精品解析：湖北省襄阳市南漳六校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

九年级（上）期中测试数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 一元二次方程x2+2x＝0的根是(　　) A. x1＝0，x2＝－2 B. x1＝1，x2＝2 C. x1＝1，x2＝－2 D. x1＝0，x2＝2 【答案】A 【解析】 【分析】方程整理后，利用因式分解法求出解即可． 【详解】解：方程整理得：x(x+2)=0， 解得：x1=0,x2=−2. 故选A. 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，解题的关键是掌握因式分解的方法进行解答. 3. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解： 二次函数中， ， 当 时，二次函数有最小值，最小值为， 故选：A． 4. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为 ，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一元二次方程的应用，正确理解变化率问题及降低率公式是解题的关键． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为 ，根据题意得， 故选：C． 5. 若关于 的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到，建立关于的方程，解答即可． 【详解】∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时；当一元二次方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，，正确掌握此三种情况是正确解题的关键． 6. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数的对称轴为 ，再判断，在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系． 【详解】解： 函数的对称轴为 ， 抛物线开口向上，对称轴右侧 随 的增大而增大， ∵，，在对称轴右侧， ． 故选：B． 7. 如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，结合旋转的性质得出是解题关键．由旋转的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：根据题意，将 绕点 顺时针旋转到 ， ， ， ， 故选：B． 8. 如图， 中，弦， 的半径长为，则圆心O到的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．过点作交于点 ，连接．根据垂径定理求出 的长，在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作交于点 ，连接． ，， ， 在中利用勾股定理，得， 圆心到的距离为． 故选：A． 9. 一次函数和二次函数（，， 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象综合判断，解题的关键是根据一次函数、二次函数的图象，分别确定系数的符号，再作出判断． 对每个图象中的一次函数的图象确定，的符号，再对照二次函数得出，的符号比较是否一致，然后作出选择． 【详解】从选项A中的直线可知，，，抛物线开口向下，所以错误； 从选项B中的直线可知，，，抛物线对称轴在 轴左侧，所以错误； 从选项C中的直线可知，，，抛物线开口向上，所以错误； 从选项D中的直线可知，，，抛物线开口向上，对称轴在 轴右侧，所以正确． 故选：D． 10. 如图，抛物线的对称轴是直线 ，且经过点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式之间的关系，二次函数的性质等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 根据二次函数开口向上，与 轴交于负半轴，得到，再由二次函数对称轴为直线 ，得到，由此即可判断选项A，根据二次函数与x轴有2个交点，由此即可判断选项B；当 时， ，结合，由此即可判断选项D；求出二次函数与 轴的另一个交点坐标为，即可判断选项C． 【详解】解：∵二次函数开口向上，与 轴交于负半轴， ， 抛物线的对称轴是直线 ， ， ， ，故A错误，不符合题意； 二次函数与x轴有2个交点， ∴，故B结论错误，不符合题意； 当 时， ， ∴， ∴， 故D结论错误，不符合题意； ∵二次函数经过点 ，对称轴为直线 ， ∴二次函数与 轴的另一个交点坐标为， ∵当时，， 故C结论正确，符合题意； 故选：C． 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴． 故答案为：． 12. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度 为时，水面的宽度为______ 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．根据题意，把直接代入解析式即可解答． 【详解】解：根据题意 的纵坐标为， 把代入， 得 ， ，， ． 故答案为：8． 13. 我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为______步；长为______步． 【答案】 ①. 24 ②. 36 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设阔为 步，则长为步，根据直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），可列出关于 的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设阔为 步，则长为步， 根据题意得：， 整理得：， 解得：(不符合题意，舍去)， ， 阔为24步，长为36步． 故答案为：24，36 14. 圆的半径为13，、是圆的两条弦，，则与之间的距离为___________． 【答案】7或17##17或7 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，分 在圆心O的同侧和 在圆心O的异侧两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当 在圆心O的同侧，过点O作，交于点E，交于点F，连接， ∵， ∴． ∵ ， ∴， ∴． 在中，， 在中，， ∴； 如图所示，当 在圆心O的异侧，过点O作，交于点E，作，交于点F，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵ ， ∴点E，O，F三点共线． 在中，， 在中，， ∴． 所以与之间的距离是7或17． 故答案为：7或17． 15. 如图， 中， ， ，点D为 边上一动点，将线段 绕B点顺时针旋转 ，得到线段 ，连 ，则 的最小值为________ 【答案】2 【解析】 【分析】延长 至F使，可证，可得，点E在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时， 最小，求出 即可． 【详解】解：延长 至F使， ∵， ∴， ∴， ∵将线段 绕点B按顺时针方向旋转 得到 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E在直线绕点F逆时针旋转的直线上，当时， 最小； ∵ ， ∴， 当时，， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、旋转的性质、垂线段最短，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，发现点E的运动轨迹． 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答即可； （2）利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解： ， 即， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解： ， ， ， 解得：． 17. 关于 的一元二次方程有实数根． （1）求的范围； （2）如果方程两根分别为， ，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系，运用韦达定理进行即可即可求解； 本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得，． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数关系可知，， ∴， 解得，，， ∵， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点为，，． （1）平移 ，若点 的对应点的坐标为，画出平移后的 ； （2）将 以点为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为 ． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，旋转作图等知识，掌握旋转，平移的性质是解题的关键． （ ）根据点 的对应点的坐标为确定平移方式，再根据平移方式确定其它两点的对应点，最后连线即可； （）根据旋转的性质，找到三个顶点的对应点，再连线即可； （）连接对应点，对应点的交点就是旋转中心（对称中心）． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，由题意可得的坐标为，的坐标为， 设解析式为 ， ∴，解得：， ∴解析式为 ， 当 时， ， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 19. 如图，已知正方形 ，点E是对角线 上一点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转至 的位置，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定是解题的关键，由旋转的性质可得，由正方形的性质得到，从而推出，再利用 ，即可证得． 【详解】解：∵ 绕点D顺时针旋转至 的位置， ∵四边形 为正方形， ， ， 即． 在 与 中， ， ． 20. 某小区在绿化工程中有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，且它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 【答案】人行通道的究度为 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的实际应用----面积问题，根据题意，列出一元二次方程，是解题的关键. 设人行通道的宽度为x米，根据矩形绿地的面积和为平方米，列出关于x的一元二次方程，求解即可. 【详解】解：设人行通道的宽度为． 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：人行通道的究度为． 21. 如图，是 的弦，半径 ，垂足为，交 延长线于点 ． （1）求证：是 的中点； （2）若 ，，求 的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接 ． 是 的弦，半径 ， 是的中点． ． ． ． ， ． ，． ． ． ． 即为 的中点． （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，弧，弦，角之间的关系，勾股定理．掌握相关知识点，是解题的关键． （1）垂径定理，得到，进而得到 ，根据等边对等角结合等角的余角相等，得到，进而得到 ，即可得到 ，即可； （2）勾股定理求出 ，设，再利用勾股定理进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，连接． 半径 ，垂足为 ， ， ． 是 的中点，， ． ． 在中，． 设，则， ． ，即 的半径为． 22. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】（1）y=－2x+200（30≤x≤60）（2）w=－2（x－65）2 +2000）;（3）当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元 【解析】 【分析】（1）设出一次函数解析式，把相应数值代入即可． （2）根据利润计算公式列式即可； （3）进行配方求值即可． 【详解】（1）设y=kx+b，根据题意得解得： ∴y=－2x+200（30≤x≤60） （2）W=（x－30）（－2x+200）－450 =－2x2+260x－6450 =－2（x－65）2 +2000） （3）W =－2（x－65）2 +2000 ∵30≤x≤60 ∴x=60时,w有最大值为1950元 ∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元 考点：二次函数的应用． 23. 已知 和都是等腰直角三角形（），． （1）如图①，连 ， ，求证：； （2）若将绕点顺时针旋转． ①如图②，当点 恰好在边上时，求证：； ②当点 ， ， 在同一条直线上时，若，，请直接写出线段 的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）利用 证明即可； （2）①连接 ，证明，得，结合等腰直角三角形的性质，即可证；②分当点 在线段 上时，和当点 在线段 上时，两种情况分类讨论．情况一：当点 在线段 上时，连接 ，过点作于 ，根据，得，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，先算出， ，再根据计算即可；情况二：当点 在线段 上时，连接 ，过点作于 ，先利用 证，得，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理，算出， ，最后根据计算即可． 【小问1详解】 证明：， ， 即， 和 是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：①证明：如下图，连接 ， ， ， 即， 和 是等腰直角三角形， ， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ②情况一：如下图，当点 在线段 上时，连接 ，过点作于 ， 由（1）得， ， 和都是等腰直角三角形，，，，， ，， ， ， ； 情况二：如下图，当点 在线段 上时，连接 ，过点作于 ， ， ， 即， 和 都是等腰直角三角形，，，，， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 综上，线段 的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合图形正确判断全等三角形是解题的关键． 24. 如图，已知点，，抛物线直线． （1）如果抛物线经过A点，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段 有公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）抛物线的解析式为，顶点坐标为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线解析式，然后求解即可； （2）抛物线l的最高点正好落在直线n上，即该抛物线的对称轴为 ，然后求解即可； （3）首先计算当抛物线经过点A，B时的m值，然后结合函数图像，即可获得答案． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 得． 解得． 【小问2详解】 解：∵抛物线l的最高点正好落在直线n上， ∴该抛物线的对称轴为． 解得 ． ∴该抛物线的解析式为． ∵， ∴该抛物线的顶点坐标为 ． 【小问3详解】 解：设该抛物线与线段的交点为M， 当抛物线经过点时， 由（1）可知， ． 当抛物线经过点时， 可知． 解得． ∵， 即该抛物线对称轴为 ， 当该抛物线的对称轴位于点M右侧时，如下图， 可有． 当该抛物线的对称轴位于点M左侧时，如下图， 可有． 综上所述，当或时，抛物线l与线段有公共点． 【点睛】本题主要考查了二次函数，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数的对称性，增减性，二次函数与方程、与不等式的关系，数形结合，是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）期中测试数学试卷 一、选择题（共10题，每题3分，共30分） 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2+2x＝0的根是(　　) A. x1＝0，x2＝－2 B. x1＝1，x2＝2 C. x1＝1，x2＝－2 D. x1＝0，x2＝2 3. 二次函数最小值是（ ） A. B. 3 C. D. 4 4. 某型号手机原来每部售价为2899元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为2349元，设平均每次降价的百分率为 ，根据题意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于 的一元二次方程有两个相等实数根，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 已知抛物线经过，两点，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 如图，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图， 中，弦， 的半径长为，则圆心O到 的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 一次函数和二次函数（ ，， 是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴是直线 ，且经过点，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题3分，共15分） 11. 一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为______． 12. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度 为时，水面的宽度 为______ 13. 我国古代数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中有题：直田亩（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步？ 答：阔为______步；长为______步． 14. 圆 的半径为13， 、 是圆 的两条弦，，则 与 之间的距离为___________． 15. 如图， 中， ， ，点D为 边上一动点，将线段 绕B点顺时针旋转 ，得到线段 ，连 ，则 的最小值为________ 三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解方程． （1）； （2）． 17. 关于 的一元二次方程有实数根． （1）求 的范围； （2）如果方程两根分别为， ，若，求 的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点为，，． （1）平移 ，若点 的对应点的坐标为，画出平移后的 ； （2）将 以点为旋转中心旋转 ，画出旋转后对应的 ； （3）已知将绕某一点旋转可以得到，则旋转中心的坐标为 ． 19. 如图，已知正方形 ，点E是对角线 上一点，连接 ，将线段 绕点D顺时针旋转 至 的位置，连接．求证：． 20. 某小区在绿化工程中有一块长为，宽为的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，且它们的面积之和为，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度． 21. 如图， 是 的弦，半径 ，垂足为，交 延长线于点 ． （1）求证： 是 的中点； （2）若 ，，求 的半径． 22. 鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千 克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时 ，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元． （1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？ 23. 已知 和都是等腰直角三角形（），． （1）如图①，连 ， ，求证：； （2）若将绕点 顺时针旋转． ①如图②，当点 恰好在 边上时，求证：； ②当点 ， ， 在同一条直线上时，若，，请直接写出线段 的长． 24. 如图，已知点，，抛物线直线． （1）如果抛物线经过A点，求m的值； （2）如果抛物线l的最高点正好落在直线n上，求抛物线的解析式及顶点坐标； （3）当抛物线l与线段 有公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $