4.3.1课时4 数列中的构造问题 同步作业-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

4.3.1 课时4 数列中的构造问题 【基础巩固】 1．已知数列中，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，得，又. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以.所以. 故选：D 2．在数列中，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在数列中，已知，，则， 故数列为常数列，则，因此，. 故选：D. 3．已知数列的首项，且满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由可得，即， 又，可得，所以数列是以为公比，为首项的等比数列， 即，所以，所以. 故选：A. 4．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 即，所以． 故选：C. 5．（多选）已知正项数列的首项，前项积为，且，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．是递增数列 D． 【答案】BC 【解析】，， 则数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，即，，故A错误，B正确； ，因为函数在单调递增， 所以是递增数列，故C正确； ，，故D错误. 故选：BC. 6．在数列中，，，则______. 【答案】 【解析】对取倒数得，∴， ∴是为首项，为公差的等差数列. ∴，∴，∴. 故答案为： 7．已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 【答案】 【解析】， 则数列是首项为，公比为的等比数列， ， 故答案为：. 8．已知数列中，，， (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，证明：. 【答案】见解析. 【解析】(1)， 则数列是以为首项，公比为的等比数列, 则； (2)由(1)，则. 则； .则. 【能力拓展】 9．在数列中，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，则，而， 因此数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，，所以当时，. 故选：B. 10．（多选）已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，若，则 所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，当时，， 因为，所以，即，因为， 所以数列是等差数列，故B正确； 对于C，当时，有， 因为，所以，即，所以是等比数列，故C正确； 对于D，当时，有， 因为，所以，即，因为， 所以是等比数列，故D正确. 故选：BCD． 11．已知，当时，，则的通项公式为___________ 【答案】 【解析】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 【素养提升】 12．数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数，使对所有的成立． 【答案】见解析. 【解析】(1)由题意证明如下，，在数列中，，， ∴，即， ∴，∴是以为首项，为公比的等比数列，∴， ∴，即（），∴， ， ∴数列是单调递增数列. (2)由题意及(1)证明如下，，在数列中，， ∴，，， ∴ ，∴，∴不可能成等比数列. (3)由题意(1)及(2)证明如下，，在数列中，，单调递增， 且当时，，∴不存在正的常数，使对所有的成立. 第2页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3.1 课时4 数列中的构造问题 【基础巩固】 1．已知数列中，，且，则（ ） A． B． C． D． 2．在数列中，已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知数列的首项，且满足，则（ ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和为，其中，且，则（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知正项数列的首项，前项积为，且，则（ ） A． B．数列是等差数列 C．是递增数列 D． 6．在数列中，，，则______. 7．已知数列的首项，（为正整数），则数列的通项公式________． 8．已知数列中，，， (1)证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)令，证明：. 【能力拓展】 9．在数列中，已知，，则（ ） A． B． C． D． 10．（多选）已知数列满足，则下列说法中正确的是（ ） A．若，，则是等差数列 B．若，，则是等差数列 C．若，，则是等比数列 D．若，，则是等比数列 11．已知，当时，，则的通项公式为___________ 【素养提升】 12．数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数，使对所有的成立． . 第2页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $