1.4 解直角三角形（导学案）数学北师大版九年级下册

1.4 解直角三角形 导学案 1.了解解直角三角形的概念，明确除直角外需两个已知条件（至少含一条边），并能运用锐角三角函数求解。 2.经历解直角三角形过程，掌握运用勾股定理、锐角互余及三角函数的综合方法。 学习重点：运用勾股定理、锐角互余及三角函数解直角三角形。 学习难点：已知“边与角”或“两边”时的多种思路转换与计算方法灵活运用。 第一环节 自主学习 1.知识回顾 如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°。它的边、角以及边角之间都有什么关系呢？ （1）三边之间的关系:=_____； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； （3）边角之间的关系： sinA= ，cosA= ，tanA= ． 解：；；，， 2.情景引入 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角. 直角三角形中除了直角外，还有5个元素，分别是三条边和2个角.那么至少知道几个元素就可以求出其他的元素呢？ 利用边、角以及边角之间的关系，至少知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． 新知自研：自研课本第16--17页的内容． 【学法指导】 自研课本P16-17页的内容，思考： ●探究一：已知两边解直角三角形 ◆1.做一做 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=，求这个直角三角形的其他元素. 【分析】直角三角形中已知两边可以利用勾股定理求出第三条边；直角三角形中，已知两边可以利用锐角三角函数求∠A(或∠B)的度数；再利用两锐角互余求∠B(或∠A)的度数． 【解答】解：在Rt△ABC中，，a＝，b=， ∴c===2. 在Rt△ABC中，sin B＝==， ∴ ∠B＝30° ∴ ∠A＝90°-∠B=60°． 思考：还有没有其他解题思路? ◆2.议一议 分组探究，思考下面的问题： （1） 由两个已知条件a=，b=，能不能求出其中的一个锐角？ （2） 如何再求出另外一个锐角的度数？ （3）如何求出第三条边的长？ 【分析】已知a=，b=→tanA=（或tanB=）→∠A=60°(或∠B=30°)→sinA=(或sinB=)→边c． 【解答】解：在Rt△ABC中，a=，b=， ∴tanA===. ∴∠A=60°，∠B=90°-∠A=30° 在Rt△ABC中，sin A＝==， ∴ c=2. ◆3.知识归纳 （1）解直角三角形：由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. （2）已知两边解直角三角形 方法1：已知两条边的长度，可以先利用勾股定理求出第三条边，然后利用锐角三角函数求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角． 方法2：已知两条边的长度，可以先利用锐角三角函数求出其中一个锐角，然后根据直角三角形中两锐角互余求出另外一个锐角，再利用锐角三角函数求出第三条边． ◆4.练一练 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=，则cosA=_____ . 解： ●探究一：已知一边和一个锐角解直角三角形 ◆1.想一想 在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,且b=30,∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）. 【分析】直角三角形中已知一边和一个锐角，可以利用两锐角互余求∠A的度数．再利用锐角三角函数求出另两条边. 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=25°， ∴∠A=90°-∠B=65°. ◆2.知识归纳 已知一边和一个锐角解直角三角形 （1）已知一个锐角，先根据直角三角形两锐角互余求出另外一个锐角． （2）已知一条边的长，根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长； 也可以先利用三角函数的定义求出其中一条边的长，再利用勾股定理求出第三条边的长． ◆3.练一练 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，AC=2，则BC=（　　） A．2 B．2 C．4 D．6 解：B ◆4.议一议 （1）除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外，还有其他的情况解直角三角形吗？ （2）在Rt△ABC中，如果已知两个锐角，可以解直角三角形吗？先独立判断，再分组讨论． 解：只知道角度是无法求出直角三角形的边长的． （3）只给出一条边长这一个条件，可以解直角三角形吗？ 解：不能. ◆5.知识归纳 解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来． 【注意】：解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a = 30 , b = 20 ，解这个直角三角形. 【分析】本题是已知两边解直角三角形，可以先利用勾股定理求出第三条边，也可以先利用锐角三角函数求其中一个锐角的度数. 【解答】解：根据勾股定理得 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线AD=，解这个直角三角形. 【分析】可先在Rt△ADC中利用锐角三角函数求出∠CAD的度数，从而可以求出∠B的度数，再求出AB的长,最后求出BC的长即可解答.. 【解答】解： ∵AD平分∠BAC， 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨解直角三角形的定义以及解直角三角形必须满足的条件； B.交流例题的解题思路，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　） A. B.4 C.8 D.4 解：D． 2.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，BC＝3，则AC=(　　) A.3sin 50° B.3sin 40° C.3tan 50° D.3tan 40° 解：D． 3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（　　） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 解：B. 4.如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(　　)米. A.m·sin α B.m·tan α C.m·cos α D. 解：B． 5. 在△ABC中，已知AB＝3，AC=6，∠B＝45°，则BC=__________. 解：3+3或3−3 6.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________. 解： 7.在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2，则AC＝________. 解: 3 8.在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形． 解：∵在Rt△ABC中，∠C为直角，∠B＝30°， ∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°． ∵cos B＝， ∴a＝c·cos B＝10·cos 30°＝10×＝5． ∵sin B＝， ∴b＝c·sin B＝10·sin 30°＝10×＝5． 题型一： 已知斜边和一直角边解直角三角形 1．在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（　　） A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°-∠B求出 【分析】根据cos A= = 即可得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=4，AC=3， ∴cos A= =， ∴欲求∠A的值，最适宜的做法是计算cosA的值求出， 故选：C． 【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦和正切的定义． 2．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a，c，解这个直角三角形． 【分析】利用三角函数以及勾股定理解决问题即可． 【解答】解：△ABC中，∵∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a，c， ∴sinA， ∴∠A＝60°，∠B＝30°，b． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 【分析】先在Rt△ADC中利用边角间关系求出∠CAD的度数，再通过角平分线求出∠CAB，内角和定理求出∠B，最后利用特殊角的函数值和勾股定理求出AB、BC． 【解答】解：在Rt△ADC中， ∵cos∠CAD ， ∴∠CAD＝30°． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAB＝2∠CAD＝60°． ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝30°． ∵sinB，sinB＝sin30°， ∴AB＝2AC＝2×816． ∴BC ＝8． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的函数值和直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 题型二 已知两直角边解直角三角形 4．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求得AB的值，再根据正弦函数即可求得sinA的值． 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∴sinA． 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据三边，求出各角的三角函数． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b＝6，求这个直角三角形的其他元素． 【分析】利用勾股定理求出AB，求出tanA，推出∠A＝30°，可得结论． 【解答】解：如图， ∵∠C＝90°，BC＝6，AC＝6， ∴AB12， ∵tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣∠A＝60°． 【点评】本题考查解直角三角形，三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是掌握三角函数的定义，勾股定理，属于中考常考题型． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝4．解这个直角三角形． 【分析】利用勾股定理求出BC，根据AB＝2BC，推出∠A＝30°即可解决问题． 【解答】解：如图， 在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，AC＝2，AB＝4， ∴BC2， ∴AB＝2BC， ∴∠A＝30°，∠B＝60°． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型三： 已知一锐角一直角边解直角三角形 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，则AB的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 【分析】由锐角的余弦定义得到cosB，而BC＝2，即可求出AB的长． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝60°， ∴cosB＝cos60°， ∵BC＝2， ∴AB＝4． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，含30角的直角三角形，关键是掌握锐角的余弦定义． 8．在Rt△ABC中，，则BC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【分析】根据三角函数值确定BC和AC的关系，求解即可． 【解答】解：∵， ∴，即， ∵AC＝8， ∴BC＝6， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形，利用正切函数等于对边比邻边是解题关键． 9．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长．    【答案】 【分析】在中，，在中，求出 ，即可得到的长． 【详解】解：在中，，，， ， 在中，．， ， ． 【点睛】此题考查了解直角三角形，熟练掌握特殊角的三角函数值并准确计算是解题的关键． 题型四 已知一锐角和斜边解直角三角形 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】根据正弦的定义即可解决问题． 【解答】解：∵△ABC是直角三角形，AB＝5，sinA， ∴AB为直角三角形的斜边， ∴sinA， ∴BC＝4， ∴AC． 故选：A． 【点评】本题考查解直角三角形，熟知正弦的定义是解题的关键． 11．已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则∠C＝（　　） A．45° B．75° C．90° D．105° 【分析】过点C作CD⊥AB，先在Rt△ACD中求出∠ACD、CD、AD，再求出BD，最后在Rt△BCD中，利用等腰三角形的性质得结论． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D． 在Rt△ACD中， ∵∠A＝60°， ∴∠ACD＝30°． ∵sinA，cosA， ∴CD＝sin60°×2， AD＝cos60°×2＝1． ∴BD＝AB﹣AD＝11． 在Rt△BCD中， ∵CD＝BD， ∴∠BCD＝45°． ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝75°． 故选：B． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的函数值及等腰三角形的性质是解决本题的关键． 12．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，BD＝10，∠BDC＝45°，sinA，求AC的长． 【分析】在Rt△BCD中，利用正弦函数求得BC的长，再在Rt△ABC中，求得AB的长，用勾股定理即可求解． 【解答】解：在Rt△BCD中，， 在Rt△ABC中，， ∴． 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键． 题型五 解直角三角形的综合问题 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 【分析】（1）由tan∠ACB＝1可得CD＝AD＝6，根据勾股定理可得BD的长，进而求得BC的长； （2）根据AE是BC边上的中线可得CE的长，由DE＝CE﹣CD可得DE的长，根据勾股定理可得AE的长，再根据三角函数的定义解答即可． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD8； ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD+CD＝8+6＝14； （2）∵AE是BC边上的中线， ∴CE7， ∴DE＝CE﹣CD＝7﹣6＝1， ∵AD⊥BC， ∴， ∴sin∠DAE． 【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． 14．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝5，，过点A作AD⊥BC于点D． （1）求BD的长； （2）若点E是边AC的中点，连结BE，求tan∠EBC的值． 【分析】（1）在Rt△ABD中，根据∠ABD的正弦值及AB的长即可解决问题． （2）将∠EBC转化为∠CAD，在Rt△ACD中求出∠CAD的正切即可． 【解答】解：（1）因为AD⊥BC， 则在Rt△ABD中， sin∠ABD， 又因为AB＝5，sin∠ABD， 所以AD＝4， 所以BD． （2）因为BC＝5，BD＝3， 所以CD＝2． 因为AB＝BC，且点E是AC边的中点， 所以BE⊥AC， 所以∠EBC+∠C＝90°， 又因为∠CAD+∠C＝90°， 所以∠EBC＝∠CAD． 在Rt△CAD中， tan∠CAD， 所以tan∠EBC． 【点评】本题考查解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及正切的定义是解题的关键． 15．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，AB＝2，BC＝1，∠A＝45°，DF＝2． （1）求∠BCD度数； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）由锐角三角函数定义求出BE＝2，再证四边形BCFE是矩形，则CF＝BE＝2，∠BCF＝90°，然后求出∠DCF＝60°，即可得出答案； （2）由锐角三角函数定义求出AE＝2，再由梯形面积公式公式计算即可． 【解答】解：（1）∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠AEB＝∠DFC＝90°， ∵sinA， ∴BE＝AB•sinA＝2sin45°＝22， ∵BC∥AD，BE⊥AD，CF⊥AD， ∴四边形BCFE是矩形， ∴CF＝BE＝2，∠BCF＝90°， ∴tan∠DCF， ∴∠DCF＝60°， ∴∠BCD＝90°+60°＝150°； （2）∵cosA， ∴AE＝AB•cosA＝2cos45°＝22， ∵EF＝BC＝1， ∴四边形ABCD的面积为：（BC+AD）•BE（1+2+1+2）×2＝4+2． 【点评】本题考查了锐角三角函数定义、矩形的判定与性质以及梯形面积公式等知识，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 16．如图，在△ABC中，AB＝5，sinB，tanC． （1）求BC的长． （2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值． 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，在Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AE的长，从而利用勾股定理求出BE的长，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而求出BC的长； （2）根据BD：CD＝3：2，求出CD的长，过点D作AF⊥AC，垂足为F，在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义和勾股定理求出DF和CF的长，从而求出AF的长，然后在Rt△ADF中，利用锐角三角函数的定义即可求出答案． 【解答】解：（1）如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， 在Rt△ABE中，AB＝5，sinB， ∴， ∴AE＝3， ∴BE4， 在Rt△AEC中，tanC， ∴， ∴CE＝2AE＝6， ∴BC＝BE+CE＝10； （2）过点D作AF⊥AC，垂足为F，连接AD， ∵BD：CD＝3：2，BC＝10， ∴CD＝104， 在Rt△CDF中，tanC， ∴， ∴设DF＝x，则CF＝2x， ∵DF2+CF2＝CD2， ∴x2+4x2＝16， 解得x， ∴DF，CF， 由（1）得AC3， ∴AF＝3， ∴在Rt△ADF中，tan∠CAD． 【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． ▲1、 解直角三角形：由直角三角形中已知的元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形. ▲2、解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来． 【注意】：解直角三角形必须满足的一个条件是已知“一条边”． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 解直角三角形 导学案 1.了解解直角三角形的概念，明确除直角外需两个已知条件（至少含一条边），并能运用锐角三角函数求解。 2.经历解直角三角形过程，掌握运用勾股定理、锐角互余及三角函数的综合方法。 学习重点：运用勾股定理、锐角互余及三角函数解直角三角形。 学习难点：已知“边与角”或“两边”时的多种思路转换与计算方法灵活运用。 第一环节 自主学习 1.知识回顾 如图，在Rt△ABC中，其中∠C=90°。它的边、角以及边角之间都有什么关系呢？ （1）三边之间的关系:=_____； （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=_____； （3）边角之间的关系： sinA= ，cosA= ，tanA= ． 2.情景引入 生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角. 直角三角形中除了直角外，还有5个元素，分别是三条边和2个角.那么至少知道几个元素就可以求出其他的元素呢？ 利用边、角以及边角之间的关系，至少知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． 新知自研：自研课本第16--17页的内容． 【学法指导】 自研课本P16-17页的内容，思考： ●探究一：已知两边解直角三角形 ◆1.做一做 在Rt△ABC中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例1：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=，求这个直角三角形的其他元素. 【分析】直角三角形中已知两边可以利用 求出第三条边；直角三角形中，已知两边可以利用 求∠A(或∠B)的度数；再利用 求∠B(或∠A)的度数． 【解答】解：在Rt△ABC中，，a＝，b=， ∴c= 在Rt△ABC中，sin B＝ ， ∴ ∠B＝ ∴ ∠A＝90°－ = °． 思考：还有没有其他解题思路? ◆2.议一议 分组探究，思考下面的问题： （1） 由两个已知条件a=，b=，能不能求出其中的一个锐角？ （2） 如何再求出另外一个锐角的度数？ （3）如何求出第三条边的长？ 【分析】已知a=，b=→tanA= （或tanB=）→∠A= (或∠B= )→ sinA= (或sinB= →边 ． 【解答】 ◆3.知识归纳 （1）解直角三角形：由直角三角形中已知的元素,求出所有 的过程,叫做解直角三角形. （2）已知两边解直角三角形 方法1：已知两条边的长度，可以先利用 求出第三条边，然后利用 求出其中一个锐角，再根据直角三角形两锐角 求出另外一个锐角． 方法2：已知两条边的长度，可以先利用锐角三角函数求出其中一个 ，然后根据直角三角形中两锐角 求出另外一个锐角，再利用锐角三角函数求出 ． ◆4.练一练 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝1，BC=，则cosA= . ●探究一：已知一边和一个锐角解直角三角形 ◆1.想一想 在Rt△ABC中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 例2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a, b, c,且b=30,∠B＝25°,求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1）. 【分析】直角三角形中已知一边和一个锐角，可以利用两锐角 求∠A的度数．再利用锐角三角函数求出另两条边. 【解答】 ◆2.知识归纳 已知一边和一个锐角解直角三角形 （1）已知一个锐角，先根据直角三角形两锐角 求出另外一个锐角． （2）已知一条边的长，根据三角函数的定义可以求出另外两条边的长； 也可以先利用三角函数的定义求出其中 ，再利用勾股定理求出第三条边的长． ◆3.练一练 如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝30°，AC=2，则BC=（　　） A．2 B．2 C．4 D．6 ◆4.议一议 （1）除了已知“两边”和“一边一角”解直角三角形外，还有其他的情况解直角三角形吗？ （2）在Rt△ABC中，如果已知两个锐角，可以解直角三角形吗？先独立判断，再分组讨论． （3）只给出一条边长这一个条件，可以解直角三角形吗？ ◆5.知识归纳 解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是 元素，如果再知道 和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来． 【注意】：解直角三角形必须满足的一个条件是已知“ ”． 【例题导析】 自研下面典例的内容，回答问题： 典例分析 例1 如图所示，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，a = 30 , b = 20 ，解这个直角三角形. 【分析】本题是已知两边解直角三角形，可以先利用 求出第三条边，也可以先利用锐角三角函数求其中一个锐角的度数. 【解答】 例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=6， ∠BAC的平分线AD=，解这个直角三角形. 【分析】可先在Rt△ADC中利用锐角三角函数求出 的度数，从而可以求出 的度数，再求出AB的长,最后求出BC的长即可解答.. 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A.探讨解直角三角形的定义以及解直角三角形必须满足的条件； B.交流例题的解题思路，强调易错点. C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是（　　） A. B.4 C.8 D.4 2.在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝50°，BC＝3，则AC=(　　) A.3sin 50° B.3sin 40° C.3tan 50° D.3tan 40° 3.如图，已知Rt△ABC中，斜边BC上的高AD=3，cosB=，则AC的长为（　　） A．3 B．3.75 C．4.8 D．5 4.如图，小明为了测量其所在位置点A到河对岸点B之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α，那么AB等于(　　)米. A.m·sin α B.m·tan α C.m·cos α D. 5. 在△ABC中，已知AB＝3，AC=6，∠B＝45°，则BC=__________. 6.在△ABC中，AB=AC=3，BC=4，则cosB 的值是_________. 7.在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°，AB＝2，则AC＝________. 8.在Rt△ABC中，∠C为直角，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解这个直角三角形． 题型一： 已知斜边和一直角边解直角三角形 1．在△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=3，欲求∠A的值，最适宜的做法是（　　） A．计算tan A的值求出 B．计算sin A的值求出 C．计算cos A的值求出 D．先根据sin B求出∠B，再利用90°-∠B求出 2．已知在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a，c，解这个直角三角形． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD 是∠CAB的平分线．设AC，AD，解这个直角三角形． 题型二 已知两直角边解直角三角形 4．在△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝8，BC＝6，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝6，b＝6，求这个直角三角形的其他元素． 6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，b＝2，c＝4．解这个直角三角形． 题型三： 已知一锐角一直角边解直角三角形 7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝2，则AB的长为（　　） A．1 B．2 C．4 D．6 8．在Rt△ABC中，，则BC的值为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 9．如图，在中，，是边上一点，过点作，垂足为，，，，求的长．    题型四 已知一锐角和斜边解直角三角形 10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，，则AC的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 11．已知在△ABC中，∠A＝60°，AB＝1，AC＝2，则∠C＝（　　） A．45° B．75° C．90° D．105° 12．如图，△ABC中，∠C＝90°，D是AC上一点，BD＝10，∠BDC＝45°，sinA，求AC的长． 题型五 解直角三角形的综合问题 13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1． （1）求BC的长； （2）求sin∠DAE的值． 14．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝5，，过点A作AD⊥BC于点D． （1）求BD的长； （2）若点E是边AC的中点，连结BE，求tan∠EBC的值． 15．如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，AB＝2，BC＝1，∠A＝45°，DF＝2． （1）求∠BCD度数； （2）求四边形ABCD的面积． 16．如图，在△ABC中，AB＝5，sinB，tanC． （1）求BC的长． （2）若点D在BC边上，且BD：CD＝3：2，求tan∠CAD的值． ▲1、 解直角三角形：由直角三角形中已知的元素,求出所有 的过程,叫做解直角三角形. ▲2、解直角三角形需要满足的条件： 在直角三角形的6个元素中，直角是 元素，如果再知道 和第三个元素，那么这个三角形的所有元素就都可以确定下来． 【注意】：解直角三角形必须满足的一个条件是已知“ ”． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $