专题02 一元二次方程6考点（期末真题汇编，湖南专用）九年级数学上学期湘教版

专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程 考点02 一元二次方程的解法 考点03 一元二次方程根的判别式 考点04 一元二次方程根与系数的关系 考点05 一元二次方程的应用 考点06 新定义问题 地 城 考点01 一元二次方程 1．(24-25九上·湖南湘西州溶江中学·期末)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据一元二次方程的定义，逐一分析每个选项是否符合一元二次方程的条件．本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 一元二次方程的一般形式是（），选项中未明确， ∴ 选项不一定是一元二次方程； ∵ 选项中方程未知数的最高次数是， ∴ 选项不是一元二次方程； ∵ 选项中方程未知数的最高次数是， ∴ 选项不是一元二次方程； ∵ 选项展开为，即，符合一元二次方程的定义， ∴ 选项是一元二次方程． 故选：D． 2．(24-25九上·湖南永州道县·期末)下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A. ，该方程中的未知数的指数是1．故本选项错误；     B. ，该方程符合一元二次方程的定义．故本选项正确；     C. ，该方程是分式方程．故本选项错误；     D. ，该方程中含有两个未知数．故本选项错误． 故选：B． 3．(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)下列方程中是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的概念，一元一次方程的概念，分式方程的概念等知识点，根据相关知识点一一判断即可； 【详解】解：，是一元一次方程，故选项A错误，不符合题意； ，是二元二次方程，故选项B错误，不符合题意； ，是一元二次方程，故选项C正确，符合题意； ，是分式方程，故选项D错误，不符合题意； 故选：C 4．(24-25九上·湖南长沙宁乡·期末)一元二次方程的常数项是（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程各部分的名称定义，解决此题的关键是正确的识记相关概念，根据常项的定义即可解决。 【详解】解：是一般形式的一元二次方程， ∴常数项为， 故选：C 5．(24-25九上·湖南长沙明德教育集团·期末)已知为方程的解，则a的值为（   ） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程解得定义是解答本题的关键．把代入，然后解关于a的方程即可． 【详解】解：把代入，得 ， ∴． 故选A． 6．(24-25九上·湖南湘潭·期末)一元二次方程的二次项系数和常数项分别是（　　） A．， B．2，3 C．， D．，3 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的一般形式，先把一元二次方程化为一般式，根据．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程整理得， ∴二次项系数和常数项分别为2，3． 故选：B． 7．(24-25九上·湖南长沙浏阳·期末)二次函数的一次项系数为（　　） A．2 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的一般形式，把二次函数化为一般形式，即可求出一次项系数． 【详解】解：， 所以，一次项系数是， 故选：D． 8．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)把一元二次方程化成一般形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程一般形式是解题的关键．一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且），在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据题意将一元二次方程化为一般形式即可． 【详解】解： 一元二次方程化成一般形式是， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖南郴州·期末)已知一元二次方程的一个根是3，则 【答案】6 【分析】本题主要考查一元二次方程根的意义，将根代入方程求解是解题关键． 将代入方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是3， ∴， 解得：； 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)若一元二次方程的一个根为2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程的根代入方程即可求出m的值． 【详解】解：二次方程的一个根为2， ， ， 故答案为：． 11．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)若是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由一元二次方程的定义求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 由一元二次方程的定义，列出关于参数的不等式求解． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴，解得：， 故答案为：． 12．(24-25九上·湖南湘西州古丈县·期末)已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．(24-25九上·湖南怀化五县六校联考·期末)如果关于的方程是一元二次方程，则常数k的值是 ． 【答案】 【分析】由一元二次方程的概念满足的条件：未知数最高次数为2，构造方程，解出字母取值，并利用二次项系数不为0排除使二次项系数为0的字母取值，从而确定字母取值．本题考查了一元二次方程的定义． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：． 14．(24-25九上·湖南常德桃源县文昌中学·期末)已知是方程的一个根，则 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值等知识点，运用整体代入法求值是解题的关键． 由一元二次方程的解的定义可得，然后将其整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程 的一个根， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 15．(24-25九上·湖南湘西凤凰县·期末)是方程的根，则式子的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程中，得到，得到，整体代入法求出代数式的值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2027． 16．(24-25九上·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)已知关于的一元二次方程  的一个解是，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是利用整体代入的思想解决问题． 首先把代入已知方程中，然后利用整体代值的方法即可求解． 【详解】解：把代入， ， 即， ； 故答案为： 17．(24-25九上·湖南邵阳新邵县新邵县思源实验学校、新邵县陈家坊镇中学·期中)若a是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，根据题意，得到，进而得到，利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：2024 地 城 考点02 一元二次方程的解法 1．(24-25九上·湖南株洲炎陵县·期末)一元二次方程配方后化为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法，先把方程两边都加9，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 2．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，把原式变形为，即可得到． 【详解】解： ∴ 则 得到， 故选：C． 3．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县·期末)一元二次方程的根是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 故选：C． 4．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)关于的一元二次方程的根是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 直接移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 或 ∴，． 5．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)用配方法解方程变形后的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，将常数项移到方程的右边，再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得解，熟练掌握配方法是关键． 【详解】解：原方程移项得， ， ， 故选：C． 6．(24-25九上·湖南株洲渌口区、芦淞区·期末)在用求根公式求一元二次方程的根时，小慧同学正确地代入了，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出a，b，c的值，从而可求解． 【详解】解：∵小慧利用求根公式求出方程的解为， ∴， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 7．(24-25九上·湖南怀化·期末)将一元二次方程化成形如的形式，则pq的值为（   ） A．150 B．100 C．50 D．25 【答案】B 【分析】本题考查的是配方法解一元二次方程，根据配方法把方程化为，再进一步解答即可． 【详解】解：一元二次方程， ∴， ∴， ∴， ， ． 故选B． 8．(24-25九·湖南岳阳·期末)若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程一直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成 的形式，那么．根据直接开平方法的条件得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得． 故选：D． 9．(24-25九上·湖南衡阳城区初中联考·期末)用配方法解方程时，方程的两边同时加上一个实数，使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是（    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行解答即可． 【详解】解： ∴ ∴ 故选；C 10．(24-25九上·湖南株洲炎陵县·期末)若等腰三角形的某两边的长是方程的两根，则它的周长为（     ） A．9或12 B．9 C．10或12 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形三边关系；先解一元二次方程，求得两边分别为2与5，分腰为2与腰为5两种情况考虑，结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：解得：； 由题意，当腰为2时，则底边为5，但，不符合三角形三边关系，不符合题意； 当腰为5时，则底边为2，，符合三角形三边关系， 所以周长为； 故选：D． 11．(24-25九上·湖南邵阳·期末)若三角形的一边长是6，另外两边长分别是方程的两根，则该三角形的周长为（  ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是解一元二次方程． 利用因式分解法求出的值，再根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵， ， 则或， 解得：或， 故三角形的三边分别为，能组成三角形，周长为． 故选：B． 12．(24-25九·湖南岳阳·期末)小明解方程时得出解，他遗漏的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 用因式分解法解一元二次方程即可得到答案． 【详解】解：， ， 或， ， 他遗漏的解是 故答案为： ． 13．(24-25八下·湖南长沙长郡集团·期末)如果方程可以配方成，那么 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方，将配方后可得，结合已知条件可得出，即可求出n的值． 【详解】解：将配方后可得：， 即 ∵方程可以配方成， ∴， ∴ 故答案为：1． 14．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)已知关于的方程的两个根为和1，则 ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，根据题意可得原方程解答即可，熟知因式分解法解一元二次方程的解是解答此题的关键． 【详解】解：关于的方程的两个根为和1， 则可得方程为， 化简得 ， 故答案为：． 15．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)在实数范围内定义运算“”和“”，其规则为：，，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算的理解和运用，一元二次方程的解法，根据新定义运算列式，对方程进行变形，由此求得方程的解． 【详解】解： ，， ， 故答案为：． 16．(24-25九上·湖南衡阳衡阳县·期末)解方程： (1)； (2)（用公式法）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）方程左边分解因式后，转化为或，解这两个方程即可； （2）先求出，再由求根公式即可求解． 【详解】（1）解：分解因式得：， ∴或， ∴； （2）解：∵， ， ∴， ∴． 17．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，． 18．(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据平方差公式分解因式即可得到答案； （2）根据十字相乘法分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ∴； （2）解： ∴，． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法-因式分解，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 19．(24-25九上·湖南长沙宁乡·期末)解方程： (1)； (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元二次方程因式分解的方法解一元二次方程，解决此题的关键是熟练掌握各种一元二次方程的解法，选择最优． （1）根据十字相乘因式分解的方法解一元二次方程即可； （2）根据提公因式分解的方式解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ‘’ 或， ∴； （2）解： ， ， ∴或， ∴ 20．(24-25九上·湖南株洲攸县·期末)解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活选用恰当的解法是解题的关键． 对于（1），根据完全平方公式分解后求出解即可； 对于（2），先移项，再因式分解求出解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得． 21．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①； ②． (2)已知关于的方程（是常数）是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)①不是“差1方程”，见解析；②是“差1方程”，见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了因式分解法和公式法解一元二次方程，熟练掌握“差1方程”的定义并能正确分类讨论是解决此题的关键． （1）先解方程求出两个根，再判断两个根是否相差1即可； （2）先解方程求出两个根，再根据该方程是“差1方程”得出两个根的差为1，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：①， ，， ， 不是“差1方程”， ②，，， ， ， ， 是“差1方程”； （2）解：， ，， 方程（是常数）是“差1方程”， 或， 或． 地 城 考点03 一元二次方程根的判别式 1．(24-25九上·湖南长沙浏阳·期末)下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：A.，方程有两个不等的实数根，故选项A符合题意； B. ，方程没有实数根，故选项B不符合题意； C. ，方程有两个相等的实数根，故选项C不符合题意； D. ，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意； 故选：A 2．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)一元二次方程的根情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式的意义，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程的根的判别式进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3．(24-25九上·湖南怀化·期末)关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．根据方程的系数，结合根的判别式，可得出，进而可得出该方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选B． 4．(24-25九上·湖南娄底双峰县·期末)一元二次方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】此题考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判断方法是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式判断根的情况：当时，方程有两个相等实数根；当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程无实数根；据此解答即可． 【详解】解： 一元二次方程 ， ∴判别式 ， 方程没有实数根． 故选：D． 5．(24-25九上·湖南张家界桑植县·期末)若关于x的一元二次方程 有实数根，则k 的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，解题的关键是得出关于的一元一次不等式组． 让，且二次项的系数不为0，解不等式组即可得出结论． 【详解】解：由题意得： 解得： 且． 故选：B． 6．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)对于一元二次方程（），下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的是（   ） A．只有① B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ，故①正确． 方程有两个不相等的实根， ， 即． 又，且， ， 则方程有两个不相等的实根，故②正确． 是方程的一个根， ， 即， 或，故③错误． 综上分析可知：正确的只有①②． 故选：B． 7．(24-25九上·湖南常德初中联盟校·期末)若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程（为常数）根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．以及一元二次方程的意义．根据方程有实数根，得出，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 故答案为：． 8．(24-25九上·湖南长沙长郡集团·期末)若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 9．(24-25九上·湖南岳阳岳阳县·期末)已知关于的方程有一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的含义，掌握“一元二次方程的根使方程的左右两边相等”是解本题的关键． 把代入原方程，可得，从而可得答案． 【详解】解：∵关于的方程有一个根是， ， ， 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)若反比例函数与一次函数的图象有公共点，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点． 先由两函数解析式组成方程组，消去y得到关于x的一元二次方程，根据题意得到此方程有两个实数根，则，然后解不等式即可求解． 【详解】解：联立两函数解析式得， 则， 整理得：， ∵图象有公共点， ∴， 解得：， ∵一次函数， ∴， ∴且， 故答案为：且． 11．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)已知关于的方程有两个实数根，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式，根据方程有实数根得到，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵此方程有两个实数根， 即， 解得， 实数的取值范围是． 12．(24-25九上·湖南衡阳耒阳·期末)已知是关于x的一元二次方程的两实根． (1)求k的取值范围； (2)若是方程的根，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和己知方程的根求参数，熟练掌握根的判别式是解题的关键， （1）根据方程有两实根可得，代入数值解不等式即可得到答案； （2）由是方程的根，代入即可求k的值． 【详解】（1）解：∵有两实根， ∴， ∴， 解得：， （2）解：∵是方程的根， ∴， 解得：或． 13．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“最值码”，用表示，即；若另一关于的一元二次方程也为“全整根方程”，其“最值码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”． (1)“全整根方程”的“最值码”是_____； (2)关于的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】本题考查定义，一元二次方程根的判别式，正确理解全整根方程、全整根伴侣方程、最值码的定义是解题的关键． （1）根据“最值码”定义求解即可． （2）求出方程的判别式，再根据“全整根方程”得的值是一个完全平方数时，求出的值，从而求得b与c的值，代入中，即可求出最值码． （3）分别求出两方程的最值码，根据，即可得出的值． 【详解】（1）解：对于方程，可知： ，，， ， ， ， “全整根方程” 的“最值码”是． 故答案为：． （2）解：对于方程，，，， ， ， ． 方程是“全整根方程”， 是完全平方数， 又，且为整数， ， 完全平方数为36、49、63， 当时，不为整数，不符合， 当时，为整数且，符合， 当时，不为整数，不符合． 只有当时，才是完全平方数， ，， ， ， ， 一元二次方程的“最值码”为． （3）解：对于方程，，，， ， ， ， ． 对于，，，， ， ， ． 是的“全整根伴侣方程”， ， ， ， ， ， ， ， ， 或． 、均为正整数， 不符合题意， ， 故的值为2． 地 城 考点04 一元二次方程根与系数的关系 1．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)若一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系．根据一元二次方程根与系数关系得到，即可得到的值． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根分别为a，b， ∴， ∴， 故选：C 2．(24-25九上·湖南岳阳平江县·期末)若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2024 B．2022 C． D．4048 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，由，是方程的两个实数根，得到，，进而即可求解，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：B． 3．(24-25九上·湖南长沙明德教育集团·期末)已知方程的两根分别为和，则的值等于（   ） A．3 B． C．1.5 D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，． 根据求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为和， ∴， 故选：B． 4．(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)若关于的一元二次方程的两个实数根为，，且，则 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由、是一元二次方程的两个根， 则，， ∵，， ∴， 解得， 此时一元二次方程为有两个实数根，符合条件. 故答案为：． 5．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)若方程的两个实数根为、，则的值为 ． 【答案】14 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．由根与系数的关系得：，，再根据完全平方公式进行变形，代入即可求值． 【详解】解：∵方程的两个实数根为、， ∴由根与系数的关系得：，， ∴， 故答案为：14． 6．(24-25九上·湖南衡阳八中教育集团初中校·期末)已知a、b是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根据a、b是一元二次方程的两个根可求出，，再根据即可求解． 【详解】解：∵a、b是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．(24-25九上·湖南株洲渌口区、芦淞区·期末)已知方程的两根分别为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系求出，，再把要求的式子进行通分，然后代值计算，即可得出答案，熟知若，是一元二次方程的两根时，，． 【详解】解：方程的两根分别为，， ，， ． 故答案为：． 8．(24-25九·湖南岳阳·期末)设，是二次方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是二次方程的两个根， ∴， 故答案为：． 9．(24-25九上·湖南怀化·期末)已知关于的一元二次方程有一个根是，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据关于x的一元二次方程有一个根的值是，可以得到，然后求解即可． 【详解】解：方程有一个根是 ， 解得． 故答案为：． 10．(24-25九上·湖南长沙雅礼集团·期末)已知关于的方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．利用根与系数的关系即可求出另一根． 【详解】解：设另一根为， 则， ∴即． 故答案为：． 11．(24-25九上·湖南益阳·期末)若，是方程的两个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，如果一元二次方程的两个根分别是、，则有、．解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系把用含的代数式表示出来，然后再进行计算即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， ， ． 故答案为： ． 12．(24-25九上·湖南邵阳·期末)已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则另一个根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：．设方程的另一个根为，利用根与系数的关系得到，然后解一次方程即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据题意得，解得， 即方程的另一个根为4． 故答案为：4． 13．(24-25九上·湖南衡阳船山实验中学·期末)已知和是方程的两根，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系， 先求出，再整理待求式，然后代入求值即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是m，n， ∴， ∴． 故答案为：． 14．(24-25九上·湖南吉首雅思实验学校·期末)若a、b是一元二次方程的两个实数根，求的值． 【答案】16 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系和完全平方公式，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再得出，代入即可得出答案． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 15．(24-25九上·湖南怀化五县六校联考·期末)一元二次方程的根分别满足以下条件，求出实数的对应范围． (1)两个根的平方和为12； (2)两个根均大于； (3)． 【答案】(1)或2 (2) (3) 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，再代入，进行解方程，即可作答． （2）先得出，再结合一元二次方程两个根均大于2，则，即可作答． （3）先得出，再因为 ，解得：， ，解得，即可作答． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的根的平方和为12， ∴， ∴， 解得或2， （2）解：∵一元二次方程， ∴ ∴方程总有两个不相等的实数根， ∵一元二次方程两个根均大于2， ∴且 即 而 且 解得： 综上 （3）解： ， 则 解得： 整理得： ∴． 地 城 考点05 一元二次方程的应用 1．(24-25九上·湖南湘西土家族苗族龙山县红岩溪镇初级中学·期末)某品牌衬衣为了促进消费，拟对该品牌衬衣进行降价处理，决定将原价为元每件的该衬衣经过两次降价降为每件元，且两次降价的百分比相同．若设每次降价的百分比为x，则下列所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据该品牌衬衣平均每次降价的百分率为，根据降价后的价格等于降价前的价格乘以（1减去降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次后的价格是，据此列方程，即可求解． 【详解】解：根据该衬衣每次降价的百分比为x， ∴第一次降价后的价格是，第二次后的价格是， 即， 故选：D； 2．(24-25九上·湖南长沙芙蓉区·期末)月日，“竣越杯”湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛．最终，来自各地的多支本土校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了场比赛．若设共有支本土校园篮球劲旅参加比赛，则满足的关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据总比赛场数作为等量关系列方程求解． 设共有个队参加比赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛场，可列出方程，即可解答． 【详解】解：根据题意得， 故选：D ． 3．(24-25九上·湖南衡阳祁东县·期末)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．如果全班有x名同学，那么每名同学要送出张，共有x名同学，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】∵全班有x名同学， ∴每名同学要送出张， ∴总共送的张数应该是张 即 故选：C 4．(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，则可列方程 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，2024年8月至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆．据此列出一元二次方程即可． 【详解】解：设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为，依题意得， ， 故答案为：． 5．(24-25九上·湖南永州新田县·期末)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少 人？” 【答案】19 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这群人共有x人，则共摘了个石榴，根据“如果平均分配，每个人可以得到10个石榴”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设这群人共有x人，则共摘了个石榴， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去），， ∴这群人共有19人． 故答案为：19． 6．(24-25九上·湖南衡阳城区初中联考·期末)我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载有这样一个问题：“门厅一座，高广难知．长竿横进，门狭四尺．竖进过去，竿长二尺．两隅斜进，恰好方齐．请问三色，各该有几？”译文：有一座矩形门框，不知道其高度和宽度．如果拿支长竿横着过，门的宽度比长竿的长度少四尺；拿长竿竖着过，长竿的长度比门的高度多二尺；拿长竿沿门对角线斜着过，恰好通过．问门的高度、宽度及长竿的长度各是多少尺？设长竿的长度为尺，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：设竹竿的长度为尺，则门宽尺，门高尺， 依题意得：， 解得， 即长竿的长度为尺． 则门宽尺，门高尺， 故答案为：． 7．(24-25九上·湖南湘潭·期末)近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的变化．某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，求该市数字阅读市场规模的年平均增长率为多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程与增长率，理解数量关系，正确列式求解是关键．设年平均增长率为，由此列一元二次方程求解，结合实际情况得到结论． 【详解】解：设年平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去） ， 答：该市数字阅读市场规模的年平均增长率为． 8．(24-25九上·湖南长沙宁乡·期末)如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20m的篱笆围成一个矩形场地设矩形与墙垂直的一边为xm，矩形的面积为． (1)若面积，求的长； (2)能围成面积为的矩形吗？说明理由． 【答案】(1)的长为或． (2)不能．理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用——几何面积问题，根的判别式等知识点，解决此题的关键是要熟练运用根的判别式． （1）根据题意得到方程式解题的关键；得到方程后根据解一元二次方程的步骤求解即可； （2）由第（1）的思路得到方程，要会根据根的判别式判断方程无解： 【详解】（1）解：设与墙垂直的边为 ，则其对边也为 ，余下的一条边长为 ，矩形面积 ． ∴当 S = 48 时， 即 解得或 ， ∴的长为 或 ． （2）解：不能，理由如下： 由（1）可知 当 时， 可得方程 化简得： ∴ 无实数解，故无法围成面积为 58 的矩形． 9．(24-25九·湖南岳阳·期末)某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空余部分种花，如图，若矩形长为，宽为，种花的总面积为． (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植甲、乙两种花共株，其中甲种花每株元，乙种花每株元，园林部门采购花的费用不超过元，则最多购进甲种花多少株？ 【答案】(1)道路的宽度为； (2)最多购进甲种花株． 【分析】（）设道路的宽度为米，由题意得，然后解方程并检验即可； （）设购进甲种花株，则购进乙种花卉株，由题意得，然后解不等式即可； 本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，读懂题意，找出数量关系，列出方程和不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设道路的宽度为米， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：道路的宽度为； （2）解：设购进甲种花株，则购进乙种花株， 由题意得：， 解得：， 答：最多购进甲种花株． 10．(24-25九上·湖南永州冷水滩区·期末)“绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销售量逐年增加，据永州市某品牌新能源汽车经销商2024年4月至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，且销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； (2)若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为17万元/辆，则该经销商4月至6月份共盈利多少万元？ 【答案】(1) (2)728万元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为，根据该品牌新能源汽车4月份的销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）求出5月份销售新能源汽车数量，再列式求解，即可解决问题． 【详解】（1）解：设该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意舍去）， 该品牌新能源汽车销售量的月均增长率为． （2）解：5月份销售新能源汽车（辆）， （万元）， 答：该经销商4月至6月份共盈利728万元． 11．(24-25九上·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学·期中)为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为元，经过校友意见征集后，连续两次降价，最终每件的售价为元，并且每次降价的百分率相同． (1)求该文化衫每次降价的百分率； (2)若该文化衫每件的成本价为元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于元？ 【答案】(1)该文化衫每次降价的百分率为； (2)至少要售出件，总利润才能不低于元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）设该文化衫每次降价的百分率为，根据题意得到，解得，（舍去），即可得到答案； （2）设至少要售出件，总利润才能不低于元，得到，解得，即可得到答案． 【详解】（1）解：设该文化衫每次降价的百分率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该文化衫每次降价的百分率为； （2）解：设至少要售出件，总利润才能不低于元， 根据题意得， 解得， 答：至少要售出件，总利润才能不低于元． 12．(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)某商场销售一种小商品，进货价为40元/件．当售价为60元/件时，每天的销售量为180件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10件．设销售价格上涨x元/件（x为偶数），每天的销售量为y件． (1)请写出y与x的函数关系式． (2)商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？ 【答案】(1)； (2)6元或10元； 【分析】（1）根据销售单价每上涨2元，每天的销售量减少10件，可列出y与x的函数关系式； （2）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∴商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价6元或10元. 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，关键是根据等量关系写出函数解析式和一元二次方程． 13．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： (1)降价后商场日销售量是______件，每件商品盈利______元（用含的代数式表示）； (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 【答案】(1)； (2)每件商品降价元时，商场日盈利可达到元 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用．熟练掌握列代数式，一元二次方程的应用是解题的关键． （1）由题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加件，每件商品盈利元； （2）依题意得，，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：由题意知，每件商品降价x元，商场日销售量增加件，每件商品盈利元， 故答案为：，； （2）解：依题意得，， 整理得，， ， 解得，， ∴每件商品降价元时，商场日盈利可达到元． 14．(24-25九上·湖南常德桃源县文昌中学·期末)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入， 已知2021年该市投入基础教育经费5000万元，2023年投入基础教育经费7200万元． (1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； (2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划第二年用不超过当年基础教育经费的购买电脑和实物投影仪共2000台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3000元，购买一台实物投影需1500元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】(1) (2)880台 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确找出等量关系与不等量关系列出方程与不等式是解题的关键． （1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2021年该市投入基础教育经费5000万元，2023年投入基础教育经费7200万元，列出关于x的一元二次方程，求解即可； （2）根据(1)中基础教育经费投入的年平均增长率求出第二年即2024年基础教育经费，再设购买电脑y台，则购买实物投影仪台，根据用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意，得 ， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为． （2）解：第二年即2024年投入基础教育经费为（万元）元， 设购买电脑y台，则购买实物投影仪台，根据题意，得 ， 解得：， 答：最多可购买电脑880台． 15．(24-25九上·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求：①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为，；②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场及安全区域的总面积为． (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率． 【答案】(1)米 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题及增长率问题），理解题意，根据题中的等量关系正确列出方程并求解是解题的关键． （1）设安全区域的宽度为米，根据总面积为列方程求解即可； （2）设每次降价的百分率为，根据题中的等量关系列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安全区域的宽度为米，由题意可得： ， 整理，得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 安全区域的宽度为米； （2）解：设每次降价的百分率为，由题意可得： ， 解得：，（不符合题意，故舍去）， 每次降价的百分率为． 地 城 考点06 新定义问题 1．(24-25九上·湖南湘潭·期末)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，那么称这样的方程为“二倍根方程”．例如，方程的两个根是1和2，则这个方程就是“二倍根方程”． (1)下列方程是“二倍根方程”的有_______；（填序号即可） ①；②；③． (2)如果关于的方程是“二倍根方程”，求的值； (3)如果点在反比例函数的图象上，那么关于的方程是“二倍根方程”吗？请说明理由． (4)如果关于的一元二次方程是“二倍根方程”，试探究、、应满足的数量关系． 【答案】(1)① (2) (3)是，理由见解析 (4) 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）分别解各个方程，结合“二倍根方程”的定义判断即可得解； （2）依题意可设关于的方程的两个根为，，由一元二次方程根与系数的关系可知，，求解即可； （3）由题意可得，方程变形为，求出方程的两个根，结合“二倍根方程”的定义判断即可； （4）根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和，由根与系数的关系可得：，，求解即可． 【详解】（1）解：解可得：，， ∵， ∴①是“二倍根方程”； 解可得：，， ∵， ∴②不是“二倍根方程”； 解可得，， ∵， ∴③不是“二倍根方程”； （2）解：依题意可设关于的方程的两个根为，， 由一元二次方程根与系数的关系可知：，， ，； （3）解：是“二倍根方程”，理由如下： 点在反比例函数的图象上， ，             方程化为方程， 整理得， 解得，， 方程是“二倍根方程”； （4）解： 根据“二倍根方程”的概念设一元二次方程的两个根为和，       由根与系数的关系可得：，，     消去可得. ，，之间的关系是． 2．(24-25八下·湖南长沙长沙一中教育集团联考·期末)如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”． (1)根据上述定义，是“________倍根方程”； (2)若关于的方程是“三倍根方程”，求的值； (3)直线：与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围． 【答案】(1)四 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键． （1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可； （2）由题意可设这个方程的两个根分别为，则由根与系数的关系可得，据此求解即可； （3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵， ∴是“四倍根方程”； （2）解：∵关于的方程是“三倍根方程”， ∴可设这个方程的两个根分别为， ∴， ∴， ∴； （3）解：设直线解析式为， 把代入到中得， ∴， ∴直线解析式为； ∵一个五倍根方程的两个根为和， ∴， ∴点P的坐标为， ∴点P在直线上， 联立，解得， 联立，解得， ∵点在的内部（不包含边界）， ∴． 3．(24-25八下·湖南长沙雨花区长郡雨花外国语学校·期末)定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求： ①请求出k的值； ②求方程的两个根． 【答案】(1)②④ (2)①，②， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系． （1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可； ②利用，即可求得、． 【详解】（1）解：①解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”； ③解方程得，， ∵， ∴方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ∵， ∴方程是“邻根方程”． 故答案为：②④； （2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根， ∴，，， ∵， ∴， 解得； ②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ∴，， 解得，． 4．(24-25八下·湖南长沙一中新华都学校·期末)定义：已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，且，则称这个方程为“限制方程”．比如：一元二次方程的两根为，因，所以一元二次方程不是“限制方程”．请阅读以上材料，回答下列问题： (1)判断：一元二次方程______“限制方程”（填“是”或“不是”）； (2)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，且方程的两根满足，求k的值； (3)若关于x的一元二次方程是“限制方程”，求m的取值范围． 【答案】(1)不是 (2)6 (3)或 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系，正确理解“限根方程”的定义是解题关键． （1）先利用因式分解法求出方程的解，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （2）先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，根据，代入可求出k的值，再根据“限根方程”的定义进行判断即可得； （3）先利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“限根方程”的定义可得，然后分两种情况，根据“限根方程”的定义列出不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 不是“限制方程”； （2）解：是的两根， 则，， ∵， ∴， ， 解得或6， 当时，，解得， ， 不符合题意，舍去， 当时，，解得，满足， ∴； （3）解：方程的根为， ∵该方程是“限制方程”， ∴， 当时， ，解得， 当时， ，解得， ∴m的取值范围是或． 5．(24-25八下·湖南长沙第二十六中学（湖南师大附中雨花学校）·期末)如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“倍根方程”； (2)若关于的方程是“倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，请直接写出的值． 【答案】(1)是“倍根方程”，理由见解析； (2)当时，；当时，； (3)的值为或． 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用因式分解法解方程得，，然后根据“倍根方程”定义即可； （）由得，，根据“倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （）由关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”，设较小的根为，较大的为，根据根与系数的关系得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：是“倍根方程”，理由， ∴，， ∴， ∴是“倍根方程”； （2）解：由得，， ∵关于的方程是“倍根方程”， ∴或， ∴或， 当时，； 当时，； （3）解：∵关于的一元二次方程（是常数）是“倍根方程”， ∴设较小的根为，较大的为， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 6．(24-25八下·湖南长沙长郡雨花外国语洪塘学校·期末)定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程是“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③；④． (2)若方程是“邻根方程”，是方程的两根，求： ①请求出k的值． ②若点是一次函数图象上的一点，求一次函数的解析式． (3)若，m，b均为常数，是关于x的“邻根方程”，则方程是“邻根方程”吗？若是，请求出它的根；若不是，请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)①②或 (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键； （1）分别求得①②③④中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于的方程求解即可；②利用，求得，，分两种情况，代入即可求得的值； （3）解方程，，均为常数，求得两个根，由“邻根方程”的定义计算得出，即，解，计算两个根的差即可判断方程是“邻根方程”，进一步代入，即可求得方程的根． 【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ③解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ④解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：②④． （2）解：①方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，，， ， ， 解得； ②方程是“邻根方程”，、是方程的两根， ，， 解得，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； ，， 点是一次函数图象上的一点， ， ， 一次函数的解析式为； 故一次函数的解析式为或； （3）解：由题意可知，方程，，均为常数，有两个实数根， ， ，，均为常数，是关于的“邻根方程”， ， ， ， ， ， ， ， 方程是“邻根方程” 则， 方程的根为或． 7．(24-25八下·湖南长沙中雅培粹双语中学·期末)关于x的一元二次方程有两个实数根分别是，，若，为整数，则称为“”点． (1) （填是或否）存在“”点； (2)若关于x的一元二次方程：的“”点为，求b，c的值； (3)关于x的一元二次方程是否存在一“”点，且该点在直线上，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)是 (2)， (3)存在， 【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征，新定义及规律探究． （1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据“”点的定义判断即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得，，进而可得答案； （3）假设存在，根据题意，求出；再根据，，得到，，代入化简为，求出m，检验是否符合题意即可． 【详解】（1）解：由，得， ∴或， 解得，， ∵，为整数， ∴是“”点， 故答案为：是； （2）解：∵关于x的一元二次方程：的“”点为， ∴，， 故，； （3）解：假设关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上， 由， 得， 故， 由一元二次方程的根与系数的关系得，， ∴， ∵“”点在直线上， ∴， ∴， 解得，， 所以， 整理得 ， 解得或， 当时，方程为，，，“”点坐标为，符合； 当时，和不是整数解，舍去． 综上，关于x的一元二次方程存在一“”点，且该点在直线上，此时． 8．(24-25八下·湖南长沙雨花区明德洞井中学·期末)如果关于的一元二次方程 有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的3倍，那么称这样的方程是“3倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，则方程 是“3倍根方程”． (1)通过计算，判断是否是“3倍根方程”． (2)若关于x的方程是“3倍根方程”，求代数式的值； (3)已知关于x的一元二次方程（是常数）是“3倍根方程”，请写出的值． 【答案】(1)是“3倍根方程” (2)50或 (3)17或 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解一元二次方程，代数式求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程，得，然后根据“3倍根方程”定义即可； （2）由得，，根据“3倍根方程”定义可得或，然后代入求解即可； （3）由关于的一元二次方程（m是常数）是“3倍方程”，设是的三倍，根据根与系数的关系得，，，解得，然后分情况代入解方程即可． 【详解】（1）解（1）∵， ∴解得． ∵， ∴是“3倍根方程”． （2）∵， 解得  ． ∵是“3倍根方程”， 分情况讨论： ①则：． ②则：． （3）∵（是常数）是“3倍根方程”， ∴不妨设是的三倍， 由韦达定理：，解得． 当时， ， ∴． 当， ， ∴． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02一元二次方程 考点01一元二次方程 考点02一元二次方程的解法 考点03一元二次方程根的判别式 考点04一元二次方程根与系数的关系 考点05一元二次方程的应用 考点06新定义问题 目目 考点01 一元二次方程 1.(24-25九上湖南湘西州溶江中学期末)下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3x4-2x2=1 C.x3-2x-4=0 D.(x-1)2-1=0 2.(24-25九上湖南永州道县·期末)下列方程是一元二次方程的是() A.2x+1=5B.x2-2x=3 C.点+x-1=0D.袁+y-1=0 3.(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)下列方程中是一元二次方程的是() A.3x+1=0 B.y2+2x=1 C.x2-1=0 D.袁+x2=1 4.(24-25九上湖南长沙宁乡期末)一元二次方程4x2-x-3=0的常数项是() A.4 B.-1 C.-3 D.3 5.(24-25九上湖南长沙明德教育集团期末)己知x=3为方程x2一x+a=0的解，则a的值为() A.-6 B.6 C.-3 D.3 6.(24-25九上湖南湘潭·期末)一元二次方程2x2一x=-3的二次项系数和常数项分别是() A.2,-1 B.2,3 C.2,-3 D.-1,3 7.(2425九上湖南长沙浏阳期末)二次函数y=2x(x-3)的一次项系数为() A.2 B.-2 C.6 D.-6 8.(24-25九上湖南永州新田县·期末)把一元二次方程x(x+2)=一3化成一般形式是」 9.(24-25九上湖南郴州期末)己知一元二次方程x2-5x十a=0的一个根是3，则a= 10.(24-25九上·湖南永州祁阳期末)若一元二次方程x2-2x+m=0的一个根为2，则m的值为 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(24-25九上湖南永州祁阳期末)若(a-7)x2-6x+1=0是一元二次方程，则a的取值范围是」 12.(24-25九上湖南湘西州古丈县期末)已知关于x的方程(m-1)x叶1-3x+1=0是一元二次方程， 则m的值为一， 13.(24-25九上湖南怀化五县六校联考期末)如果关于x的方程（及一1）xk+1一2x+1=0是一元二次方程， 则常数k的值是 14.(24-25九上湖南常德桃源县文昌中学期末)己知m是方程x2一-2x-5=0的一个根，则2m2-4m= 15.(2425九上湖南湘西凤凰县期末)m是方程x2+x-1=0的根，则式子2m2+2m+2025的值 为， 16.(24-25九上湖南长沙湖南师大附中教育集团联考期末)已知关于x的一元二次方程ax2+bx-3=0 的一个解是x=-1,则2028-a+b=一· 17.(24-25九上·湖南邵阳新邵县新邵县思源实验学校、新邵县陈家坊镇中学期中)若α是方程 x2-x-1=0的一个根，则a3-a2-a+2024的值为一 目目 考点02 一元二次方程的解法 1.(24-25九上湖南株洲炎陵县期末)一元二次方程x2+6x=2配方后化为() A.(x+9)2=3B.(x+3)2=11C.(x-3)2=5D.(x+3)2=2 2.(24-25九上·湖南永州祁阳期末)用配方法解一元二次方程x2一4x一1=0配方后得到的方程是() A.(x-4)2=5 B.(x-2)2=9 C.(x-2)2=5 D.(x-4)2=9 3.(24-25九上·湖南岳阳岳阳县·期末)一元二次方程x2=x的根是() A.X=1 B.x=-1 C.81=0,X2=1D.81=0,X2=-1 4.(2425九上·湖南衡阳衡东县期末)关于x的一元二次方程x(x一2)=x一2的根是() A.X1=1,X2=2 B.X1=-1,X2=2 C.x1=1,X2=-2 D.X1=-1,82=-2 5.(24-25九上·湖南衡阳常宁期末)用配方法解方程x2+4x一1=0变形后的结果正确的是() A.(x+2)2=3 B.(x+4)2=3 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.(x+2)2=5 D.(x+4)2=5 6。(2425九上湖南株洲禄口区、芦淞松区期末)在用求根公式x=-如4求一元二次方程的根时，小慧 22 同学正确地代入了a、b、c,得到x= ±-3-4x2-1 则她求解的一元二次方程是() 2X2 A.2x2+3x-1=0 B.2x2-3x-1=0 C.-2x2-3x+1=0 D.3x2-2x-1=0 7.(24-25九上湖南怀化期末)将一元二次方程x2+10x+5=0化成形如x+p)=g的形式，则p9的值 为() A.150 B.100 C.50 D.25 8.(24-25九湖南岳阳期末)若关于x的方程(x+3)2=m一1有实数根，则m的取值范围是() A.m≥0 B.m≥-1 C.m>1 D.m≥1 9.(2425九上湖南衡阳城区初中联考期末)用配方法解方程x2一8x=3时，方程的两边同时加上一个实数， 使得方程左边配成一个完全平方式，则这个实数是() A.4 B.8 C.16 D.32 10.(2425九上·湖南株洲炎陵县期末)若等腰三角形的某两边的长是方程x2-7x+10=0的两根，则它的 周长为() A.9或12 B.9 C.10或12 D.12 11.(24-25九上·湖南邵阳期末)若三角形的一边长是6，另外两边长分别是方程x2-9x+20=0的两根， 则该三角形的周长为() A.12 B.15 C.18 D.20 12.(24-25九湖南岳阳期末)小明解方程x2-4x=0时得出解x=4,他遗漏的解是x=一 13.(24-25八下-湖南长沙长郡集团期末)如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+2)2=3,那么 n=_ 14.(24-25九上湖南衡阳常宁，期末)己知关于x的方程x2+px+q=0的两个根为一3和1，则 p-q=_ 15.(24-25九上湖南永州新田县期末)在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：a☆b=a2+b2, a★b=碧，则方程2☆x=x★8的解为_ 16.(24-25九上湖南衡阳衡阳县期末)解方程： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)x2-5x+6=0; (2)3x2+4x-2=0(用公式法). 17.(24-25九上·湖南永州新田县·期末)解方程： (1)(x-3)2-9=0 (2)x2-7x+10=0 18.(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)解下列方程： (1)(y-3)2=(2y-1)2 (2)x2-3x-4=0 19.(24-25九上·湖南长沙宁乡·期末)解方程： (1)x2-6x+8=0; (2)2x(x-3)+(3-x)=0 20.(24-25九上·湖南株洲攸县·期末)解下列方程： (1)x2+8x+16=0 (23x-2)=xx-2) 21.(24-25九上湖南衡阳衡东县期末)定义：如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程. 例如x2+x=0是“差1方程”。 (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x2+2x-3=0; ②x2-V13x+3=0. (2)已知关于x的方程x2-(m+2)x+2m=0(m是常数)是“差1方程”，求m的值. 目目 考点03 一元二次方程根的判别式 1.(24-25九上·湖南长沙浏阳期末)下列一元二次方程，有两个不等的实数根的是（) A.x2-3x+1=0 B.x2+1=0 C.x2-2x+1=0 D.3x2+6x+3=0 2.(24-25九上·湖南永州新田县·期末)一元二次方程x2-x一1=0的根情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 / 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C.没有实数根 D.只有一个实数根 3.(24-25九上·湖南怀化期末)关于x的一元二次方程3x2-2x一1=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 4.(24-25九上湖南娄底双峰县·期末)一元二次方程3x2一2x+1=0的根的情况为() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实 数根 5.(2425九上湖南张家界桑植县期末)若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取 值范围是() A.k2-1 B.k≥-1且k≠0C.k<-1 D.k≤1且k≠0 6.(24-25九上湖南衡阳常宁·期末)对于一元二次方程ax2+bx十c=0（a≠0)，下列说法：①若 a十b十c=0,则b2-4ac≥0；②若方程ax2十c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx十c=0必 有两个不相等的实根；③若c是方程ax2+bx十c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立.其中正确 的是() A.只有① B.只有①② C.只有②③ D.①②③ 7.(2425九上湖南常德初中联盟校期末)若关于x的一元二次方程x2一6x一m=0有两个实数根，则m的 取值范围是 8.(24-25九上湖南长沙长郡集团期末)若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个实数根，则m的取 值范围为一 9.(24-25九上湖南岳阳岳阳县期末)已知关于x的方程x2+bx+a=0有一个根是-1(a≠0)，则a-b 的值为一· 10.(24-25九上湖南永州祁阳期末)若反比例函数y=是与一次函数y=kx+2的图象有公共点，则k的取 值范围为一 11.(24-25九上湖南衡阳衡东县期末)已知关于x的方程x2一(2k+1)x+k2+2=0有两个实数根，求 实数k的取值范围， 12.(24-25九上湖南衡阳耒阳期末)已知x1X2是关于x的一元二次方程x2一2(k+1)x+k2-3=0的两 实根， (1)求k的取值范围： (2)若x=一1是方程的根，求k的值。 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 13.(24-25九上湖南永州祁阳期末)定义：两根都为整数的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)称为“全 整根方程，代数式合的值为该全整根方程的“最值码，用Q(a,b,c)表示，即Q(ab,c)=妇a 4妇 ;若另一关于x的一元二次方程px2+qx+r=0(p≠0)也为“全整根方程”，其“最值码”记为Q(p,q,r) ,当满足Q(a,b,c)-Q(pP,9,r)=c时，则称一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)是一元二次方程 px2+qx十r=0(p≠0)的“全整根伴侣方程. (1)全整根方程”x2-3x+2=0的“最值码”是； (2)关于x的一元二次方程x2-(2m-1)x+m2-2m-3=0(m为整数，且4<m<15)是“全整根方 程”，请求出该方程的“最值码”； (3)若关于x的一元二次方程x2+(1-m)x+m-2=0是x2+(n-1)x-n=0(m,n均为正整数) 的“全整根伴侣方程”，求m一n的值。 目目 考点04 一元二次方程根与系数的关系 1.(24-25九上·湖南永州祁阳期末)若一元二次方程x2-6x+1=0的两个根分别为a,b,则2ab的值为() A.-1 B.-2 C.2 D.1 2.(2425九上湖南岳阳平江县期末)若C,B是方程x2+2x一2024=0的两个实数根，则a2+3a+B的 值为() A.2024 B.2022 C.-2024 D.4048 3.(24-25九上湖南长沙明德教育集团期末)已知方程2x2+6x一3=0的两根分别为x1和x2,则x1十82的 值等于() A.3 B.-3 C.1.5 D.-1.5 4.(24-25九上·湖南邵阳洞口思源中学·期末)若关于x的一元二次方程2x2一6x+n=0的两个实数根为X1, x2,且x3+x3=2034,则n= 5.(2425九上湖南衡阳常宁，期末)若方程x2-2x-5=0的两个实数根为、B,则2+B2的值为_ 6.(24-25九上湖南衡阳八中教育集团初中校期末)已知a、b是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根， 则a2b十ab2的值是一 7.(2425九上湖南株洲渌口区、芦淞区·期末)已知方程x2+x一3=0的两根分别为x1x2,则忘+嘉的 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 值为」 8.(24-25九湖南岳阳期末)设c,B是二次方程x2-3x+2=0的两个根，则3= 9.(24-25九上湖南怀化期末)已知关于x的一元二次方程x2一4x+k=0有一个根是一1，则k的值 为 10.(2425九上·湖南长沙雅礼集团期末)已知关于x的方程x2-2x十k=0的一个根为x=一1，则方程 的另一个根为一 11.(24-25九上湖南益阳期末)若a,B是方程x2-mx-2=0的两个根，则 a2+B2-m(&+B)= 12.(24-25九上湖南邵阳期末)已知关于x的一元二次方程x2+bx+4=0的一个根为1，则另一个根 是」 13.(24-25九上湖南衡阳船山实验中学.期末)已知m和n是方程2x2-5x-3=0的两根，则 品十清= 14.(24-25九上湖南吉首雅思实验学校期末)若α、b是一元二次方程x2+2x一6=0的两个实数根，求 a2+b2的值. 15.(24-25九上·湖南怀化五县六校联考期末)一元二次方程x2-2ax+6a-10=0的根x1X2分别满足以 下条件，求出实数a的对应范围. (1)两个根的平方和为12： (2)两个根均大于2； (32=3. 目目 考点05 元二次方程的应用 1.(2425九上湖南湘西土家族苗族龙山县红岩溪镇初级中学期末)某品牌衬衣为了促进消费，拟对该品牌 衬衣进行降价处理，决定将原价为100元每件的该衬衣经过两次降价降为每件81元，且两次降价的百分比 相同.若设每次降价的百分比为x,则下列所列方程正确的是() A.81(1+2x)=100 B.100(1-2x)=81 C.81(1+x)2=100 D.100(1-x)2=81 2.(24-25九上湖南长沙芙蓉区期末)10月10日，“竣越杯”2024湖南省青少年篮球超级联赛在长沙市六中 开幕，本届赛事采取了主客场的赛制进行，即每两个队之间要进行两场比赛.最终，来自各地的多支本土 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 校园篮球劲旅在为期一个月的时间内展开了56场比赛.若设共有x支本土校园篮球劲旅参加比赛，则x满足 的关系式为( ) A.x(x+1)=56 B.x(x-1)=56 C.x(x+1)=56 D.x(x-1)=56 3.(24-25九上·湖南衡阳祁东县期末)某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念， 全班共送1056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为() A.x(x+1)=1056 B.49=1056C.x(x-1)=1056D. 2x(x+1)=1056 4.(24-25九上·湖南永州祁阳·期末)据售车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年8月 至10月，燃油车月销量由72万辆减少到64万辆.设2024年8月至10月新能源车销量的月平均降低率为 x,则可列方程 5.(24-25九上湖南永州新田县·期末)数学趣题解答：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道颇受 阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第 三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴 全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人？” 6.(24-25九上湖南衡阳城区初中联考期末)我国明代数学著作《算学宝鉴》中记载有这样一个问题：“门厅 一座，高广难知.长竿横进，门狭四尺.竖进过去，竿长二尺.两隅斜进，恰好方齐.请问三色，各该有 几？”译文：有一座矩形门框，不知道其高度和宽度.如果拿支长竿横着过，门的宽度比长竿的长度少四尺： 拿长竿竖着过，长竿的长度比门的高度多二尺；拿长竿沿门对角线斜着过，恰好通过.问门的高度、宽度 及长竿的长度各是多少尺？设长竿的长度为x尺，则x= 7.(2425九上·湖南湘潭·期末)近年来，随着我国数字技术的持续创新，全民的阅读方式也在经历着深刻的 变化.某市2022年数字阅读市场规模为400万元，2024年数字阅读市场规模为576万元，求该市数字阅读 市场规模的年平均增长率为多少？ 8.(24-25九上湖南长沙宁乡·期末)如图：利用一面墙（墙的长度不限），用20的篱笆围成一个矩形场地 ABCD设矩形与墙垂直的一边AB为xm,矩形的面积为Sm2. (1)若面积S=48m2,求AB的长： 学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)能围成面积为58m2的矩形吗？说明理由 9.(24-25九湖南岳阳期末)某小区计划在一块矩形空地上修两条宽度相同且相互垂直的小路，小路两侧空 余部分种花，如图，若矩形长为30m,宽为20m,种花的总面积为504m2. (1)求道路的宽度； (2)园林部门要种植甲、乙两种花共500株，其中甲种花每株20元，乙种花每株15元，园林部门采购花的费 用不超过8500元，则最多购进甲种花多少株？ 10.(24-25九上·湖南永州冷水滩区期末)“绿色电力，与你同行”，新能源汽车节能、环保，越来越受消费者 喜爱，各种品牌的新能源汽车相继投放市场，根据中国汽车工业协会发布的数据显示，我国新能源汽车销 售量逐年增加，据永州市某品牌新能源汽车经销商2024年4月至6月份统计，该品牌新能源汽车4月份的 销售量为100辆，6月份的销售量为144辆，且销售量的月平均增长率相同. (1)求该品牌新能源汽车销售量的月均增长率； (2)若该品牌新能源汽车的进价为15万元/辆，售价为17万元/辆，则该经销商4月至6月份共盈利多少万元？ 11.(2425九上湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学·期中)为迎接湖南师大附中梅溪湖中学办学十周年庆，某 校友为母校设计了一款纪念版文化衫，原计划每件的售价为60元，经过校友意见征集后，连续两次降价， 最终每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同. (1)求该文化衫每次降价的百分率； (2)若该文化衫每件的成本价为40元，两次降价后，至少要售出多少件，总利润才能不低于4300元？ 12.(24-25九上·湖南岳阳云溪区云溪十校联考·期末)某商场销售一种小商品，进货价为40元/件.当售价为 60元/件时，每天的销售量为180件.在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少10 件.设销售价格上涨x元/件(x为偶数)，每天的销售量为y件. (1)请写出y与x的函数关系式. (2)商场要想每天销售该商品的利润为3900元，则每件涨价多少元？ 13.(24-25九上·湖南衡阳常宁，期末)商场某种商品平均每天可销售40件，每件盈利30元.为了尽快减少 库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出4件.设 每件商品降价x元.据此规律，请回答： (1)降价后商场日销售量是件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示)； 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到1600元？ 14.(2425九上湖南常德桃源县文昌中学期末)为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经 费的投入，已知2021年该市投入基础教育经费5000万元，2023年投入基础教育经费7200万元 ()求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率； (②)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划第二年用不超过当年基础教育经费的5% 购买电脑和实物投影仪共2000台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3000元，购买一台实物投影需1500 元，则最多可购买电脑多少台？ 15.(2425九上·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考期末)某中学要新建一块篮球场地（如图所示），要求： ①篮球场（阴影部分）的长和宽分别为28m,15m;②在篮球场四周修建宽度相等的安全区域；③篮球场 及安全区域的总面积为510m2. (1)求安全区域的宽度； (2)某公司希望用45万元承包这项工程，该中学认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以36.45万元 达成一致.若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率. 目目 考点06 新定义问题 1.(24-25九上湖南湘潭·期末)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根 是另一个根的2倍，那么称这样的方程为二倍根方程”.例如，方程x2一3x+2=0的两个根是1和2，则 这个方程就是“二倍根方程”。 ()下列方程是“二倍根方程”的有；（填序号即可） ①x2+6x+8=0;②x2-2x=0;③x2+3x-18=0. (2)如果关于x的方程x2一9x+c=0是“二倍根方程”，求c的值： (3)如果点(P,q)在反比例函数y=是的图象上，那么关于x的方程px2-3x+q=0是“二倍根方程”吗？ 请说明理由， (4)如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)是“二倍根方程”，试探究a、b、c应满足的数量关