专题04 函数的概念及其性质（期末真题汇编，浙江专用）高一数学上学期

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题04函数的概念及其性质 ☆7大高频考点概览 考点01定义域 考点02值域 考点03对应法则 考点04分段函数 考点05单调性 考点06奇偶性 考点07对称性与周期性 目 考点01 定义域 一、单选题 1.(24-25高一上·浙江期未)函数f(=1-x 的定义域为() A.1,too) B.-l+∞) c.（-∞， D.（-∞，-刂 2.(2425高-上浙江台州期末)西数到--2的定义域是《) A.(0,+oj B.(2+) C.12.+) D.（-o,2U(2,+oj 3.（24-25高一上浙江期末)图数401 02-+(x+2少 的定义域为() （-∞，2)U(2,+0) B.0,-2U(-2,2)c.（←，2)D.-m,2) ()=V1-2+1 4.(24-25高一上浙江·期末)函数 √x+2的定义域是() A.(-20 B.2 c.（-0,-2U(-2,01 D.（←0，-2U(-2,1 1/21 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25高一上浙江杭州期末)已知函数f(的定义域为-1，山，则函数 =》fx-2的定 义域为() A.(02 B.(12 C.(2,3) D.(-1, 24-25高一上浙江·期末)若函数y=的定义域为04，则y= x-1的定义域为() B 二、多选题 7.(2425高一上浙江金华期末)已知函数的定义域为1，+四)，值域为R,则() A函数fr+)的定义域为R B.函数r+-1 的值域为R e+1 C.函数 e 的定义域和值域都是RD.函数f(f(x)的定义域和值域都是R 三、填空题 8.(2425高-上浙江湖州期未)函数=2-干的定义坟是一 43x2 (24-25高一上浙江期末)函数1-2xx+1的定义域 10.(24-25高一上·浙江·期末)函数y=V12-8x-4x 的定义域是一，函数y=2x-Vx+1(x>3列的值 域为一 1Ⅱ.(2425高-上浙江期未)若函数y=f的定义域是L.3引，则函数g)-2 x-1 的定义域是一 x2+2x-1 12.(24-25高一上浙江期未)已知函数'= 、x2+x-1的定义域是[L,+o),则函数y=f(x)的定义域 2/21 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 是一 13.(24-25高一上浙江杭州期中)若函数y=f1-州的定义域是-3，-，则3"的定义域是 四、解答题 e42高-上浙方读期和设全黄4-c4w-2+90a>g8=- )若=2，求 A∩B,AUB (2)若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 15.(24-25高一上浙江嘉兴期末)已知函数fw)=+2+3-x 的定义域是集合A,集合 B=x m<x<m+9 (1)若m=0求4nB,40B, ； B∈CA (2)若 求实数m的取值范围. 考点02 值域 一、单选题 1.(24-25高一上浙江绍兴·期末)值域 0,+0)的函数是 1 A.y=x2 B.y=3 C.y=log:x D.y=x-i 1 2.(2425高一上浙江温州期末)已知函数()=x+2,则f)的值域是(） D.(0,+∞) 3。(24-25高一上浙江杭州期末)若函数/满足≤f)≤如<) f(x) ,定义“的最小值为的值 f(x) 域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是() 3/21 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 4x A.f(x)=V√-x2+2x+3 B.f(x)=2- C.f=2+4D. f(x)x+1川-|x 二、填空题 4.(24-25高-一上浙江杭州期末)已知集合M=r-4+3<0,N=少=k-2.x∈M,则N=_ ;M∩N=. 5.(24-25高一上浙江·期末)函数y=6r+12x+10 x2+2x+2 的最小值为一 6.(2425高-上浙江客兴期末)函数=-的值城为一 7.(24-25高一上浙江期未)函数y=-2x-3的值域是一 8.(24-25高一上·浙江宁波期末)函数'=X-2+V7-3x 值域是一· 9.(24-25高一上浙江期末)函数f=3r-2x+4 x 在(0，+o)上的值域为一 1 10.(24-25高一上·浙江杭州·期末)函数f(x)= +r的值域是 2x2+4x+2 山.(24-25高一上浙江宁波期中)函数'= x2+1的值域为一 12.(24-25高一上浙江期末)函数fd=V2x-可 的定义域为一；值域为一· 三、解答题 13.(24-25高一上浙江丽水期末)已知函数)=-x+,m”为实数 ()当*∈[m,m+1 时，求的的最小借8 g(m) x∈l,n川f(x+t)≤x (2)若存在实数，使得对任意实数 都有 成立，求”的取值范围。 14.(24-25高一上·浙江·期末)如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知 4/21 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 函数f()=Var+br+a+l的定义域为xar+hr+a+1≥0且x≥0. （1)若a=-2,b=3,求的定义域： ()当a=1时，若为“同域函数”，求实数b的值 (D若存在实数4<0且a≠-】，使得八刊为“同域函数”，求实数b的取值范围 15.(24-25高一上·浙江杭州期末)求下列两个函数的值域： 2x2-x+1 (1)y= x2-x+1; (2)y=x+V2.x+1 目目 考点03 对应法则 单选题 f(x)g(x)h(x) 1.(24-25高一上浙江丽水期末)己知， 为一次函数，若对实数”满足 2x-1,x<- 0+--6+1-r< 2 3,则 的表达式为() 5r2 -3 f(x) A.09=x-2 f(x)=x+2 B. C.f=-x-2 D.f=-x+2 2.（2425高-上浙江金华期末)已知对任意正实数，2=4f,且x∈，2时， -方引期当92调时《) 5/21 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.fx=128,使得=2 x为12和18 B.f八x=128,使得=32的x为18 C.f=12,使得f儿=32的x为12和18 D.=12,使得八=32的x为12 3.(2425高一上浙江期末)设函数f(为一次函数，且[(]=4x-3,则f=（) A.3或1 B.1 C.1或-1 D.-3或1 4。(2425高一上浙江温州期末)定义函数序列：(-八-x,(到=小， 5(x)=f万小，.，()=f(f(,则函数y=n()的图象与曲线y=x-2019的交点坐标为 1 °-2018 D. 〔2307j 5.(2425高一上浙江期中)已知函数x+)=-少，则0 的解析式为() A.f(刘=x2 B.f)=(x-2}2 C.f)=x2-1 D.f)=(c+12 6.（2425高-上浙江宁淡期中)设面数中-2x+1,则1的表达式为() A B. C. 2x D.x+ix≠- 7.(2425高-上浙江金华期末)已知0x-10=-2r+3,则8)=（) A.6 B.3 C.11 D.10 6/21 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 f2=4 f4=4 8.(24-25高一上浙江杭州期末)已知函数y=f),x∈R,且f(0)=3,f0),f(2), f6=4. f2n)=4 f（4),…,f(2n-2),n∈N*,则函数y=f(x)的解析式可以是() A.f0=3×2 B.f)=3x4 C.f)=3x8 D.J(x)=4 二、多选题 9.(24-25高一上浙江·期末)一位报童手持100份“人工智能报”在某校门口叫卖，“卖报，卖报，一 元五角一份（人工智能报》”，报童能写出所卖报纸的份数（销售量x)与所得款数（销售额y)之间的函 数关系，但不会表达函数的定义域与值域，写了以下4种表达，你认为表达正确的是() A.y=1.5xxe0.1,23.100ye0,1.53,45150y B.y=1.5xx∈[0,100，y∈0,150] C.y=1.sxx∈0,10o,y∈0,1s01,xyeN ,日 D.y=1.5xx∈，2,3103，y∈1.53,45150y 三、填空题 10.(24-25高一上·浙江宁波·期末)在平面直角坐标系中，已 4-2,0,B2.0,.C0,D三点，请写出2个 函数关系式或曲线的方程，使函数图象或方程的曲线经过A,B,C三点：一，一 1.(24-25高一上浙江杭州期末)已知区间0,1)。 中的实数m在数轴上的对应点为M，如图1；将线段 AB围成一个圆（端点A,B重合），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点 A的坐标为0,1，如图3.直线AM与x轴交于点Nn,0,把m与”的函数关系记作”=fm,则方程 fx刘=-1 的解是x=一 7/21 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A(B) A M B→ 0 m N O 图① 图② 图③ 12.(2425高一上浙江期末)函数f-1)=+1,则f) 一（注明定义域） 1.(2425商-上江杭州期末)若f-)=+2G,则) 四、解答题 f(x).f(x+1)-f(x)=2x+2 f(x) 14.(24-25高一上·浙江·期末)已知二次函数 、满足 ,且1 的图象经过点 A(L,-6) f(x) (1)求 的解析式； (2)若x-2,2] (x)≤mx 不等式 恒成立，求实数m的取值范围， 目目 考点04 分段函数 一、 单选题 [2x+1,xm2 1.(24-25高一上·浙江宁波·期末)已知 (x)= f(x-1),x>2,则3)=() A.3 B.5 C.7 D.9 [2,x≤0 2.(2425高一上浙江温州期末)已知函数f)= x3+1,x>0,则ff(-1]是() A.0 B.1 C.2 D.4 3x-1(x≤1) 3.(2425高一上浙江杭州期末)设函数f)=2>),则f2=（) 8/21 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.2 B.3 C.4 D.5 3-1,x≤1 42425商-上浙江幕兴期末)已痴西数儿5/1x-xo1,斯=() 1 A.4 B. C.2 D.4 二、填空题 2 5.(24-25高一上·浙江丽水·期末)已知函数 fx刘=-x≤0 x,x>0，则f(f(-)=— 6.(24-25高一上·浙江绍兴·期末)已知函数()=/x-x≥0 x+1x<0,则f[f(-1)=一；若f(a)=f(a+1), 则a=一 -x+6,x≤2 7.(24-25高一上浙江期末)若函数()= 3+log。x,x>2（a>0且a≠1)的值域为[4，+o),则f0=- ；实数a的取值范围为一· [-x+1+1,x≤0， 8.(24-25高一上浙江嘉兴·期末)已知函数 (x)=1 2x>0, 则f)的最大值是一· 。2425商上商江抗州别对于空华合足文"，国北.若物≥号碧 B=(a,2a,且存在x∈R,0,)+0,=2,则实数“的取值范围是 0.(24-25高一上浙江宁波·期末)设函数八=+风 x≤0 =2x+k+,>0,若函数的最小值为贺1，则 实数m的取值范围为一 9/21 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.(24-25高一上浙江期末)设0= Vx,0<x<1, 2(x-),x2l,若fa)=f(a+1),则f(a)=一… .1 1 12.(24-25高一上·浙江杭州期末)已知函数 f(x)= 若存在 ,使得 X<X x)=),则f)的取值范围为 x,x<m f(x)= 13.(24-25高一上·浙江·期末)已知函数 x2+4x,x≥m,且对任意的p<m,存在g>m,使得 f(p)+f(9)=0 则实数”的取值范围是一。 三、解答题 14.（24-25高一上浙江丽水期末)新定义：若存在满足，》=，且G)≠，则称为函数 1 x+1,0≤x≤a 的次不动点.已知函数f(x)= 其中 (x-a),a<x≤1 f(x) 1-a 0<a<1 ()当a=2时，判断5是否为函数f()的次不动点，并说明理由： ff()) f(x)[0,可 (2)求出 的解析式，并求出函数 在上的次不动点 15.(24-25高一上浙江期末)已知函数0=r-+21-2,8)=2-1,函数 F(x)=minf(x),g(x) 其中min(pBg= p,p≤q q,p>9 (1)若f)≥21-4恒成立，求实数1的取值范围： (2)若t≥6， 10/21 专题04 函数的概念及其性质 7大高频考点概览 考点01定义域 考点02 值域 考点03 对应法则 考点04 分段函数 考点05 单调性 考点06 奇偶性 考点07 对称性与周期性 地 城 考点01 定义域 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义域的求法求解； 【详解】要使函数有意义，则，得，所以函数的定义域为． 故选：C． 2．（24-25高一上·浙江台州·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得，求解即可. 【详解】依题意可得，解得， 所以函数的定义域是. 故选：B. 3．（24-25高一上·浙江·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的函数，直接列出不等式组求解作答. 【详解】函数有意义，则有，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：B 4．（24-25高一上·浙江·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0即可求解. 【详解】解：由题意，，即， 所以， 所以函数的定义域为， 故选：A. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意有，解不等式即可． 【详解】函数的定义域为，则对于函数， 应有，解得， 故的定义域为． 故选：B． 6．（24-25高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 二、多选题 7．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】BC 【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令， 求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为， 故选项A不正确； 对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确； 对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确； 对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确， 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是已知的定义域，可以先求的定义域，再由的定义域求的定义域. 三、填空题 8．（24-25高一上·浙江湖州·期末）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的定义进行求解即可. 【详解】由二次根式的定义可知：， 所以该函数的定义域为：， 故答案为： 9．（24-25高一上·浙江·期末）函数的定义域 ． 【答案】 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可． 【详解】由可得： 解得：，且 ， ∴函数的定义域为：， 故答案为： 10．（24-25高一上·浙江·期末）函数的定义域是 ，函数的值域为 ． 【答案】 【分析】①由解不等式，即可求出定义域；②利用换元法，令，，将原函数转化为关于的二次函数，求值域即可. 【详解】①由，得，解得， 故函数的定义域是. ②令，，则， 所以原函数可化为，其对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：①；② 【点睛】方法点睛：(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)．②解不等式(组)．③写出函数的定义域(注意用区间或集合的形式写出)． (2) 函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法求函数的值域． 11．（24-25高一上·浙江·期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【解析】由函数的定义域，得出的取值范围，结合分母不等于0，可求出的定义域． 【详解】函数的定义域， 函数应满足： 且 的定义域是． 故答案为：． 12．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】令，根据函数值域的求解方法可求得的值域即为所求的的定义域. 【详解】令， 则， 在上单调递增，，，， 的定义域为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：已知的定义域，求解定义域的基本思路为：的值域即为的定义域. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期中）若函数的定义域是，则的定义域是 【答案】 【分析】先求出的定义域为，再解不等式即得解. 【详解】由题得， 所以， 所以的定义域为， 由题得， 所以. 因为， 所以的定义域是. 故答案为 【点睛】本题主要考查复合函数的定义域的求法，考查对数函数单调性的应用和对数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 四、解答题 14．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设全集． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1），；（2）. 【分析】由函数定义域得集合B及，解含参的一元二次不等式求集合A， （1）由已知写出集合A及，再利用集合的交、并运算求即可. （2）由充分必要关系可得，结合题设，即可求a的取值范围． 【详解】由题设，，则或， 由恒成立，则或， （1）时，或，则， ∴，. （2）由题意，，而， ∴，可得， ∴综上，a的取值范围. 15．（24-25高一上浙江嘉兴·期末）已知函数的定义域是集合，集合. （1）若.求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）{m|m≤－11或m≥3}． 【分析】（1）根据函数的解析式有意义可求出集合A，根据集合交集，并集的定义即可运算求解； （3）写出集合A的补集，根据B⊆，建立关于集合端点的不等式即可求解． 【详解】（1） ∴ 所以函数f(x)的定义域为 A＝}， 若 ，则 ， （2）或∵B⊆， ∴m＋9≤－2，或m≥3， ∴m的取值范围是{m|m≤－11或m≥3}． 地 城 考点02 值域 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）值域为的函数是 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依次计算值域：A值域为；B值域为；C值域为；D值域为；得到答案. 【详解】A. ，值域为，满足；B. 值域为； C. 值域为；D. 值域为； 故选： 【点睛】本题考查了函数的值域，意在考查学生的计算能力. 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用直接法求值域即可求解. 【详解】因为， 所以 所以， 即的值域是． 故选：C 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若函数满足，定义的最小值为的值域跨度，则是下列函数中值域跨度不为2的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据函数解析式，利用根式非负性、绝对值的区间讨论、分式的性质求值域，即可判断正确选项. 【详解】A选项：，所以，值域跨度为2； B选项：，所以，值域跨度不为2； C选项：当时；当时，；当时，；故，值域跨度为2； D选项：，故，值域跨度为2； 故选：B 【点睛】本题考查了根据解析式求值域，注意根式、指数函数、对勾函数、绝对值的性质应用，属于基础题. 二、填空题 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知集合，，则 ； . 【答案】 【解析】求出集合，根据绝对值函数的性质可得出集合，再利用交集的定义可求出集合. 【详解】，当时，，则， 则，所以，. 故答案为：；. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也涉及了一元二次不等式与绝对值函数值域的求解，考查运算求解能力，属于基础题. 5．（24-25高一上·浙江·期末）函数的最小值为 ． 【答案】4 【解析】由，可得，根据可得结果. 【详解】函数的定义域为R， ， 由，可得， ∴ ∴函数的最小值为4 故答案为：4 【点睛】本题考查二次分式函数的值域，考查常数分离法，考查二次函数的值域，属于中档题. 6．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）函数的值域为 . 【答案】 【分析】令，则，将原函数转化为关于的二次函数，再由二次函数的性质即可求得值域. 【详解】令，则， 所以， 所以当即时，取得最小值，无最大值， 所以函数的值域为， 故答案为：. 7．（24-25高一上·浙江·期末）函数的值域是 ． 【答案】． 【分析】求出函数定义域，结合二次函数性质可得． 【详解】，解得或，在此条件下，． 故答案为：． 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【解析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域. 【详解】设，则， 所以原函数可化为：， 由二次函数性质，当时，函数取最大值，由性质可知函数无最小值， 所以值域为：. 故答案为：. 9．（24-25高一上·浙江·期末）函数在上的值域为 ． 【答案】 【解析】本题首先可将函数转化为，然后根据基本不等式即可得出结果. 【详解】， 因为， 所以，当且仅当时取等号， 则函数在上的值域为， 故答案为：. 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的值域是 . 【答案】（0，1] 【解析】反解，求函数的值域. 【详解】，变形为，即， ，，即，解得：， 所以函数的值域是. 故答案为： 11．（24-25高一上·浙江宁波·期中）函数的值域为 . 【答案】 【解析】将函数变形为关于的方程，分析二次项的系数并结合与的关系求解出的取值范围，从而值域可求. 【详解】因为，所以，所以， 当，即时，此时； 当，即时，此时，所以， 综上可知：，所以的值域为， 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用判别式法求解函数值域需要注意的事项： （1）原函数中分子分母不能约分； （2）原函数的定义域为实数集. 12．（24-25高一上·浙江·期末）函数的定义域为 ；值域为 ． 【答案】 【解析】根据二次根式被开方数非负可求得原函数的定义域，进而可求得原函数的值域. 【详解】对于函数，有，解得，且有 因此，函数的定义域为，值域为. 故答案为：；. 三、解答题 13．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数，为实数. (1)当时，求的最小值； (2)若存在实数，使得对任意实数都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据题意将二次函数配成顶点式,画出函数图像.通过对分类讨论,即可确定在不同区间内的最小值. （2）根据函数解析式,代入求得,再代入不等式中可得关于的二次不等式.构造函数,即分析对任意实数成立即可.由二次函数性质可知需满足.得不等式组后,可利用求得的取值范围.则在此范围内有解即可.构造函数,即在时有解即可.根据二次函数的对称、与y轴交点情况,分类讨论即可求得n的取值范围. 【详解】（1）函数 对应函数图像如下图所示: (ⅰ)当即时,, (ⅱ)当即时,, (ⅲ)当时,. 综上, （2）因为 则 因为 代入得,变形可得 令,即对任意实数,成立 由二次函数性质可得,代入可得 关于t的不等式组有解即可, 解不等式可得 在上有解即可 令 因为,所以,所以函数与y轴交点位于y轴正半轴 (ⅰ)当对称轴位于左侧时,满足即可,也就是,解不等式组可得, (ⅱ)当对称轴位于之间时,满足即可,也就是,解得 (ⅲ)当对称轴在右侧时,即 时,函数在时无解. 综上可知 又因为,   ∴n的取值范围是 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质的综合应用,分类讨论思想的综合应用,属于中档题. 14．（24-25高一上·浙江·期末）如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”.已知函数的定义域为且. （Ⅰ）若，，求的定义域； （Ⅱ）当时，若为“同域函数”，求实数的值； （Ⅲ）若存在实数且，使得为“同域函数”，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）当，时，解出不等式组即可； （Ⅱ）当时，，分、两种情况讨论即可； （Ⅲ）分、且、且三种情况讨论即可. 【详解】（Ⅰ）当，时，由题意知：，解得：. ∴的定义域为； （Ⅱ）当时，， （1）当，即时，的定义域为，值域为， ∴时，不是“同域函数”. （2）当，即时，当且仅当时，为“同域函数”. ∴. 综上所述，的值为. （Ⅲ）设的定义域为，值域为. （1）当时，，此时，，，从而， ∴不是“同域函数”. （2）当，即， 设，则的定义域. ①当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，， 又∵，∴的取值范围为. ②当，即时，的值域. 若为“同域函数”，则， 从而，     此时，由，可知不成立. 综上所述，的取值范围为 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是理解清楚题意，能够分情况求出的定义域和值域. 15．（24-25高一上·浙江杭州·期末）求下列两个函数的值域： （1）； （2）. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）将函数化为关于的方程，是参数，使得方程有解的的取值范围即为值域； （2）令，，则函数化为，利用二次函数的性质可求出. 【详解】（1）函数化为， 可知关于的该方程一定有解， 当时，，满足题意， 当时，则， 解得且， 综上，， 的值域为； （2）令，，则， （）， 当时，，无最大值， 的值域为. 【点睛】本题考查判别式法和换元法求函数值域，属于基础题. 地 城 考点03 对应法则 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知，，为一次函数，若对实数满足，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由绝对值的意义分析可得函数和的根为和，然后按的符号分4种情况讨论，求出的解析式即可. 【详解】由可知函数的分段点为和， 而函数，，为一次函数，所以可得函数和的根为和， 假设的根为，的根为， 分4种情况讨论： （1）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （2）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （3）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， （4）时，，时，， 当时，， 当时，， 两式相加可得， 综上可得 故选：B 2．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知对任意正实数，，且时，，则当时，（    ） A．，使得的为12和18 B．，使得的为18 C．，使得的为12和18 D．，使得的为12 【答案】C 【解析】由时，，求出，，，，时的解析式，即可画出时的函数图像，根据图像可得结果. 【详解】因为，当时，有； 当时，有； 当时，有； 当时，有， 则当时图像，如图所示， ， 要，则或， 则或， 解得：为12和18， 故选：C. 【点睛】本题考查函数解析式的求解，数形结合研究函数性质的问题，关键是要把函数图像画出来，是中档题. 3．（24-25高一上·浙江·期末）设函数为一次函数，且，则（    ） A．3或1 B．1 C．1或 D．或1 【答案】B 【解析】利用待定系数法设一次函数，代入等式求解，求出函数解析式. 【详解】设一次函数， 则， ， ， 解得或， 或， 或. 故选：B. 【点睛】此题考查利用待定系数法求函数解析式，涉及多项式相等对应项系数相等建立方程组，准确计算即可求解. 4．（24-25高一上·浙江温州·期末）定义函数序列:，，， ，，则函数的图象与曲线的交点坐标为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察式子可得，函数序列应满足的基本递推关系，可先通过递推前几项，进而求出的表达式，再联立函数与曲线进行求解即可 【详解】本题主要考查函数的概念与图象． ， ， ， ， 所以函数， 要求函数的图象与曲线的交点坐标， 则可令， 解得（舍去）或， 将代入得， 所以函数的图象与曲线的交点坐标为 故选A 【点睛】本题考查由函数的概念求函数解析式，求函数交点坐标，根据递推式找出规律是关键，属于中档题 5．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】换元令，则，代入已知，即可得出答案. 【详解】令，则， 由已知可得，， 故的解析式为：． 故选：B． 6．（24-25高一上·浙江宁波·期中）设函数，则的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，则可得，然后可得答案. 【详解】令，则可得 所以，所以 故选：B 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数解析式的求法，主要涉及了用换元法，要注意换元后的取值范围，考查学生的转化与化归能力，属于基础题. 7．（24-25高一上·浙江金华·期末）已知，则（    ） A．6 B．3 C．11 D．10 【答案】C 【解析】利用拼凑法求出解析式，即可得出所求. 【详解】， ， . 故选：C. 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，，且，，，，…，，，则函数的解析式可以是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中条件，先求出，再由换元法，即可求出结果. 【详解】因为，，，，…，， 以上各式相乘可得， 即，， 令，则，所以. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高一上·浙江·期末）一位报童手持100份“人工智能报”在某校门口叫卖，“卖报，卖报，一元五角一份（人工智能报》”，报童能写出所卖报纸的份数（销售量x）与所得款数（销售额y）之间的函数关系，但不会表达函数的定义域与值域，写了以下4种表达，你认为表达正确的是（    ） A． B． C．，且 D． 【答案】AC 【解析】根据函数的定义及定义域判断即可； 【详解】解：依题意销售量且，且； 故 或，且 故选：AC 三、填空题 10．（24-25高一上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，已知三点，请写出2个函数关系式或曲线的方程，使函数图象或方程的曲线经过A，B，C三点： ， . 【答案】 （答案不唯一，符合题意即可） （答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据题意设解析式，代入运算求解. 【详解】∵关于y轴对称，且在y轴上， 可设，则可得，解得，故； 可设，则可得，解得，故. 故答案为：；. 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知区间中的实数在数轴上的对应点为，如图1；将线段围成一个圆（端点，重合），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在轴上，点的坐标为，如图3．直线与轴交于点，把与的函数关系记作，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】由题意知，从而可得为等腰直角三角形，从而可得弦对应的圆心角为，从而求得． 【详解】解：由题意知，，， 故为等腰直角三角形， 故，故弦对应的圆心角为， 故是圆周长的，即， 故方程的解是， 故答案为：． 12．（24-25高一上·浙江·期末）函数，则 （注明定义域） 【答案】 【分析】利用换元法可得函数的解析式. 【详解】令，则，， 所以，， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查了利用换元法求函数的解析式，换元时要注意新元的取值范围. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若，则 ． 【答案】24 【解析】利用换元法求函数的解析式,然后将代入即可求解 【详解】令，则 故，则24 故答案为 ：24 四、解答题 14．（24-25高一上·浙江·期末）已知二次函数满足，且的图象经过点． （1）求的解析式; （2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）设出函数的解析式，得到关于，，的方程，求出即可； （2）设，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可． 【详解】（1）设，则． 因为， 所以，得，． 因为的图象经过点， 所以，即． 故． （2）设． 因为当时，不等式恒成立， 所以， 即，解得． 故的取值范围是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．根据二次函数的图象和性质可知在闭区间上满足的充分必要条件是.这是十分简洁的一种不等式恒成立问题，一定要熟练掌握. 地 城 考点04 分段函数 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，则f(3)=（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】根据分段函数的定义计算函数值． 【详解】. 故选：B 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数，则是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】由分段函数解析式中自变量的范围，先求，再求即可. 【详解】由题设，， ∴. 故选：C. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据分段函数的定义，且，代入求值即可． 【详解】解：，（2）， 故选：C． 4．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的解析式可求得的值. 【详解】因为，则. 故选：B. 二、填空题 5．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据题意，先求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得，所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则 ；若，则 . 【答案】 1 【分析】代入函数解析式，求出，进而求出，分类讨论求解. 【详解】，则，当，即时，，，则，无解；当即时，，，则，解得：，符合要求；当时，，，所以，解得：，符合要求，综上：. 故答案为：1， 7．（24-25高一上·浙江·期末）若函数（且）的值域为，则 ；实数的取值范围为 . 【答案】 5 【分析】把，代入中，可以求出的值. 求出求出当时，函数的取取值范围，然后分类的值，利用函数的单调性，分析当时，函数的取值范围，结合已知，最后求出的取值范围. 【详解】因为，所以.当时，是减函数，所以.若，函数是减函数，显然当时，，不符合题意；若，函数是增函数，所以，要想函数的值域为，只需，即，所以，实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了已知分段函数的值域求参数问题，分类讨论、数形结合是解题的关键. 8．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知函数则的最大值是 ． 【答案】 【分析】分别在、和三种情况下求解在区间内的最大值，综合即可得到结果. 【详解】当时，，此时： 当时，，此时： 当时，，此时： 综上所述： 本题正确结果： 【点睛】本题考查分段函数最值的求解，关键是能够通过函数每一段区间上的解析式分别求解出在每一段区间上的最值. 9．（24-25高一上·浙江杭州·期末）对于非空集合，定义，若，，且存在，，则实数的取值范围是 . 【答案】/或 【分析】首先解三角不等式求出集合，依题意，则时一定满足，再考虑时，求出时参数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，，所以， 所以，因为，所以， 所以，此时区间长度时一定满足， 故下研究时，此时， 因此满足题意的反面情况或， 解得或，因此满足题意的范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑时，求出时参数的取值范围. 10．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设函数，若函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】对分大于0，小于0，等于0， 同时利用函数图像及函数单调性进行分析求解即可. 【详解】①当时， ， 即，如图所示： 由图知此时函数无最值，所以， ②当时， ， 即， 当时，，对称轴为， 所以在单调递减，在单调递增， 故， 当时，在上单调递增， 所以， 由函数的最小值为， 此时 ， 所以函数最小值为， 所以，即， 解得：或（舍去）， ③当时，由时， ，此时在上单调递减， 所以最小值为， 由时， ， 此时函数在单调递减，在单调递增， 所以， 所以当时，函数最小值为满足题意， 综上所述，当函数最小值为时， 实数的取值范围为：， 故答案为：. 11．（24-25高一上·浙江·期末）设若，则 ． 【答案】 【分析】分和两种情况讨论，结合函数的解析式解方程，可求得实数的值，进而求得结果. 【详解】若，则，由，得，即， 解得：（舍去）或； 若，由，得，该方程无解. 综上可知，， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查分段函数方程的求解，注意分类讨论a的取值范围，根据分段函数的解析式代入解方程即可，考查计算能力，属于基础题. 12．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若存在，使得，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围，利用和换元法将变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得大致图象如下图所示：    由图可知：当时且，则令，解得：， ，又，， ， 令，则， ，即. 故答案为： 【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误. 13．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数，且对任意的，存在，使得．则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】根据条件转化为函数在上的值域是函数在，上的值域的子集；分别求值域即可得到结论． 【详解】解：依题意，， 即函数在上的值域是函数在，上的值域的子集． 因为在，上的值域为，或，， 在上的值域为， 故或， 解得 故答案为：． 【点睛】本题考查常见函数的值域，以及集合的包含关系求参数的取值范围； 三、解答题 14．（24-25高一上·浙江丽水·期末）新定义：若存在满足，且，则称为函数的次不动点.已知函数，其中. (1)当时，判断是否为函数的次不动点，并说明理由； (2)求出的解析式，并求出函数在上的次不动点. 【答案】(1)是函数的次不动点，理由见解析 (2)，次不动点为. 【分析】写出函数解析式，利用新定义，建立方程，可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 因为，，所以是函数的次不动点. （2）由得，此时； 由得，此时； 由得，此时； 由得，此时； 所以 当时，由得， 此时，所以是函数的次不动点； 当时，由得， 此时，所以不是函数的次不动点； 综上可知函数在上的次不动点为. 15．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数，函数，其中 （1）若恒成立，求实数t的取值范围； （2）若， ①求使得成立的x的取值范围； ②求在区间上的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）将问题转化为“恒成立”，然后根据与的大小关系求解出的取值范围； （2）①分别考虑时不等式的解集，由此确定出成立的的取值范围； ②先将写成分段函数的形式，然后分段考虑的最大值，其中时注意借助二次函数的单调性进行分析. 【详解】（1）因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立，所以，解得， 所以； （2）①当时，，所以，解得； 当时，，所以， 因为，所以， 所以无解， 综上所述：的取值范围是； ②由①可知：， 当时，，所以，所以； 当时，的对称轴为，所以， 且，所以， 令，所以，所以， 综上可知：. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于对取最小值函数（）的理解以及分类讨论思想的运用，通过分类讨论的思想确定出的解析式，再分析对应的每段函数的最大值，从而确定出的最大值. 地 城 考点05 单调性 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知一函数，其定义域为，则满足不等式的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定函数定义域，再利用函数奇偶性及单调性解不等式即可. 【详解】由题可知函数，所以为偶函数， 当时，，又与在上单调递减， 所以在也单调递减， ，即， 所以解得或， 所以的取值范围为. 故选：D. 2．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分段函数单调性得出不等关系，解不等式可得结果. 【详解】根据题意，若为单调递增，可得，解得； 又为单调递增，所以，解得； 且，解得； 综上可得，，即实数m的取值范围为. 故选：B 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知定义在集合上的函数满足.记的最小值为，最大值为，若集合，设表示集合中元素的个数，则下列命题一定正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据题意确定取最大最小值时自变量的个数，结合逐个辨析即可. 【详解】对于C：若，不妨设中仅有1个元素， 即的最小值为， 若，根据， 有，故，与为最小值矛盾，故C错误； 对于A：若，则，同C可得A错误； 对于D：若，不妨设中仅有1个元素， 即的最大值为，若， 根据， 有，故， 因为为最大值，且若，则，无解，故， 故不等式必成立，故D正确； 对于B：若，则，不妨设有两根，且， 则若存在使得，则由C可得， 此时不成立，故B错误； 故选：D 4．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数 . 记，则 的最大值与 的最小值的差为 （    ） A．-4 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】先分析的正负区间，从而得出在各区间的函数解析式，结合，，利用函数的单调性求解 的最大值与 的最小值即可. 【详解】由题意，， 故当或时，，当时，， 故当或时，， 当时，. 又对称轴为，开口向上，对称轴为，开口向下， 且，. 综上有当时，为增函数， 当时，为减函数， 当时为减函数， 故最大值为； 当时，为减函数， 当时，为减函数， 当时为增函数， 故最小值为. 故 的最大值与 的最小值的差为. 故选：B 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知，函数在上的最大值是5，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数单调性得出，再结合函数解析式去绝对值得出函数最值,分，两种情况讨论即可确定参数范围. 【详解】因为在上单洞递减，因此． 若，则的最大值为5，符合题意； 若时，的最大值为与中较大的，由，即，解得， 显然时，的最大值为， 时，的最大值不为定值． 综上可得，时，在上的最大值是5． 故选:A． 6．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数 ，且 ，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性和对称性求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上， 由可知关于直线对称， ，在上单调递减， 所以，即. 故选：C 7．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数的定义域为，对定义域内任意的，当时，都有，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．函数和在上有相同的单调性 【答案】C 【分析】根据函数不等式恒成立分别应用各个选项判断即可. 【详解】对于A：，， 因为，所以， 因为，所以恒成立， 又因为不相等，所以，A选项错误； 对于B：， 所以恒成立， 所以，又因为不相等，， 所以， 又，， ，， 所以， 所以，B选项错误； 对于C: 因为不相等，不妨设， 因为， 所以， 所以，C选项正确， 对于D：不妨设在上单调递增，任取，满足， 则， 因为， 所以，所以， 所以单调递减，D选项错误. 故选：C. 【点睛】方法点睛：结合已知条件及函数单调性定义判断单调性，结合三角不等式判断绝对值不等式范围. 二、多选题 8．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则的最大值为 B．的最小值为 C．若，则 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A选项；利用对勾函数的单调性可判断B选项；利用基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断C选项；由已知等式得出，结合基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，因为，由基本不等式得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，故A正确； 对于B选项，令，则， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递增， 故无最小值，则B错误； 对于C选项，因为，由基本不等式可得， 即，因为，解得，即， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，故C正确； 对于D选项，若，即，即， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高一上·浙江·期末）函数在区间上的值域为，则的值可能是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BCD 【分析】首先求解方程和的解，再由函数的值域，结合函数的单调性，确定的取值范围. 【详解】解方程，解得或， 解方程，解得， 由于函数在区间上的值域为. 若函数在区间上单调， 则或，此时取得最小值2； 若函数在区间上不单调，且当取最大值时，， 所以的最大值为4. 所以的取值范围是. 故选：BCD. 三、填空题 10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数 . 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数的单调性，结合及常见的函数特点即可得结果. 【详解】因为对任意，都有，即函数在内单调递减， 由于，即可取， 故答案为：（答案不唯一）. 11．（24-25高一上·浙江衢州·期末）函数的最小值为 . 【答案】 【分析】先分析函数的定义域，再做变形，然后由复合函数的单调性求出最值即可； 【详解】由题意可得函数的定义域为， ， 由复合函数的单调性可得函数为增函数， 所以当时，取得最小值，最小值为， 故答案为：. 四、解答题 12．（24-25高一上·浙江宁波·期末）设函数，函数. (1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）转化为，由基本不等式得到，由函数单调性得到，从而得到不等式，求出答案； （2）参变分离得到，变形后，由基本不等式求出的最大值，从而求出答案. 【详解】（1）对于任意的，总存在，使得， 即， 其中，， 当且仅当，即时，等号成立， 故， 因为是减函数，所以当时，， 所以，解得. （2）时，可得，， 即， 因为，分离参数可得 ， 由题意，不等式在存在解集，则 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以，解得， 所以的最大值为1. 13．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)求的定义域； (2)证明：在上单调递减. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据分式的意义计算即可求解； （2）利用定义法即可证明. 【详解】（1）因为，解得. 所以的定义域为. （2），，且， 则. 因为，所以，，，， 所以，即，所以， 故在上的单调递减. 14．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，给定集合D，若满足对任意，，存在实数，当时，都有，则称是D上的“级优函数”． (1)请写出一个上的“1级优函数”，并说明理由； (2)已知是上的“2级优函数”， （ⅰ）证明：； （ⅱ）当时，，其中a，，求a，b的值． 【答案】(1)函数是上的“1级优函数，理由见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ），或． 【分析】（1）根据“级优函数”的定义，即可求解. （2）根据定义可得，即可采用迭代相加法求解（ⅰ），根据（ⅰ）的思想可证明，故，进而可得，进而可判定是上的“2级优函数”，且是上单调递增函数，对分类讨论，结合函数的单调性及可列方程求解（ⅱ）. 【详解】（1）函数是上的“1级优函数”．理由如下： 因为当时，有，所以是上的“1级优函数”． （2）（ⅰ）因为是上的“2级优函数”，由定义可得对任意，， 当时，有， 所以， 又， 所以． （ⅱ）由（ⅰ）可得 ， 故 又，因此， 又，故， 因此， 在上式中，以x代可得， 再令，可得， 又对任意，，当时，有， 因为是上的“2级优函数”，所以， 又，所以，所以， 即对任意，，当时，都有， 故是上的“2级优函数”， 由上述分析可得，且是上单调递增函数． 当时，，其中a，，有， 当时，，此时在上单调递增，满足题意； 当时，则或解得； 当时，则此时无解； 综上所述，，或． 【点睛】求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解. 对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解. 15．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知幂函数，对于任意给定的正实数，不等式恒成立， (1)求的值； (2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围； (3)若函数的值域为，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）先由已知判断为增函数，再结合幂函数的单调性解不等式即可； （2）结合二次函数的性质即可得到结果； （3）由对数函数和二次函数的性质得出结果即可； 【详解】（1）因为对于任意给定的正实数，不等式恒成立， 不妨设， 则， 所以在上为增函数， 所以，即， 所以或， （2）由已知， 要使函数不单调，则，则， （3）若函数的值域为， 则恒成立， 即恒成立， 所以， 地 城 考点06 奇偶性 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．是奇函数 D． 【答案】B 【分析】利用赋值判断A，令可判断C，令，结合条件求出函数周期可判断BD. 【详解】令，则，解得，故A正确； 令，则，即， 因为不恒为0，所以，且定义域为，故函数为奇函数，故C正确； 令，则，因为不恒为0，且， 所以只能，从而，周期为4， 显然，故B错误D正确. 故选：B 2．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简各选项中函数的解析式，利用函数奇偶性的定义判断可得出合适的选项. 【详解】因为， 对于A选项，， 令，该函数的定义域为， ，则为奇函数，A满足要求； 对于B选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，B不满足条件； 对于C选项， ， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，C不满足条件； 对于D选项，， 令，该函数的定义域为，则， 所以，函数不是奇函数，D不满足要求. 故选：A. 3．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数是奇函数，是偶函数，当时，，则下列选项不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的图象关于直线对称 C．的最大值是1 D．当时恒有 【答案】B 【分析】根据已知结合函数图象平移伸缩变换可得，所以的图象关于点对称，的图象关于直线对称，进而得出周期为4.根据在上的解析式，结合函数的对称性可得出在上的解析式以及单调性，根据对称性即可得出A项；求出在上的值域，根据对称性即可得出C、D项. 【详解】因为函数是奇函数， 所以的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，所以，； 因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，所以，. 所以，，所以周期为4. 对于A项，因为的图象关于点对称，的图象关于直线对称，所以也是的对称中心. 因为时，， ，则，所以. 根据函数的对称性可知，，所以. 所以当时，单调递减. 又的图象关于点对称，所以在区间上单调递减，故A项正确； 对于B项，因为的图象关于点对称，周期为4，所以的图象关于点对称，故B项错误； 对于C项，由A知，当时，，所以. 又的图象关于直线对称，所以当时，有. 综上所述，当时，有. 因为周期为4，所以的最大值是1，故C项正确； 对于D项，由已知当时，. 又的图象关于直线对称，所以当时，. 综上所述，当时，恒成立. 因为的图象关于点对称，所以，当时，恒有，故D项正确. 故选：B. 4．（24-25高一上·浙江杭州·期末）若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出的单调区间，由奇函数性质分段求解不等式即可得出答案. 【详解】在R上的奇函数在上单调递减，则在上单调递减，且， ，当时，，当时，， 由，得或或， 解得或或，因此或， 所以满足的的取值范围是. 故选：D 二、多选题 5．（24-25高一上·浙江温州·期末），用表示，中的最大者，记为．若函数，，下列关于函数的说法中正确的有（    ） A．若，则为偶函数 B．若，则有最小值1 C．当时，则在上单调递增 D．若的图象经过坐标原点，则 【答案】BC 【分析】根据的值可求出，再逐项计算后可得正确的选项. 【详解】对于A，当时，，此时， 故，故不为偶函数，故A错误； 对于B，当时，， 当或时，，当时，， 故， 而或时，，当时，， 故，故B正确； 对于C， 当时， 当时，；当时，， 故， 而在上为增函数，在上为增函数， 且当时，， 故在上单调递增，故C正确； 对于D，取，则，故在上恒成立， 故，此时，但，故D错误； 故选：BC. 【点睛】思路点睛：对于不同函数间的最大最小问题，可以先比较它们的大小，再考虑所得分段函数的性质，也可以数形结合考虑分段函数的性质. 6．（24-25高一上·浙江杭州·期末）存在定义域为的函数满足（　　） A．是增函数，也是增函数 B．是减函数，也是减函数 C．是奇函数，但是偶函数 D．对任意的，，但 【答案】ACD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法判断AB；举例判断C；特殊函数判断D. 【详解】对于A，根据复合函数的单调性可知，因为是增函数，所以也是增函数，A正确； 对于B，根据复合函数的单调性可知，因为是减函数，所以是增函数，B错误； 对于C，设，是奇函数，是偶函数，C正确； 对于D，令，其定义域为，满足，但是，故D正确. 故选：ACD 7．（24-25高一上·浙江湖州·期末）已知函数是定义在R上的奇函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．若在上有最小值，则在上有最大值2 D．若在上单调递增，则在上单调递减 【答案】BC 【分析】由奇函数的定义和图象的对称性可依次判断各个选项. 【详解】对于A，由奇函数定义可得，若，则不成立，故A错误； 对于B，由奇函数定义可得，得，故B正确； 对于C，由奇函数图象关于原点对称，可知C正确； 对于D，由奇函数图象关于原点对称，可知在上单调递增，故D错误. 故选：BC. 8．（24-25高一上·浙江宁波·期末）已知，的定义域为R，且（），，若为奇函数，则（    ） A．关于对称 B．为奇函数 C． D．为偶函数 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性，对称性定义一一判断即可. 【详解】因为的定义域为R，且， 所以关于对称，故A正确； 但不能确定为奇函数，故B错误； 根据题意，是定义域为的奇函数， 所以，令，得，故C正确； 因为，则， 结合，则，所以， 即为偶函数，故D正确. 故选：ACD 9．（24-25高一上·浙江衢州·期末）已知函数的定义域为，对任意，都有，当时，，则（    ） A． B．为奇函数 C．的值域为 D．在上单调递增 【答案】ACD 【分析】利用代入法，结合奇函数、单调性的定义逐一判断即可. 【详解】在中， 令，得，或， 在中，令，得， 因为时，，所以， 显然由，因此，因此选项A正确； 因为，所以函数不可能为奇函数，因此选项B不正确； 在中，令， 所以有， 当时，所以时，因此由， 而，所以的值域为，因此选项C正确； 设，显然，即有成立， 因为， 所以由，而， 所以由， 因为的值域为，所以， 因此由， 即在上单调递增，所以选项D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用代入法根据函数单调性的定义进行判断函数的单调性. 三、填空题 10．（24-25高一上·浙江·期末）定义在上的函数满足且是一个增函数，请写出满足条件的一个函数 .（写出一个即可） 【答案】（只需符合即可）. 【分析】令，可得，推导出函数为奇函数，然后验证满足题设条件，即可得出结果. 【详解】因为定义在上的函数满足， 则， 令，可得， 令可得， 由题意可得， 令，则，则函数为奇函数， 函数为增函数，则函数为增函数， 可取， 则，满足要求， 故满足题意. 故答案为：（只需符合即可）. 11．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数满足：① ；②， ；③， ，请写出一个你认为符合上述要求的函数 . 【答案】答案不唯一 【分析】由题意，可知函数为偶函数，举例验证即可. 【详解】由,知函数为偶函数， 当时，，，， 可取函数，则，故满足①； 当时，，故满足②； ，，， ， 故，故满足③ 故答案为：答案不唯一 12．（24-25高一上·浙江嘉兴·期末）已知奇函数的定义域为，当时，.若，的值域是，则 . 【答案】/ 【分析】根据奇函数先得到，做出函数的图象，根据图象可得，，进而可得. 【详解】解：由已知可得当时，，则， 所以 ， 令，则，0，1；令，则 作出函数的图象， 若，的值域是，可得，，所以 故答案为： 13．（24-25高一上·浙江温州·期末）定义在上的奇函数在上递增，且，则满足的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数奇偶性判断出函数的单调性，再由单调性求解即可. 【详解】因为定义在上的奇函数在上递增， 所以在上单调递增， 因为，所以， 又， 则， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题 14．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，，其中. (1)判断与的奇偶性； (2)证明：； (3)若对任意，存在，恒有成立，求a的取值范围. 【答案】(1)为奇函数，为偶函数. (2)证明见解析 (3). 【分析】（1）利用函数得奇偶性的定义求解， （2）利用题目的函数的解析式证明题目给的等式即可， （3）由小问（2）中得到的结论，将题目中的不等式转化成，接着转化成，进而求解结果. 【详解】（1）因为与的定义域均为， 且满足， ， 即为奇函数，为偶函数. （2）证明： 因为 （3）由（2）知， 所以. 当时，不等式成立， 当时，即. 又因为， 所以， 即为. 因为，，所以， 所以， . 所以， 解得， 又因为， 所以. 15．（24-25高一上·浙江台州·期末）从①；②函数为奇函数；③的值域是，这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.问题：已知函数，且 . (1)求函数的解析式； (2)若对任意恒成立，求实数的最小值. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，分别选择①②③，结合函数的性质，求得实数的值，即可求解； （2）根据函数的单调性的定义判定方法，得到在上单调递减，再由为奇函数，把不等式转化为恒成立，结合指数函数与二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：若填①：由， 可得，解得，所以. 若填②：由函数， 因为函数为奇函数，故，可得， 解得，所以，即， 经验证：，符合题意，所以. 若填③：由，可得， 则，即， 又由的值域是，可得，故，所以. （2）解：，且，则， 所以函数在上单调递减， 又因为，满足， 所以为奇函数， 由不等式，可得， 则，所以， 令，记， 所以，所以，所以的最小值为. 16．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并证明； (2)判断并证明函数的奇偶性，并求在区间上的最大值与最小值. 【答案】(1)在单调递减，证明见解析 (2)为奇函数，证明见解析，， 【分析】（1）利用函数的单调性定义证明； （2）利用函数的奇偶性定义判断，利用函数的单调性求最值. 【详解】（1）解：任取， ， ， ， ，， ，即在单调递减； （2）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数， 又由（1）知在单调递减，所以在也单调递减， 所以，. 17．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数， (1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）； (2)判断函数的奇偶性，并说明理由； (3)当时，若对任意的，恒有成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)见解析 (3)10 【分析】（1）根据二次函数的性质即可求解， （2）根据奇偶性的定义和性质及可求解， （3）根据分情况讨论去掉绝对值，结合函数和的单调性，即可通过求解函数最值求解. 【详解】（1）时，， 又二次函数的性质可知当，此时在单调递增， 当，在单调递增， 故的单调递增区间为 （2）当时，，对于，，故为偶函数； 当时，， 故不是奇函数； 又，，显然， 即，故不是偶函数， 综上所述，当时，是偶函数，当时，既不是偶函数又不是奇函数. （3）（ⅰ）当时，“在恒成立”等价于“在恒成立”，也就是恒成立， 由于对勾函数在单调递增， 若，则在单调递减， 故当时，取最小值，则，所以， 故，当，时，取到； 若，则在单调递增，，所以， 于是，当，时，取到. （ⅱ）当时，“在恒成立”等价于“在 恒成立”. 由于函数在单调递增，所以在单调递减， ①当时，，； ②当时，，； 当时，，故，. 综上所述，的最大值为. 【点睛】方法点睛：函数求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 地 城 考点07 对称性与周期性 一、单选题 1．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数，的值域是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析函数的奇偶性，求出的值，代值计算可得的值. 【详解】函数的定义域为， ， 函数为奇函数，所以，，因此，. 故选：D. 【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下： （1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； （2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系； （3）下结论. 2．（24-25高一上·浙江·期末）已知偶函数函数，有时，成立，则对任意的恒成立的a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意判断函数在为单调递减函数，在上单调递增函数，只需恒成立,分离参数，利用基本不等式即可求解. 【详解】当时，成立， 则函数在为单调递减函数，又函数为偶函数， 则函数在上单调递增函数， 对任意的恒成立， 所以， 当时，不等式恒成立， 当时，， 又， 当且仅当时取等号， 则，即，解得. 故选：A 3．（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，若函数在开区间上恒有最小值，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据函数的奇偶性和单调性，求出最小值取得的条件，结合开区间位置求解参数的取值范围. 【详解】由题恒成立，所以定义域为R， ，所以为定义在R上的偶函数， 当在单调递减，在单调递增， 所以在单调递减，在单调递增， 在单调递减，在单调递增，， 所以函数在和处均取得最小值， 若函数在开区间上恒有最小值， 则或， 解得： 故选：A 4．（24-25高一上·浙江·期末）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由为偶函数，通过平移得关于对称，可得，再结合单调性即可得解. 【详解】由为偶函数，可知关于轴对称， 将向右平移一个单位得到，则关于对称， 所以， 又函数在上单调递减，所以， 所以. 故选：C. 5．（24-25高一上·浙江·期末）若函数是奇函数，且函数在上有最大值10，则函数在上有（    ） A．最大值 B．最小值 C．最小值 D．最小值 【答案】C 【解析】令，可判断为奇函数，结合对称性即可求解. 【详解】令, 因为函数是奇函数， 所以， 故函数为奇函数， 因为函数在上有最大值10， 所以在上有最大值8， 所以根据奇函数的对称性知， 在上有最小值-8, 所以函数在上有最小值-6. 故选：C 6．（24-25高一上·浙江·期末）若偶函数在区间上是增函数且，则它在区间上（    ） A．最小值是9 B．最大值是9 C．最小值是 D．最大值是 【答案】B 【解析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断和求值． 【详解】解：∵偶函数f（x）在区间[3，6]上为增函数，且f（6）=9，故最大值为9， ∴根据偶函数的对称性可知它在区间[﹣6，﹣3]为减函数，且可求最大值． ∵f（6）＝9， ∴f（﹣6）＝f（6）＝9， 即函数在区间[﹣6，﹣3]为减函数，且有最大值9． 故选：B． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，要求熟练掌握函数性质的综合应用． 7．（24-25高一上·浙江温州·期中）已知定义在上的偶函数在上为减函数，且，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定函数的定义域应满足，再根据偶函数的增减性和对称性来进行求解即可 【详解】 由题可简单画出拟合题意的偶函数图像，函数定义域为，故应满足 解得 故选B 【点睛】本题考查根据偶函数性质求解不等式，易错点为忽略函数定义域，是中档题 二、多选题 8．（24-25高一上·浙江杭州·期末）设函数，，，若的最大值为，最小值为，那么和的值可能分别为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】可以表示为一个奇函数和常数之和，利用奇函数在对称区间上的最大值加最小值为进行分析即可. 【详解】记，，定义域关于原点对称，由，于是为奇函数，设在上的最大值和最小值分别为，根据奇函数性质，，而，故，于是，注意到，经检验，AC选项符合 故选：AC 9．（24-25高一上·浙江丽水·期末）已知函数定义域为，且为奇函数，下列说法中正确的是（    ） A．函数对称中心为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据奇函数的定义与性质逐项分析判断. 【详解】令 对A：可以认为是由向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 若为奇函数，则的对称中心为，故函数对称中心为，A错误； 对B：若为定义在上的奇函数，则，B正确； 对C、D：若为奇函数，则，即，得， 令，得，但无法确定与是否相等，C错误； 令，得，D正确； 故选：BD. 10．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数，方程在有两个解，记，则下列说法正确的是（    ） A．函数的值域是 B．若，的增区间为和 C．若，则 D．函数的最大值为 【答案】BD 【分析】利用函数的单调性判断AB选项；解方程求出从而判断C选项；分类讨论判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，，为偶函数， 当时，，任取，且， ， 若，则；若，则， 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 图像如图示： 结合偶函数的性质可知，的值域是，故A选项错误； 对于B选项，，当时，，，则为偶函数， 当时，，易知函数在区间上单调递减， 当时，，易知函数在区间上单调递增， 图像如图示： 根据偶函数的性质可知，函数的增区间为和，故B选项正确； 对于C选项，若，图像如图示： 若，则，与方程在有两个解矛盾，故C选项错误； 对于D选项，若时，令，解得（舍负）； 令，解得（舍负）， 此时； 当时，只有一个正数解，不合题意； 当，时，，至多有一个正数解，不合题意； 当时，由对勾函数的性质可得有两个正数解， 且时，在上单调递减，上单调递增， 且，，不妨设，所以， 此时； 所以函数的最大值为4，故D选项正确； 故选：BD 三、填空题 11．（24-25高一上·浙江·期末）已知偶函数在上是减函数，且，则的解集 【答案】 【分析】分和两种情况讨论x的范围，根据函数的单调性可得到答案. 【详解】因为是偶函数，且，所以， 又在上是减函数，所以在上是增函数， ①当时，由得，又由于在上为减函数，且，所以，得； ②当时，由得，又，在上是增函数，所以，所以. 综上，原不等式的解集为：. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且.偶函数在对称区间上的单调性相反，且.. 12．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数是定义在的奇函数，当时，其中.若的值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由的图象关于原点对称，可得当时，函数的最小值小于等于，讨论对称轴与区间端点的关系，判断单调性得出最值，解不等式可得的取值范围． 【详解】若函数的值域为R，由函数的图象关于原点对称，可得当时，函数的最小值小于等于， 当时，在上单调递增，则需，解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则需，解得或（舍）； 综上可得：的取值范围为或 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题考查函数奇偶性的应用，考查二次函数求最值，考查分类讨论思想，二次函数求最值的步骤有： 1.根据二次函数求出对称轴，根据开口方向画出大致图像； 2.由单调性明确最值类型，在端点处取得或者在对称轴处取得； 3.按不同的分类情况，分别求出最值． 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）函数的对称中心为 ，若方程有唯一的实数解，则实数m的取值是 . 【答案】 或 【分析】依题意可得，根据函数的平移规则可得函数的对称中心，将方程的解转化为函数与只有一个交点，即可得解； 【详解】解：因为，由函数向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到，又关于对称，所以关于对称； 方程有唯一的实数解，即函数与只有一个交点， 又函数必过，所以当且仅当时满足条件； 方程化为，显然不是方程的解， 当时，，解得； 所以的值为0或. 故答案为：；或. 【点睛】本题考查函数的性质的应用，考查转化思想，属于中档题. 四、解答题 14．（24-25高一上·浙江·期末）已知函数是对任意的都满足，且当时． （1）求的解析式； （2）现已画出函数在y轴左侧的图像，如图所示，请补出函数的完整图像，并根据图像直接写出函数的单调区间及时的值域． 【答案】（1）；（2）图像见解析；函数的单调减区间是和，减区间是；值域为. 【解析】（1）先利用奇偶性计算时的解析式，再计算，即得结果； （2）根据奇函数关于原点中心对称作图，再利用图像观察单调区间和对应区间的值域即可. 【详解】解：（1），，设时，， 依题意知，即，故；时，，故， 故的解析式为； （2）由，知是奇函数，图像关于原点中心对称，故函数的完整图像如图所示： 由图像可知，函数的单调减区间是和，减区间是，时的值域为. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $