2026年四川成都中考一轮复习第3讲 方程和不等式

该初中数学中考复习讲义聚焦“方程与不等式”专题，覆盖二元一次方程组、一元二次方程（含韦达定理）、不等式组解法及实际应用等中考核心考点，通过知识网络构建体系，考点聚焦分层梳理，典例分析结合真题训练，形成“考点梳理-方法指导-实战突破”的系统复习流程，针对性突破含参问题、根的判别式等难点。 亮点在于融合数学眼光与思维培养，如以《算法统宗》分银问题引导学生用数学眼光观察实际情境，通过根的判别式与韦达定理综合题训练逻辑推理能力，设计“典例-真题-预测”三级练习，配合错解分析强化数学语言表达，助力学生高效掌握解题策略，教师可据此精准把控复习节奏，提升备考效率。

第3讲 方程和不等式 1、 【知识网络】 2、 【考点聚焦】 · 解方程和不等式： · 解二元一次方程组 （1） 代入消元法: 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）加减消元法； 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. · 解三元一次方程组： （1） 三元一次方程组中，有一个二元一次方程时，可先在其余两个方程中消去第三个未知数，再组成一个二元一次方程组； （2） 三元一次方程组中，全是三元一次方程时，再次消去同一个未知数，再组成一个二元一次方程组. · 解一元二次方程： （1）开平方法； 对于形如的方程，可用开平方法解. 开平方法的步骤是：把方程变形成，然后开平方得或，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. （2）配平方法： 一般地，像这样，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方. 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. （3）用求根公式解一元二次方程： 一元二次方程的根由方程的系数而定，因此： ①解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当时，它的实数根可以写成的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． ②在求根公式中，如果,那么,即方程有两个相等的实数根(重根). （4）用因式分解法解一元二次方程： 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法. · 解一元一次不等式组： 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 3. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设）（重难点） 不等式组 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉取中间） 无解（大小分离解为空） · 同解、错解问题： · 同解问题：将已知方程重新组合，组成新的方程组进行解答； · 错解问题：这类题一般是看错其中某一项的系数，我们解答的时候需要注意错解同时也是正确的那一个方程的解，然后列出新的方程组进行求解. · 含参数的二元一次方程组： 把参数当做主要未知数，建立关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组进行求解. · 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： ，. 3、 【典例分析】 · 等式和不等式的性质： 1.（2024贵州）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡，若设“■”与“●”的质量分别为，则下来关系式正确的是（ ） 【答案】C. 【解析】由甲图可知：1个“■”质量与2个“▲”质量相等，由乙图可知：1个“▲”质量与2个“●”质量相同，所以一个“■”质量与4个“●”质量相等，故有，故选C. · 方程和不等式的解： 1.（锦江区2024年一诊）若是方程的解，则的值为 （ ） 【答案】C. 【解析】∵是方程的解，∴，故选C. 2.（2024齐齐哈尔中考）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） 【答案】A. 【解析】去分母得：，合并同类项并移项得：，方程有解的前提是，即，那么可得为负数，∴，当时，为原方程的增根，所以，故的范围为，故选A. 3.（2023眉山中考）已知关于的二元一次方程组满足，则的值为（ ） 【答案】B. 【解析】两式相减可得：，即，又因为，所以，故选B. 4.（2024河南）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） 【答案】A. 【解析】，而与的解集为：；与的解集为；与的解集为：，与选项A无解，故选A. 5.（2024达州中考）若关于的方程无解，则的值为 . 【答案】4. 【解析】分式方程无解分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况. 去分母并合并同类项后可得：，所以，该整式方程必有解，故只有该解为原方程增根时原方程无解，所以 6.（2024深圳中考）一元二次方程的一个解为，则 . 【答案】2. 【解析】因为的一个解为，所以有，∴. 7.（2024南充中考）已知是方程的一个根，则的值为 . 【答案】 【解析】因为是方程的一个根，所以有； ∴. 8.关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 . 【答案】. 【解析】由解得：；由解得：，因为原不等式组恰有三个整数解，故这三个整数解为0，1，2，所以. · 解方程和不等式： 1.（2024河北中考）淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则 （ ） 【答案】C. 【解析】由题意可得方程：，即，由求根公式可得：； 因为为正数，故，故选C. 2.（2025年青羊区二诊）分式方程 的解为 . 【答案】 【解析】交叉相乘得：，解得，经检验为原方程的根，故. 3.（2024苏州中考）解方程组：. 【答案】. 【解析】 ①－②得：，∴ 代入①可得：，解得 故原方程组的解为. 4.（锦江区2024年一诊）解方程：. 【答案】. 【解析】 ∴. 5.（2024福建中考）解方程：. 【答案】 【解析】去分母得： 去括号并移项得： ∴ 经检验：为原方程的根 ∴原方程的解为. 6.（2025年锦江区二诊）解不等式组： . 【答案】. 【解析】； 由①得：，解得， 由②得：，解得 ∴原不等式组的解集为：. 7.（2024年青羊区二诊）解不等式组： 【答案】 【解析】由①得：，解得：； 由②得：，解得：； ∴原不等式组的解集为：. · 一元二次方程的根的辨别式及根与系数的关系： 1.（2024上海中考）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） 2.（2024自贡中考）关于的方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3.（锦江区2024年一诊）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 . 4.（2024年青羊区二诊）已知关于的一元二次方程，若是方程的两个实数根，且，则的值为 . 5.（2024烟台中考）若一元二次方程的两根为，则的值为 . 6.（锦江区2024年一诊）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 . 7.（2024青海中考）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长. 8.（2024南充中考）已知是关于的方程的两个不相等的实数根. （1） 求的取值范围； （2） 若，且都是整数，求的值. 9.（2024遂宁中考）已知关于的一元二次方程. （1） 求证：无论为何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 若是方程的两个实数根，且，求的值. · 方程和不等式的实际应用： 1.（2024年锦江区二诊）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之多半斤.其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代的1斤等于16两，故有“半斤八两”这个成语）.设有人，银子有两，则可列方程组为（ ） 2.（2024年青羊区二诊）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑( xǔ)酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各有几斗.设清酒有斗，那么可列方程为（ ） 3.（2024绥化中考）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ） 4.（2024云南中考）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） 5.（2024年青羊区一诊）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆.某水果商从农户手中购进A，B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果的进货价为25元/件，销售价为40元/件，B中糖心苹果的进货价为18元/件，销售价为30元/件.（注：利润=销售价－进货价） （1） 水果店用3300元购进A，B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数. （2） 水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天的销售利润为96元？ 6.（2025年锦江区二诊）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然、民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式.已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的质量与5000元购进乙种茶叶的质量相同. （1） 求甲、乙两种茶叶的进价； （2） 某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的质量至少是乙种茶叶质量的.若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 7.（2024赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等. （1） 求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； （2） 为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复多少千米？ 8.（2025年武侯区二诊）2025年，DeepSeek掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”.已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移的数据比乙数据中心迁移的数据所需时间少5小时. （1） 分别求甲、乙两个数据中心迁移速度（单位：/小时） （2） 现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用8小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 9.（2023东营中考）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽的门（建在EF处，另用其他材料）. （1） 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2） 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 10.（2024江西）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚. （1） 数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2） 如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 4、 【真题演练】 1.（2023巴中中考）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ） 2.（2024呼伦贝尔中考）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等.A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 3.（2025浙江中考）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有个，手工艺品B有个，则和满足的方程组是（   ） 4.（2024南充）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） 5.（2024云南）若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 . 6.（2024泸州）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 . 7.（2024包头中考）解方程： 8.（2025成都中考）解不等式组： 9.（2025重庆中考）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 10.（2024重庆A卷）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. （1） 为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2） 经测算，购买更新1条甲生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 11.（2024成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用元从农户处购进A，B两种水果共千克进行销售，其中A种水果收购单价为10元/千克，B种水果收购单价为15元/千克. （1） 求A，B两种水果各购进多少千克； （2） 已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价. 12.（2025成都中考）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 5、 【中考预测】 1.（改编题）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷记载“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问雉、兔各几何？”意思是“鸡和兔关在同一个笼子里面，从上数有35个头，从下数有94条腿，问鸡和兔子各有多少只？”，设鸡有只，兔有只，则根据题意可列方程（ ） 2.（原创题）已知方程组的解满足，则 . 3.（原创题）若方程无解，则实数的值为 . 4.（原创题）已知关于的一元一次不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 5.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，则实数的值为 . 6.（原创题）关于的一元二次方程有解，则实数的取值范围为 . 7.（原创题）春秋假建议发布以来，各地积极响应号召，成都市中小学校于11月12日至14日（与周末连休）放假，形成了一个5天的小长假，家长们纷纷带着孩子出去接触大自然，放松心情的同时也由此掀起了一股旅游热潮.某文创店有A，B两款冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的进价比每个B款冰箱贴进价少5元，用300元购进A款冰箱贴的数量和400元购进B款冰箱贴的数量相同. （1）求每个A款冰箱贴和每个B款冰箱贴的进价分别为多少元； （2）已知该店按照40%的利润率为商品定价，原来每天可售出40个B类冰箱贴，现为了尽快减少库存，进行降价销售，根据市场调查可知，每降低0.5元，每天可多售出10个B类冰箱贴，要使该店B款冰箱贴每天的利润达到480元，应该降价多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 方程和不等式 1、 【知识网络】 2、 【考点聚焦】 · 解方程和不等式： · 解二元一次方程组 （1） 代入消元法: 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （2）加减消元法； 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. · 解三元一次方程组： （1） 三元一次方程组中，有一个二元一次方程时，可先在其余两个方程中消去第三个未知数，再组成一个二元一次方程组； （2） 三元一次方程组中，全是三元一次方程时，再次消去同一个未知数，再组成一个二元一次方程组. · 解一元二次方程： （1）开平方法； 对于形如的方程，可用开平方法解. 开平方法的步骤是：把方程变形成，然后开平方得或，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解. （2）配平方法： 一般地，像这样，在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方. 配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法. （3）用求根公式解一元二次方程： 一元二次方程的根由方程的系数而定，因此： ①解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式，当时，它的实数根可以写成的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式． ②在求根公式中，如果,那么,即方程有两个相等的实数根(重根). （4）用因式分解法解一元二次方程： 通过因式分解，把一元二次方程化成两个一次因式的积等于0的形式，从而把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题，像这样解一元二次方程的方法叫作因式分解法. · 解一元一次不等式组： 1．分别求出不等式组中各个不等式的解集； 2．利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 3. 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设）（重难点） 不等式组 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉取中间） 无解（大小分离解为空） · 同解、错解问题： · 同解问题：将已知方程重新组合，组成新的方程组进行解答； · 错解问题：这类题一般是看错其中某一项的系数，我们解答的时候需要注意错解同时也是正确的那一个方程的解，然后列出新的方程组进行求解. · 含参数的二元一次方程组： 把参数当做主要未知数，建立关于此参数的一元一次方程或二元一次方程组进行求解. · 一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）： 定理：如果一元二次方程的两个根为，那么： ，. 3、 【典例分析】 · 等式和不等式的性质： 1.（2024贵州）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡，若设“■”与“●”的质量分别为，则下来关系式正确的是（ ） 【答案】C. 【解析】由甲图可知：1个“■”质量与2个“▲”质量相等，由乙图可知：1个“▲”质量与2个“●”质量相同，所以一个“■”质量与4个“●”质量相等，故有，故选C. · 方程和不等式的解： 1.（锦江区2024年一诊）若是方程的解，则的值为 （ ） 【答案】C. 【解析】∵是方程的解，∴，故选C. 2.（2024齐齐哈尔中考）如果关于的分式方程的解是负数，那么实数的取值范围是（ ） 【答案】A. 【解析】去分母得：，合并同类项并移项得：，方程有解的前提是，即，那么可得为负数，∴，当时，为原方程的增根，所以，故的范围为，故选A. 3.（2023眉山中考）已知关于的二元一次方程组满足，则的值为（ ） 【答案】B. 【解析】两式相减可得：，即，又因为，所以，故选B. 4.（2024河南）下列不等式中，与组成的不等式组无解的是（ ） 【答案】A. 【解析】，而与的解集为：；与的解集为；与的解集为：，与选项A无解，故选A. 5.（2024达州中考）若关于的方程无解，则的值为 . 【答案】4. 【解析】分式方程无解分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况. 去分母并合并同类项后可得：，所以，该整式方程必有解，故只有该解为原方程增根时原方程无解，所以 6.（2024深圳中考）一元二次方程的一个解为，则 . 【答案】2. 【解析】因为的一个解为，所以有，∴. 7.（2024南充中考）已知是方程的一个根，则的值为 . 【答案】 【解析】因为是方程的一个根，所以有； ∴. 8.关于的不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是 . 【答案】. 【解析】由解得：；由解得：，因为原不等式组恰有三个整数解，故这三个整数解为0，1，2，所以. · 解方程和不等式： 1.（2024河北中考）淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1，则 （ ） 【答案】C. 【解析】由题意可得方程：，即，由求根公式可得：； 因为为正数，故，故选C. 2.（2025年青羊区二诊）分式方程 的解为 . 【答案】 【解析】交叉相乘得：，解得，经检验为原方程的根，故. 3.（2024苏州中考）解方程组：. 【答案】. 【解析】 ①－②得：，∴ 代入①可得：，解得 故原方程组的解为. 4.（锦江区2024年一诊）解方程：. 【答案】. 【解析】 ∴. 5.（2024福建中考）解方程：. 【答案】 【解析】去分母得： 去括号并移项得： ∴ 经检验：为原方程的根 ∴原方程的解为. 6.（2025年锦江区二诊）解不等式组： . 【答案】. 【解析】； 由①得：，解得， 由②得：，解得 ∴原不等式组的解集为：. 7.（2024年青羊区二诊）解不等式组： 【答案】 【解析】由①得：，解得：； 由②得：，解得：； ∴原不等式组的解集为：. · 一元二次方程的根的辨别式及根与系数的关系： 1.（2024上海中考）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） 【答案】D. 【解析】一元二次方程有两个相等实数根的判定条件为：； ，，原方程有两个不相等的实数根，故选项A错误； ，，原方程有两个不相等的实数根，故选项B错误； ，，原方程有两个不相等的实数根，故选项C错误； ，，方程有两个相等的实数根，故选项D正确. 2.（2024自贡中考）关于的方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A. 【解析】，故原方程始终有两个不相等的实数根，选项A正确. 3.（锦江区2024年一诊）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 . 【答案】. 【解析】有两个相等的实数根，则，解得：. 4.（2024年青羊区二诊）已知关于的一元二次方程，若是方程的两个实数根，且，则的值为 . 【答案】. 【解析】∵是方程的两个实数根 ∴由韦达定理可得： 又∵ ∴ 即：，解得：， 当时，原方程为：，方程无解，故舍去. 当时，原方程为：，符合题意，故. 5.（2024烟台中考）若一元二次方程的两根为，则的值为 . 【答案】6. 【解析】的两根为，∴有， 又由韦达定理有： . 6.（锦江区2024年一诊）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 . 【答案】4. 【解析】的两根为，∴有， 又由韦达定理有： . 7.（2024青海中考）（1）解一元二次方程：； （2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1） ∴ ∴ （2）设第三边长为. 当两条直角边为1和3时，第三边为斜边，则：； 当3为斜边，1为直角边时，第三边为直角边，则： 故第三边长长为. 8.（2024南充中考）已知是关于的方程的两个不相等的实数根. （1） 求的取值范围； （2） 若，且都是整数，求的值. 【答案】（1）；（2）的值为2. 【解析】（1）∵有两个不相等的实数根 ∴ 化简得： 解得. （2）由（1）知：，又 所以整数的值为2，3，4. 当时，方程为，解得：，符合题意； 当时，方程为，解得：，不符合题意要求都是整数； 当时，方程为，解得：，不符合题意要求都是整数； 故的值为2. 9.（2024遂宁中考）已知关于的一元二次方程. （1） 求证：无论为何值，方程都有两个不相等的实数根； （2） 若是方程的两个实数根，且，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）∵对于任意实数都成立， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根. （2）∵是方程的两个实数根 ∴ ∵ ∴，即 ∴. · 方程和不等式的实际应用： 1.（2024年锦江区二诊）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之多半斤.其大意为：有一群人分银子，若每人分七两，则剩余四两；若每人分九两，则还差八两，问有多少人，多少银两（注：明代的1斤等于16两，故有“半斤八两”这个成语）.设有人，银子有两，则可列方程组为（ ） 【答案】A. 【解析】有人，银子有两，由“每人分七两，则剩余四两”可知；由“每人分九两，则还差八两”可知，故选项A符合题意. 2.（2024年青羊区二诊）我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑( xǔ)酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各有几斗.设清酒有斗，那么可列方程为（ ） 【答案】C. 【解析】清酒有斗，则有醑酒斗，由“一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，30斗谷子，共换了5斗酒”可得：，故选C. 3.（2024绥化中考）一艘货轮在静水中的航速为，它以该航速沿江顺流航行所用时间与以该航速沿江逆流航行所用时间相等，则江水的流速为（ ） 【答案】D. 【解析】设江水的流速为，则由题意可得方程： ，解得，经检验为方程的根，故选项D正确. 4.（2024云南中考）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） 【答案】B. 【解析】连续两年相同下降率从80元降低到了60元，可得方程为：.故选项B正确. 5.（2024年青羊区一诊）春节是中国的传统节日，春节前是购物的高峰期，苹果寓意“平平安安”，销售特别火爆.某水果商从农户手中购进A，B两种糖心苹果，其中A种糖心苹果的进货价为25元/件，销售价为40元/件，B中糖心苹果的进货价为18元/件，销售价为30元/件.（注：利润=销售价－进货价） （1） 水果店用3300元购进A，B两种糖心苹果共160件，求两种糖心苹果分别购进的件数. （2） 水果店发现B种糖心苹果还有大量剩余，决定对B种糖心苹果调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售4件.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，为了尽快减少库存，将销售价定为每件多少元时，才能使B种糖心苹果每天的销售利润为96元？ 【答案】（1）A种糖心苹果60件；B类糖心苹果100件；（2）当售价为每件24元时，B种糖心苹果每天的销售利润为96元. 【解析】（1）设购进A种糖心苹果件，购进B种糖心苹果件： 解得：. 故商店A种糖心苹果60件；B类糖心苹果100件. （2）设降价元时，B种糖心苹果每天的销售利润为96元. 解得：. ∵尽快减少库存，∴销量越大越好，∴舍去 故. 售价为：30－6=24（元） 答：当售价为每件24元时，B种糖心苹果每天的销售利润为96元. 6.（2025年锦江区二诊）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然、民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式.已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的质量与5000元购进乙种茶叶的质量相同. （1） 求甲、乙两种茶叶的进价； （2） 某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的质量至少是乙种茶叶质量的.若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】（1）甲种茶叶的进价为400元/千克，乙两种茶叶的进价为500元/千克；（2）最大利润为元. 【解析】（1）设每千克甲种茶叶的单价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元. 由题意可得：，解得： 经检验：为原方程的根且符合题意 ∴ 答：甲种茶叶的进价为400元/千克，乙两种茶叶的进价为500元/千克. （2）设购进千克甲种茶叶，则购进千克乙种茶叶. 由题意得： 解得：. 设两种茶叶卖完后的利润为元，则： ∵－20＜0 ∴随的增大而减小 ∴最小时利润最大 ∴时， 答：商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元. 7.（2024赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等. （1） 求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米； （2） 为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复多少千米？ 【答案】（1）甲队平均每天修复6千米，乙队平均每天修复9千米；（2）15天的工期，两队最多能修复105千米. 【解析】（1）设甲队平均每天修复公路前面，则乙队平均每天修复公路千米. 由题意可得：，解得： 经检验：为原方程的根且符合题意 ∴ 答：甲队平均每天修复6千米，乙队平均每天修复9千米. （2）设甲队工作天，则乙队工作天. 由题意得：，解得. 设15天工期两队修复的公路千米，则： ∵－3＜0 ∴随的增大而减小 ∴当最小时，有最大值 ∴时，有最大值，为. 答：15天的工期，两队最多能修复105千米. 8.（2025年武侯区二诊）2025年，DeepSeek掀起全球热潮，其发布的开源大模型堪称“低成本，高效率”的典范，为世界贡献了“中国智慧”.已知某公司拥有甲、乙两个数据中心，甲数据中心通过应用DeepSeek，使其数据迁移速度提升至乙数据中心的5倍，且甲数据中心迁移的数据比乙数据中心迁移的数据所需时间少5小时. （1） 分别求甲、乙两个数据中心迁移速度（单位：/小时） （2） 现公司要求甲、乙两个数据中心协同完成一项紧急任务，共用8小时至少完成的数据迁移，且同一时间只能一个数据中心工作，试问：不考虑其他因素，甲数据中心至少需要工作多少小时？ 【答案】（1）甲数据中心的迁移速度为10 /小时，乙数据中心的迁移速度为2 /小时； （2）甲数据中心至少需要工作5小时. 【解析】（1）设乙数据中心的数据迁移速度为/小时，则甲数据中心的数据迁移速度为/小时. 由题意可得：，解得： 经检验：为原方程的根且符合题意 ∴. 答：甲数据中心的迁移速度为10 /小时，乙数据中心的迁移速度为2 /小时 （2）设甲数据中心工作小时，乙数据中心工作小时，则由题意可得： ，解得：. 答：甲数据中心至少需要工作5小时. 9.（2023东营中考）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个宽的门（建在EF处，另用其他材料）. （1） 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ （2） 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 【答案】（1）长为40米，宽16米或长为32米，宽20米可以围成一个面积为的羊圈； （2）羊圈的面积不能达到. 【解析】（1）设矩形ABCD的边AB长为，则边BC的长为. 由题意可得： 化简整理得： 解得：. 当时，； 当时，； 故当长为40米，宽16米或长为32米，宽20米可以围成一个面积为的羊圈； （2）不能，理由如下： 由题意得： 化简整理得： ∴一元二次方程无实数根 故羊圈的面积不能达到. 10.（2024江西）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚. （1） 数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； （2） 如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】（1）书架上有数学书60本，语文书30本；（2）最多还可以摆90本. 【解析】（1）设书架上数学书有本，语文书有本. 由题意可得： 解得：. 答：书架上有数学书60本，语文书30本. （2）设数学书还可以摆本. 由题意可得： 解得：. 答：数学书最多还可以摆90本. 4、 【真题演练】 1.（2023巴中中考）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（ ） 【答案】A. 【解析】设张卡纸做侧面，则张卡纸做底面，由题意可得方程：，解得. ∴可以做成6个包装盒.故选项A正确. 2.（2024呼伦贝尔中考）A，B两种机器人都被用来搬运化工原料，A型机器人比B型机器人每小时多搬运30千克，A型机器人搬运900千克所用时间与B型机器人搬运600千克所用时间相等.A，B两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？ 【答案】D. 【解析】设A型机器人每小时搬运千克，则B型机器人每小时搬运千克.则由题意可得方程： ，解得：，经检验：为原方程的根且符合题意，∴，故选项D正确. 3.（2025浙江中考）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表． 材料 类别 彩色纸（张） 细木条（捆） 手工艺品A 5 3 手工艺品B 2 1 如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有个，手工艺品B有个，则和满足的方程组是（   ） 【答案】C. 【解析】由A，B两种手工艺品共用17张彩色卡纸可得方程：；由A，B两种手工艺品共用10捆西木条可得方程：，故选项C正确. 4.（2024南充）若关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（ ） 【答案】B. 【解析】由解得 ∵原不等式组的解集为，∴，解得.故选项B正确. 5.（2024云南）若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【解析】一元二次方程无实根，则，即，解得，故答案为：. 6.（2024泸州）已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是 . 【答案】14. 【解析】∵是一元二次方程的两个实数根 ∴ ∴. 7.（2024包头中考）解方程： 【答案】 【解析】去分母得： 经检验：为原方程的根 ∴原方程的解为： 8.（2025成都中考）解不等式组： 【答案】 【解析】由①得：，，∴. 由②得：，解得： ∴原不等式组的解为： 9.（2025重庆中考）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． （1）求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ （2）由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】（1）每天生产甲种文创产品100个，乙种文创产品50个；（2）每天生产乙种文创产品增加的数量为20个. 【解析】（1）设每天生产甲种文创产品个，乙种文创产品个. 由题意得： 解得： ∴ 答：每天生产甲种文创产品100个，乙种文创产品50个. （2）设每天生产的乙种文创产品增加个，则甲种文创产品增加个. 解得. 经检验：为原方程的解且符合题意. ∴每天生产乙种文创产品增加的数量为20个. 10.（2024重庆A卷）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. （1） 为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ （2） 经测算，购买更新1条甲生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】（1）该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条；（2）还需要再投入1330万元 【解析】（1）设该企业有甲类生产线条，乙类生产线条. 解得 则. ∴该企业有甲类生产线10条，乙类生产线20条. （2）设更新一条乙类生产线的设备需投入万元，更新一条甲类生产线的设备需投入万元. 解得； 则. ∴在获得补贴后还需要投入：（万元） 答：还需要再投入1330万元. 11.（2024成都）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴.某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用元从农户处购进A，B两种水果共千克进行销售，其中A种水果收购单价为10元/千克，B种水果收购单价为15元/千克. （1） 求A，B两种水果各购进多少千克； （2） 已知A种水果运输和仓储过程中质量损失4%，若合作社计划A种水果至少要获得20%的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价. 【答案】（1）购进A种水果1000千克，B种水果500千克；（2）A种水果的最低销售单价为12.5元/千克. 【解析】（1）设购进A种水果千克，购进B种水果千克. . 解得. ∴购进A种水果1000千克，B种水果500千克. （2）设A种水果的最低销售单价为元/千克. 解得. ∴A种水果的最低销售单价为12.5元/千克. 12.（2025成都中考）2025年8月7日至17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱．某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件的数量多7个． （1）求每个A种挂件的价格； （2）某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件． 【答案】（1）每个A种挂件的价格为25元；（2）该游客最多购买11个A种挂件. 【解析】（1）设每个A种挂件价格为元，每个B种挂件为元. 解得. ∴每个A种挂件的价格为25元. （2）设购买A种挂件个，B种挂件个. 由（1）知：每个A种挂件25元，每个B种挂件为元. 解得 ∵为正整数 ∴最大为11. 答：该游客最多购买11个A种挂件. 5、 【中考预测】 1.（改编题）《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其下卷记载“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足.问雉、兔各几何？”意思是“鸡和兔关在同一个笼子里面，从上数有35个头，从下数有94条腿，问鸡和兔子各有多少只？”，设鸡有只，兔有只，则根据题意可列方程（ ） 【答案】B. 【解析】根据有35个头可得： 腿一共有94条可得： 故选项B正确. 2.（原创题）已知方程组的解满足，则 . 【答案】1. 【解析】，②－①得：，∴，∴. 3.（原创题）若方程无解，则实数的值为 . 【答案】0或－1. 【解析】去分母得：，整理的：. 原分式方程无解有两种情况： ①化简后的整式方程无解：则； ②整式方程的解为原方程的增根，原方程增根有两个0和1. 时，，时，无解. ∴或. 4.（原创题）已知关于的一元一次不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围为 . 【答案】. 【解析】，由①解得：；由②解得：. 因为恰有2个整数解，所以原不等式组的解为，且两个整数解为4和3. 故，解得：. 5.关于的一元二次方程的两个实数根分别为，且满足，则实数的值为 . 【答案】－4. 【解析】由题意可知：. 又由得：，即： 即：，解得：或. 当时，原方程为，.不符合题意. 当时，原方程为，.符合题意. ∴. 6.（原创题）关于的一元二次方程有解，则实数的取值范围为 . 【答案】且. 【解析】∵一元二次方程有解 ∴ ，解得且. 7.（原创题）春秋假建议发布以来，各地积极响应号召，成都市中小学校于11月12日至14日（与周末连休）放假，形成了一个5天的小长假，家长们纷纷带着孩子出去接触大自然，放松心情的同时也由此掀起了一股旅游热潮.某文创店有A，B两款冰箱贴，已知每个A款冰箱贴的进价比每个B款冰箱贴进价少5元，用300元购进A款冰箱贴的数量和400元购进B款冰箱贴的数量相同. （1）求每个A款冰箱贴和每个B款冰箱贴的进价分别为多少元； （2）已知该店按照40%的利润率为商品定价，原来每天可售出40个B类冰箱贴，现为了尽快减少库存，进行降价销售，根据市场调查可知，每降低0.5元，每天可多售出10个B类冰箱贴，要使该店B款冰箱贴每天的利润达到480元，应该降价多少元？ 【答案】（1）每个A款冰箱贴15元，每个B款冰箱贴的进价为20元；（2） 【解析】（1）设每个A款冰箱贴进价为元，每个B款冰箱贴进价为元. 则： 解得. 经检验：为原方程的根且符合题意 ∴. ∴每个A款冰箱贴15元，每个B款冰箱贴的进价为20元. （2）设每个B款冰箱贴降价元，则每天可售出B款冰箱贴的数量为：（个）： 化简整理得： ∴. ∵要尽快减少库存 ∴. ∴应该降价4元销售. 1 学科网（北京）股份有限公司 $