则，B正确； 对于C，当 时， ，为奇函数，C错误； 对于D，若函数的图象经过点，则，函数在其定义域上单调递增 ，D错误. 故选：AB 8．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B．的图象经过点 C．在上单调递增 D．不等式的解集为 【答案】ABC 【分析】根据题意，代入法确定函数解析式，从而依次判断选项即可. 【详解】由幂函数的图象经过点， 则，得，所以幂函数，所以A正确； 又，即的图象经过点，B正确； 且在上单调递增，C正确； 不等式，即，解得，D错误. 故选：ABC. 9．（24-25高一上·浙江·期末）已知幂函数，其中，则下列说法正确的是（    ） A． B．若时， C．若时，关于轴对称 D．恒过定点 【答案】BC 【分析】根据幂函数的定义及性质，即可得到各选项的判断. 【详解】对于A，因为是幂函数，所以，故A是错误的； 对于B，当时，，根据幂函数性质可知，此时是增函数，即，故B是正确的； 对于C，当时，，满足，所以是偶函数，故C是正确的； 对于D，根据幂函数性质可知恒过定点，故D是错误的； 故选：BC. 三、填空题 10．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知幂函数是常数满足，则 . 【答案】10 【分析】将已知点代入函数解析式求出，得到函数解析式，再求即可． 【详解】幂函数为常数， ， ，解得， ， 故答案为： 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知幂函数的图象过点，则 . 【答案】 【分析】先设幂函数的解析式，根据条件确定幂函数的解析式，再求值. 【详解】设，由得，所以. 故答案为： 12．（24-25高一上·浙江·期末）已知幂函数的图象过点，则 ． 【答案】3 【分析】设出幂函数，代入点，解出幂函数，再令求解即可. 【详解】设，代入得，解得，故，. 故答案为：3. 13．（24-25高一上·浙江丽水·期末）若幂函数的图象不经过原点，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】由幂函数定义得，结合指数小于等于0即可求解. 【详解】由题可知，解得，舍去. 故答案为： 地 城 考点02 幂函数的定义域 一、多选题 1．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知幂函数，则下列结论正确的有（    ） A． B．的定义域是 C．是偶函数 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【分析】首先求函数的解析式，再根据幂函数的性质，判断定义域，奇偶性，以及解不等式. 【详解】因为函数是幂函数，所以，得，即， ，故A正确；函数的定义域是，故B不正确； ，所以函数是偶函数，故C正确； 函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确. 故选：ACD 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）若幂函数的图象经过点，则函数具有的性质是（    ） A．在定义域内是减函数 B．图象过点 C．是奇函数 D．其定义域是 【答案】BC 【解析】先由已知条件求出函数解析式，然后对选项依次分析判断即可 【详解】解：因为幂函数的图象经过点， 所以，解得， 所以， 由反比例函数的性质可知，在和上递减，所以A错误； 当时，，所以函数图象过点，所以B正确； 因为，所以为奇函数，所以C正确； 函数的定义域为，所以D错误， 故选：BC 二、填空题 3．（24-25高一上·浙江·期末）已知幂函数，则此函数的定义域为 ． 【答案】. 【分析】根据幂函数的定义，求得，得到，进而求得函数的定义域. 【详解】由幂函数，可得，解得，即， 则满足，即幂函数的定义域为. 故答案为：. 地 城 考点03 幂函数的值域 一、多选题 1．（24-25高一上·浙江台州·期中）如果幂函数的图象过，下列说法正确的有（    ） A．且 B．是偶函数 C．是减函数 D．的值域为 【答案】ABD 【分析】由幂函数定义和所过点可求得，知A正确；利用奇偶性的定义知B正确；根据幂函数在上的单调性，结合偶函数性质知C错误；由幂函数值域知D正确. 【详解】为幂函数，，又过点，，解得：，A正确； 则，定义域为， ，为偶函数，B正确； 当时，单调递减， 由偶函数性质知：在上单调递增，C错误； ，，即的值域为，D正确. 故选：ABD. 二、填空题 2．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递减区间为 ；值域为 ． 【答案】 【分析】首先求出定义域，由复合函数的单调性求法即可求出函数的单调区间；由定义域和函数的单调性可求值域. 【详解】函数有意义，则，解得函数的定义域为， 令，对称轴为，开口向下，所以在上为增函数，在为减函数，又在定义域内为增函数，所以的单调递减区间为； 由，，所以，即， 所以. 故答案为 ；      【点睛】本题考查复合函数的单调区间与值域，复合函数的单调性“同增异减”，注意在求单调区间时先求定义域. 地 城 考点04 幂函数的图象及应用 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对每个选项中的函数一一判断其性质，结合特殊值，即可判断是否符合题意，即得答案. 【详解】对于A，，定义域为，当时，，不符合题意； 对于B，当时，，不符合题意； 对于C，，定义域为，函数为偶函数， 且在上单调递减，在上单调递增，符合题意； 对于D，，当时，，不符合题意， 故选：C 2．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知，则函数的图像不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据含参函数的解析式和函数特殊值判断函数可能的图像. 【详解】根据可知，所以当时，，即，故选项A错误，而当为其他值时，B,C,D均有可能出现. 故选：A 3．（24-25高一上·浙江·期末）已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中，可能成立的关系式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．5个 【答案】C 【分析】在同一坐标系中画出函数和的图像，结合图像即可判断出正确结论. 【详解】在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示： 数形结合可知，在（1）处；在（2）处；在（3）处； 在（4）处；在或也满足，故①②⑤对 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题考查了幂函数的图像，正确画出幂函数和的图像是解题的关键，考查学生的推理能力，数形结合思想，属于基础题. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象与性质，即可求解，得到答案. 【详解】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为： 故选：C. 【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中熟记幂函数在第一象限的图象与性质是解答的关键，属于基础题. 二、多选题 5．（24-25高一上·浙江·期末）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点 B．幂函数的图象都不经过第四象限 C．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种 D．幂函数必定是增函数或减函数中的一种 【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可. 【详解】因为，所以的幂函数都经过，故A正确； 当时，，幂函数的图象都不经过第四象限，故B正确； 的定义域为，为非奇非偶函数，故C错误； 在和上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D错误. 故选：AB 三、填空题 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）有四个幂函数：①；②；③；④．某同学绘制了这四个函数的图象如图所：则函数①②③④对应图象序号为 ． 【答案】 【解析】根据常见幂函数的性质即可得出答案. 【详解】①，②， 则两函数单调递减，当时， 则 ，所以为图像；为图像. ③；④； 两函数为增函数，且上凸， 下凹，所以为图像， 为图像. 故答案为： 地 城 考点05 幂函数的性质 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）下列函数中在其定义域内是单调函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见幂函数的性质依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，函数的定义域为，在上单调递减，在上单调递增，故错误； 对于B选项，函数的定义域为，在上单调递增，满足条件； 对于C选项，函数的定义域为，在定义域内不具有单调性，在和上单调递减，故错误； 对于D选项，函数的定义域为，在定义域内不具有单调性，在上单调递增，在上单调递减，故错误； 故选：B 2．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ） A． B． C． D．，且 【答案】B 【分析】根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案. 【详解】解：对于A选项，，为偶函数，故错误； 对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确； 对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误； 对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误. 故选：B 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若一个幂函数的图像经过点，则它的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】求出幂函数的解析式再求单调增区间即可. 【详解】设幂函数,又图像经过点故.故.其增区间为 故选：C 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式与单调区间,属于基础题型. 4．（24-25高一上·浙江·期中）若，则使幂函数为奇函数且在上单调递减的值的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】本题首先可根据幂函数在上单调递减得出，然后根据奇函数性质依次判断即可. 【详解】因为幂函数在上单调递减，所以， 因为幂函数为奇函数，所以且定义域关于轴对称， 若，则，不满足； 若，则，满足； 若，此时，，不满足， 综上所述，， 故选：A. 5．（24-25高一上·浙江·期末）幂函数在为增函数，则的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得或，分别验证两种情况下在上的单调性即可得到结果. 【详解】为幂函数，，解得：或； 当时，，则在上为减函数，不合题意； 当时，，则在上为增函数，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 6．（24-25高一上·浙江·期末）设函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别在和的情况下，根据解析式构造不等式，解不等式求得结果. 【详解】当时，，，解得：； 当时，，解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：A. 7．（24-25高一上·浙江宁波·期中）设，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数与幂函数的单调性判断的大小关系. 【详解】因为函数在上是增函数，所以，即，又因为函数在上是增函数，所以，所以，故. 故选：C 二、多选题 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）下列函数是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据幂函数的性质判断各选项的单调性即可. 【详解】对于A，函数的定义域为， 函数在上单调递增，A正确； 对于B，函数的定义域为， 函数在上单调递减，在上单调递增，B错误； 对于C，函数的定义域为， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，函数的定义域为， 函数在上单调递增，在上单调递增， 但，D错误； 故选：AC. 9．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数，如果存在不全为零的实数a，b，使得为奇函数，那么叫做关于的“类奇函数”．下列结论正确的有（   ） A．为“类奇函数” B．为“类奇函数” C．若为“类奇函数”，则可以是偶函数 D．若是关于的“类奇函数”，则的图象关于点成中心对称图形 【答案】ACD 【分析】利用新定义，构造函数，根据奇偶性的定义以及性质，结合函数图象变换，逐项判断可得答案. 【详解】对于A，当时，可得，令，因为关于原点对称， ，所以为奇函数，所以叫做关于的“类奇函数”， 故A正确； 对于B，对于，其定义域为，若存在不全为零的实数a，b，使得 为奇函数，设，因为的定义域为， 不关于原点对称，所以不是“类奇函数”； 对于C，若，则为偶函数，则，令， 其定义域为，，所以是奇函数， 所以是“类奇函数”，故C正确； 对于D，若是关于的“类奇函数”，则为奇函数， 设，因为是奇函数，其图象关于对称， 所以的图象关于点成中心对称图形，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对新定义的理解和应用. 10．（24-25高一上·浙江台州·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合幂函数性质逐项判断即得. 【详解】由，得，，AB正确； 显然，即，C正确； 函数在上单调递增，则，D错误. 故选：ABC 11．（24-25高一上·浙江·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对A,B,利用在上单调递增，即可判断；对C，由在上单调递减，即可判断；对D，由在上单调递减，即可判断. 【详解】解：对A， ， 在上单调递增， 又， ，故A正确； 对B，， ， ，故B错误； 对C，， 在上单调递减， 又， ，故C正确； 对D，由换底公式得：，， ， 在上单调递减， 又, 即， ， 即，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高一上·浙江·期中）函数的单调递增区间是 . 【答案】（区间开闭都符合） 【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定结果． 【详解】， 由，解得， 令，当时单调递增，当时单调递减， 又在时单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 13．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则 ． 【答案】 【分析】由幂函数奇偶性和单调性可求出的值. 【详解】因为幂函数为奇函数， 所以或1或3， 又因为幂函数在上单调递减， 所以， 故答案为：. 14．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设，则使是偶函数，且在上单调递增的的值是 ． 【答案】 【解析】利用幂函数的性质，逐项判断即可. 【详解】当时，显然为奇函数，不满足题意； 当时，显然为偶函数，且在上单调递增，满足题意； 当时，显然为奇函数，不满足题意； 当时，定义域为，所以函数是非奇非偶函数，不满足题意； 当时，显然为奇函数，不满足题意； 故答案为：. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则不等式的解集是 ． 【答案】 【解析】利用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用幂函数的单调性可判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性求解即可. 【详解】由，定义域为， ， 所以函数为奇函数， 利用幂函数的单调性可知： 函数为上的增函数， 又， 得， 解得. 故答案为：. 16．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数是偶函数，则 ，函数的单调递增区间为 ． 【答案】 （区间开闭均可） 【分析】根据偶函数的性质求出的值，再求出函数的定义域，由复合函数的单调性求出的单调递增区间. 【详解】因为函数是偶函数， 则，即，所以恒成立， 所以； 所以，则定义域为，又在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为. 故答案为：；（区间开闭均可） 17．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知定义在上的函数满足下列两个条件： ①；②. 请你写出一个符合要求的函数解析式 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知条件写出一个符合题意的函数即可. 【详解】因为， 所以，可得， 设，可得. 因为， ， 所以， 且，符合题意. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对已知条件化简得到，再构造函数. 18．（24-25高一上·浙江丽水·期末）写出一个为奇函数的幂函数 . 【答案】答案不唯一，如： 【分析】根据奇函数的定义，可得答案. 【详解】对于定义域内任意，也在其定义域内，且，则函数为奇函数. 故答案为：答案不唯一，如： 19．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知幂函数在为减函数，则 . 【答案】/0.5 【分析】先利用幂函数的性质求出，即可求出. 【详解】为幂函数，所以，解得：或. 当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数. 所以，所以. 故答案为：. 20．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知则 ；若，则的取值范围是 . 【答案】 3 【分析】先求，再求，即得， 分和两种情况代的解析式，解不等式即可． 【详解】因为， ， 当时，，得， 当时，，得， 故的取值范围是 故答案为：3；. 地 城 考点06 二次函数模型解决实际问题 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·期中）嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（   ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 【详解】设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 二、解答题 2．（24-25高一上·浙江杭州·期中）为加快落实新旧动能转换，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个项目，该项目可以把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品.经测算，该项目月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不盈利，国家将给予补偿. (1)当时，判断该项目能否盈利.如果盈利，求出最大利润；如果该项目不盈利，要使该单位不亏损，则国家需要补偿资金的范围是多少元？ (2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】(1)不盈利，5000元到20000元 (2)400吨 【分析】（1）当时，该项目获利，说明不获利；当，时，取得最大值，要使该单位不亏损，从而得国家需要补偿资金的范围； （2）分段讨论，①当时，求出的最小值；②当时，求出的最小值；比较得每月处理量为多少吨时，能使每吨的平均处理成本最低． 【详解】（1）当时，设该项目获利为， 则， 所以当时，，因此该单位不会获利， 当时，取得最大值-5000， 当时，取得最小值-20000， 所以国家每月补贴的范围是5000元到20000元. （2）由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 ①当时，， 所以当时，取得最小值240； ②当时，， 当且仅当，即时，取得最小值200， 因为200240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低. 3．（24-25高一上·浙江台州·期末）已知某商品的成本价为每台10元，每月的销量（台）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数. (1)设每月获得的利润为（元），写出与之间的函数关系式. (2)规定该商品的单价不能超过25元，如果想要每月获得不少于3000元的利润，那么该商品的售价范围应该为多少? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得与之间的函数关系式； （2）由（1）解二次不等式可得答案. 【详解】（1）依题可知每台商品的销售利润为元，每月的销量为台， 所以每月获得的利润与销售单价之间的函数关系为. （2）由于每月获得的利润不得少于3000元，得， 化简得，解得. 由于销售单价不得高于25元， 故该商品的售价范围是 4．（24-25高一上·浙江台州·期末）某公司生产的某种时令商品每件成本为22元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的日销售量（件）与（天）的关系如表： 时间（天） 1 3 6 10 36 日销售量（件） 94 90 84 76 24 未来40天内，前20天每天的价格（且为整数），后20天每天的价格（且为整数）． (1)请利用一次函数，二次函数，反比例函数的知识，直接写出日销售量与时间（天）之间的关系式； (2)请预测未来40天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少? (3)在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠元利润（）给希望工程．公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间（天）的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)第18天的日销售利润最大，最大日销售利润为450元； (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分和两种情况，根据“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，结合二次函数的性质可得； （3）根据前20天的售价由“总利润=单件利润×销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式结合二次函数的性质和即可. 【详解】（1）通过表格可知m与x之间的关系为一次函数， 设一次函数为，把和代入， 解得， ∴； 把代入检验，，符合题意， ∴日销售量m与时间x（天）之间的关系式为； （2）设销售利润为W元， ①当时，， ∴当时，W有最大值450， ②当时，， ∴当时，W随x增大而减小， ∴时，， ∵， ∴未来40天中第18天日销售利润最大，最大日销售利润为450元； （3）由题意知 二次函数开口向下，对称轴是， 要使日销售利润随时间x的增大而增大，则， ∴， 又， ∴． 地 城 考点07 分段函数与分式函数模型的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 【答案】C 【分析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为，得出函数的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数的最大值，即可求解． 【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值， 因为，所以生产辆时该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故选：C． 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）为了节约能源，嘉兴市对居民生活用天然气实行“阶梯定价”，计费方式如下表： 每户每年天然气用量 天然气价格 不超过 2.98元 超过但不超过的部分 3.60元 超过的部分 4.50元 若某户居民一年的天然气费为2082元，则此户居民这一年使用的天然气为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设天然气费用为使用量的函数，根据题意写出分段函数解析式，先判断对应哪一段，再求解即可. 【详解】设天然气使用量为，天然气费为元， 则， 由于，则, 所以， 解得, 所以天然气使用量为， 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江·期末）某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时段进行分时计价. 高峰时间段用电价格表： 高峰月用电量（单位：千瓦时） 高峰电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 低谷时间段用电价格表： 低谷月用电量（单位：千瓦时） 低谷电价（单位：元/千瓦时） 50及以下的部分 超过50至200的部分 超过200的部分 若某家庭7月份的高峰时间段用电量为250千瓦时，低谷时间段用电量为150千瓦时，则该家庭本月应付电费为（    ）元 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表中数据分段求解电费即可. 【详解】高峰时段电费为元， 低谷时段电费为元， 共计元. 故选：D 二、多选题 4．（24-25高一上·浙江温州·期中）根据官方最新统计，截至2025年1月温州市机动车保有量为341.2万辆，这不仅反映了人们的生活水平不断提高；同时也对城市基础设施带来了极大的挑战，在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当，车流速度是车流密度的一次函数．规定车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）．下列说法正确的是（   ） A．若车流密度为50辆/千米时，则车流速度为50千米/小时 B．若车流密度为50辆/千米时，则车流量为2500辆/小时 C．当车流密度为200辆/千米时，车流量可以达到最大值 D．车流量最大值可以达到约为3333辆/小时 【答案】ABD 【分析】根据题意用分段函数并结合待定系数法求出函数的关系式即可判断A，再由题意得到的解析式，代值即可判断B，最后根据分段函数求得最值即可判断C，D． 【详解】由题意，当时,； 当时，设 由已知得， 解得， ∴； 所以时，，故A正确； 由上可得， 时，，故B正确； ①当时，为增函数， ∴当时，取得最大值，且最大值为 ， ②当时，， ∴当时，取得最大值，且最大值为．， 所以的最大值为， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，且最大值为3333辆/小时，故C错误，D正确； 故选：ABD. 三、解答题 5．（24-25高一上·浙江·期中）为激发当地市场活力，政府决定为某小微企业提供（万元）的专项补贴.该企业在收到政府（万元）补贴后，产量将增加到（万件）.同时该企业生产（万件）产品需要投入成本（万元）关于政府补贴（万元）满足函数：现以每件元的价格将其生产的产品全部售出.（注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本） (1)求该企业收到补贴后生产所获收益（万元）关于政府补贴（万元）的函数关系式； (2)当政府的专项补贴为多少万元时，该企业所获收益最大？ 【答案】(1) (2)15（万元） 【分析】本题考查分段函数的实际应用，解题思路是先根据收益的计算公式分别求出不同区间内的收益表达式，再综合得到的函数关系式，再利用二次函数的性质和基本不等式得到在不同区间上最大值，再把两个比较得到的最大值. 【详解】（1）由题意， （2）由（1）知，当时，，则当万元时，最大，其最大值为16万元； 当时，，且当， 即：万元时，最大，其最大值为万元. 所以当（万元）时，该企业获利最大，为万元. 6．（24-25高一上·浙江台州·期中）经过调研发现，某机器工厂每月生产的机器数量（单位：台）和成本（单位：万元）满足如下关系：．已知该机器的市场售价为1万元/台，且供不应求，记工厂每月的利润为（单位：万元）． (1)求的函数解析式； (2)当成本为多少万元时，该工厂每月的利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)； (2)当成本为1万元时，该工厂每月的利润最大，最大利润是16万元． 【分析】（1）由利润=销售额-成本，得函数关系式； （2）结合二次函数的性质及基本不等式求出各段的最大值，比较大小，即可求出分段函数的最值. 【详解】（1）由题意可得； 所以 （2）当时，， ， 当且仅当即时等号成立，此时， 当时，为开口向下的抛物线，其对称轴为， 所以当时，， 综上所述：当成本为1万元时，该工厂每月的利润最大，最大利润是16万元． 7．（24-25高一上·浙江温州·期中）某书店销售一款文化纪念册，每年销售x千册，需要投入年固定成本10万元，另外投入流动成本万元，且，，每千册纪念册售价为10万元，且当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年销售量（千册）的函数解析式； (2)年销售量为多少千册时，该纪念册的年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1)， (2)6，最大利润为万元. 【分析】（1）根据“年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得. （2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案. 【详解】（1）， （2）当时，， 由对称轴知在递增，. 当时，. 当且仅当时等号成立， 而，由， ，， 所以当时，. 即当年销量为6千册时，该纪念册的年利润最大，最大年利润为万元. 8．（24-25高一上·浙江·期末）某企业计划生产某种新型的电子设备，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产试销.通过市场分析发现，生产此款电子设备全年需投入固定成本120万元，每生产千套电子设备，需另投入成本万元，且，假设每千套电子设备售价定为500万元，且全年内生产的电子设备当年能全部销售完. (1)求全年的利润万元关于年产量千套的函数关系式（利润=销售额成本）； (2)当全年产量为多少千套时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)全年产量为40千套时，企业所获利润最大，且最大利润为4080万元. 【分析】（1）根据给定信息，利用利润的意义求出解析式. （2）由（1）的结论，利用二次函数、基本不等式分段求出最大值并比较大小即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，，当时，万元； 当时，， 当且仅当时，即时，万元，而， 所以全年产量为40千套时，企业所获利润最大，且最大利润为4080万元. 9．（24-25高一上·浙江·期末）某工厂对甲产品进行促销活动，甲产品的年销售量（该厂的年产量为年销售量）万件与促销费用万元满足.已知生产甲产品的固定投入为9万元，每生产1万件甲产品需要再投入25万元，工厂将甲产品的销售价格定为甲产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，甲产品年平均成本）． (1)写出甲产品的年利润关于年促销费用的函数； (2)该工厂投入年促销费用多少万元时，该工厂的利润最大？ 【答案】(1) (2)10万元 【分析】（1）求出销售总收入，减去总支出可得利润表达式； （2）利用二次函数和基本不等式分别求出两段函数的最大值，比较大小可得最大利润. 【详解】（1）已知生产甲产品的固定投入为9万元，每生产1万件甲产品需要再投入25万元，年销售量为万件，则产品成本为万元. 工厂将甲产品的销售价格定为甲产品年平均成本的2倍，年平均成本为万元， 所以销售价格为万元. 销售收入为万元，产品成本为万元，促销费用为万元， 则 当时，，代入上式可得：， 此时，； 当时，代入上式可得：， 此时，； 因此，甲产品的年利润关于年促销费用的函数为 . （2）当时，对于二次函数， 其二次项系数，函数图象开口向下，对称轴为， 所以当时取得最大值，; 当时，， 由于在上单调递减， 当时取得最大值，; 因为，所以当时，取得最大值247． 因此，该工厂投入年促销费用10万元时，该工厂的利润最大. 10．（24-25高一上·浙江·期末）某商家利用电商平台销售一种季节性电子产品，已知该产品的成本为每件40元，销售单价（元）与日销售量（件）的对应关系如下表所示（销售单价不低于成本且不高于100元且变量与变量成一次函数关系）： 销售单价（元） 50 60 70 日销售量（件） 100 80 60 该平台为了促进销售，决定当销售单价不超过65元时，向商家提供每件2元的物流补贴；当销售单价超过65元时，不再提供补贴.设该产品的商家日利润为（元）. (1)求与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (2)求与之间的函数关系式： (3)当销售单价为多少元时，日利润最大？最大日利润是多少元？ 【答案】(1)，； (2)； (3)销售单价为元，日利润的最大值元. 【分析】（1）设出一次函数关系，利用选定系数法求出解析式，并求出自变量的范围. （2）利用给定关系，结合（1）的结论分段求解. （3）分段求出最大值，再比较大小即得. 【详解】（1）依题意，设，由及， 得，解得，则，显然也满足， 因此，由，得，解得， 所以所求函数关系式为，. （2）由（1）知，， 由，得，， 由，得，， 所以所求函数关系式为. （3）当时，，当且仅当时取等号； 当时，在上单调递减，则当时，， 而，因此当，即时，， 所以当销售单价为元时，日利润取得最大值元. 11．（24-25高一上·浙江宁波·期末）当x取何范围时，有最大值？并求出最大值． 【答案】时有最大值为1 【分析】将绝对值函数进行分类讨论，分别求每一段上函数的最大值，最后取它们的最大值即得. 【详解】由得，由得，对解析式进行分类讨论： ①当时，； ②当时，，则； ③当时，. 综上可知：当时， 的最大值为1. 12．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）我国是用水相对贫乏的国家，据统计，我国的人均水资源仅为世界平均水平的．因此我国在制定用水政策时明确提出“优先满足城乡居民生活用水”，同时为了更好地提倡节约用水，对水资源使用进行合理配置，对居民自来水用水收费采用阶梯收费．某市经物价部门批准，对居民生活用水收费如下：第一档，每户每月用水不超过立方米，则水价为每立方米元；第二档，若每户每月用水超过立方米，但不超过立方米，则超过部分水价为每立方米元；第三档，若每户每月用水超过立方米，则超过部分水价为每立方米元，同时征收其全月水费的用水调节税．设某户某月用水立方米，水费为元． (1)试求关于的函数； (2)若该用户当月水费为元，试求该月的用水量； (3)设某月甲用户用水立方米，乙用户用水立方米，若之间符合函数关系：．则当两户用水合计达到最大时，一共需要支付水费多少元？ 【答案】(1) (2)立方米 (3)元 【分析】（1）根据题意分类讨论可得函数解析式；（2）结合（1）中的函数解析式，代入求解；（3）根据题意整理可得，结合二次函数的性质运算求解. 【详解】（1）因为某户该月用水立方米， 按收费标准可知，当时，； 当时，； 当时，． 所以 （2）由题可得，当该用户水费为元时，处于第二档， 所以， 解得． 所以该月的用水量为立方米． （3）因为， 所以． 当时，，此时． 所以此时两户一共需要支付的水费是元． 13．（24-25高一上·浙江宁波·期末）通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设f（t）表示学生注意力随时间t（分钟）的变化规律（f（t）越大，表明学生注意力越集中）经过实验分析得知：． (1)讲课开始后第5分钟与讲课开始后第25分钟比较，何时学生的注意力更集中？ (2)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？ (3)一道比较难的数学题，需要讲解25分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？ 【答案】(1)讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中 (2)讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 (3)不能 【分析】（1）分别求出比较即可； （2）由的单调性得出最大值，从而得出学生的注意力最集中所持续的时间； （3）由的解，结合的单调性求解即可. 【详解】（1）因为， 所以讲课开始25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中． （2）当时，是增函数，且． 当时，是减函数，且． 所以讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能持续10分钟 （3）当时，令，则． 当时，令，则． 则学生注意力在180以上所持续的时间为． 所以老师不能在学生达到所需要的状态下讲授完这道题． 14．（24-25高一上·浙江·期末）2020年初新冠肺炎袭击全球，严重影响人民生产生活．为应对疫情，某厂家拟加大生产力度．已知该厂家生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产千件，需另投入成本．当年产量不足50千件时，（万元）；年产量不小于50千件时，（万元）．每千件商品售价为50万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完． （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）60，280万元 【分析】（1）可得销售额为万元，分和即可求出； （2）当时，利用二次函数性质求出最大值，当，利用基本不等式求出最值，再比较即可得出. 【详解】（1）∵每千件商品售价为50万元．则x千件商品销售额万元 当时， 当时， （2）当时， 此时，当时，即万元 当时， 此时，即，则万元 由于 所以当年产量为60千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为280万元． 【点睛】关键点睛：本题考查函数模型的应用，解题的关键是理解清楚题意，正确的建立函数关系，再求最值时，需要利用函数性质分段讨论比较得出. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $