第八单元、数学广角——数与形（知识清单）数学人教版六年级上册

该小学数学讲义以“数与形结合”为核心，通过知识框架图系统梳理核心思想、算式与图形规律、综合应用三大模块，用表格归纳连续奇数求和（1+3+…+(2n-1)=n²）等关键规律，思维导图呈现“以形助数”“以数解形”内在联系，明确重难点分布。 讲义亮点在于“典例-变式”分层设计，如“十字形分割正方形”问题引导推导分割次数与正方形个数关系，培养推理意识；“斐波那契螺旋线”计算结合几何直观，强化模型意识。基础题巩固规律应用，提升题如点阵图形计数发展创新思维，助力教师精准教学，学生自主复习有方法。

人教版六年级数学上册第八单元、数学广角——数与形（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：数与形结合的核心思想 1、本质：通过“图形直观呈现数量关系，数量描述图形特征”，将抽象的数字、算式与具体的几何图形结合，实现“以形助数、以数解形”，简化复杂问题。 2、核心价值： （1）以形助数：用图形的直观性理解抽象的数字规律； （2）以数解形：用数字、算式精准描述图形的变化规律。 知识点02：算式规律与图形的结合（以形助数） 1、连续奇数求和规律： （1）图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3 个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； （2）数量规律：1+3+5+…+(2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 2、分数裂项求和规律： （1）图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； （2）数量规律：。 3、平方数相关规律： （1）图形表现：大正方形边长为 (n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； （2）数量规律：(n+1)² - n²=2n+1。 【名师点拨】 （1）规律的适用范围：明确规律成立的条件（如连续奇数求和需“从1开始”，非从1开始需调整算式，如 3+5+7=9-1=8=3²-1²）。 （2）项数的准确判断：如“1+3+5+7+9”中，项数n=5（用“(末项 + 1)÷2”计算），避免误将末项当作项数。 （3）分数裂项的图形理解：线段图分割时，需明确“每一段对应一个分数”，避免割裂图形与分数的对应关系。 知识点03：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 1、图形个数递增规律 2、图形组合变化规律 3、点阵图形规律 【名师点拨】 （1）图形“关键量”的提取：关注与数字对应的核心特征（如正方形个数、小棒根数、面积/周长）。 （2）规律的验证：推导第n个图形的表达式后，用前3~4个已知图形验证，避免推导错误。 （3）复杂图形的分解：复合图形需分别找各部分的变化规律，再合并总规律。 知识点04：数与形的综合应用（解决实际问题） 1、解决数字规律问题：借助图形直观推导复杂算式结果。 2、解决图形计数问题：用数字规律快速计算图形个数。 3、解决实际情境问题：如“鸡兔同笼”、“植树问题”。 【名师点拨】解决问题时，既用图形辅助理解数量关系，又用数字算式验证图形规律，确保结果准确。 考点1：算式规律与图形的结合 【典型例题1】“斐波那契数列”是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。依次在以1，2，3，5，…为边的正方形中画一个90度的扇形，连起来的弧线就是“斐波那契螺旋线”。图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）。（π取3.14） 【典型例题2】先观察，再按规律填一填。 1＝12                1＋3＝22              1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝（ ）2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（ ）2 【典型例题3】观察如图中小正方形排列的规律，推算第五幅图中小正方形的个数是（ ）个。 我的计算方法是： 【练习1】如下图所示，用“十字形”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形；分割两次，分成了7个正方形。 （1）分割三次，分成了（ ）个正方形；分割五次，分成了（ ）个正方形。 （2）如果分成了241个正方形，共用“十字形”分割了（ ）次。 【练习2】下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？ 照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？ 考点2：图形变化规律与数字的结合 【典型例题1】观察下列的图形，照这样摆下去，第n个图形中有（     ）个白色方块。 …… A．n＋4 B．3n C．3n＋2 D．6n－1 【典型例题2】餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。 现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法） 【典型例题3】按如图所示的规律，第8个图形中有（ ）个阴影三角形，第14个图形中有（ ）个空白三角形。 【典型例题4】如下图，用4根同样长的小棒可以搭一个正方形，用7根同样长的小棒可以搭两个正方形，照这样搭下去，搭n个正方形需要（     ）根同样长的小棒。 A．4n－1 B．3n＋2 C．2n＋1 D．3n＋1 【练习1】如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（     ）根小棒。 A．41 B．52 C．45 D．50 【练习2】我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？    一、选择题 1．像下面这样摆下去，摆n个正方形需要（     ）根火柴棒。 …… A．4n B．3n C．3n＋1 2．如图，图中有（     ）个长方形。 A．5 B．6 C．10 3．按下面的规律，第6个图形一共有（     ）个●。                    …… 第1个图形     第2个图形     第3个图形     第4个图形 A．25 B．30 C．36 4．按照下图规律，摆第7个图形需要（     ）根小棒。 A．21 B．22 C．28 5．如下图所示，摆1个六边形要用6根小棒，摆2个六边形要用11根小棒，摆3个六边形要用16根小棒……，摆30个六边形要用（     ）根小棒。 A．151 B．179 C．180 6．摆一个三角形用3根小棒，增加1个三角形，多用2根小棒。摆a个三角形共用（     ）根小棒。 A．3＋2a B．2a＋1 C．1＋3a 7．按下图的规律画下去，第4幅图中有（     ）个◇。 A．12 B．13 C．16 二、填空题 8．如下图，第4幅有（ ）个笑脸，第5幅有（ ）个笑脸。 9．由左图可以看出，摆一个三角形要3根小棒，每多摆一个三角形就要增加2根小棒，摆n个三角形要（ ）根小棒。 10．用小棒按照如下方式摆图形。 摆一个八边形需要8根小棒，照这样摆下去，摆6个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形，需要（ ）根小棒。 11．下边是一个4×4的方格图，从图中可以看出小方格的个数还可以用算式“1＋2＋3＋4＋3＋2＋1”进行计算。按这样观察，7×7的方格图，小方格的个数可以用算式（ ）进行计算。 12．用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案。按照这样的规律摆下去，第10个图案需要（ ）枚棋子，用56枚棋子摆的图案是第（ ）个，摆第n个图案需要（ ）枚棋子。 13．如图，把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画，需要（ ）个图钉。 14．如图，图①有1个圆；图②有7个圆；图③有19个圆；图④有37个圆……按此规律，图⑩中有（ ）个圆。 15．观察下面的点阵图规律，第9个点阵图中有（ ）个点，第（ ）个点阵图中有300个点。    16．从如图中点的排列规律可以看出，第8个图共有（ ）个点，第n个图共有（ ）个点。 17．如图，摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要（ ）根小棒，照这样下去，26根小棒可以摆（ ）个六边形。 18．用火柴棒摆成“#”字形图案，按这种方式摆下去，一共用了76根火柴棒，那么每边上摆了（ ）根。 三、解答题 19．用同样长的火柴棒依次摆出下面的图形。 （1）探索规律，把下表填写完整。 次数 第1次 第2次 第3次 …… 第6次 火柴棒的根数 7根 根 根 …… 根 （2）王老师摆到第（     ）次时用到了52根火柴棒。 20．   （1）找规律，在横线上画出第四幅图。 （2）第12幅图中有（     ）个○，有（     ）个●。 21．用4根同样长的火柴围成图1，面积是1；用10根火柴围成图2，面积是4。 图1   图2          图3 （1）用（     ）根火柴围成图3，面积是（     ）。 （2）你能继续往下数吗？ 层数 1 2 3 4 5 … 火柴根数 4 10 （     ） （     ） （      ） … 面积 1 4 （     ） （      ） （     ） … （3）你发现了什么规律？请你写出一条。 22．将小正方体按下图方式摆放在地上。 小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 露在外面的面数 如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个正方体如上图摆放？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版六年级数学上册第八单元、数学广角——数与形（单元复习讲义） （知识梳理+典例分析+变式练习） 知识点01：数与形结合的核心思想 1、本质：通过“图形直观呈现数量关系，数量描述图形特征”，将抽象的数字、算式与具体的几何图形结合，实现“以形助数、以数解形”，简化复杂问题。 2、核心价值： （1）以形助数：用图形的直观性理解抽象的数字规律； （2）以数解形：用数字、算式精准描述图形的变化规律。 知识点02：算式规律与图形的结合（以形助数） 1、连续奇数求和规律： （1）图形表现：1个小正方形（1=1²）→ 1+3 个小正方形拼成大正方形（4=2²）→ 1+3+5个小正方形拼成大正方形（9=3²）； （2）数量规律：1+3+5+…+(2n-1)=n²（n为奇数的个数，即拼成大正方形的边长）。 2、分数裂项求和规律： （1）图形表现：用线段图表示“1”，依次分割出、、、…，分割后剩余部分与最后一项相等； （2）数量规律：。 3、平方数相关规律： （1）图形表现：大正方形边长为 (n+1)，减去边长为n的小正方形，剩余部分为“L形”（由2n+1个小正方形组成）； （2）数量规律：(n+1)² - n²=2n+1。 【名师点拨】 （1）规律的适用范围：明确规律成立的条件（如连续奇数求和需“从1开始”，非从1开始需调整算式，如 3+5+7=9-1=8=3²-1²）。 （2）项数的准确判断：如“1+3+5+7+9”中，项数n=5（用“(末项 + 1)÷2”计算），避免误将末项当作项数。 （3）分数裂项的图形理解：线段图分割时，需明确“每一段对应一个分数”，避免割裂图形与分数的对应关系。 知识点03：图形变化规律与数字的结合（以数解形） 1、图形个数递增规律 2、图形组合变化规律 3、点阵图形规律 【名师点拨】 （1）图形“关键量”的提取：关注与数字对应的核心特征（如正方形个数、小棒根数、面积/周长）。 （2）规律的验证：推导第n个图形的表达式后，用前3~4个已知图形验证，避免推导错误。 （3）复杂图形的分解：复合图形需分别找各部分的变化规律，再合并总规律。 知识点04：数与形的综合应用（解决实际问题） 1、解决数字规律问题：借助图形直观推导复杂算式结果。 2、解决图形计数问题：用数字规律快速计算图形个数。 3、解决实际情境问题：如“鸡兔同笼”、“植树问题”。 【名师点拨】解决问题时，既用图形辅助理解数量关系，又用数字算式验证图形规律，确保结果准确。 考点1：算式规律与图形的结合 【典型例题1】“斐波那契数列”是这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。依次在以1，2，3，5，…为边的正方形中画一个90度的扇形，连起来的弧线就是“斐波那契螺旋线”。图中的斐波那契螺旋线的长度为（ ）。（π取3.14） 【答案】50.24 【分析】根据题意可知每一段弧长都是一个整圆周长的，半径依次是1，2，3，5，……，因此根据圆的周长＝2πr表示出每段弧长，然后再相加求和即可。 【详解】由题意可知：螺旋线由半径分别为1，2，3，5，8，13。 圆弧组成长度为：×2×π×（1＋2＋3＋5＋8＋13）＝16π＝50.24 【典型例题2】先观察，再按规律填一填。 1＝12                1＋3＝22              1＋3＋5＝32 1＋3＋5＋7＝（ ）2 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝（ ）2 【答案】 4 7 【分析】结合图与算式，先找出算式与计算结果的规律，算式中加数的大小规律是：第一个加数是1，第二个加数是3，后面每个加数增加2，计算结果的规律是加数个数的平方。 【详解】通过观察图形及图形对应的算式可以发现：算式左边是从1开始连续奇数的和，算式右边数是左边有几个奇数，它们的和就是几的平方。 1＋3＋5＋7相加，有4个奇数，所以为4的平方，1＋3＋5＋7＋9＋11＋13相加，有7个奇数，所以为7的平方。 综上所述：1＋3＋5＋7＝42 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝72 【典型例题3】观察如图中小正方形排列的规律，推算第五幅图中小正方形的个数是（ ）个。 我的计算方法是： 【答案】 41 1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41（个） 【分析】观察图中小正方形的排列：从上往下，第一幅图中小正方形的个数是1个，第二幅图中小正方形的个数是（1＋3＋1）个，第三幅图中小正方形的个数是（1＋3＋5＋3＋1）个，第四幅图中小正方形的个数是（1＋3＋5＋7＋5＋3＋1）个，第五幅图中小正方形的个数是（1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1）个。若每幅图中小正方形斜着分行，可发现这四幅图中小正方形的个数可以这样表示：1个；（2×2＋1）个；（3×3＋2×2）个；（4×4＋3×3）个；也以表示为：（12）个；（22＋12）个；（32＋22）个；（42＋32）个；由此可得，第五幅图中小正方形的个数是个，第n幅图中小正方形的个数是个。据此解答。 【详解】第五幅图中小正方形的个数： 1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41（个） 将小正方形斜着分行，第五幅图中小正方形的个数也可以这样计算： 52＋（5－1）2 ＝25＋16 ＝41（个） （计算方法不唯一） 推算第五幅图中小正方形的个数是41个，我的计算方法是：1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41（个）。 【练习1】如下图所示，用“十字形”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形；分割两次，分成了7个正方形。 （1）分割三次，分成了（ ）个正方形；分割五次，分成了（ ）个正方形。 （2）如果分成了241个正方形，共用“十字形”分割了（ ）次。 【答案】（1） 10 16 （2）80 【分析】（1）通过观察可知，分割前只有1个正方形，割一次，分成了4个正方形；分割两次，分成了7个正方形，以此类推，每个分割1次增加3个正方形，所以分割三次分成了（7＋3）个正方形，分割五次分成了（10＋3＋3）个正方形； （2）根据（1）可知，分割n次，分成（1＋3n）个正方形；当1＋3n＝241时，根据等式的性质解出方程即可。 【详解】（1）7＋3＝10（个） 10＋3＋3＝16（个） 分割三次，分成了10个正方形；分割五次，分成了16个正方形。 （2）分割n次，分成（1＋3n）个正方形； 1＋3n＝241 解：1＋3n－1＝241－1 3n＝240 3n÷3＝240÷3 n＝80 如果分成了241个正方形，共用“十字形”分割了80次。 【练习2】下面每个图中最外圈各有多少个小正方形？ 照这样的规律接着画下去，第5个图形最外圈有多少个小正方形？ 【答案】40个 【分析】观察题意可知，图①的最外圈正方形个数＝8×1，图②的最外圈正方形个数＝8×2，图③的最外圈正方形个数＝8×3，……，据此推出图n的最外圈正方形个数＝8n，据此可得第5个图形最外圈有多少个小正方形。 【详解】图①的最外圈正方形个数：8＝8×1 图②的最外圈正方形个数：16＝8×2 图③的最外圈正方形个数：24＝8×3 …… 图n的最外圈正方形个数：8n 当n＝5时，8n＝8×5＝40（个） 答：第5个图形最外圈有40个小正方形。 考点2：图形变化规律与数字的结合 【典型例题1】观察下列的图形，照这样摆下去，第n个图形中有（     ）个白色方块。 …… A．n＋4 B．3n C．3n＋2 D．6n－1 【答案】C 【分析】第一个图形有5个白色方块，第二个图形由8个白色方块，第三个图形由11个白色方块； 5、8、11、……后面每个图形依次增加3个白色方块。 【详解】5＝3×1＋2 8＝3×2＋2 11＝3×3＋2 …… 第n个图形是（3n＋2）个。 照这样摆下去，第n个图形中有（3n＋2）个白色方块。 故答案为：C 【典型例题2】餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。 现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法） 【答案】6张 【分析】根据题意可知1张桌子4个人，2张桌子6个人，3张桌子8个人，可得到规律：每多1张桌子，会多2人，先用14－4求出第一张桌子坐满后多的人数，再除以2即可求出需要多加多少张桌子，再加上1即为一共需要拼几张桌子。据此解答即可。 【详解】14－4＝10（人） 10÷2＝5（张） 5＋1＝6（张） 答：一共需要拼6张桌子。 【典型例题3】按如图所示的规律，第8个图形中有（ ）个阴影三角形，第14个图形中有（ ）个空白三角形。 【答案】 36 91 【分析】观察图形，第一幅图有1个阴影三角形，第二幅图有3个阴影三角形，3＝2＋1，第三幅图有6个阴影三角形，6＝3＋2＋1，阴影三角形的个数＝第几个图形就从几开始依次加到1； 第一幅图没有空白三角形，第二幅图有1个空白三角形，1＝（1－1）＋1，第三幅图有3个空白三角形，3＝2＋1，第4幅图有6个空白三角形，6＝3＋2＋1，空白三角形的个数＝第几个图形就从几减1开始依次加到0。 【详解】8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（个） 14－1＝13 13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＋0＝91（个） 第8个图形中有36个阴影三角形，第14个图形中有91个空白三角形。 【典型例题4】如下图，用4根同样长的小棒可以搭一个正方形，用7根同样长的小棒可以搭两个正方形，照这样搭下去，搭n个正方形需要（     ）根同样长的小棒。 A．4n－1 B．3n＋2 C．2n＋1 D．3n＋1 【答案】D 【分析】根据题意可知，搭1个正方形需要：3×1＋1＝4（根）小棒；搭2个正方形需要：3×2＋1＝6＋1＝7（根）小棒；搭3个正方形需要：3×3＋1＝9＋1＝10（根）小棒。据此可得规律，摆n个正方形需要（n×3＋1）根小棒。 【详解】n×3＋1＝3n＋1（根），即搭n个正方形需要（3n＋1）根同样长的小棒。 故答案为：D 【练习1】如图，小明用相同的小棒搭房子，他搭3间房子用了13根小棒，搭10间房子用（     ）根小棒。 A．41 B．52 C．45 D．50 【答案】A 【分析】看图可知，搭1个房子需要5根小棒，5＝1×4＋1；搭2个房子需要9根小棒，9＝2×4＋1；搭3个房子需要13根小棒，13＝3×4＋1，由此可知，小棒根数＝搭几个房子就用几×4＋1。 【详解】10×4＋1 ＝40＋1 ＝41（根） 搭10间房子用41根小棒。 故答案为：A 【练习2】我国苗家的“长桌宴”风俗历史悠久，起源是苗家接亲嫁女、外寨来访贵客的联谊。如果按照这样的方式摆放，接待58人需要准备多少张桌子？    【答案】14张 【分析】根据图示，一张桌子可以坐4×1＋2＝6（人），两张桌子可以坐4×2＋2＝10（人）……，n张桌子可以坐（4n＋2）人，据此可知桌子的张数等于人数减2的差除以4；据此解答。 【详解】（58－2）÷4 ＝56÷4 ＝14（张） 答：接待58人需要准备14张桌子。 一、选择题 1．像下面这样摆下去，摆n个正方形需要（     ）根火柴棒。 …… A．4n B．3n C．3n＋1 【答案】C 【分析】根据图可知，第一个小正方形需要4根小棒，两个小正方形需要7根小棒，摆三个正方形需要10根小棒，所以每增加一个正方形就会增加3根小棒，可以把它们看作摆几个正方形，就有几个3，再加上最左侧的一个小棒即可求出所有小棒，据此即可选择。 【详解】由分析可知： 摆n个正方形需要（3n＋1）根小棒。 故答案为：C 2．如图，图中有（     ）个长方形。 A．5 B．6 C．10 【答案】C 【分析】单独的1个长方形有4个，由2个小长方形组成的长方形有3个，由3个长方形组成的长方形有2个，由4个长方形组成的长方形有1个，最后求出4、3、2、1的和即可。 【详解】4＋3＋2＋1 ＝7＋2＋1 ＝9＋1 ＝10（个） 图中有10个长方形。 故答案为：C 3．按下面的规律，第6个图形一共有（     ）个●。                    …… 第1个图形     第2个图形     第3个图形     第4个图形 A．25 B．30 C．36 【答案】C 【分析】观察题图可知，第一个图形中有（1×1）个●，第二个图形中有（2×2）个●，第三个图形中有（3×3）个●，第4个图形中有（4×4）个●，则第n个图形中有（n×n）个●。据此可知，第6个图形中有（6×6）个●。 【详解】6×6＝36（个） 第6个图形一共有36个●。 故答案为：C 4．按照下图规律，摆第7个图形需要（     ）根小棒。 A．21 B．22 C．28 【答案】B 【分析】第1个图形需要1＋3＝4（根）小棒，第2个图形需要1＋3×2＝7（根）小棒，第3个图形需要1＋3×3＝10（根）小棒，……由此发现规律：第n个图形需要（1＋3n）根小棒。 【详解】1＋3×7 ＝1＋21 ＝22（根） 所以摆第7个图形需要22根小棒。 故答案为：B 5．如下图所示，摆1个六边形要用6根小棒，摆2个六边形要用11根小棒，摆3个六边形要用16根小棒……，摆30个六边形要用（     ）根小棒。 A．151 B．179 C．180 【答案】A 【分析】摆1个六边形需要1根小棒，摆2个六边形需要根小棒，摆3个六边形需要根小棒，，摆个六边形需要根小棒，据此解答即可。 【详解】摆30个六边形要用： （根） 所以摆30个六边形要用151根小棒。 故答案为：A 6．摆一个三角形用3根小棒，增加1个三角形，多用2根小棒。摆a个三角形共用（     ）根小棒。 A．3＋2a B．2a＋1 C．1＋3a 【答案】B 【分析】观察图形可知，摆1个三角形用3根小棒，3＝1＋1×2；摆2个三角形用5根小棒，5＝1＋2×2；摆3个三角形用7根小棒，7＝1＋3×2；摆4个三角形用9根小棒，9＝1＋4×2……，由此可得：小棒的根数＝1＋三角形的个数×2，据此解答。 【详解】小棒的根数＝1＋三角形的个数×2，则摆a个三角形共用：（1＋2a）或（2a＋1）根小棒。 故答案为：B 7．按下图的规律画下去，第4幅图中有（     ）个◇。 A．12 B．13 C．16 【答案】B 【分析】观察可知：第1幅图有4个◇，第2幅图有7个◇，第3幅图有10个◇，发现往后每幅图都比前一幅多3个◇，因此第4幅图有13个◇，据此选择即可。 【详解】由分析可知： 4＋3＝7 7＋3＝10 10＋3＝13 所以第4幅图中有13个◇。 故答案为：B 二、填空题 8．如下图，第4幅有（ ）个笑脸，第5幅有（ ）个笑脸。 【答案】 10 15 【分析】第一幅图有1个笑脸；第二幅图有3个笑脸，即上面是1个，下面是2个，1＋2＝3（个），第三幅图有6个笑脸，上面是1个，中间是2个，下面是3个，总共是1＋2＋3＝6（个），由此可知，第几副图，它的笑脸个数就比前一幅多几，则第4幅图有：1＋2＋3＋4；第5幅图有：1＋2＋3＋4＋5，据此即可填空。 【详解】由分析可知： 1＋2＋3＋4＝10（个） 1＋2＋3＋4＋5＝15（个） 第4幅图有10个笑脸；第5幅图有15个笑脸。 9．由左图可以看出，摆一个三角形要3根小棒，每多摆一个三角形就要增加2根小棒，摆n个三角形要（ ）根小棒。 【答案】（2n＋1）/（1＋2n） 【分析】看图可知，摆1个三角形需要3根小棒，3＝1×2＋1；摆2个三角形需要5根小棒，5＝2×2＋1；摆3个三角形需要7根小棒，7＝3×2＋1，即每多摆一个三角形就要增加2根小棒，小棒根数＝摆几个三角形就用几×2＋1，据此分析。 【详解】n×2＋1＝（2n＋1）根 摆n个三角形要（2n＋1）根小棒。 10．用小棒按照如下方式摆图形。 摆一个八边形需要8根小棒，照这样摆下去，摆6个八边形需要（ ）根小棒，如果想摆n个八边形，需要（ ）根小棒。 【答案】 43 7n＋1 【分析】根据图示发现：摆1个八边形需要小棒8根；摆2个八边形需要小棒（8＋7）根；摆3个八边形需要小棒（8＋2×7）根；……多摆1个八边形，增加7根小棒，则摆n个八边形需要小棒的根数是8＋7（n－1）。据此解答。 【详解】根据分析可知，摆n个八边形需要小棒： 8＋7（n－1） ＝8＋7n－7 ＝（7n＋1）根 摆n个八边形需要（7n＋1）根小棒。 当n＝6时， 7n＋1 ＝7×6＋1 ＝42＋1 ＝43（根） 摆6个八边形需要43根小棒。 11．下边是一个4×4的方格图，从图中可以看出小方格的个数还可以用算式“1＋2＋3＋4＋3＋2＋1”进行计算。按这样观察，7×7的方格图，小方格的个数可以用算式（ ）进行计算。 【答案】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1 【分析】根据4×4的方格图，从图中可以看出小方格的个数还可以用算式“1＋2＋3＋4＋3＋2＋1”可知，n×n就是从1加到n，再从（n－1）往下一直加到1，则7×7的方格中，从1加到7，之后再加6，加5，加4，加3，加2，加1，据此解答。 【详解】根据分析可知，7×7的方格图，小方格的个数可以用算式“1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1”进行计算。 下边是一个4×4的方格图，从图中可以看出小方格的个数还可以用算式“1＋2＋3＋4＋3＋2＋1”进行计算。按这样观察，7×7的方格图，小方格的个数可以用算式1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1进行计算。 12．用同样大小的黑色棋子按下图所示的方式摆图案。按照这样的规律摆下去，第10个图案需要（ ）枚棋子，用56枚棋子摆的图案是第（ ）个，摆第n个图案需要（ ）枚棋子。 【答案】 32 18 3n＋2/2＋3n 【分析】看图，第一个图案需要3×1＋2＝5（枚）棋子，第二个图案需要3×2＋2＝8（枚）棋子，第三个图案需要3×3＋2＝11（枚）棋子，据此类推第10个图案需要（3×10＋2）枚棋子，第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。将56枚棋子减去2，将差除以3，即可求出用56枚棋子摆的图案是第几个。 【详解】3×10＋2 ＝30＋2 ＝32（枚） （56－2）÷3 ＝54÷3 ＝18（个） 所以，第10个图案需要32枚棋子，用56枚棋子摆的图案是第18个，摆第n个图案需要（3n＋2）枚棋子。 13．如图，把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画，需要（ ）个图钉。 【答案】12 【分析】观察图形可知：1张画需要4个图钉，每增加1张画，可多需要2个图钉；去掉左两边的2个图钉，每张画需要2个图钉。总结规律：2＋2×画的张数＝需要图钉个数。 【详解】2＋2×画的张数＝需要图钉个数 2＋2×5 ＝2＋10 ＝12（个） 如图，把图画每两张重叠在一起钉在墙上，现在有5张画，需要（12）个图钉。 14．如图，图①有1个圆；图②有7个圆；图③有19个圆；图④有37个圆……按此规律，图⑩中有（ ）个圆。 【答案】271 【分析】观察图形可知： 图①有1个圆； 图②有7个圆，7＝2＋3＋2； 图③有19个圆，19＝3＋4＋5＋4＋3； 图④有37个圆，37＝4＋5＋6＋7＋6＋5＋4； …… 发现规律：第几个图，就从几开始加，加数依次增加1，递增的加数的个数与图号相等；然后加数开始依次减少1，递减的加数一直写到与第一个加数相同为止。 据此规律解答。 【详解】10＋11＋12＋13＋…＋18＋19＋18＋17＋16＋…＋11＋10 ＝（10＋11＋12＋13＋…＋18＋19）＋（18＋17＋16＋…＋11＋10） ＝（10＋19）×10÷2＋（18＋10）×9÷2 ＝29×10÷2＋＋28×9÷2 ＝145＋126 ＝271（个） 图⑩中有271个圆。 15．观察下面的点阵图规律，第9个点阵图中有（ ）个点，第（ ）个点阵图中有300个点。    【答案】 30 99 【分析】通过观察，第1幅点阵图中有（3＋3）个点，第2幅点阵图中有（3＋3＋3）个点；第3幅点阵图中有（3＋3＋3＋3）个点……以此类推，可得出第n幅点阵图中有（3＋3n）个点，据此解答。 【详解】据分析可知，第n幅点阵图中有（3＋3n）个点； 第9幅点阵图中有 3＋3×9 ＝3＋27 ＝30（个） 第9幅点阵图中有30个点。 3＋3n＝300 解：3＋3n－3＝300－3 3n＝297 3n÷3＝297÷3 n＝99 第99个点阵图中有300个点。 16．从如图中点的排列规律可以看出，第8个图共有（ ）个点，第n个图共有（ ）个点。 【答案】 25 3n＋1/1＋3n 【分析】观察可知，点的数量＝第几个图形就用几×3＋1，据此分析。 【详解】8×3＋1 ＝24＋1 ＝25（个） 第8个图共有25个点；即第n个图有（3n＋1）个点。 17．如图，摆1个六边形需要6根小棒，摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要（ ）根小棒，照这样下去，26根小棒可以摆（ ）个六边形。 【答案】 16 5 【分析】摆1个六边形需要6根小棒，即5×1＋1； 摆2个六边形需要11根小棒，即5×2＋1； 摆3个六边形需要16根小棒，即5×3＋1； 摆几个六边形就用5乘几然后加1即可。 用总根数减1，然后除以5即可求出可以摆多少个六边形。 【详解】5×3＋1 ＝15＋1 ＝16（根） （26－1）÷5 ＝25÷5 ＝5（个） 摆3个六边形需要16根小棒，照这样下去，26根小棒可以摆5个六边形。 18．用火柴棒摆成“#”字形图案，按这种方式摆下去，一共用了76根火柴棒，那么每边上摆了（ ）根。 【答案】19 【分析】观察图形： 第一个图形每边是3根，一共有4条边，3×4＝12（根） 第二个图形每边是5根，一共有4条边，5×4＝20（根） 第三个图形每边是7根，一共有4条边，7×4＝28（根） 即一共需要火柴棒的根数＝4×每边的根数。用火柴棒的根数除以4即可得解。 【详解】76÷4＝19（根） 则每边上摆了19根。 三、解答题 19．用同样长的火柴棒依次摆出下面的图形。 （1）探索规律，把下表填写完整。 次数 第1次 第2次 第3次 …… 第6次 火柴棒的根数 7根 根 根 …… 根 （2）王老师摆到第（     ）次时用到了52根火柴棒。 【答案】（1）12；17；32；（2）10 【分析】（1）从图中可知，摆第1次用到火柴棒7根，摆第2次用到火柴棒12根，摆第3次用到火柴棒17根……，发现：每次的火柴棒都比前一次多5根，由此可得到第6次用到的火柴棒数量，把表格补充完整。 （2）由上一题可得出规律：摆第n次用到火柴棒是（5n＋2）根，那么n＝（火柴棒的总数－2）÷5，把火柴棒的总数＝52代入式子中，求出n的值。 【详解】（1）摆第1次用到火柴棒的根数： 5×1＋2 ＝5＋2 ＝7（根） 摆第2次用到火柴棒的根数： 5×2＋2 ＝10＋2 ＝12（根） 摆第3次用到火柴棒的根数： 5×3＋2 ＝15＋2 ＝17（根） 摆第6次用到火柴棒的根数： 5×6＋2 ＝30＋2 ＝32（根） 填表如下： 次数 第1次 第2次 第3次 …… 第6次 火柴棒的根数 7根 12根 17根 …… 32根 （2）规律：摆第n次用到火柴棒有（5n＋2）根，摆的次数n＝（火柴棒总数－2）÷5。 （52－2）÷5 ＝50÷5 ＝10（次） 王老师摆到第10次时用到了52根火柴棒。 20．   （1）找规律，在横线上画出第四幅图。 （2）第12幅图中有（     ）个○，有（     ）个●。 【答案】（1）见详解；（2）52；144 【分析】（1）观察图形可知，第①幅图中一共有9个图形，表示为32，●有1个，表示为12；○有8个，表示为32－12； 第②幅图中一共有16个图形，表示为42，●有4个，表示为22；○有12个，表示为42－22； 第③幅图中一共有25个图形，表示为52，●有9个，表示为32；○有16个，表示为52－32； 由此可知，第n幅图●有n2，○有（n＋2）2－n2；第四幅图●有42＝16个，○有62－42＝20个，据此画出第④幅图； （2）根据以上规律，第12幅图中，○个数有（12＋2）2－122个；●个数有122个，据此解答。 【详解】分析可知：（1）   （2）○的个数：（12＋2）2－122 ＝142－144 ＝196－144 ＝52（个） ●个数：122＝144（个） 第12幅图中有52个○，有144个●。 21．用4根同样长的火柴围成图1，面积是1；用10根火柴围成图2，面积是4。 图1   图2          图3 （1）用（     ）根火柴围成图3，面积是（     ）。 （2）你能继续往下数吗？ 层数 1 2 3 4 5 … 火柴根数 4 10 （     ） （     ） （      ） … 面积 1 4 （     ） （      ） （     ） … （3）你发现了什么规律？请你写出一条。 【答案】（1）16；9 （2）16；22；28 9；16；25 （3）见详解 【分析】（1）数出图3中火柴数量以及围成小正方形的个数，有几个小正方形，面积就是几。 （2）围成的图形中，每层的小正方形个数分别是1个、3个、5个……，每一层都比上一层的小正方形个数多2个。则围成3层时，面积是（1＋3＋5）。围成4层时，面积是（1＋3＋5＋7）。围成5层时，面积是（1＋3＋5＋7＋9）。多增加1层，火柴增加6根。围成3层时火柴是（10＋6）根，围成4层时火柴是（10＋6＋6）根，围成5层时火柴是（10＋6＋6＋6）根。 （3）观察这些图形可知，每多增加1层，火柴多增加6根。 【详解】（1）用16根火柴围成图3，面积是9。 （2）10＋6＝16（根） 16＋6＝22（根） 22＋6＝28（根） 1＋3＋5＝9 1＋3＋5＋7＝16 1＋3＋5＋7＋9＝25 层数 1 2 3 4 5 … 火柴棒根数 4 10 16 22 28 … 面积 1 4 9 16 25 … （3）规律是每多增加1层，火柴多增加6根。（答案不唯一） 22．将小正方体按下图方式摆放在地上。 小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 露在外面的面数 如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个正方体如上图摆放？ 【答案】表格见详解；201个；32个 【分析】由题意可知，有1个小正方体露在外面的面数有5面，2个小正方体露在外面的面数有9个，3个小正方体露在外面的面数有13个，则有n个正方体，则露在外面的面有（4n＋1）个，据此解答即可。 【详解】当n＝4时 4n＋1＝4×4＋1 ＝16＋1 ＝17（个） 当n＝5时 4n＋1＝4×5＋1 ＝20＋1 ＝21（个） 当n＝6时 4n＋1＝4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（个） 当n＝50时 4n＋1＝4×50＋1 ＝200＋1 ＝201（个） 解：设如果露在外面的面是129个，那是有x个正方体如上图摆放。 4n＋1＝129 4n＋1－1＝129－1 4n＝128 4n÷4＝128÷4 n＝32 则如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有201个，如果露在外面的面是129个，那是有32个正方体如上图摆放。 如图所示： 小正方体的个数 1 2 3 4 5 6 露在外面的面数 5 9 13 17 21 25 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $