1.5三角函数的应用（导学案）数学北师大版九年级下册

该初中数学导学案聚焦三角函数的应用，引导学生运用三角函数解决与方位角、仰角俯角、倾斜角相关的实际问题，通过知识回顾复习解直角三角形条件及方位角等概念，结合轮船航行触礁等情景引入，搭建从已有知识到实际应用的学习支架。 以情境化探究和结构化训练为特色，设置三个探究点分层突破，通过“问题分析-方程建模-求解验证”培养模型意识与推理能力，合作探究与题型分类练习结合，帮助学生用数学思维思考现实世界，提升应用意识，适合教师引导学生自主建构知识体系。

1.5 三角函数的应用 导学案 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。 2.灵活地将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决。 学习重点：运用三角函数及方程思想求解实际情境问题，准确构建直角三角形。 学习难点：在复杂情境下提炼合适的模型，特别是公共量的设定与方程的建立，需具备较强的数形。 第一环节 自主学习 1.知识回顾 （1）解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． （2）指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角叫做方位角. 如图:点A在O的北偏东30°，点B在点O的南偏西45°(西南方向). （3）当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角. 2.情景引入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 新知自研：自研课本第19--20页的内容． 【学法指导】 自研课本P154-155页的内容，思考： ●探究一：应用三角函数解决与方位角有关的实际问题 ◆1.议一议 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行. 问题：你认为货轮继续向东航行会有触礁的危险吗？你是怎样想的？ 【分析】（1）这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离AD是否大于 10 n mile.若AD＞ 10 n mile，则不会有触礁危险，否则有危险. （2）求AD，但在Rt△ACD和Rt△ABD中，都只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把两个三角形的公共边AD看成已知，用含AD的代数式表示BD和CD，由BC＝20n mile建立关于AD的方程，从而求得AD. 【解答】解：根据题意可知，∠BAD=55º，∠CAD=25º，BC= 20n mile. 过点A作AD⊥BC于点D,设AD= x , 则在Rt△ABD中，tan∠BAD=， ∴BD=AD·tan∠BAD=x·tan 55° 在Rt△ACD中，tan∠CAD=， ∴CD=AD·tan∠CAD=x ·tan25° ∵BC=BD﹣CD ∴x·tan55°﹣x·25°=20 解得：x≈20.79＞10. 答：这船继续向东航行没有触礁的危险. ◆2.练一练 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________. 解：2km ●探究点二：应用三角函数解决与仰角俯角有关的实际问题 ◆1.想一想 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m） 【分析】求塔高就是求CD的长，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△BCD中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以仍要用方程思想，先把CD看成已知，用含CD的代数式表示AC和BC，由AB＝50m建立关于CD的方程，从而求得CD. 【解答】解:如图,根据题意可知,∠A=30º, ∠DBC=60º,AB=50m. 设CD=x, 则在Rt△ACD中，tanA=， ∴AC===x, 在Rt△BCD中，tan∠DBC= ∴BC===x， ∵AB=AC-BC ∴x−x=50，解得x=25≈43(m) 所以，该塔约有43m高. ◆2.练一练 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米. 解：100 ●探究点三：应用三角函数解决与倾斜角有关的实际问题 ◆1.做一做 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). → 【分析】如图，（1）求调整后的楼梯会加长多少，即求AB－BD； （2）求楼梯多占多长一段地面，即求AD . 在Rt△BCD中，已知一边和一角，可以求出BC、CD的长，进而在Rt△ABC中求出AB、AC，进而求出AB－BD和AD. 【解答】解:：（1）如图,根据题意可知,∠A=35°,∠BDC=40°, DB=4m. 在Rt△BCD中，sin∠BDC=， ∴BC=BDsin40°=4sin40°， 在Rt△ABC中，sin A=, ∴AB==≈≈4.48（m）, ∴AB- BD≈4.48-4=0.48（m） ∴调整后的楼梯会加长约0.48m. （2）在Rt△BCD中，cos∠BDC=, ∴CD=BDcos40°=4cos40°， 在Rt△ABC中，tan A=, ∴AC==， ∴AD=AC－CD= −4cos40°≈0.61(m). ∴楼梯多占约0.61m长的一段地面. ◆2.知识归纳 利用三角函数解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【分析】(1)求点B是否在暗礁区域内，其实就是求CB的距离是否大于16海里,如果大于则不在暗礁区域内，反之则在.可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于D点，CD是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，可先求出CD的长，再求出CB的长； (2)本题实际上是问C到AB的距离即CD是否大于16海里，如果大干则无触礁危险,反之则有CD的值；(1)已经求出，只要进行比较即可. 【解答】解：(1)作CD⊥AB于D点，设BC＝x， 在Rt△BCD中，∠CBD＝60°， ∴BD＝x，CD＝x. 在Rt△ACD中,∠CAD＝30°,tan∠CAD＝＝， ∴＝,∴解得 x＝18. ∵18>16， ∴点B是在暗礁区域外； (2)∵CD＝x＝9，9＜16， ∴若继续向东航行船有触礁的危险． 例2 如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，坝顶AD＝4 m,高度为2 m,tanB＝，∠ADC＝135°. （1）求BC的长是多少米. （2）如果坝长100 m，那么修建这个大坝共需多少土石方？ 【分析】（1）在Rt△ABE中求出BE,在Rt△CFD中求出CF，继而可得出BC； （2）先求出梯形的面积，从而可以求出体积即可解答. 【解答】解：（1）如图，分别过A，D点作AE⊥BC，DF⊥BC， 则AE＝DF＝2，EF＝AD＝4， ∵ tan B＝，AE＝2，∴ BE＝10. ∵ ∠ADC＝135°，∴ ∠CDF＝45°， ∴ CF＝2，∴ BC＝BE+EF+CF＝16（m）. （2）=×10×2+4×2+×2×2＝20（）， V大坝＝20×100＝2 000（）. ∴修建这个大坝共需2000土石方. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论如何用锐角三角函数解决实际问题（仰角俯角、方位角等）； B.交流例题的解题思路，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）． A．25海里 B．25海里 C．50海里 D．50海里 解：D． 2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. 解：20． 3.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是__________． 解：1000m. 4.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于__________（根号保留）． 解：100（1+）米． 5. 如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m) 解：由题意得，BD＝5，∠CDB=40°，CE=2m， 在Rt△CBD中， tan∠CDB＝， ∴ BC＝ BD·tan∠CDB=5tan 40°≈4.195 5≈4.20. ∴BE＝BC+CE＝4.20+2=6.20， ∴ 在Rt△BED中，DE＝＝＝≈7.96. 答：钢缆ED的长度约为7.96 m. 6.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？ 解： ∵AD＋BD＝AB， ∴在Rt△BCD中， 在Rt△ACD中， ∴AC＋BC＝ 750－600≈150(km)． 答：飞机的飞行路程比原来的路程600km远了150km. 题型一 ： 一般的实际问题 1．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　） A． B． C．5•cos52° D． 【分析】直接利用锐角三角函数关系得出cos52°，进而得出答案． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，∠ACB＝52°，BC＝5， ∴cos52°， ∴AC 故选：B． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键． 2．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 【分析】根据图形和锐角三角函数，可以表示出BC的值． 【解答】解：∵∠BCA＝90°，AB＝50m，∠A＝24°， ∴sinA， ∴BC＝50sinA＝50sin24°（米）， 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 3．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 【分析】先求出∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，再用三角函数定义，求出AD＝AB×sinB＝60×sin50°，即可得出答案． 【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示： ∵∠BAC＝88°，∠C＝42°， ∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°， 在Rt△ABD中，AD＝AB×sinB＝60×sin50°， ∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确． 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，三角函数的应用，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 4．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为600米，∠BAC＝α，则缆车从A点到B点上升的高度（即BC的长）为（　　） A．600sinα米 B．米 C．600cosα米 D．米 【分析】由锐角的正弦定义得到sinα，即可得到BC＝600sinα米． 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴sinα， ∵AB＝600米， ∴BC＝600sinα米． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，关键是掌握锐角的正弦定义． 题型二： 方位角问题 5．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为（　　） A．13cos40°海里 B．13sin40°海里 C．海里 D．海里 【分析】根据余弦的定义计算即可． 【解答】解：在Rt△AOB中，OA＝13海里，∠OAB＝40°， ∵cos∠OAB， ∴AB＝OA•cos∠OAB＝13cos50°（海里）， 故选：A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 6．如图，某时刻码头A和码头B分别在游船M的南偏东60°和南偏东75°方向上，已知A，B相距1000米，此时游船M距离岸边AB的距离为 　 　米． 【分析】过点M作MC⊥AB，根据三角形的外角性质求出∠AMB，得到MA＝AB，再根据含30°角的直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，过点M作MC⊥AB，交BA的延长线于点C， 由题意得，∠MAC＝90°﹣75°＝15°，∠MAC＝90°﹣60°＝30°， ∴∠AMB＝∠MAC﹣∠MBC＝15°， ∴∠AMB＝∠MBC， ∴MA＝AB＝1000米， 在Rt△MAC中，∠MAC＝30°， 则MCMA1000＝500（米）， 故答案为：500． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，掌握三角形的外角性质、含30°角的直角三角形的性质是解题的关键． 7．货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 【分析】利用平行线性质得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°，进而得出∠BAC＝∠BCA＝60°，得出△ABC是等边三角形，进而得出答案． 【解答】解：由题意可得出：∠ABC＝60°，∠1＝40°， 则∠BAC＝∠BCA＝60°， 故△ABC是等边三角形， 则BC＝AC40＝20（海里）． 答：货轮到达C处时与灯塔A的距离是20海里． 【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，利用方向角得出△ABC是等边三角形是解题关键． 8．如图，城市A的正东方向100km处有一卫星城B，现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道（即线段AB），经测量，核能开发中心P在A城的北偏东30°和B城的北偏西45°的方向上，已知核辐射区域是以P点为圆心，50km为半径的圆形区域，请问这条快速通道会不会穿过核辐射区？请说明理由． 【分析】在Rt△APD中，设AD＝x，BD＝PDx，由题可得x+x＝100，进而可得x的值；再由PDx，将求得的值与半径50千米作比较，即可作出判断． 【解答】解：这条快速通道不会穿过核辐射区，理由如下： 过点P作PD⊥AB，垂足为D，如图， ∵AE∥PD∥FB， ∴∠APD＝30°，∠BPD＝45°． 设AD＝x， 在Rt△APD中，AP＝2x， 由勾股定理得：PDx， 在Rt△PBD中，BD＝PDx， ∴x+x＝100，x＝50， ∴PDx＝5063.4km＞50km， ∴这条快速通道不会穿过核辐射区． 【点评】本题主要考查解直角三角形的应用﹣方向角问题以及勾股定理的应用，解答本题的关键是作出高线． 9．每年的秋冬季，万州就呈现出高峡平湖、水天一色的壮美画面．某个周末，小明和小华相约去南滨公园A游玩，小华家C在小明家B正北方向，南滨公园A在小明家B的北偏西30°方向上、在小华家C的北偏西75°方向上，已知小明家B与小华家C距离为1800米． （1）求南滨公园A与小明家B距离为多少米？（结果保留根号） （2）在小明家的正西方向有一个路口D恰好位于AB的中点M的正南方向，出发当天路段BM因施工无法通行，所以小明到南滨公园A只能走路线B→D→M→A．若他早上8：30从家出发，以120米/分钟的速度慢跑到南滨公园A，请问他能在9：00前到达南滨公园A吗？（参考数据：， 【分析】（1）过点C作CH⊥AB于H，根据正弦的定义求出CH，根据余弦的定义求出BH，再根据等腰直角三角形的性质求出AH，进而求出AB； （2）根据线段中点的定义求出AM、BM，根据正弦的定义求出BD，根据余弦的定义求出DM，再求出小明需要走的路程、小明慢跑的路程，判断即可． 【解答】解：（1）如图，过点C作CH⊥AB于H， 在Rt△CHB中，∠CBH＝30°，BC＝1800米， 则CHBC＝900（米），BH＝BC•cos∠CBHBC＝900（米）， 由三角形的外角性质可知：∠A＝75°﹣30°＝45°， ∴AH＝CH＝900米， ∴AB＝AH+BH＝（900+900）米， 答：南滨公园A与小明家B距离为（900+900）米； （2）∵点M是AB的中点， ∴AM＝MB＝（450+450）米， ∵MD∥BC， ∴∠BMD＝∠ABC＝30°， ∴BDBM＝（225+225）米，DMBM＝（225675）米， ∴小明需要走的路程为：BD+DM+MA＝225+225225675+450+4502907（米）， 小明以120米/分钟的速度慢跑30分钟的距离为：120×30＝3600（米）， ∵3600＞2907， ∴他能在9：00前到达南滨公园A． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 题型三：仰角与俯角问题 10．如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60°角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（　　） A．6.6 B．11.6 C． D． 【分析】利用直角三角形的一边与AC平行得到∠ABC＝60°，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，然后计算AC+CD即可． 【解答】解：根据题意得∠ABC＝60°， 在Rt△ABC中，ACBC＝5m， 所以AD＝AC+CD＝（51.6）m． 答：旗杆的高度（51.6）m． 故选：D． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义． 11．两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（　　） A．a米 B．米 C． 米 D．a（tanβ﹣tanα）米 【分析】构造直角三角形．用根据题意CD＝BE＝AB﹣AE． 【解答】解：由题意得AB∥CD，AB⊥BC，∠ADE＝α，∠ACB＝∠β， 在Rt△AED中，AE＝atanα， 在Rt△ABC中，AB＝atanβ． ∴CD＝BE＝AB﹣AE＝atanβ﹣atanα＝a（tanβ﹣tanα）． 故选：D． 【点评】本题考查解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题的关键是掌握相关知识． 12．2024年5月3日17时27分，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面O处竖直向上发射，当火箭到达A处时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；当火箭到达B处时，从位于地面C处的雷达站测得仰角为45°，则从A处到B处的飞行距离为（　　） A．4km B．km C．km D．km 【分析】根据含30度角的直角三角形可得AO＝4，在Rt△AOC中，根据直角三角形的性质得出，在Rt△BOC中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论． 【解答】解：在Rt△AOC中， ∵∠AOC＝90°，∠ACO＝30°，AC＝8km， ∴． 在Rt△AOC中， ∴， 在Rt△BOC中， ∵∠BOC＝90°，∠BCO＝45°， ∴OB＝OC＝4km， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了解直角三角形﹣俯角仰角问题，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键． 13．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75） 【分析】过点C作CF⊥AB，先说明四边形CDBF是矩形，再在Rt△ACF、Rt△DBA中，利用直角三角形的边角间关系求出AF的长，最后利用线段的和差关系得结论． 【解答】解：过点C作CF⊥AB，垂足为F． ∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD， ∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°． ∴四边形CDBF是矩形． ∴BF＝CD，CF＝BD＝873m． ∵CF∥BD∥AE， ∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°． 在Rt△ACF中， ∵tan∠ACF， ∴AF＝tan∠ACF•CF ＝tan37°×873 ≈0.75×873 ≈654.75（m）． ∴CD＝FB＝AB﹣AF ＝873﹣654.75 ＝218.25 ≈218.3（m）． 答：吉塔的高度CD约为218.3m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系、矩形的性质和判定等知识点是解决本题的关键． 14．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，PO为飞机的高度．求： （1）∠APB的度数； （2）求PO的长． 【分析】（1）过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，过点A作AQ⊥PO于Q，可得PC∥OB∥AQ，得到∠CPA＝∠PAQ＝30°，∠CPB＝∠PBO＝60°，再根据角的和差关系即可求解； （2）由（1）可得∠ABP＝90°﹣60°＝30°，即得∠APB＝∠ABP，得到AP＝AB＝200米，进而由直角三角形的性质可得，最后根据线段的和差关系即可求解． 【解答】解：（1）从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，过P作PC⊥AB交BA的延长线于C，过点A作AQ⊥PO于Q，则PC∥OB∥AQ，如图， ∴∠CPA＝∠PAQ＝30°，∠CPB＝∠PBO＝60°， ∴∠APB＝∠CPB﹣∠CPA＝60°﹣30°＝30°； （2）∵∠ABP＝90°﹣60°＝30°， ∴∠APB＝∠ABP， ∵直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处， ∴AP＝AB＝200米， 在Rt△APC中，∠CPA＝30°， ∴米， ∴PO＝AC+AB＝300米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 15．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼AB的高度； （2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） 【分析】（1）根据正切的定义求出AB； （2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H，设DG＝x米，根据坡度的概念用x表示出DH，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC＝20米，∠ACB＝60°， ∵tan∠ACB， ∴AB＝BC•tan∠ACB＝2060（米）， 答：高楼AB的高度为60米； （2）过点D作DG⊥BE于点G，DH⊥AB于点H， 则四边形HBGD为矩形， ∴BH＝DG，DH＝BG， 设DG＝x米， ∴AH＝AB﹣BH＝（60﹣x）米， ∵斜坡CD的坡比是i＝1：6， ∴CG＝6x米， ∴BG＝（206x）米， 在Rt△AHD中，tan∠ADH， ∴0.75， 解得：x6.2， 经检验，x是原方程的解， 答：点D离地面的距离约为6.2米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． ▲1、 利用三角函数解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 三角函数的应用 导学案 1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展数学应用意识和解决问题的能力。 2.灵活地将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并选择适当的三角函数来解决。 学习重点：运用三角函数及方程思想求解实际情境问题，准确构建直角三角形。 学习难点：在复杂情境下提炼合适的模型，特别是公共量的设定与方程的建立，需具备较强的数形。 第一环节 自主学习 1.知识回顾 （1）解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，至少知道其中的 元素(至少有一个是 后，就可求出其余的元素． （2）指南或指北的方向线与目标方向线构成小于90°的角叫做 . 如图:点A在O的北偏东30°，点B在点O的南偏西45°(西南方向). （3）当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 ；当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为 . 2.情景引入 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 新知自研：自研课本第19--20页的内容． 【学法指导】 自研课本P154-155页的内容，思考： ●探究一：应用三角函数解决与方位角有关的实际问题 ◆1.议一议 如图，海中有一个小岛A，该岛四周10n mile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行. 问题：你认为货轮继续向东航行会有触礁的危险吗？你是怎样想的？ 【分析】（1）这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离AD是否 10 n mile.若AD＞ 10 n mile，则不会有触礁危险，否则有危险. （2）求AD，但在Rt△ACD和Rt△ABD中，都只有 的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用 思想，先把两个三角形的公共边AD看成已知，用含AD的代数式表示BD和 ，由BC＝20n mile建立关于AD的方程，从而求得AD. 【解答】解：根据题意可知，∠BAD=55º，∠CAD=25º，BC= 20n mile. 过点A作AD⊥BC于点D,设AD= x , 则在Rt△ABD中，tan∠BAD= ， ∴BD=AD·tan∠BAD= 在Rt△ACD中，tan∠CAD=， ∴CD=AD·tan∠CAD= ∵BC=BD﹣ ∴ 解得：x≈ ＞10. 答：这船继续向东航行 触礁的危险. ◆2.练一练 如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为________. ●探究点二：应用三角函数解决与仰角俯角有关的实际问题 ◆1.想一想 如图，小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到1 m） 【分析】求塔高就是求 的长，无论是在Rt△ACD中，还是在Rt△BCD中，只有 的条件，因此这两个三角形都不能解，所以仍要用方程思想，先把CD看成已知，用含CD的代数式表示 和BC，由AB＝50m建立关于CD的方程，从而求得CD. 【解答】 ◆2.练一练 如图，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离BC=_________米. ●探究点三：应用三角函数解决与倾斜角有关的实际问题 ◆1.做一做 某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的40°减至35°,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m). → 【分析】如图，（1）求调整后的楼梯会加长多少，即求 － ； （2）求楼梯多占多长一段地面，即求 . 在Rt△BCD中，已知一边和 ，可以求出BC、 的长，进而在Rt△ABC中求出AB、 ，进而求出AB－BD和AD. 【解答】 ◆2.知识归纳 利用三角函数解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用 等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到达点B，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． (1)试说明点B是否在暗礁区域外； (2)若继续向东航行有无触礁危险？请说明理由． 【分析】(1)求点B是否在暗礁区域内，其实就是求 的距离是否大于16海里,如果大于则 暗礁区域内，反之则在.可通过构造直角三角形来求CB的长，作CD⊥AB于D点， 是直角三角形ACD和CBD的公共直角边，可先求出 的长，再求出CB的长； (2)本题实际上是问C到AB的距离即CD是否大于16海里，如果大干则无触礁危险,反之则有CD的值；(1)已经求出，只要进行比较即可. 【解答】 例2 如图，水库大坝的横截面是梯形ABCD，坝顶AD＝4 m,高度为2 m,tanB＝，∠ADC＝135°. （1）求BC的长是多少米. （2）如果坝长100 m，那么修建这个大坝共需多少土石方？ 【分析】（1）在Rt△ABE中求出BE,在Rt△CFD中求出CF，继而可得出BC； （2）先求出梯形的 ，从而可以求出体积即可解答. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.讨论如何用锐角三角函数解决实际问题（仰角俯角、方位角等）； B.交流例题的解题思路，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图，某轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）． A．25海里 B．25海里 C．50海里 D．50海里 2.如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为_____米. 3.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是__________． 4.如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200米，点C在BD上，则树高AB等于__________（根号保留）． 5. 如图,一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角,且DB＝5 m.在C点上方2 m处加固另一条钢缆ED,那么钢缆ED的长度为多少?(结果精确到0.01 m) 6.如图，一架飞机从A地飞往B地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30°角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45°角的方向继续飞行直到终点．这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？ 题型一 ： 一般的实际问题 1．电线杆AB直立在水平的地面BC上，AC是电线杆AB的一根拉线，测得BC＝5，∠ACB＝52°，则拉线AC的长为（　　） A． B． C．5•cos52° D． 2．许多大型商场购物中心为了引导人流前往目标楼层，会考虑使用“飞梯”（可以跨楼层抵达的超高超长的自动扶梯）．上海大悦城的“飞梯”从3层直达7层，“飞梯”的截面如图，AB的长为50米，AB与AC的夹角为24°，则高BC是（　　） A．50sin24°米 B．50cos24°米 C．米 D．米 3．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A＝88°，∠C＝42°，AB＝60，则点A到BC的距离为（　　） A．60sin50° B． C．60cos50° D．60tan50° 4．如图所示的是一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为600米，∠BAC＝α，则缆车从A点到B点上升的高度（即BC的长）为（　　） A．600sinα米 B．米 C．600cosα米 D．米 题型二： 方位角问题 5．如图，一艘轮船航行至O点时，测得某灯塔A位于它的北偏东40°方向，且它与灯塔A相距13海里，继续沿正东方向航行，航行至点B处时，测得灯塔A恰好在它的正北方向，则AB的距离可表示为（　　） A．13cos40°海里 B．13sin40°海里 C．海里 D．海里 6．如图，某时刻码头A和码头B分别在游船M的南偏东60°和南偏东75°方向上，已知A，B相距1000米，此时游船M距离岸边AB的距离为 　 　米． 7．货轮在海上以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向航行，已知货轮在B处时，测得灯塔A在其北偏东80°的方向上，航行半小时后货轮到达C处，此时测到灯塔A在其北偏东20°的方向上，求货轮到达C处时与灯塔A的距离． 8．如图，城市A的正东方向100km处有一卫星城B，现计划在这两座城市间修筑一条城际快速通道（即线段AB），经测量，核能开发中心P在A城的北偏东30°和B城的北偏西45°的方向上，已知核辐射区域是以P点为圆心，50km为半径的圆形区域，请问这条快速通道会不会穿过核辐射区？请说明理由． 9．每年的秋冬季，万州就呈现出高峡平湖、水天一色的壮美画面．某个周末，小明和小华相约去南滨公园A游玩，小华家C在小明家B正北方向，南滨公园A在小明家B的北偏西30°方向上、在小华家C的北偏西75°方向上，已知小明家B与小华家C距离为1800米． （1）求南滨公园A与小明家B距离为多少米？（结果保留根号） （2）在小明家的正西方向有一个路口D恰好位于AB的中点M的正南方向，出发当天路段BM因施工无法通行，所以小明到南滨公园A只能走路线B→D→M→A．若他早上8：30从家出发，以120米/分钟的速度慢跑到南滨公园A，请问他能在9：00前到达南滨公园A吗？（参考数据：， 题型三：仰角与俯角问题 10．如图，小慧的眼睛离地面的距离为1.6m，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板60°角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度（单位：m）为（　　） A．6.6 B．11.6 C． D． 11．两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（　　） A．a米 B．米 C． 米 D．a（tanβ﹣tanα）米 12．2024年5月3日17时27分，搭载嫦娥六号探测器的长征五号遥八运载火箭在海南文昌航天发射场成功点火发射，如图，在发射的过程中，火箭从地面O处竖直向上发射，当火箭到达A处时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是8km，仰角为30°；当火箭到达B处时，从位于地面C处的雷达站测得仰角为45°，则从A处到B处的飞行距离为（　　） A．4km B．km C．km D．km 13．图①中的吉林省广播电视塔，又称“吉塔”．某直升飞机于空中A处探测到吉塔，此时飞行高度AB＝873m，如图②．从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔的高度CD（结果精确到0.1m）． （参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75） 14．直升飞机在高为200米的大楼AB上方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为30°和60°，PO为飞机的高度．求： （1）∠APB的度数； （2）求PO的长． 15．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡CD，首先在斜坡CD的底端C测得高楼顶端A的仰角是60°，然后沿斜坡CD向上走到D处，再测得高楼顶端A的仰角是37°，已知斜坡CD的坡比是i＝1：6，斜坡CD的底端C到高楼AB底端B的距离是20米，且B、C、E三点在一直线上（如图所示）．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼AB的高度； （2）求点D离地面的距离（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） ▲1、 利用三角函数解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为 的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用 等去解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $