专题06 分式（期末真题汇编，北京专用）八年级数学上学期新教材人教版

专题06 分式 4大高频考点概览 考点01 分式的概念及性质 考点02 分式的运算 考点03 解分式方程 考点04 分式方程实际应用 地 城 考点01 分式的概念及性质 一、单选题 1．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不变 2．(24-25八上·北京东城区·期末)下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八上·北京海淀区·期末)下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·北京西城区·期末)下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如果分式有意义，那么实数的取值范围是 ． 6．(24-25八上·北京东城区·期末)若分式有意义，则x的取值范围是 ． 7．(24-25八上·北京第二中学·期末)有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 ． 8．(24-25八上·北京大兴区·期末)约分： ． 三、解答题 9．(24-25八上·北京第二中学·期末)先化简，再从的整数解中选取一个数代入求值． 10．(24-25八上·北京第二中学·期末)已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 11．(24-25八上·北京第二中学·期末)已知，求代数式的值． 地 城 考点02 分式的运算 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期末)当，是正整数时，可以写成（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京第二中学·期末)计算： ． 3．(24-25八上·北京丰台区区·期末)计算： ． 4．(24-25八上·北京西城区·期末)计算：（1） ；（2） ． 5．(24-25八上·北京大兴区·期末)计算： ． 三、解答题 6．(24-25八上·北京朝阳区·期末)计算：． 7．(24-25八上·北京海淀区·期末)先化简，再求值：，其中． 8．(24-25八上·北京大兴区·期末)计算：． 9．(24-25八上·北京海淀区·期末)计算：． 10．(24-25八上·北京东城区·期末)先化简，再选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值． 11．(24-25八上·北京大兴区·期末)阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步  因为，所以，即； 第二步  因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， (1)仿照第一步，求的值； (2)仿照第二步，求的值． 12．(24-25八上·北京海淀区·期末)我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 13．(24-25八上·北京丰台区区·期末)计算：． 地 城 考点03 解分式方程 一、填空题 1．(24-25八上·北京朝阳区·期末)方程的解为 ． 2．(24-25八上·北京海淀区·期末)方程的解为 ． 二、解答题 3．(24-25八上·北京大兴区·期末)解方程：． 4．(24-25八上·北京西城区·期末)解方程：． 5．(24-25八上·北京丰台区区·期末)解方程：． 6．(24-25八上·北京东城区·期末)解分式方程：． 7．(24-25八上·北京第二中学·期末)解方程：． 地 城 考点04 分式方程实际应用 一、单选题 1．(24-25八上·北京丰台区区·期末)在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25八上·北京西城区·期末)一辆汽车从A地途经B地开往C地，它在这两个路段的行驶情况如下表所示．已知这辆汽车从A地到B地行驶的时间比从B地到C地行驶的时间多，那么可列出关于v的方程为 ． 路段 路程（） 平均速度（） A地—B地 40 B地—C地 三、解答题 3．(24-25八上·北京丰台区区·期末)周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由． 4．(24-25八上·北京第二中学·期末)列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 5．(24-25八上·北京大兴区·期末)列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意． 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 6．(24-25八上·北京海淀区·期末)秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 7．(24-25八上·北京东城区·期末)列分式方程解应用题： 2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米． 8．(24-25八上·北京朝阳区·期末)某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？ 9．(24-25八上·北京东城区·期末)已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 分式 4大高频考点概览 考点01 分式的概念及性质 考点02 分式的运算 考点03 解分式方程 考点04 分式方程实际应用 地 城 考点01 分式的概念及性质 一、单选题 1．(24-25八上·北京朝阳区·期末)如果把分式中的，都扩大3倍，那么分式的值（   ） A．扩大9倍 B．扩大3倍 C．缩小3倍 D．不变 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据已知条件将都扩大3倍后化简是解题的关键． 根据已知条件将都扩大3倍后化简，化简的结论与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：把分式中和都扩大3倍， 即：， ∴分式的值不变． 故选：D． 2．(24-25八上·北京东城区·期末)下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可． 本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 【详解】解：，则A不符合题意； 无法进行约分，则B不符合题意； ，则C不符合题意； ，则D符合题意； 故选：D． 3．(24-25八上·北京海淀区·期末)下列分式变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A. ，此选项错误，不符合题意；     B. ，此选项正确，符合题意；     C. ，此选项错误，不符合题意； D. ，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．(24-25八上·北京西城区·期末)下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意， B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意， C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意， D、，即D项符合题意， 故选：D． 二、填空题 5．(24-25八上·北京丰台区区·期末)如果分式有意义，那么实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于0，即可得出答案． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 故答案为：． 6．(24-25八上·北京东城区·期末)若分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 根据分式的分母不为零列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为： 7．(24-25八上·北京第二中学·期末)有一个分式：①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0．请写出同时满足以上两个条件的一个分式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的值为0的条件，根据当时，分式有意义；当时，分式的值为0，再构建分式即可． 【详解】解：∵①当时，分式有意义；②当时，分式的值为0． ∴分式可以为， 故答案为： 8．(24-25八上·北京大兴区·期末)约分： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的性质，将分子分母中的相同因式约掉即可得出结论． 【详解】解：， 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25八上·北京第二中学·期末)先化简，再从的整数解中选取一个数代入求值． 【答案】，时，原式 【分析】本题考查的是分式的化简求值，绝对值不等式的含义，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再结合绝对值不等式与分式有意义的条件把代入计算即可． 【详解】解：∵，为整数， ∴，，， ； ∵分式有意义， ∴，，， ∴， 原式． 10．(24-25八上·北京第二中学·期末)已知，，，，，， 当为大于的奇数时，； 当为大于的偶数时，； (1)求；（用含的式子表示） (2)_____；（用含的式子表示） (3)计算． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了规律型中数字的变化类，根据数值的变化找出的值，每个一循环是解题的关键． （1）根据，即可求解； （2）根据题意可得规律：每个一循环，即可求解； （3）求出，由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， 每个一循环， ， ， 故答案为：； （3） ， ． 11．(24-25八上·北京第二中学·期末)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的约分，分式的求值，先约分得到结果为，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 地 城 考点02 分式的运算 一、单选题 1．(24-25八上·北京大兴区·期末)当，是正整数时，可以写成（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的定义可得（，是正整数），即可求解． 【详解】解：当，是正整数时，可以写成， 故选：A． 二、填空题 2．(24-25八上·北京第二中学·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．(24-25八上·北京丰台区区·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘方，掌握分式的乘方公式：（，为正整数）是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 4．(24-25八上·北京西城区·期末)计算：（1） ；（2） ． 【答案】 1 【分析】本题考查负整数指数幂和零指数幂，根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则计算即可，也是解题关键． 【详解】解：（1）． 故答案为：； （2）． 故答案为：1． 5．(24-25八上·北京大兴区·期末)计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的加法，根据分式的加法运算法则求解即可． 【详解】解： 故答案为：． 三、解答题 6．(24-25八上·北京朝阳区·期末)计算：． 【答案】 【分析】此题考查了分式的加法运算，解题的关键是熟练掌握分式的加法运算法则． 利用异分母分式的加法法则计算即可得到结果． 【详解】解： ． 7．(24-25八上·北京海淀区·期末)先化简，再求值：，其中． 【答案】；3 【分析】本题考查了分式的化简求值，求代数式的值，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．(24-25八上·北京大兴区·期末)计算：． 【答案】11 【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的运算法则是解题的关键．先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 9．(24-25八上·北京海淀区·期末)计算：． 【答案】2 【分析】根据实数的混合运算、有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，有理数的乘方运算，零指数幂，负整数指数幂等知识点，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10．(24-25八上·北京东城区·期末)先化简，再选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值． 【答案】，取时，代数式值为（答案不唯一） 【分析】先把括号内的整式化成分母是的分式，然后按照同分母的分式相加法则计算括号内的，再把除法化成乘法，进行约分，然后取能让分式有意义的数，代入化简后的式子进行计算即可． 本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分． 【详解】解：原式 ， 或时分式无意义， 不能是1或， 当时， 原式 11．(24-25八上·北京大兴区·期末)阅读下面的解题过程： 例：已知，求代数式的值． 第一步  因为，所以，即； 第二步  因为， 所以． 该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题． 已知， (1)仿照第一步，求的值； (2)仿照第二步，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形． （1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论； （2）由．再把代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴． ∴． （2）解：由（1）得， ∴． ∴． 12．(24-25八上·北京海淀区·期末)我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”． 例如，将分式分解：． (1)将分式分解的结果为________； (2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________； (3)当时，判断与的大小关系，并证明． 【答案】(1)； (2)1，3； (3)，证明过程见详解 【分析】本题考查新定义下分式的加减及分式的大小比较，理解题中新定义、熟练掌握作差法是解题的关键． （1）根据题中示例进行变形即可得出答案； （2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案； （3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ， ， ，解得， 故答案为：1，3； （3） 证明： ， ，， ，， ． 13．(24-25八上·北京丰台区区·期末)计算：． 【答案】 【分析】此题考查了绝对值、零指数幂、负整数指数幂等知识．根据绝对值、零指数幂、负整数指数幂的法则计算后，进行加减法即可． 【详解】解： 地 城 考点03 解分式方程 一、填空题 1．(24-25八上·北京朝阳区·期末)方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先去分母把分式方程化为整式方程，然后再解答，最后进行检验即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项并移项，得， 系数化为1，得：， 检验：当，， ∴是原分式方程的解． 故答案为：． 2．(24-25八上·北京海淀区·期末)方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程的基本步骤是解题的关键，特别是注意验根． 【详解】解： 方程两边同乘，去分母得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的根， 故答案为：． 二、解答题 3．(24-25八上·北京大兴区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键． 先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可； 【详解】解： 检验：当时，， 所以原分式方程的解为． 4．(24-25八上·北京西城区·期末)解方程：． 【答案】分式方程无解 【分析】本题主要考查解分式方程，按照解分式方程的步骤进行解答即可，关键在于“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，最后一定注意要验根． 【详解】解：， ， ， ， ， 经检验，为原分式方程的增根，故原分式方程无解． 5．(24-25八上·北京丰台区区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，注意解分式方程要检验；方程两边同乘，化为一元一次方程，解一元一次方程，最后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得：， 解得：， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 6．(24-25八上·北京东城区·期末)解分式方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为 7．(24-25八上·北京第二中学·期末)解方程：． 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、合并同类项，化系数为1，即可求解． 【详解】解： 经检验，是原方程的增根， 该方程无解． 地 城 考点04 分式方程实际应用 一、单选题 1．(24-25八上·北京丰台区区·期末)在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积之比，即．已知A，B两个物体的密度之比为，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的实际应用，理解题意，找出等量关系，列出等式是解题关键．根据题意可得出物体B的体积是，分别求出物体A和物体B的密度，再结合A，B两个物体的密度之比为列等式即可． 【详解】解：设物体A的体积是，则物体B的体积是， ∴物体A的密度为，物体B的密度为． ∵A，B两个物体的密度之比为， ∴． 故选A． 二、填空题 2．(24-25八上·北京西城区·期末)一辆汽车从A地途经B地开往C地，它在这两个路段的行驶情况如下表所示．已知这辆汽车从A地到B地行驶的时间比从B地到C地行驶的时间多，那么可列出关于v的方程为 ． 路段 路程（） 平均速度（） A地—B地 40 B地—C地 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，利用汽车从A地到B地行驶的时间比从B地到C地行驶的时间多，列出分式方程，即可解答，正确找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：汽车从A地到B地行驶的时间为， 汽车从B地到C地行驶的时间为， 根据题意可得， 故答案为：． 三、解答题 3．(24-25八上·北京丰台区区·期末)周末小天踏上了探索北京中轴线的旅程．上午他从正阳门-箭楼出发，骑行到达景山公园南门，在景山公园游览了后，又从景山公园北门步行到鼓楼参观打卡．如果小天骑行的平均速度是步行的平均速度的3倍，骑行比步行少用．请你判断他能否在当日上午前到达鼓楼，并说明理由． 【答案】能，理由见详解 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，等量关系式：步行的时间骑行的时间，据此列方程，解方程即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：能，理由如下： 设小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为，则有 ， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； 小天的步行平均速度，则骑行的平均速度为， 总共所需时间为： （）， 到达钟鼓楼的时间为， 故能在当日上午前到达鼓楼． 4．(24-25八上·北京第二中学·期末)列分式方程解应用题： 为更好地开展党史教育，激发中学生爱党爱国的深厚情感，我校组织初二年级同学参观中国共产党历史展览馆，师生统一坐大巴车前往，从我校到展览馆计划行驶12千米，活动当天由于天气原因，下雨造成道路湿滑，大巴车平均行驶速度降为原计划的，途中又遇到交通管制，临时改变了行车路线，最终全程行驶了18千米，比计划行驶时间多用20分钟．请问原计划大巴车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 【分析】本题考查分式方程解决实际应用问题，设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则实际平均每小时行驶千米，根据时间关系列方程求解即可得到答案； 【详解】解：设原计划大巴车平均每小时行驶千米，则 ， 解得：， 经检验符合题意； 答：原计划大巴车平均每小时行驶45千米． 5．(24-25八上·北京大兴区·期末)列方程解决实际问题： 2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意． 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？ 【答案】每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元 【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键． 设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解． 【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元． 根据题意得：， 解得：，   经检验，是所列方程的解，且符合实际意义，   ∴． 答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元． 6．(24-25八上·北京海淀区·期末)秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时． 【答案】小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时 【分析】本题主要考查分式的运用，理解数量关系，掌握分式解实际问题的方法是解题的关键． 设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时，由此列式求解即可． 【详解】解：设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时， 可列方程：， 化简得：， ， 解得：， 检验：时，且 ∴原分式方程的解为， ∴， 答：小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时． 7．(24-25八上·北京东城区·期末)列分式方程解应用题： 2024年7月27日，北京中轴线申遗成功．中轴线南起永定门，北至钟鼓楼．某班级两个小组分别在永定门和钟鼓楼参观之后，他们同时出发到故宫集合．第一小组从永定门骑行至故宫，行程约，第二小组从钟鼓楼步行至故宫，行程约．已知骑行的速度是步行速度的2倍，第一小组比第二小组提前6分钟到达，求第二小组步行的速度是每小时多少千米． 【答案】第二小组的步行速度是每小时5千米 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系、正确列出分式方程是解题的关键． 设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时千米，根据第一小组比第二小组提前6分钟到达，列出分式方程求解即可． 【详解】解：设第二小组的步行速度是每小时x千米，则第一小组的骑行速度是每小时2x千米， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：第二小组的步行速度是每小时5千米． 8．(24-25八上·北京朝阳区·期末)某地积极利用农业技术创新，改良玉米品种，提高品种适应性和抗病性，玉米平均每亩增产，原来总产量60吨的一块土地，现在少种20亩，总产量仍可达到60吨，原来和现在玉米的平均每亩产量各是多少吨？ 【答案】原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是0.75吨 【分析】本题考查了分式方程的应用．读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 设原来玉米的平均每亩产量是吨， 由种植玉米地的面积这块地的总产量÷平均每公顷产量，根据现在少种20亩列方程求解即可． 【详解】解：设原来玉米的平均每亩产量是吨， 根据题意，得， 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：原来玉米的平均每亩产量是0.6吨，现在玉米的平均每亩产量是吨． 9．(24-25八上·北京东城区·期末)已知（是正整数，m叫作n的平方差倒数．例如，叫作3的平方差倒数． (1)的平方差倒数是______； (2)是n的平方差倒数，求m的值； (3)已知是某一正整数的平方差倒数（是正整数），求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了对平方差倒数的理解，完全平方公式的应用、分式方程的实际应用，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据（是正整数，m叫作n的平方差倒数，直接求解，即可解题； （2）根据“是n的平方差倒数”结合平方差倒数概念建立分式方程求解，即可解题； （3）利用因式分解化简求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方差倒数是， 故答案为：； （2）解：由题易得，， 即， 解得， 经检验，是该方程的解， 此时； （3）解： ， ， ， ，b，n为正整数， 可取的最小值为6， 的最小值为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $