7.1为什么要证明课件2025--2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“证明的必要性”，通过视觉错觉判断、地球赤道铁丝间隙计算、代数式值归纳等情境，引导学生发现观察、实验、归纳的局限性，搭建从直观感知到逻辑推理的学习支架。 其亮点在于以情境驱动和问题链设计，结合几何直观与推理意识，如用线段判断、地球赤道问题培养数学眼光，通过代数式反例和角度证明发展推理能力，帮助学生养成严谨思维，教师可直接用于课堂互动，提升教学效率。

第七章 证明 7.1 为什么要证明 学习目标 1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理。 (重点) 2.会用实验验证、举出反例、推理等方法简单地验证一个数学结论是否 正确。(难点) 情境引入 以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论。观察、实验、归纳得到的结论一定正确吗？我们再感受几个！ (1)图7-1中两条线段a，b的长度相等吗？图2中的四边形是正方形吗？ 请你先观察，再设法检验你观察到的结论。 有时视觉受周围环境的影响，往往误导我们，让我们得出错误的结论，所以仅靠经验、观察是不够的，只有通过科学的实验进行严格的推理，才能得出最准确的结论。 情境引入 (2)如图7-3,把地球看成球形，假如用一根比地球赤道长1m的 铁丝将地球赤道围起来，铁丝与地球赤道之间的间隙能有 多大？能放进一个拳头吗？先凭感觉想象一下，再具体算 一算，看看与你的感觉是否一致，并与同伴进行交流。 r R 即铁丝圈与赤道之间的距离约为16cm,能放进一个拳头。 设地球赤道长为xm，则铁丝长为(x＋1)m。 则地球半径 r = m，铁丝围成的圆半径 R = m。 ∴R－r = － = ≈ 0.16m。 (3)观察图中的横线，它们平行吗？ 你觉得观察得到的结论正确吗？ 情境引入 别太信任你的眼睛和直觉哟！ 尝试·思考 (1)对于自然数n，代数式 n2－n＋11的值是质数吗?取 n = 0，1，2，3， 4，5试一试，你能否由此得到结论：“对于所有自然数n，n2－n＋11 的值都是质数”? n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n2－n＋11 11 11 13 17 23 31 41 53 67 83 101 以上当 n = 0,1,2,3,......10的自然数时，n2－n＋11的值都是质数, 但是当 n = 11时，n2－n＋11 = 121，121 = 11×11并不是质数。 所以对于所有自然数n，n2－n＋11的值不一定都是质数。 尝试·思考 (2)如图7-4，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE。DE与BC 有怎样的位置关系和数量关系？请你先猜一猜，再设法检验你的猜想。 你能肯定你的结论对所有的△ABC都成立吗？ A B C D E 改变三角形的形状，在不同的三角形中再次验证，都可以得到同样的结论。 通过测量可能得出猜想：DE∥BC，DE = BC。 A B C D E A B C D E 这种是通过试验的方法来探究结论的正确性，但由于结果是测量 得到的，在测量过程中难免会有误差，因此难以令人信服，还需要寻 求更为可信的推理和论证。 观察、实验、归纳是人们认识事物的重要手段。通过观察、实验、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的？说说你的经验与困惑，并与同伴进行交流。 思考·交流 观察、实验、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确，因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠观察、实验、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明。 a b c d (1)图中三条线段a,b,c,哪一条和线段d在同一条直线上？请你先观察， 再用直尺验证。 随堂练习 解：线段b和d在同一条直线上。 (2)图中两条线段a与b的长度相等吗？ ＞ ＜ a b 解：图中两条线段a与b的长度相等。 随堂练习 2.当n为正整数时，n2＋3n＋1的值一定是质数吗？ 解：当n = 1时，n2＋3n＋1 = 12＋3×1＋1 = 5 ； 当n = 2时，n2＋3n＋1 = 22＋3×2＋1 = 11； 当n = 3时，n2＋3n＋1 = 32＋3×3＋1 = 19； 当n = 4时，n2＋3n＋1 = 42＋3×4＋1 = 29； 当n = 5时，n2＋3n＋1 = 52＋3×5＋1 = 41； 【方法总结】特例验证是判断一个结论错误的有效方法。 当n = 6时，n2＋3n＋1 = 62＋3×6＋1 = 55 = 5×11。 此时n2＋3n＋1的值不是质数。 所以当n为正整数时，n2＋3n＋1不一定是质数。 为什么要证明 数学结论必须经过严格的论证 实验验证 举出反例 推理证明 论证方法 课堂小结 习题7.1 1.八(1)班有39位同学，他们每人将自己的学号作为n的取值(n = 1，2，3,…， 39)代入式子n2＋n＋41，结果发现式子n2＋n＋41的值都是质数,于是他们猜 想: “对于所有的自然数，式子n2＋n＋41的值都是质数，”你认为这个猜 想正确吗？ 解：这个猜想不正确。 当n = 40时，式子n2＋n＋41的值为402＋40＋41 = 412，是一个 合数。 习题7.1 2.观察下列各式： 1 = 12－02， 3 = 22－12， 5 = 32－22, 7 = 42－32, … 你能否得到结论：所有奇数都可以表示为两个自然数的平方差？所有偶数 呢？请说明理由。 解：所有奇数都可以表示为两个相邻自然数的平方差, 即 2n＋1 = (n＋1)2－n2。 例如：10，14，22…就不能写成两个自然数的平方差。 但对于偶数，则不一定能表示成两个自然数的平方差。 习题7.1 3.如图，AB∥DE，BC∥EF，你能判断∠ABC与∠DEF的 大小关系吗？小颖据此得出结论：如果两个角的两边分 别平行，那么这两个角相等。你认为她的想法正确吗？ A B E F C G D 解：小颖的结论不全面。 一般地，如果两个角的两边分别平行， 那么这两个角的关系是相等或互补。 1 A B E F C G D 2 如图① ∠ABC = ∠DEF； 如图② ∠ABC＋∠DEF = 180°。 2.下列问题用到推理的是( ) 。 A.根据a = 10，b = 10,得到a = b ； B.观察得到三角形有三个角； C.老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘； D.由经验可知过两点有且只有一条直线。 1.下列结论中你能肯定的是( )。 A.今天下雨，明天必然还下雨； B.三个连续整数的积一定能被6整除； C.小明在数学竞赛中一定能获奖； D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人。 B A 随堂检测 3.顺次连接等腰梯形四边中点，所得到的四边形是( )。 A.平行四边形 B.矩形 C.正方形 D.菱形。 D 随堂检测 4.下列结论正确的是( )。 A.全等三角形的对应角相等； B.对应角相等的两个三角形全等； C.有两条边和一角对应相等的两个三角形全等； D.若两个数的平方相等，则这两个数一定相等。 A 随堂检测 5.下列推理正确的是(　　)。 A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大5 岁了，因为弟弟明年比今年长大了1岁； B．如果a＞b，b＞c，那么a＞c； C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多； D．因为对顶角必然相等，所以相等的角也必是对顶角。 B 随堂检测 6.有红、黄、蓝三个箱子，一个苹果放入其中某个箱子内，并且： (1)红箱子盖上写着：“苹果在这个箱子里”； (2)黄箱子盖上写着：“苹果不在这个箱子里”； (3)蓝箱子盖上写着：“苹果不在红箱子里”； 已知(1),(2),(3)中只有一句是真的，苹果在哪个箱子里？ 解：我们发现条件(1)与(3)互相矛盾，而两件矛盾的事不能都是真的， 必然有一真一假；又因为真话只有一句，所以(2)必然是假话， 从而可以判断苹果一定在黄箱子里。 7.如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD。 (1)若∠BOC = 30°，求∠AOB和∠COD的度数； (2)若∠BOC = 54°，求∠AOB和∠COD的度数； (3)由(1)、(2)你发现了什么？ (4)你能肯定上述的发现吗？ 随堂检测 30° 解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠AOC = ∠BOD = 90°。 ∵∠BOC = 30°， ∴∠AOB = ∠AOC－∠BOC = 90°－30° = 60°， ∠COD = ∠BOD－∠BOC = 90°－30° = 60°。 (2)∠AOB = ∠AOC－∠BOC = 90°－54° = 36°， ∠COD = ∠BOD－∠BOC = 90°－54° = 36°。 (3)由(1)，(2)可发现： ∠AOB = ∠COD。 54° 随堂检测 7.如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD. (4)你能肯定上述的发现吗？ 解：一定有∠AOB = ∠COD。 证明：∵OA⊥OC，OB⊥OD， ∴∠AOB＋∠BOC = ∠AOC = 90°， ∠BOC＋∠COD = ∠BOD = 90°， ∴∠AOB = ∠COD。(同角的余角相等) 【方法总结】检验数学结论具体经历的过程是： 观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→得出结论。 再 见 $