精品解析：湖北省荆州市江陵县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年度上学期期中质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分，其中试题卷6页，共3大题，满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷为试题卷，不能答题，答案必须写在答题卡上． ★祝考试顺利 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 方程x2﹣4＝0的根为（ ） A. x＝2 B. x＝ C. x1＝2，x2＝﹣2 D. x1＝，x2＝﹣ 4. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转°后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ） A. 45 B. 60 C. 72 D. 144 5. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 6. 如图，点A，B，C，D在上，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；③当时，y随x的增大而增大；④y的最小值为．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 12. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______. 13. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________． 14. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 15. 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到．当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，则线段的长为_______． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 18. 下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 19. 数学兴趣学习小组准备建一个矩形苗圃园ABCD，苗圃园的一边利用长为14米的住房墙，另外三边用28米长建筑材料围成． （1）若矩形苗圃园ABCD的面积为96平方米，求边AB的长； （2）当边AB为多少时，矩形苗圃园ABCD的面积最大，最大是多少？ 20. 如图，在中，，将绕着点逆时旋转得到，点，的对应点分别为，．点落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 21. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 22. 如图，是的直径，、是上的两点，且，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 23. 赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面距离为9米． （1）求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； （2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 24. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图②，连接，当点在抛物线上点之间运动时（不与点重合），过点作直线轴于点，交于点．若，求的值； （3）若点在抛物线对称轴的左侧，以点为对称中心，构造正方形，且在轴上（点在点的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期中质量监测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试卷包括试题卷和答题卡两部分，其中试题卷6页，共3大题，满分120分，考试时间120分钟． 2．本卷为试题卷，不能答题，答案必须写在答题卡上． ★祝考试顺利 一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑） 1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标即可． 【详解】解：因为抛物线， 所以抛物线的顶点坐标是． 故选D． 【点睛】本题考查了二次函数性质，由顶点式直接写出顶点坐标是解题关键． 3. 方程x2﹣4＝0的根为（ ） A. x＝2 B. x＝ C. x1＝2，x2＝﹣2 D. x1＝，x2＝﹣ 【答案】C 【解析】 【分析】将方程移项直接开平方即可． 【详解】解：x2﹣4＝0， ， ∴x1＝2，x2＝﹣2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查运用直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解本题的关键． 4. 如图，香港特别行政区标志紫荆花图案绕中心旋转°后能与原来的图案互相重合，则的最小值为（ ） A. 45 B. 60 C. 72 D. 144 【答案】C 【解析】 【分析】该图形被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合． 【详解】该图形被平分成五部分，旋转的整数倍，就可以与自身重合， 故的最小值为． 故选：C 【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角． 5. 下表示用计算器探索函数时所得的数值： 则方程的一个解的取值范围为（ ） A. 0<x<0.25 B. 0.25<x<0.5 C. 0.5<x<0.75 D. 0.75<x<1 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式找出对称轴，即可知何时y随x的增大而增大，本题易解． 【详解】∵二次函数中，a=1>0， ∴抛物线开口方向向上， ∵对称轴 ∴时y随x的增大而增大， ∵当x=0.5时，y=−0.25<0，当x=0.75时，y=1.31>0， ∴方程的一个正根：0.5<x<0.75， 故选C. 【点睛】解答此题的关键是求出对称轴,然后由图象解答,锻炼了学生数形结合的思想方法. 6. 如图，点A，B，C，D在上，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了直径定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上两个定理． 利用直径定理得出，利用直角三角形的性质求出，最后利用圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∴, 故选：B． 7. 若关于的一元二次方程的一个根是，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴把代入， 得， 解得， 故选：C 8. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为，瓶内液体的最大深度为，则截面圆中弦的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 根据勾股定理求得的长，根据垂径定理可得，进而即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ，， ， 在中， ， 故选：B. 9. 如图，在等腰直角三角形中，，一个三角尺的直角顶点与边的中点重合，且两条直角边分别经过点和点，将三角尺绕点按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与，分别交于点，时，下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接AO，易证△EOA≌△FOC（ASA），利用全等三角形的性质可得出EA=FC，进而可得出AE+AF=AC，选项A正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=90°可得出∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA=S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=S△ABC，选项D正确．综上，此题得解． 【详解】连接AO，如图所示． ∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点， ∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°． ∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°， ∴∠EOA=∠FOC． 在△EOA和△FOC中， ， ∴△EOA≌△FOC（ASA）， ∴EA=FC， ∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A正确； ∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠OFC=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°-∠EOF=90°， ∴∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确； ∵△EOA≌△FOC， ∴S△EOA=S△FOC， ∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=S△ABC，选项D正确． 故选C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键． 10. 如图，抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：①；②关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；③当时，y随x的增大而增大；④y的最小值为．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】①抛物线开口向上，，与轴交于负半轴，，即可得到；②根据抛物线与轴的交点个数，即可得证；③根据二次函数的图象即可得证；④由图象可知，当时，取最小值． 【详解】解：∵抛物线开口向上，，与轴交于负半轴，， ∴；故①正确； ∵抛物线与x轴交于点，其对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故②正确； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而增大；故③正确； 当时，函数有最小值：；故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个； 故选D． 【点睛】本题考查二次函数的图象和系数之间的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 点关于原点对称的点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，掌握关于原点对称点坐标的性质是解题关键．根据平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横、纵坐标都变成相反数． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式_______. 【答案】y＝x2＋1． 【解析】 【详解】此题答案不唯一，只要二次项系数大于0，经过点（0,1）即可，如y＝x2＋1，y＝x2＋2x＋1等． 13. 我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道题，（如图）题目是：“今有立木，系所其末，委地三尺．去本八尺而索尽．问索长几何？”题意是：今有一竖立的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面部分还有3尺．牵着绳索退行，在木柱根部八尺处时，绳索用完，问绳索长是多少？如果设绳索长为尺，根据题意列方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．设绳索长为x尺，根据勾股定理即可列出方程． 【详解】解：设绳索长为x尺，则木柱长为尺， 根据勾股定理可列方程：， 故答案为：． 14. 把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向左平移2个单位，再向上平移5个单位，所得抛物线的解析式是， 故答案为：． 15. 在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得到．当旋转后点恰好落在轴正半轴上时，则线段的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理解直角三角形，旋转的性质，坐标与图形．作轴于M．在中，求出即可解决问题． 【详解】解：过点D作轴于M， ∵，， ∴，， 由旋转的性质，可得， ∴，，， 由面积知， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴点D的坐标为 ∴； 故答案为：． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程解法，熟练掌握因式分解法与求根公式是解题的关键． （1）方程先去括号后，再移项、合并同类项，用因式分解法进行解方程即可； （2）将方程去括号化为一般式，根据可知方程由两个不等根，用求根公式进行求解即可． 【小问1详解】 解： 令或 解得或； 【小问2详解】 解： 解得：或 ． 17. 关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m的值. 【答案】（1）m≤．　 （2）m=-3. 【解析】 【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2﹣4ac≥0，从而求出实数m的取值范围； （2）先由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2=3，x1x2=m-1．再代入等式2（x1+x2）+ x1x2+10=0，即可求得m的值． 【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的两个实数根分别为x1,x2．∴　　⊿≥0． 　　即　32-4（m-1）≥0，解得,m≤．　 （2）由已知可得　x1+x2=3　　 x1x2=m-1 　 又2（x1+x2）+ x1x2+10=0 ∴2×（-3）+m-1+10=0　　∴m=-3 18. 下面是小宁设计的“作三角形的高”的尺规作图过程． 已知：． 求作：，垂足为D． 作法：如图所示， ①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点； ②作直线，交于点O； ③以点O为圆心，长为半径作圆，交线段于点D（点D不与点C重合），连接． 所以线段就是所求作的高． 根据小宁设计的尺规作图过程，解决问题： （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：， ， ∴点P、Q都在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴O为中点． ∵为直径，与线段交于点D， ∵ °．（ ）（填推理的依据） ． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂线尺规作图，线段垂直平分线的判定与性质， （1）按照题干要求作图，即可； （2）按照题干给出思路，结合直径所对圆周角为直角的知识证明即可． 【小问1详解】 解：作图如下： 线段就是所求作的高； 【小问2详解】 证明：连接，，，，如图， ，， 点P、Q都在线段的垂直平分线上， 直线为线段的垂直平分线， O为中点，即． ∴为直径，与线段交于点D， （直径所对圆周角为直角） ． 19. 数学兴趣学习小组准备建一个矩形苗圃园ABCD，苗圃园的一边利用长为14米的住房墙，另外三边用28米长建筑材料围成． （1）若矩形苗圃园ABCD的面积为96平方米，求边AB的长； （2）当边AB为多少时，矩形苗圃园ABCD面积最大，最大是多少？ 【答案】（1）12米；（2）当边AB为14米时，矩形苗圃园ABCD的面积最大，最大是98平方米 【解析】 【分析】（1）设边AB的长为x米，根据矩形的面积列出方程，求出的x取小于等于的值即可； （2）设边AB的长为x米，根据矩形的面积列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】解：（1）设边AB的长为x米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴， 答：边AB的长为米； （2）矩形苗圃园ABCD的面积为y平方米， 则， ∵， ∴当时，最大值，最大值为， ∴当边AB为米时，矩形苗圃园ABCD的面积最大，最大是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，解题关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 20. 如图，在中，，将绕着点逆时旋转得到，点，的对应点分别为，．点落在上，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质： （1）根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 将绕着点逆时针旋转得到， ，， ； 【小问2详解】 解：，，， ， 将绕着点逆时针旋转得到， ，， ， ． 21. 已知二次函数 的y与x的部分对应值如表： x 1 3 y 0 1 0 （1）求这个二次函数表达式； （2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象； （3）当x的取值范围为 时，． 【答案】（1）； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）用待定系数法，设二次函数的表达式为，把代入即可求解； （2）利用描点法画二次函数图象； （3）根据图象，所求结果是二次函数在直线以上的对应的的取值范围，据此解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数的表达式为：， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的表达式为：， 即； 【小问2详解】 解：根据题意，抛物线的顶点坐标为，描点画图，函数图象如图： 【小问3详解】 解：当时，， 解得：，， 如图： 根据图象可得：当时，x的取值范围为：， 故答案为：． 22. 如图，是的直径，、是上的两点，且，交的延长线于点． （1）求证：； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，角平分线的性质等知识点， （1）根据圆周角定理证明，则，再由平行线的性质证明即可； （2）过点作，连接，先证明，然后角平分线性质定理得到，在中，，设的半径为，则，，在中运用定理建立方程求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， 又∵ 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作，连接， ， ，， ∵， ， 在中，， 设的半径为，则，， 在中，， ， 解得：， ． 23. 赛龙舟是中国端午节最重要的一种节日民俗活动，一场赛龙舟活动中，图1是比赛途中经过的一座拱桥，图2是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系，水面的宽度为； 拱桥最高处到水面的距离为9米． （1）求桥拱上的点到水面的竖直高度y（单位：m）与到点O的水平距离x（单位：m）满足的二次函数解析式； （2）据调查，各参赛队所用龙舟均为活动主办方统一提供，每条龙舟宽度为9m．龙舟最高处距离水面；为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少为．问5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞？ 【答案】（1） （2）5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设顶点式，利用待定系数法求解； （2）依据题意，令，解方程求出的值，求出可设计赛道的宽度，再除以9得出可设计赛道的条数，从而判断5条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）是否可以同时通过桥洞． 【小问1详解】 解：由题意，抛物线的顶点，点， 设二次函数解析式为， 将点代入得， 解得， 二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，当时，， 或． 可设计赛道的宽度为． ， 最多可设计龙舟赛道的数量为4条， 条龙舟（不考虑龙舟之间的间隔）不可以同时通过桥洞． 24. 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线（是常数）交轴于点，交轴于点，点坐标为，点为抛物线的顶点，点为抛物线上一动点，且点的横坐标为． （1）求该抛物线的解析式及点的坐标； （2）如图②，连接，当点在抛物线上点之间运动时（不与点重合），过点作直线轴于点，交于点．若，求值； （3）若点在抛物线对称轴的左侧，以点为对称中心，构造正方形，且在轴上（点在点的下方），直接写出抛物线与正方形的边只有2个公共点时的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或． 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线的解析式用待定系数法即可求解； （2）令，解之可得，进而可求直线解析式为． 由点E在抛物线上的点A，C之间，点，，，求得，，根据题意建立方程求解即可； （3）由题可得，，则，即，根据题意画出图形，结合图形建立方程，根据题意写出取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交y轴于点， 将代入得：， 解得， ∴该抛物线的解析式是． ∵， ． 【小问2详解】 解：令，解得，， ， 设直线的解析式为，将代入， 解得， ∴直线解析式为． ∵点E在抛物线上的点A，C之间， ∴． 由点，，， ， ∴． ∵， ∴， 解得，而， ∴ 【小问3详解】 解：由题可得，，则，即， 如图所示：此时边经过点，正方形与抛物线有3个交点，， 解得，或， ， ， 正方形与抛物线有2个交点时，； 当点与点重合时，正方形与抛物线有3个交点，如图所示： 此时， 解得，（舍去）或， 当时正方形与抛物线有2个交点， 综上所述，正方形与抛物线有2个交点时，的取值范围是： 或． 【点睛】本题主要是考查了二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数的表达式，二次函数 与线段问题，二次函数与特殊四边形的问题，点的坐标求解，其中(3)要注意数形结合，分类讨论，避免漏解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $