精品解析：福建省泉州市南安市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025年秋季初二初三期中教学测试 初三年数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需满足两个条件：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母．逐一判断即得． 【详解】解：A、分解被开方数：，无平方因数，且不含分母，符合最简二次根式条件． B、分解被开方数：，其中，可化简为，故不是最简二次根式． C、分解被开方数：，其中，可化简为，故不是最简二次根式． D、被开方数为分数，且分母含根号，需有理化：，故不是最简二次根式． 故选：A ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的运算，根据合并同类二次根式的法则，二次根式的乘除法则逐项判断即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，解决此题的关键是熟记一元二次方程是含有1个未知数，未知数的最高次数是2，两边都是整式的方程；根据一元二次方程的定义一一判断即可； 【详解】解：含有2个未知数，故A错误； 最高次数是3，故B错误； 含有分式的形式，故 C错误； 满足一元二次方程的形式，故D正确； 故选：D． 4. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．先将方程变形为，再两边同时加上1，利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 5. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列比例式成为解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ， ， 解得：， 故选：A． 6. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割以及比例方程的知识点，解题的关键是根据黄金分割的比例关系列出方程． 先根据已知条件求出该女士下半身的长度，再设出高跟鞋高度，根据穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值为0.618列出方程求解． 【详解】该女士下半身长， 设她应穿的高跟鞋的高度是，穿上高跟鞋后，下半身长变为，身高变为， 因为穿上高跟鞋后下半身长与身高的比值要接近0.618，所以可列方程：， 解得：， 故答案选：D． 7. 以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查是位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 ，熟练掌握位似变换是解决本题的关键． 根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：∵与的相似比为， ∴点C的坐标为或， ∴点的坐标为或， 故选:D． 8. 如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了相似三角形的应用，连接，设与相交于点，则，根据相似三角形的性质和得出，根据比例的性质得出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与相交于点， 根据题意知 ， ∴， ， 又∵， ∴， ， ， 故选：B． 9. 如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用本题重点考查​​中点四边形性质和中位线定理​​，​​熟练运用中位线定理推导边之间的平行关系，并利用垂直条件判断矩形是解题的关键​​． 由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形是平行四边形，若或者就可以判定四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形， ∵点分别是的中点， ∴, ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵，，， ∴， 即， ∴四边形是矩形， 故选：A． 10. 如图，在平面直角坐标系内，矩形的顶点与原点重合，点在第一象限，点和点在第二象限，对角线的中点为点，且点，在反比例函数的图象上，若点的纵坐标为4，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，设点，则，， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则四边形是矩形，，根据三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，反比例函数的性质解答即可． 本题考查了矩形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，三角形中位线定理，反比例函数的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为，过点作，垂足为，设点，则，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ，， 点的纵坐标为4， ， ， 过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，则四边形是矩形，， ， 的中点为点， 是的中位线， ，， 点， 点，在反比例函数的图象上， ， ， ， 或， 点在第二象限， ， 不符合题意，舍去， ， ， ， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数，据此求的取值范围即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 的取值范围为． 故答案为：． 12. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的求值，解题的关键是掌握相关知识．由得到，即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 13. 若是方程的根，则代数式的值是_____________． 【答案】2025 【解析】 【分析】由方程根的定义，得到，然后通过代数变形求出的值，解答即可． 本题考查了一元二次方程的解的定义，完全平方公式的变形求值，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得，即； 由于，将方程两边除以，得，即， 两边平方，得，即， ∴，即， 故， 故答案为：2025． 14. 如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片()，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是___________． ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的性质，对折两次后的小长方形的长为b，宽为，再根据相似图形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：根据题意，对折两次后的小长方形的长为b，宽为， ∵小矩形与原矩形相似， ∴，则， 解得（负值舍去）， 故答案为：． 15. 根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据表格数据解答即可求解，看懂表格数据是解题的关键． 【详解】解：由表可知，时，；当时，， ∴当时，必有一个解， ∴的取值范围是， 故答案为：． 16. 如图，在边长为正方形中，为边上的中点，过点作的垂线分别交和的延长线于点，，点在线段上运动（不与端点重合），点，分别为，的中点．在点运动过程中，当时，的长为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，过点作直线于点，证明，根据相似三角形的性质可求出，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，进而求出，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质可求出，，延长交于点，设，则，证明，根据相似三角形的性质可求出或，即可求解． 详解】解：过点作直线于点， 则， ， ， ，， 点是的中点， ， ， 在正方形中，，， ， 又， ， ，即， ，， ， 点是的中点， ， 过点作于点，延长交于点， ， ，即， ，， ， ， 设，则， ， ， ， ， ，即， 解得或， 或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】2 【解析】 【分析】根据立方根，二次根式的乘除计算即可． 本题考查了立方根，二次根式的乘除，熟练掌握立方根的定义，运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选用是解答的关键． 利用配方法解方程即可． 【详解】解：配方，得， 即 开方，得 ∴，． 19. 某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角的一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为x米． （1）请你写出的长为______米．（用含x的代数式表示） （2）若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 【答案】（1） （2）宽为16米 【解析】 【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）利用栏杆的总长度减去3个矩形的宽，再加上2个小门的宽即可得； （2）根据矩形的面积公式建立方程，解一元二次方程，再根据操场东北角的一面最大长度为36米的围墙确定的值，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，矩形场地的宽为米， ∴米， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由题意得：， 整理得：， 解得或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：宽为16米． 20. 如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． （1）求证： （2）若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，即可得到四边形的面积，再证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，由此可得平行四边形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形平行四边形， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 21. 如图，网格中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．图中，，三点都是格点，若，． （1）在网格中画出符合要求的直角坐标系，并写出点的坐标为______； （2）将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位，得到三角形，在此网格中画出三角形点，，分别与点，，对应，直接写出点的坐标为______； （3）已知点，，点是线段上的一个动点，求出线段的最小值． 【答案】（1）见解析， （2）见解析， （3） 【解析】 【分析】本题考查基本网格作图，涉及平移性质、点的坐标、三角形的面积公式，垂线段最短，熟悉网格特点是解答的关键． （1）可根据点A、C坐标画出平面直角坐标系，进而可得点B坐标； （2）利用平移性质画出平移图形，进而可得点坐标； （3）利用垂线段最短可知，当时，最短，利用平移的性质得到，再利用等面积法求解，即可解题． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图所示：则点B的坐标为． 【小问2详解】 解：如图，三角形即为所求： 由图可得，点的坐标为； 【小问3详解】 解：当时，线段取得最小值．设线段最小值为ℎ， 由平移得，， ∵的面积为， ∴，解得 ， ∴线段的最小值为． 故答案为：． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程． （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出，，结合，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出实数的值，即可求出，，代入即可得答案． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， 实数的取值范围为． 【小问2详解】 ，是关于的一元二次方程的两实数根， ，． ， ， ， ，即， 解得：或， 当时，方程变为， ，不符合题意，舍去， 当时，方程变为， ，， ， ． 23. （1）【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 9 ， 3 ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（ ） A． B． C． D． ③当，满足条件：____________时，； （2）【理解应用】 ①已知，求代数式的最大值； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 【答案】（1）①；②B；③；（2）①81；② 【解析】 【分析】（1）①由，再代入计算即可；②由表格信息总结归纳可得答案；③由表格信息总结归纳可得答案； （2）①由（1）的结论可得当时，代数式取得最大值；②由，可得当最大，则最大，结合，，可得当时，最大，最大值为32，从而可得答案． 【详解】解：（1）①； 故答案为：； ②当时，，， ∴， 当时，， ， ∴ ， ∴ ， 故选：B； ③当时，，， ∴当，满足条件时，； 故答案为：； （2）①， ，， 结合（1）中结论可得，当时，代数式取得最大值； ，最大值为； ②在中，，， ， ， 当最大，则最大， ，结合（1）中结论可得，， 当时，最大，最大值为32， 此时，， 周长的最大值为：． 【点睛】本题考查的是新定义的含义，熟练掌握算术平均数和几何平均数的含义，算术平均数和几何平均数的大小关系，二次根式的运算，完全平方公式变形，勾股定理，新定义在几何中的应用，是解本题的关键． 24. 在中，，，是边上的中线． （1）如图①，延长到点，使得，将绕点逆时针旋转到，求的值； （2）如图②，点是外的一个动点，且，，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，三角形相似的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，解答即可； （2）将绕着点逆时针旋转得到对应的，利用等腰直角三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，两点间线段最短，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，两点间线段最短，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：，，是边上的中线， ，，， 由旋转知 ，， ， 、是等腰直角三角形 ， ． 【小问2详解】 解：将绕着点逆时针旋转得到对应的 如图② 由旋转知 ， 是等腰直角三角形 又由勾股定理得 当、、三点共线时，的值最大 此时， ， 的最大值是 25. 在中，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度运动，设运动时间为秒，连接． （1）如图1，当点在线段上时，记的面积为，求与之间的关系式； （2）如图2，当点在的延长线上时，过点作于点，，过点作的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，点为线段上一点，连接． ①求运动时间的值； ②若，点在线段上，连接、，，求线段的长． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）过点作，交延长线于点，解直角三角形可得，再根据三角形的面积公式即可得； （2）①先求出，再在中，利用勾股定理建立方程，解方程即可得； ②作的角平分线交于，过点作于，过点作于点．过点作于点．先设，则，，在中，利用勾股定理可得的值，则可得的长，再利用的面积公式求出，然后证出，则，设，则，，代入计算可得，则可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【小问1详解】 解：如图，过点作，交延长线于点， 由题意得：， 四边形是平行四边形，， ∴， ， 是等腰直角三角形， ， ∵，， ． 【小问2详解】 解：①四边形是平行四边形，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． ， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ，， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）． ②如图，作的角平分线交于，过点作于，过点作于点．过点作于点． 由①知，，， ， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设，则，， ， ， ， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 平分，，， ，， ， ∴，即， 解得， 在和中， ， ， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、正比例函数的应用、角平分线的性质定理、一元二次方程的应用等知识，通过作辅助线，构造直角三角形和相似三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季初二初三期中教学测试 初三年数学试题 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中的最简二次根式是（ ） A B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程经过配方法化为的形式，正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 美是一种感觉，当人体下半身长与身高比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.6，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（） A. B. C. D. 7. 以原点O为位似中心， 作的位似图形与的相似比为，若点C的坐标为，则点 的坐标为（ ） A. B. 或 C. D. 或 8. 如图是凸透镜成像光路图，跟主光轴平行的光线经凸透镜折射后过焦点F，通过光心O的光线，经凸透镜折射后传播方向不变，即在的延长线上，一根长的蜡烛，放在三倍焦距处，已知焦距，则经过凸透镜成像得到的的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，点分别是的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系内，矩形的顶点与原点重合，点在第一象限，点和点在第二象限，对角线的中点为点，且点，在反比例函数的图象上，若点的纵坐标为4，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 要使有意义，则的取值范围为______． 12. 若，则的值为______． 13. 若是方程根，则代数式的值是_____________． 14. 如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片()，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是___________． ． 15. 根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解的取值范围是______． 16. 如图，在边长为的正方形中，为边上的中点，过点作的垂线分别交和的延长线于点，，点在线段上运动（不与端点重合），点，分别为，的中点．在点运动过程中，当时，的长为_____________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 某学校艺术节期间举办电脑绘画作品现场制作比赛，比赛场地设置在操场，学校利用操场东北角一面最大长度为36米的围墙作一边，其余三边恰好用长为68米的栏杆围成一个矩形场地，场地中间用栏杆隔开分成两个小矩形，每个小矩形都设置了一个2米宽的小门，方便参加比赛的选手出入．设矩形场地的宽为x米． （1）请你写出的长为______米．（用含x的代数式表示） （2）若围成的矩形场地的面积为384平方米，请你求出宽． 20. 如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． （1）求证： （2）若的面积为2，求平行四边形的面积． 21. 如图，网格中每个小正方形的边长为个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点．图中，，三点都是格点，若，． （1）在网格中画出符合要求的直角坐标系，并写出点的坐标为______； （2）将三角形先向上平移个单位，再向右平移个单位，得到三角形，在此网格中画出三角形点，，分别与点，，对应，直接写出点坐标为______； （3）已知点，，点是线段上的一个动点，求出线段的最小值． 22. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为，，且满足．求的值． 23. （1）【新知探究】 对于正数，，我们称为，的算术平均数，称为，的几何平均数．请观察下面的表格，并解答下面的问题： ，的值 的值 的值 ， 5 4 ， 4 4 ， 9 ， 3 ①表格中的___________； ②根据表格，猜想与的大小关系（ ） A． B． C． D． ③当，满足条件：____________时，； （2）【理解应用】 ①已知，求代数式的最大值； ②如图，已知，在中，，，求周长的最大值． 24. 在中，，，是边上的中线． （1）如图①，延长到点，使得，将绕点逆时针旋转到，求的值； （2）如图②，点是外的一个动点，且，，求的最大值． 25. 在中，，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位速度运动，设运动时间为秒，连接． （1）如图1，当点在线段上时，记的面积为，求与之间的关系式； （2）如图2，当点在的延长线上时，过点作于点，，过点作的延长线于点，的延长线交的延长线于点，连接，，点为线段上一点，连接． ①求运动时间的值； ②若，点在线段上，连接、，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $