学易金卷：九年级数学上学期第三次月考卷（青岛版九上一元二次方程+九下函数）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版 九年级上册第4章与九年级下册第5章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 3．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．随的增大而增大 4．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 5．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．时，随增大而增大 6．对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当函数值为非负数时，自变量的取值范围是；⑤当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（   ） A． B．3 C． D．4 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.已知最简根式与是同类二次根式，则 ． 12．反比例函数的图象经过点、及，则 ． 13．如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 14．如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的度数为 ． 15．如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 17.（8分）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）．如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； 18．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 19.（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围； 若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 20．（10分）某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其月销售量就减少10个，设该商场决定把售价上涨（，且是整数）元． (1)这款台灯每个的售价上涨元时，月销售量为________个． (2)为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ (3)这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ 21．（9分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）定义：关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)若、，请写出这一个“经典方程”：_______； (2)求证：关于x的“经典方程”必有实数根； (3)如上图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“经典方程”，求的度数． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内，设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级上学期第三次月考卷 情在各圈目的客题区城内作答，超出黑色电形边框限定区城的答美无效！ 请在各题目的答思区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 17.(8分) 19.(8分) 数学·答题卡 姓名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认点检查监考员所粘贴的条形码。 2,选择题必颈用2B铅笔填涂；填空整和解答幽必 须用05m黑色签字笔答恩，不得用铅笔或圆 珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各腰目的答恩区域内作答，超出 区城书写的答案无效：在草鸱纸、试题卷上答题 无效。 缺考口 此栏考生禁填 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 第1卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1周c间o 5W国cD (A][B](C][D] 20.(10分) 2A[mI©[o 6 [AT [B][C][D] 10[A[間【间 3 [A][B][c][D] 7 [A][B][c][D] 4[国【间回 8】】[C 二、填空题（每小题3分，共15分） 18,(8分) 11.(3分) 12.(3分) 13.(3分) 14.(3分) 15.(3分) -10 2 三、解答題（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16.(8分) 请在各整目的容漫区或内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答思区城内作答，超出需色矩形边E限定区城的答業无效！ 情在各恩目的容避区域内作答，超出属色免形边艇限定区城的答案无效！ 请在各盟目的答题区域内作答，超出黑色矩形边缸限定区城的答案无效！ 请在各思目的答题区或内作答，超出需色矩形边艇限定区域的答案无效！ 请在各愿目的答思区城内作答，超出需色矩形边框限定区城的答案无效！ 21.(9分) 22.(12分) 23.(12分) (备用图) 请在各题目的答题区域内作答。超出黑色矩形边熙果定区城的答案无效！ 请在各题目的答思区城内作答，超出偶色短形边缸限定区城的答案无效！ 请在各圈目的答题区城内作答。超出黑色距据边限定区城的答案无效西学科网·学易金卷：？8品 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 关于x的方程 0的根的情况为() 2 x-k 0 (考试时间：120分钟试卷满分：100分) A.有两个相等的实数根 B,有两个不相等的实数根 法意项 C.没有实数根 D.无法判断 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 7.若点A(-1),B(-2y,),C(3y)在反比例函数y=-Z的图象上，则片，马，马的大小关系是() 2,回答选择題时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 A.<y< B.y<< C.为<片< D.<< 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 8.如图，抛物线y='+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，与y轴的 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 o 交点坐标为(0,3)，其部分图象如图所示，下列结论：①4c<b:②方程m'+bx+c=0的两个根是，=-1， 4.测试范围：青岛版九年级上册第4章与九年级下册第5章。 第一部分（选择题共30分） x=3:③3a+c>0:④当函数值为非负数时，自变量x的取值范国是-1≤x≤3：⑤当x<0时，y随x增 大而增大，其中结论正确的个数是() 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分。满分30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的》 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是() A.x3+2x+3=0B.2y+x2=0 C.x2=5x-2 D.x2-2=(x+1) 0 2.函数y=+3 (x+2)°中，自变量x的取值范围是() ... A.x23且x≠-2 B.x23且x≠0 A.5个 B.4个 C,3个 D.2个 C.x2-3且x≠-2 D.x2-3且x*0且x￥-2 9.反比例函敏y=-与一次函数y=m+2在同一坐标系中的大致图象是（) 3。关于反比例函数，=三的图象性质，下列说法不正确的是() A.图象经过点(L,S) B。图象分别位于第一、三象限 C.图象关于原点对称 D.y随x的增大而增大 4.如果等腰△4BC的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两个根，则△ABC的周长为() A.12 B.9 C.12或9 D.10 5.关于二次函数y=(-2)-1,下列说法错误的是() A.开口向上 B.对称轴为直线x=2 C.有最大值-1 D。x>2时，y随x增大而增大 a b 3 6.对于任意4个实数a,b,c,d.定义一种新的运算 =ad-bc,例如： =3×5-2×4=7,则 d 10.如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,动点P以am/s的速度自A点出发沿折线A-B-C-D 方向运动至D点停止，动点Q以lcm/s的速度自A点出发运动至D点停止，若点PQ同时出发，运动时 试题第1页（共6页） 试遇第2页（共6实） 窗学科网·学易金卷：” 间为t秒，记△PAQ的面积为Cm,且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中m的值为() 该都为等腰直角三角形，点B,是坐标原点，则△AB,Bm:的腰长为一· 本s(cm2) (s) 图1 图2 O(Bo) A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 三，解答题（本大题共8小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 第二部分（非选择题共90分） 16.(8分)解下列方程： 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） (1(x-2(x-5)=-2: 11.已知最简根式√m-1与√3a+9是同类二次根式，则a=一 (21(3x-1=(x+1. 12.反比例函数的图象经过点(2,8)、(a-4)及（⑧，D),则3a+2b=一 13.如图，抛物线L:y=am+x+c(a0)与x轴只有一个公共点A(2,0),与y轴交于点B(0,3),虚线 17.(8分)列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园， 为其对称轴，若将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线马，则图中两个阴影部分的面积和为 便于成功后大面积推广，如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m,另外三面用69m长的篱笆围成，共中一边 开有一扇1m宽的门（不用篱笆）.如果茶园面积为600m,求这个茶园的长和宽： 18.(8分)二次函数y=四'++c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 14.如图.己知点4，B分别在反比例函数y=x>0叭，=-3>0)的图象上，且O410B,则∠B的 度数为 -1O -2 (1)写出方程m2+bx+c=0的两个根： (2)写出不等式r2++c<0的解集： (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； 15.如图点4，A,A,A在抛物线y=x上，点B,B2,B,B在y轴上，△AB,B,△A,BB,△ABB (4)若方程x2+b:+c=k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围。 试题第3页（共6页） 试题第4页（共6页） 西学科网·学易金卷：？8品 O 19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+4x+k-2=0有两个不相等的实数根 0 (1)求实数k的取值范围： (2)若k为正整数，且方程的根均为整数，求此时k的值. (1)若a=1、c=√5，请写出这一个“经典方程”： (2)求证：关于x的"经典方程“x2+√2Cx+b=0必有实数根： 20.(10分)某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个.现商场 (3)如上图，己知AB、CD是半径为1的⊙O的两条平行弦，AB=a,CD=b,且关于x的方程 决定涨价销售，以获取更大利洞，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价 受产++号0是经典方程，求∠B4C的度数 2 每上涨1元，其月销告量就减少10个，设该商场决定把售价上涨x(0≤x≤20，且x是整数)元。 o (1)这款台灯每个的售价上涨x元时，月销售量为个， (2)为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ (3)这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ . 23.(12分)如图.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(-1,0),B, 21.(9分)如图，一次函数y=+b与反比例函数y="的图象相交于A(-1,2),B(2,m)两点.过点A作 与'相交于点C(0,3). AC⊥x轴，垂足为C,连接BC, (备用图) (1求二次函数的解析式： (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)点P是抛物线上一点，且在第一象限内，设点P关于直线BC对称点为点P,当线段PP最大时，求点P (2根据所给条件，请直接写出关于x的不等式：+b>"的解集： 的坐标及PP的最大值： )反比例函数y=严的图象上是否存在一点P,使得S心5a?若存在，求出点P的坐标：若不存在。 3)当t-1≤x≤t+1时，y的取值范围是n≤y≤m,且m-=6,请直接写出t的值」 请说明理由， 22.(12分)定义：关于x的方程m2+5cx+b=0,如果a、b、c满足a2+b2=c2且ce0,那么我们把这 0 0 样的方程称为“经典方程“。请解决下列问题： 试题第5页（共6页） 试遇第6页（共6实）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 (考试时间：120分钟试卷满分：100分) 注意享项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：青岛版九年级上册第4章与九年级下册第5章。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是() A.x3+2x+3=0B.2xy+x2=0 C.x2=5x-2 D.x2-2=(x+1)2 2.函数y=+K+2”中，自变量x的取值范围是() A.x≥3且x≠-2 B.x≥3且x≠0 C.x≥-3且x≠-2 D.x≥-3且x≠0且x≠-2 3.关于反比例函数y= 的图象性质，下列说法不正确的是（） A.图象经过点(1,5) B.图象分别位于第一、三象限 C.图象关于原点对称 D.y随x的增大而增大 4.如果等腰△ABC的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两个根，则△ABC的周长为() A.12 B.9 C.12或9 D.10 5.关于二次函数y=(x-2)2-1,下列说法错误的是() A.开口向上 B.对称轴为直线x=2 C.有最大值-1 D.x>2时，y随x增大而增大 6.对于任意4个实数a,b,c,d,定义一种新的运算 a b c d -,5-247.则联 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 于x的方程 0的根的情况为() x-k A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 7.若点A-1),B(-2,）,C3,)在反比例函数y=-7的图象上，则y,,马的大小关系是（) A.<y<y B.y3<y2<y C.y3<y<y D.y2<y<y; 8.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(-1,0)，与y轴的交 点坐标为(0,3)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1, x2=3;③3a+c>0:④当函数值为非负数时，自变量x的取值范围是-1≤x≤3；⑤当x<0时，y随x增 大而增大，其中结论正确的个数是() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 9.反比例函数y=-C与一次函数y=x+2在同一坐标系中的大致图象是（) 10.如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm,AD=2cm,动点P以acm/s的速度自A点出发沿折线A-B-C-D 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 方向运动至D点停止，动点2以1c/s的速度自A点出发运动至D点停止，若点PQ同时出发，运动时间 为t秒，记△PAQ的面积为scm2,且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中m的值为() s(cm2) B O 2 m (s) 图1 图2 第二部分（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.已知最简根式√2-1与V3a+9是同类二次根式，则a= 12.反比例函数的图象经过点(-2,8)、(a,-4)及(8，b),则3a+2b=一 13.如图，抛物线L:y=2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点A(2,0),与y轴交于点B(0,3),虚线为 其对称轴，若将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线L,则图中两个阴影部分的面积和为 B 14.如图，已知点A,B分别在反比例函数y=1(x>0,y=-3(x>0)的图象上，且O41OB,则∠B的 度数为 15.如图点A,A,AA在抛物线y=x2上，点B,B2,BBn在y轴上，△ABB,△ABB2,△ABnB 3/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 该都为等腰直角三角形，点B。是坐标原点，则△Ao2Bo24B2o2s的腰长为 B O(B) 三、解答题（本大题共8小题，满分75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分)解下列方程： (1)(x-2)(x-5)=-2: (2)(3x-1)2=(x+1)2. 17.(8分)列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园， 便于成功后大面积推广.如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m,另外三面用69长的篱笆围成，其中一边 开有一扇1m宽的门（不用篱笆）.如果茶园面积为600m2,求这个茶园的长和宽： D 4/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.(8分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 个 3 -1 下2 4 -1 -2 (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根： (2)写出不等式ax2+bx+c<0的解集： (3)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围： (4)若方程ax2+b.x+c=k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围. 19.(8分)已知关于x的一元二次方程x2+4x+k-2=0有两个不相等的实数根. (1)求实数k的取值范围： (2)若k为正整数，且方程的根均为整数，求此时k的值. 5/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(10分)某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个.现商场决 定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价每 上涨1元，其月销售量就减少10个，设该商场决定把售价上涨x(0≤x≤20，且x是整数)元. (1)这款台灯每个的售价上涨x元时，月销售量为个. (2)为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ (3)这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ 21.(9分)如图，一次函数y=+b与反比例函数y=心的图象相交于4(-1,2)，B(2,m两点.过点4作 AC⊥x轴，垂足为C,连接BC. (1)求反比例函数与一次函数的解析式： (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式：+b>严的解集： 3反比例函数y三的图象上是否存在一点P,使得SS？若存在，求出点P的坐标：若不衣 请说明理由 6/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 22.(12分)定义：关于x的方程ax2+√2cx+b=0,如果a、b、c满足a2+b2=c2且c≠0，那么我们把这 样的方程称为“经典方程”.请解决下列问题： (1)若a=1、c=√2，请写出这一个“经典方程”： (2)求证：关于x的“经典方程”m2+√2cx+b=0必有实数根： b20 (3)如上图，己知AB、CD是半径为1的O0的两条平行弦，AB=a,CD=b,且关于x的方程gx2+V2x 是“经典方程”，求∠BAC的度数. 7/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 23.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(-1,0),B, 与y相交于点C(0,3). (备用图) (1)求二次函数的解析式： (2)点P是抛物线上一点，且在第一象限内，设点P关于直线BC对称点为点P',当线段PP最大时，求点P 的坐标及PP的最大值： (3)当t-1≤x≤t+1时，y的取值范围是n≤y≤，且m-n=6,请直接写出t的值. 8/8■■■ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ■▣■■。。■。。。■。■=▣。▣=▣。■=。■==■■▣■▣▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[1【][/] 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[AJ[B][C1[D1 9.[A][B][C][D] 2.[AJ[B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8.A][B][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11 12. 13 15 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(8分) A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 2 -10 /123 -1 2 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(9分) B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) 0 B 23.(12分) (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版 九年级上册第4章与九年级下册第5章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项． 【详解】解：A、中未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，选项错误； B、中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，选项错误； C、可化为，只含一个未知数x且最高次数为2，是一元二次方程，选项正确； D、展开后化为，最高次数为1，不是一元二次方程，选项错误； 故选：C． 2．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 【答案】D 【知识点】分式有意义的条件、零指数幂、求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式、根式和零指数幂的条件. 根据函数表达式，分式的分母不为零，平方根的被开方数非负，零指数幂的底数不为零，综合可得自变量取值范围. 【详解】解：∵ 函数 有意义， ∴ 需满足： (1) 平方根被开方数非负：，即 ； (2) 分式分母不为零：； (3) 零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 3．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．随的增大而增大 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项． 【详解】解：∵反比例函数 中，， ∴ 当时，，图象经过点 ，故A正确； ∴ 图象分别位于第一、三象限，故B正确； ∴ 图象关于原点对称，故C正确； ∴ 在每个象限内，y随x的增大而减小，故D错误； 故选：D. 4．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 【答案】A 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及等腰三角形的定义，熟练掌握一元二次方程的解法及等腰三角形的定义是解题的关键；解方程得到两根为2和5，即为等腰三角形的两边长，分两种情况讨论：腰为2底为5或腰为5底为2，利用三角形三边关系检验，只有腰为5底为2成立，再计算周长即可 【详解】解：∵方程可化为， ∴两根为，， ∵等腰三角形两边长分别为2和5， ∴可能情况： ①腰为2，底为5：但，不满足三角形三边关系，不成立； ②腰为5，底为2：，，，均成立； ∴三角形边长为5、5、2，周长为； 故选：A 5．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．时，随增大而增大 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数顶点式 的性质，分析开口方向、对称轴、最值和增减性即可． 【详解】解：∵ 函数 中，， ∴ 开口向上，A 正确，故选项不符合题意； 对称轴为直线 ，B 正确，故选项不符合题意； ∵ ， ∴ 函数有最小值，但选项 C 说最大值，故 C 错误，故选项符合题意； 当 时，函数在对称轴右侧，y随x增大而增大，D 正确，故选项不符合题意． 故选：C． 6．对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况．对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．据此即可求解． 【详解】解：∵运算定义为， ∴ 方程可化为， 即； 这是一个一元二次方程，其中，，， 判别式， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选：B 7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 通过将各点的横坐标代入反比例函数解析式，计算出对应的纵坐标值，然后比较大小． 【详解】解：对于点，有； 对于点，有； 对于点，有； ∴． 故选：B． 8．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当函数值为非负数时，自变量的取值范围是；⑤当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称轴、对称性、与一元二次方程的关系是解题的关键．根据抛物线的图象性质，如对称轴、与坐标轴的交点、开口方向等，对每个结论逐一进行分析判断． 【详解】解：∵ 抛物线与轴有两个交点， ∴ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ，即，结论①正确． ∵ 抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的横坐标为， ∴ 方程的两个根是，，结论②正确． ∵ 对称轴为直线， ∴ ， 又∵ 抛物线过点， ∴ ，将代入得：， ∴ ，结论③错误． 由图象可知，抛物线在轴上方（包括与轴的交点）时，函数值非负，对应的取值范围是，结论④正确． ∵ 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口向下（由图象可知）， ∴ 在对称轴左侧，即时，随的增大而增大， ∴ 当时，随增大而增大，结论⑤正确． 综上，①②④⑤正确，共个． 故选：． 9．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握两类函数的图象与性质． 分两种情况讨论，分别得出两个函数图象的位置，再作出判断． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象位于第二、四象限， 对于一次函数，，图象从左向右呈上升趋势；，图象与y轴交于正半轴．没有选项符合； 当时，，反比例函数的图象位于第一、三象限， 对于一次函数：，图象从左向右呈下降趋势；，图象与y轴仍交于正半轴．故B符合． 故选：A． 10．如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】该题考查了二次函数的图象和性质，当点P在上运动时，，则，根据图2可得，当时，，求出，得出动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D，当点P在上运动时，．当点P在上运动时，．将点代入即可求出． 【详解】解：当点P在上运动时，， 则， 根据图2可得，当时，，解得：， 即动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，且当时，点Q到达点D， 当点P在上运动时，． 当点P在上运动时，． 将点代入可得，解得：， 故选：C． 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.已知最简根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元二次方程；根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此列出方程求解，并检验被开方数非负且根式为最简． 【详解】解：由题意，得． 整理得， 因式分解得， 解得或． 当时，被开方数，，但不是最简二次根式，与已知“最简根式”矛盾． 当时，被开方数，，且是最简二次根式，符合条件． 故答案为． 12．反比例函数的图象经过点、及，则 ． 【答案】8 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式、求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 （）图象上点的横纵坐标之积为常数 ． 设反比例函数解析式为 ，利用点 求出 ，再代入其他点求出 和 ，最后计算 ． 【详解】解：设反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 将点 代入得 ， 解得 ， 将点 代入得 ， 解得 ， ∴ ． 13．如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 【答案】6 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象的平移 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、矩形的性质与判定，二次函数的性质及二次函数图象与几何变换．根据题意可推出，，，根据平移的性质及抛物线的对称性可知阴影部分的面积等于矩形的面积，利用矩形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：过抛物线的顶点D作轴，与y轴交于点C，如图所示， 因为 则四边形是矩形， ∵抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点， ∴，， 将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线，则， 根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形的面积， ∴． 故答案为：6． 14．如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的度数为 ． 【答案】/30度 【知识点】反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即． 作轴于C，轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到，，再证明，然后利用相似三角形的性质得到的值，即可得出的度数． 【详解】解：作轴于C，轴于D，如图：   点A、B分别在反比例函数，的图象上， ，， ， ， ∵， ， ， ∵轴于 ∴ ， ． 即 即， 故答案为：． 15．如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为 ． 【答案】 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了在函数图象中利用点的坐标与图形的关系求线段的长度，涉及到了二次函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，勾股定理，抛物线的解析式的运用等多个知识点．利用等腰直角三角形的性质及点的坐标的关系求出第一个等腰直角三角形的腰长，用类似的方法求出第二个，第三个…的腰长，观察其规律，最后得出结果． 【详解】解：作轴，轴，垂足分别为C、E． ∵、都是等腰直角三角形， ∴，． 设，则，将其代入解析式得： ， 解得：（不符合题意）或， 由勾股定理得：， 即的腰长为， ∴， 过作，设点， 可得，， 又点在抛物线上，所以， ， 解得，（不合题意舍去）， ∴， 即的腰长为， 同理可得： ， … ∴， ∴的腰长为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握其解法． （1）先整理为，再利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． 【详解】（1）解： 则或， 解得，； （2）解： 则或， 解得，． 17.（8分）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）．如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； 【答案】这个茶园的长为，宽为 【知识点】配方法的应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)。 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，配方法的应用，正确理解题意是解题的关键． 设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为，再根据长方形面积计算公式建立方程求解即可； 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长），则长为， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：这个茶园的长为，宽为； 18．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系，当二次函数中取一个定值时，二次函数就转化为一个一元二次方程． （1）抛物线与轴交点的横坐标就是一元二次方程的两个根； （2）的解集是抛物线在轴下方对应的x的取值，观察图形即可解答； （3）抛物线开口向下，在对称轴右侧时随的增大而减小，观察图形即可解答； （4）方程的解就是抛物线与直线的交点的横坐标，从图象上可以看出当时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； （2）解：由图象可知，当或时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为或； （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 19.（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围； 若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 【解析】 此题主要考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解答该题的关键． 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围； 找出范围中的整数解确定出的值，经检验即可得到满足题意的值． 【详解】(1)解:由题意,得△=42-4(k-2)>0，解得k<6; ∴实数k的取值范围是k<6; (2)解:∵k为正整数,且方程的根均为整数， ∴△=42-4(k-2)=24-4k=4(6-k)是平方数∴6-k是平方数∴.k=2或5 当k=2时，方程x2+4x=0 解得x1=0,x2=-4都是整数,符合题意; 当k=5时，方程x2+4r+3=0 解得x1=-1，x2=-3都是整数,符合题意; 综上所述，k=2或5 20．（10分）某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其月销售量就减少10个，设该商场决定把售价上涨（，且是整数）元． (1)这款台灯每个的售价上涨元时，月销售量为________个． (2)为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ (3)这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ 【答案】(1) (2)50元 (3)60元 【知识点】列代数式、营销问题(一元二次方程的应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的应用，根据销售量的变化与价格的变化的关系列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据销售量就将减少的数量是台灯的售价上涨数量的10倍列代数式； （2）基本关系：月销售利润=（售价-成本）×销售量，据此建立一元二次方程求解； （3）根据“月销售利润=（售价-成本）×销售量”建立函数关系式，结合自变量的取值范围，利用函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个， ∴售价上涨x元，其销售量就将减少个， ∴售价上涨x元后，该商场平均每月可售出个个台灯， 故答案为：； （2）解：由题意，得， 整理，得：， 解得：，， ∵， ∴， ∴， 答：这款台灯的售价应定为50元． （3）解：设每月销售利润为元，根据题意，得 ， ∵， 随着的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为， 此时售价为：（元）， 答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大． 21．（9分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)或． 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，求出函数关系式是解决问题的为前提 （1）先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式，再求出点B的坐标，最后用待定系数法求一次函数解析式； （2）根据图象直接得出答案； （3）先求出，再根据面积关系求出，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． （2）解：由图可知，当或时，不等式． （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 22．（12分）定义：关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)若、，请写出这一个“经典方程”：_______； (2)求证：关于x的“经典方程”必有实数根； (3)如上图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“经典方程”，求的度数． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3) 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、根据一元二次方程根的情况求参数、圆周角定理 【分析】（1）根据“经典方程”直接求解即可得到答案； （2）根据结合判别式化简为完全平方公式直接证明即可得到答案； （3）过O作的垂线，分别交、于点E、F，根据得到，，从而得到即可得到，得到，最后结合圆周角定理即可得到答案； 【详解】（1）解：∵关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”，、， ∴， ∴， ∴这个“经典方程”为或， 故答案为：或； （2）证明：∵， ∴， ∴关于x的“经典方程”必有实数根； （3）解：过O作的垂线，分别交、于点E、F， ∵，， ∴，，，， ∵关于x的方程是“经典方程”， ∴， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握“经典方程”的定义是解题的关键． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内，设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)点P的坐标为，的最大值为； (3)或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可； （2）过点P作于点M，使得，过点P作轴交于点Q，可得是等腰直角三角形，即得，可得，当取最大值时，线段取最大值，利用待定系数法求出直线的函数解析，进而求出，最后根据二次函数的性质解答即可求解； （3）由二次函数解析式可得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，再分、和三种情况，根据二次函数的性质解答即可求解； 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、B，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 如图，过点P作轴交于点Q，过点P作于点M，使得，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取最大值时，线段取最大值， 设直线的函数解析式为,把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， 当时，取最大值， 此时，， ∴当线段最大时，点P的坐标为，的最大值为； （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 当，即时，在范围内，y随x的增大而增大， ∴取最小值，取最大值， 即，， ∵， ∴， ∴； 当，，即时，在范围内，函数的最大值为4，即， ∵， ∴， 把代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴此种情况不合题意； 当，即时，在范围内，y随x的增大而减小， ∴取最大值，取最小值， 即，， ∵， ∴， ∴； 综上，t的值为或． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D D A C B B B A C 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．-2 12．8 13．6 14．30° 15．2025 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分） 【详解】（1）解： 2分 则或， 解得，； 4分 （2）解： 6分 则或， 解得，． 8分 17.（8分） 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为（垂直于墙的一边的长）， 则长为， 1分 由题意得，， 5分 整理得， 解得或， 6分 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 答：这个茶园的长为，宽为； 8分 18．（8分） 【详解】（1）解：抛物线的图象与轴的两个交点的横坐标分别为和， 一元二次方程的两个根分别是，； 2分 （2）解：由图象可知，当或时，抛物线的图象在轴的下方， 不等式的解集为或； 4分 （3）解：由图象可知，抛物线开口向下，对称轴为， 在对称轴的右侧随的增大而减小， 随的增大而减小的自变量的取值范围是； 6分 （4）解：由图象可知，当时， 抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根时，． 8分 19.（8分） 【详解】(1)解:由题意,得△=42-4(k-2)>0，解得k<6; ∴实数k的取值范围是k<6; 3分 (2)解:∵k为正整数,且方程的根均为整数， ∴△=42-4(k-2)=24-4k=4(6-k)是平方数∴6-k是平方数∴.k=2或5 5分 当k=2时，方程x2+4x=0 解得x1=0,x2=-4都是整数,符合题意; 当k=5时，方程x2+4r+3=0 解得x1=-1，x2=-3都是整数,符合题意; 7分 综上所述，k=2或5 8分 20．（10分） 【详解】（1）； 1分 （2）解：由题意，得， 整理，得：， 解得：，， 4分 ∵， ∴， ∴， 答：这款台灯的售价应定为50元． 6分 （3）解：设每月销售利润为元，根据题意，得 ， 8分 ∵， 随着的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为， 此时售价为：（元）， 答：台灯售价定为60元时，每月销售利润最大． 10分 21．（9分） 【详解】（1）解：，两点都在反比例函数的图象上， ． ． 反比例函数的解析式为，． 2分 ，两点都在一次函数的图象上， 解得 一次函数的解析式为． 4分 （2）解：由图可知，当或时，不等式． 5分 （3）解：存在． 如图，过点B作轴，垂足为D． ，， ，． ，． ． ， ． 7分 设点P的横坐标为，则． ． 或． 当点P在上，则或． 点P的坐标为或． 9分 22．（12分） 【详解】（1）解：∵关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”，、， ∴， ∴， ∴这个“经典方程”为或， 故答案为：或； 3分 （2）证明：∵， ∴， ∴关于x的“经典方程”必有实数根； 6分 （3）解：过O作的垂线，分别交、于点E、F， ∵，， ∴，，，， ∵关于x的方程是“经典方程”， ∴， ∴，， 9分 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 11分 ∵， ∴． 12分 23．（12分） 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与x轴相交于点、B，与y轴相交于点， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为； 3分 （2）解：当时，， 解得，， ∴， 如图，过点P作轴交于点Q，过点P作于点M，使得，则，，， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当取最大值时，线段取最大值， 5分 设直线的函数解析式为,把、代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设，则， ∴， 当时，取最大值， 此时，， ∴当线段最大时，点P的坐标为，的最大值为； 7分 （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， 8分 当，即时，在范围内，y随x的增大而增大， ∴取最小值，取最大值， 即，， ∵， ∴， ∴； 9分 当，，即时，在范围内，函数的最大值为4，即， ∵， ∴， 把代入得，， 解得或， ∵， ∴， ∴此种情况不合题意； 10分 当，即时，在范围内，y随x的增大而减小， ∴取最大值，取最小值， 即，， ∵， ∴， ∴； 综上，t的值为或． 12分 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：青岛版九年级上册第4章与九年级下册第5章。 第一部分（选择题 共30分） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．函数中，自变量的取值范围是（    ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 3．关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确的是（    ） A．图象经过点 B．图象分别位于第一、三象限 C．图象关于原点对称 D．随的增大而增大 4．如果等腰的两边长分别是方程的两个根，则的周长为（ ） A．12 B．9 C．12或9 D．10 5．关于二次函数，下列说法错误的是（   ） A．开口向上 B．对称轴为直线 C．有最大值 D．时，随增大而增大 6．对于任意4个实数a，b，c，d，定义一种新的运算，例如：，则关于x的方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 7．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，与轴的交点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根是，；③；④当函数值为非负数时，自变量的取值范围是；⑤当时，随增大而增大，其中结论正确的个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 9．反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 10．如图1，在矩形中，，动点以的速度自A点出发沿折线方向运动至D点停止，动点以的速度自A点出发运动至D点停止，若点同时出发，运动时间为秒，记的面积为，且s与之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（   ） 第二部分（非选择题 共90分） 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11.已知最简根式与是同类二次根式，则 ． 12．反比例函数的图象经过点、及，则 ． 13．如图，抛物线：与x轴只有一个公共点，与y轴交于点，虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移3个单位长度得抛物线，则图中两个阴影部分的面积和为 ． 14．如图，已知点A，B分别在反比例函数，的图象上，且，则的度数为 ． 15．如图点，，在抛物线上，点，，在轴上，，，该都为等腰直角三角形，点是坐标原点，则的腰长为 ． 3、 解答题（本大题共8小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（8分）解下列方程： (1)； (2)． 17.（8分）列方程解应用题： 某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一个的长方形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不用篱笆）．如果茶园面积为，求这个茶园的长和宽； 18．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程的两个根； (2)写出不等式的解集； (3)写出随的增大而减小的自变量的取值范围； (4)若方程有两个不相等的实数根，直接写出的取值范围． 19.（8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求实数的取值范围； 若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值． 20．（10分）某商场将进价为每个30元的台灯以每个40元的价格售出，平均每月能售出600个．现商场决定涨价销售，以获取更大利润，经市场调查发现，该款台灯每个的售价在40元至60元范围内时，售价每上涨1元，其月销售量就减少10个，设该商场决定把售价上涨（，且是整数）元． (1)这款台灯每个的售价上涨元时，月销售量为________个． (2)为了获得平均每月10000元的利润，这款台灯每个的售价应定为多少元？ (3)这款台灯每个的售价定为多少元时，该商场每月销售这款台灯获得的利润最大？ 21．（9分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点．过点A作轴，垂足为C，连接． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)根据所给条件，请直接写出关于x的不等式的解集； (3)反比例函数的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（12分）定义：关于x的方程，如果a、b、c满足且，那么我们把这样的方程称为“经典方程”．请解决下列问题： (1)若、，请写出这一个“经典方程”：_______； (2)求证：关于x的“经典方程”必有实数根； (3)如上图，已知、是半径为1的的两条平行弦，，，且关于x的方程是“经典方程”，求的度数． 23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与相交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)点是抛物线上一点，且在第一象限内，设点关于直线对称点为点，当线段最大时，求点的坐标及的最大值； (3)当时，的取值范围是，且，请直接写出的值． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级上学期第三次月考卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；填空题和解答题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 第Ⅰ卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题3分，共15分） 11.（3分）________________ 12.（3分）________________ 13.（3分）________________ 14.（3分）________________ 15.（3分）________________ 三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（8分） 18．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（8分） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（9分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年九年级数学上学期第三次月考卷 答题卡 ! 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填： 缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ▣ 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[AJ[B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[AJ[BJ[C][D] 6[A]IB][C][D] 10.[AJ[B][C][D] 3[A][B][C][D] 7AJIBIIC]ID] 4[AJ[B]IC][D] 8.[A][B1[CI[D] 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 12 13 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16.(8分) 17.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) 2 1 -10 2 4 -2 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(10分) 21.(9分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(12分) D 23.(12分) 珠 B (备用图) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！