第八单元、数学广角——数与形（复习课件）数学人教版六年级上册

该小学数学课件聚焦“数与形”单元，系统梳理数形结合思想、算式规律与图形结合、图形变化与数字结合等核心知识，通过知识框架图串联以形助数、以数解形等内容，结合正方形拼图、线段图、L形剩余部分等图形表现建立知识点内在联系，构建完整知识网络。 其亮点在于采用“梳理-精讲-巩固”分层复习策略，如连续奇数求和用正方形拼图培养几何直观，十字形分割规律推导强化推理意识，长桌宴人数问题建立模型意识。变式练习涵盖基础填空与综合应用，满足分层需求，助力学生巩固知识，教师精准把握学情提升复习效率。

单元复习课件 小学数学·六年级上册·人教版 第八单元、 数学广角——数与形 单元知识框架 01 知识点梳理 02 重难点题型精讲 03 变式巩固练习 04 单元知识框架 数与形 数形结合思想的意义 算式规律与图形的结合 连续奇数求和规律 分数裂项求和规律 平方数相关规律 图形变化规律与数字的结合 以形助数 以数解形 图形个数递增规律 图形组合变化规律 点阵图形规律 解决实际问题 解决数字规律问题 解决图形计数问题 解决实际情境问题 单元知识框架 知识点1： 算式规律与图形的结合（以形助数） 1 算式规律与图形的结合 1、连续奇数求和规律： （1）图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3 个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； （2）数量规律：1+3+5+…+(2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 知识点梳理 2、分数裂项求和规律： （1）图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； （2）数量规律：。 知识点梳理 3、平方数相关规律： （1）图形表现：大正方形边长为 (n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； （2）数量规律：(n+1)² - n²=2n+1。 知识点梳理 【名师点拨】 （1）规律的适用范围：明确规律成立的条件（如连续奇数求和需“从1开始”，非从1开始需调整算式，如 3+5+7=9-1=8=3²-1²）。 （2）项数的准确判断：如“1+3+5+7+9”中，项数n=5（用“(末项 + 1)÷2”计算），避免误将末项当作项数。 （3）分数裂项的图形理解：线段图分割时，需明确“每一段对应一个分数”，避免割裂图形与分数的对应关系。 知识点梳理 【典型例题1】“斐波那契数列”是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。依次在以1，2，3，5，…为边的正方形中画一个90度的扇形，连起来的弧线就是“斐波那契螺旋线”。图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）。（π取3.14） 根据题意可知每一段弧长都是一个整圆周长的，半径依次是1，2，3，5，……，因此根据圆的周长＝2πr表示出每段弧长，然后再相加求和即可。 圆弧组成长度为：×2×π×（1＋2＋3＋5＋8＋13）＝16π＝50.24 50.24 重难点题型精讲 【典型例题2】先观察，再按规律填一填。 1＋3＋5＋7＝（ ）² 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（ ）² 算式左边是从1开始连续奇数的和，算式右边数是左边有几个奇数，它们的和就是几的平方。 1＋3＋5＋7相加，有4个奇数，所以为4的平方，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13相加，有7个奇数，所以为7的平方。 综上所述：1＋3＋5＋7＝4² 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝7² 4 7 重难点题型精讲 【典型例题3】观察如图中小正方形排列的规律，推算第五幅图中小正方形的个数是（ ）个。 将小正方形斜着分行，第五幅图中小正方形的个数也可以这样计算： 5²＋（5－1）² ＝25＋16 ＝41（个） 推算第五幅图中小正方形的个数是41个，我的计算方法是：1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41（个）。 41 重难点题型精讲 【练习1】如图，用“十字形”分割正 方形。分割一次，分成了4个正方形； 分割两次，分成了7个正方形。 （1）分割三次，分成了（ ）个正方形；分割五次，分成了（ ）个正方形。 （2）如果分成了241个正方形，共用“十字形”分割了（ ）次。 （1）分割前只有1个正方形，割一次，分成了4个正方形；分割两次，分成了7个正方形，以此类推，每个分割1次增加3个正方形，所以分割三次分成了7＋3=10个正方形，分割五次分成了10＋3＋3=16个正方形； 10 16 变式巩固练习 【练习1】如图，用“十字形”分割正 方形。分割一次，分成了4个正方形； 分割两次，分成了7个正方形。 （1）分割三次，分成了（ ）个正方形；分割五次，分成了（ ）个正方形。 （2）如果分成了241个正方形，共用“十字形”分割了（ ）次。 （2）分割n次，分成（1＋3n）个正方形； 1＋3n＝241 解：3n＝240 n＝80 10 16 80 变式巩固练习 【练习2】每个图中最外圈各有多少个小正方形？照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？ 图①的最外圈正方形个数：8＝8×1 图②的最外圈正方形个数：16＝8×2 图③的最外圈正方形个数：24＝8×3 …… 图n的最外圈正方形个数：8n 当n＝5时，8n＝8×5＝40（个） 变式巩固练习 知识点2： 图形变化规律与数字的结合（以数解形） 2 图形变化规律与数字的结合 1、图形个数递增规律 2、图形组合变化规律 3、点阵图形规律 知识点梳理 【名师点拨】 （1）图形“关键量”的提取：关注与数字对应的核心特征（如正方形个数、小棒根数、面积/周长）。 （2）规律的验证：推导第n个图形的表达式后，用前3~4个已知图形验证，避免推导错误。 （3）复杂图形的分解：复合图形需分别找各部分的变化规律，再合并总规律。 知识点梳理 【典型例题1】观察下列的图形，照这样摆下去，第n个图形中有（ ）个白色方块。 …… A．n＋4 B．3n C．3n＋2 D．6n－1 第一个图形有5个白色方块，第二个图形由8个白色方块，第三个图形由11个白色方块……后面每个图形依次增加3个白色方块。 5＝3×1＋2 8＝3×2＋2 11＝3×3＋2 …… 第n个图形是（3n＋2）个。 C 重难点题型精讲 【典型例题2】餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图的方式拼桌。现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？ 【分析】1张桌子4个人，2张桌子6个人，3张桌子8个人，可得到规律：每多1张桌子，会多2人，先用14－4求出第一张桌子坐满后多的人数，再除以2即可求出需要多加多少张桌子，再加上1即为一共需要拼几张桌子。 重难点题型精讲 【典型例题2】餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图的方式拼桌。现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？ 【详解】14－4＝10（人） 10÷2＝5（张） 5＋1＝6（张） 答：一共需要拼6张桌子。 重难点题型精讲 【典型例题3】按如图所示的规律，第8个图形中有（ ）个阴影三角形，第14个图形中有（ ）个空白三角形。 观察图形，第一幅图有1个阴影三角形，第二幅图有3个阴影三角形，3＝2＋1，第三幅图有6个阴影三角形，6＝3＋2＋1，阴影三角形的个数＝第几个图形就从几开始依次加到1； 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个） 36 重难点题型精讲 【典型例题3】按如图所示的规律，第8个图形中有（ ）个阴影三角形，第14个图形中有（ ）个空白三角形。 第一幅图没有空白三角形，第二幅图有1个空白三角形，1＝（1－1）＋1，第三幅图有3个空白三角形，3＝2＋1，第4幅图有6个空白三角形，6＝3＋2＋1，空白三角形的个数＝第几个图形就从几减1开始依次加到0。 14－1＝13 13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝91（个） 36 91 重难点题型精讲 【典型例题4】如图，用4根同样长的小棒可以搭一个正方形，用7根同样长的小棒可以搭两个正方形，照这样搭下去，搭n个正方形需要（ ）根同样长的小棒。 A．4n－1 B．3n＋2 C．2n＋1 D．3n＋1 搭1个正方形需要：3×1＋1＝4（根）小棒； 搭2个正方形需要：3×2＋1＝6＋1＝7（根）小棒； 搭3个正方形需要：3×3＋1＝9＋1＝10（根）小棒。 摆n个正方形需要n×3＋1＝3n＋1（根）根小棒。 D 重难点题型精讲 【练习1】如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（ ）根小棒。 A．41 B．52 C．45 D．50 看图可知，搭1个房子需要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2个房子需要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3个房子需要13根小棒，13＝3×4＋1，由此可知，小棒根数＝搭几个房子就用几×4＋1。 10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） A 变式巩固练习 【练习2】我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？ 【分析】一张桌子可以坐4×1＋2＝6（人），两张桌子可以坐4×2＋2＝10（人）……，n张桌子可以坐（4n＋2）人，据此可知桌子的张数等于人数减2的差除以4。 变式巩固练习 【练习2】我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？ 【详解】（58－2）÷4 ＝56÷4 ＝14（张） 答：接待58人需要准备14张桌子。 变式巩固练习 启发思维 快乐学习 $